福建省福州市2024-2025学年九年级数学上学期期中试卷（含答案）

福州第十九中学2024-2025学年第一学期期中测试

九年级数学试题

（满分150分时间：120分钟）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分；在给出的四个选项中，只有

一个正确选项）

1.我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、李冶天元术图、刘徽

的割圆术、赵爽弦图就是其中四例.在这四个图形中，是中心对称图形的是（）

o

oo

ooo

A.oooo

ooooo

oooooo

ooooooo

2.下列所描述的事件，是不可能事件的是（）

A.下周一下雨B.太阳西升东落

C.国足赢球D.掷硬币，国徽面朝上

3.已知2a=3b（bw0）,则下列比例式中正确的是（）

ababa2

A.B.c.ZD.

32232bb3

4.如图，将点M绕点。顺时针旋转90。得到点N,则点N在（)

ox

M

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.将函数y=2/的图象向上平移4个单位，再向右平移2个单位，可得到的抛物线的解析

式为（）

A.y=2（x-4）2+2B.y=2（x+4『-2

试卷第1页，共6页

C.J^=2（X-2）2+4D.J=2（X+2）2+4

6.已知一元二次方程的两根分别为芭=-3,X2=-4,则这个方程为()

A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x+4)=0

C.(x+3)(x-4)=0D.(尤-3)(x-4)=0

7.如图，在。。中，弦的长为4,圆心到弦的距离0c为2,则圆。的半径长是

8.如图，△4BC与“溺是以点。为位似中心的位似图形，若△4BC与AD跖的面积比为

4:9,则CM:0。为()

9.二次函数y=N+(a+2)x+a的图象与x轴交点的情况是()

A.没有公共点B.有一个公共点

C.有两个公共点D.与。的值有关

10.要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷

水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()

二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分)

11.在平面直角坐标系中，点4(-3,2)关于原点的对称点的坐标为

试卷第2页，共6页

12.已知圆锥的底面圆半径为2,母线长为6,则该圆锥的侧面积为.

13.如图，点/、B、C和点。、E、F分别位于同一条直线上，如杲AD〃BE〃CF,且

14.在篮球队员的选拔过程中，“投篮命中率”是一项重要的考核项目.下图是某篮球爱好者

在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段该同学随机投篮一次正好命中的概

率约为.（结果精确到0.01）

15.如图，数轴上点/代表的数为4x-3,点8代表的数为/+2x,点3在点/右侧，则

/、2间的距离至少为.

AB

I_________________________________________I

4x-3x2+2x

16.已知正六边形的中心在x轴上，且一条对称轴与抛物线＞=/+云+。的对称轴重合，若

该正六边形恰好有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的半径是.

三、解答题（共9小题，共86分）

17.解方程:X2+2X-5=0.

18.如图，在△/BC中，AB=AC,△/斯是由△NBC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

连接班、CF相交于点D.求证：BE=CF.

试卷第3页，共6页

19.临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所

示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从

剩下的座位中再随机选择一个坐下.

(1)甲坐在①号座位上的概率是.

(2)用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率.

20.在矩形中,

AD

B

⑴尸是8C边上一点，且N/PD=90。，请用直尺和圆规作出所有满足条件的点P.(保留作

图痕迹，不写作法)；

(2)任意选取一点P,证明：△尸CD.

21.汽车刹车后行驶的距离S(单位：m)关于行驶的时间/(单位：s)的函数解析式是5=

at2+bt.当/=工时，S=6；当f=l时，S=9.

2

试卷第4页，共6页

kS(m)

12-

9----------------

6---------r

।

i

3-|

O11

2

(1)求该函数的解析式；

(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停

下来前进了多远？

22.如图，ZUBC中，=点。是底边2c的中点，腰与。。相切于点D

⑴求证：/C是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,ZC=45°,求图中阴影部分的面积.

1

23.已知二次函数ynor+6x+c(a>0)的图象经过点(0,2),(一1,%),(5,w).

⑴求函数的对称轴；

⑵若二次函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标为整数，求a的值.

24.【经典例题】

参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了36次，有多少人参加聚会？

(1)设有x人参加活动，可列方程为()；

A.2x(x-l)=36B.x(x-l)=36C.；x(x+l)=36D.Jx(x-1)=36

【拓展延伸】

(2)将4，4,4，…，4,共”个点每两个点连一条线段共得到必条线段，将用，

B2,鸟，…，Bn+l,共(〃+1)个点每两个点连一条线段共得到巴条线段，问及能否为整

必

数？若能成立，求出”的值；若不能成立，请说明理由.

【实景再现】

试卷第5页，共6页

（3）一次聚会中，小明观察到现实生活没有像例题中那么简单：聚会中仅有部分人握手了,

有的两人之间还不止握过一次手.但他发现无论握手的过程如何，握过奇数次手的人必有偶

数个.小明回家思考了一下，发现可以用数学道理来证明.请将小明的证明过程补充完整：

设握过奇数次手的有〃，人，分别为6，%,…，金（均为奇数），握过偶数次手的有〃人,

分别为4，b2,…，bn（均为偶数），则握手总次数5=%+/+.••+%+4+打+…+6”必为

数；（填奇或偶）

25.在。。中，直径45=25.点C为圆上一动点，点。在圆外，四边形04DC为菱形，连

结NC.

DD

图1图2

⑴如图1,40交。。于点£,

①求证：CE=CB；

②连结2C,若2c=15,求NE的长.

（2）如图2,连结2。交NC于G,尸为圆上一点，OF〃AC交BD于M.当点C在圆上运动

时，直径A8上是否存在一点N,使为定值.若存在，请求出/N的值；若不存在，请

说明理由.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转

180度后能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、是中心对称图形，符合题意；

故选D.

2.B

【分析】本题考查事件的分类，根据不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事情，据此

进行判断即可.

【详解】解：A、下周一下雨，是随机事件，不符合题意；

B、太阳西升东落，是不可能事件，符合题意；

C、国足赢球，是随机事件，不符合题意；

D、掷硬币，国徽面朝上，是随机事件，不符合题意；

故选B

3.A

【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质.根据比例的性质“如果

f那么以/=加”进行解答即可得.

ba

【详解】解：A、|=|,则2a=36,故该选项说法正确，符合题意；

B、：=则3a=26,故该选项说法错误，不符合题意；

C、2=：,则成=6,故该选项说法错误，不符合题意；

2b

D、y=则3a=26,故该选项说法错误，不符合题意；

b3

故选：A.

4.C

【分析】根据旋转的性质可得结论.

【详解】解：,••点M在第四象限，

二将点M绕点O顺时针旋转90。得到点N,则点N在第三象限，

答案第1页，共15页

故选：c

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及坐标与位置，正确理解旋转的性质是解答本题的关

键.

5.C

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】解：二次函数＞=2/的图象向上平移4个单位，所得的函数解析式为：

y=2x2+4；再向右平移2个单位所得的函数解析式为：y=2(x-2)2+4.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答

此题的关键.

6.B

【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边

相等的未知数的值，据此把演=-3,%=-4代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相

等即可.

【详解】解：•••一元二次方程的两根分别为再=-3,X2=-4,

,这个方程为(x+3)(x+4)=0,

故选：B.

7.C

【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的

两条弧.

根据垂径定理得出/C=g/2=2,再根据勾股定理，即可解答.

【详解】解：••・圆心到弦的距离。。为2,

0C1AB,

•・•弦力8的长为4,

：.AC=-AB^2,

2

•••OA=4AC2+OC2=2V2，

即圆。的半径长是2行，

答案第2页，共15页

故选：c.

8.B

【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关

键.

根据位似图形的概念得到跖，AB//DE,得至A/OBSAOOE,得到

QAAT)

—,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.

ODDE

【详解】解：•••△45。与是以点。为位似中心的位似图形，

:△ABCs小DEF,AB//DE,

:MOBSQOE,

.OA_AB

,・五一赤‘

•••AABC与力EF的面积比4:9,

AR2

.•.△/5C与SEF的相似比2:3,即江=§,

•6M一2

••~~=一,

OD3

故选：B.

9.C

【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算出一元二次方程的根的判别式，根

据判别式的符号即可判断.

【详解】A=(a+2)2-4xlxa=a2+4>0

•・二次函数y=N+(。+2)x+。的图象与x轴有两个不同的公共点

故选：C

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，要从数与形两个方面来理解这种关

系.一般地：当A>0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当A=0时，二次函数与x轴

有一个交点；当△<()时，二次函数与x轴没有交点；掌握这个知识是关键.

10.B

【分析】本题考查了正多边形和圆，要使整个草坪都喷到水，必须计算出正方形的外接圆的

面积是解题的关键.根据已知可计算得到每个喷水龙头的喷洒面积，及正方形的外接圆的面

积，则此时就不难求得需安装这种喷水龙头的个数.

【详解】解：,••正方形的边长为8m,

答案第3页，共15页

正方形的外接圆的半径是82=4亚m，则其外接圆的面积是（4板）2义无=32^2,

•••每个喷水龙头喷洒的面积是32X7=970112,

则32714-971=4.

故选：B.

11.（3,-2）

【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.根据

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案.

【详解】解：点/（T2）关于原点的对称点的坐标为（3,-2）,

故答案为：（3,-2）.

12.127r

【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据S恻面积=。为底面圆半径，/为母线

长）进行求解即可.

【详解】解：S恻面积=2乃x6=12］，

•••该圆锥的侧面积为12万，

故答案为：12万.

13.6

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关

键.

【详解】解：,•・。£：防=2:3,

3

:.EF=-DE,

2

AD//BE//CF,

ABDEDE_DE_2

'~AC~~DF~DE+EF~-3-5，

Lf匕H---”乜

2

22

...45=—/C=—xlO=4,

55

/.BC=AC-AB=6,

故答案为：6.

14.0.60

答案第4页，共15页

【分析】

本题考查利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合图示的数据可得答

案.解题的关键是要理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几

次决定.

【详解】解：这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为0.60.

故答案为：0.60.

15.2

【分析】本题考查配方法，求出的值，利用配方法求出43间的距离的最小值即

可.

【详解】解：由题意：B-A=X2+2X-4X+3=X2-2X+3=(X-1)2+2,

v(x-l)2>0,

••,(X-1)2+2>2,

即：/、2间的距离至少为2；

故答案为：2.

2

16.1或2

【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正多边形的性质，根据题意，可以，正六边

形的中心在抛物线的对称轴上，正多边形的一个顶点为抛物线的定理，抛物线过的另外两个

顶点关于对称轴对称，假设抛物线的对称轴在v轴的右侧，正六边形的边长为加，分两种情

况进行讨论求解，同理可知对称轴在》轴上和>轴左侧，求得〃?的值相同，即可.

【详解】解：如下图所示：

假设抛物线的对称轴在y轴的右侧，正六边形的边长为优,正六边形的中心在工轴上，抛物

线过B,c三点，x轴与正六边形的边交于点G,“，

连接N4,NC,

答案第5页，共15页

yy=x2+bx+c,

•,・抛物线的对称轴为：X=-|,

•・•/BCD跖为正六边形，

ABNA=60°,

•••N为正六边形的中心，

.・•点N在抛物线的对称轴上，A/NB为等边三角形，

ZANO=90°-ZBNA=30°,AN=NB=AB=m,

■■AG=-AN=—,NG=s/3AG=^~,

222

，止］孚苦），

又•:A,8都在抛物线上，

+c=------①，

（--|）2+Z?（—|）+c=-m-----②，

①-②，（-।-*机）2一（-1）2+6（一g一,加）一6（-g）=

整理可得：-m2=-,

42

2

，可得机=0（舍去），或加=§.

如下图所示：

假设正六边形的边长为加，正六边形的中心在工轴上，抛物线过4F,。三点,

连接NF,ND,

同上理可得3（-*-机），吗,

又•:B,尸都在抛物线上，

答案第6页，共15页

・•・(一|)2+6(-|)+c=-m——①,

(---^-m)2+&(----m)+c=-......②,

22222

②■①，(---—m)2-(--)2+/?(---—m)-b(--)=—

2222222

整理可得：

42

.,.可得那=0(舍去)，或7〃=2.

2

同理，当对称轴在》轴或歹轴左侧时，可得：加=§或机=2；

故答案为：(2或2.

17.西=-1+,%2~-1-

【分析】此题考查解一元二次方程，一元二次方程的解法有直接开平方法，公式法，配方法,

因式分解法等，学生在平时的训练中，学会根据方程的特征，选择恰当的方法，提高解题效

率.根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在左右两边同时加上一次项系数一半

的平方，配成完全平方的形式，然后开方即可.

【详解】解：#+2x-5=0,

x2+2x—5,

x~+2x+1=6,

(x+1)-=6,

x+1=±V6,

X[=-1+^6,X2=-1-V6.

18.见解析

【分析】本题考查全等三角形判定及性质，旋转性质，等腰三角形判定及性质.

根据题意利用旋转及题干条件可得/BAE=ZCDF,在证明ABAEACAF即可得到本题答

案.

【详解】解：•••/8=4C,△/即是由△/BC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

AB=AE=AC=AF,NBAE=NCDF,

在和尸中，

答案第7页，共15页

AB=AC

</BAE=ZCDF,

AE=AF

•••^BAE=^CAF,

；.BE=CF.

1%（1）|

2

⑵§

【分析】（1）根据随机事件的特点即可求解；

（2）按照座位画出树状图或列表即可求解.

【详解】（1）解：因为甲、乙、丙三人坐在①号座位上的概率相同

故甲坐在①号座位上的概率是：|

（2）解:画树状图如下：

①②③

/\△/\

②③①③①②

由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，

42

所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为

63

【点睛】本题考查概率的相关知识点.掌握列表法和画树状图是求解概率的关键.

20.⑴图见解析

（2）见解析

【分析】本题考查尺规作图一复杂作图，圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的判定：

（1）根据乙4尸。=90。，得到点尸在以为直径的圆上，作/。的垂线，确定圆心的位置,

再以为直径画圆，圆与3C的交点即为点尸；

（2）根据矩形的性质，结合同角的余角相等，利用两组对应角相等的两个三角形相似，即

可得证.

【详解】（1）解：如图，点P,P即为所求；

答案第8页，共15页

(2)•.・矩形/BC。，

/B=ZC=90°,

•・•NAPD=90。=NB,

・•.NBAP=ZCPD=90°-ABPA,

・•・/\ABPs/\PCD.

21.(1)函数的解析式为S=-6#+15/；

(2)函数图象见解析，汽车刹车后到停下来前进了?75m.

【分析】(1)利用待定系数法即可得到结论；

(2)把(1)中的结论化成顶点式，描点、连线，画出符合题意的函数图象，即可得到结

论.

【详解】(1)解：把/=S=6；t=\,S=9代入S="+6/得：

fl?1.,rA

UJ2,解得，

p=15

a+b=9

.•涵数的解析式为S=-6F+⑸；

575

(2)解：S=-6/+15Z=-6(1-~7)2+

48

对称轴为：5顶点坐标为(5―，7F5),经过原点(0,0),

448

描点、连线，符合题意的函数图象如图所示，

答案第9页，共15页

汽车刹车后到停下来前进了母m.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式

是解题关键.

22.⑴见详解

(2)阴影部分的面积为4-万

【分析】本题主要考查切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质，熟练掌握切

线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键；

(1)过点。作OGJLNC于点G,连接NO,。。，由题意易得2。平分/9C,然后可得

OD=OG,进而问题可求证；

(2)由题意易得AA4c为等腰直角三角形，则有四边形NDOG是正方形，然后根据扇形面

积公式可进行求解.

【详解】(1)证明：过点。作。GLNC于点G,连接如图所示：

•••腰与。。相切于点。，

OD1AB,

=点。是底边3c的中点,

.•.NO平分AOLBC,

OD=OG,

答案第10页，共15页

・・・8,OG都是圆的半径，

・•・/C是。。的切线；

(2)解：如图(1),

VAB=ACfZC=45°,

Z5=ZC=45°,

・・・/胡C=90。，即AA4c为等腰直角三角形，

•・•AADO=ZAGO=90°,

・•・四边形47X7G是矩形，

•：OD=OG,

・•・四边形ZOOG是正方形，

...AD=OD=OG=AG=2,/DOG=90°,

2

・•・阴影部分的面积为S正方-S扇切。G=90^4-x?f=4-%.

23.⑴直线尤=2

2

⑵"3

【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数图象与x轴的交点问题：

(1)根据图象过(T,加)，(5,%),利用对称性求出对称轴即可；

(2)根据抛物线的开口方向，对称轴，结合图象经过点(。，2),以及二次函数图象与x轴有

两个交点，且交点的横坐标为整数，得到抛物线与x轴的两个交点坐标只能是0,0),(3,0),

进行求解即可.

【详解】(1)解：••・图象过(TM,(5,⑼，

一

•••二次函数的对称轴为直线x=w1+^5=2；

(2)1.-y=ax2+bx+c(a>0),对称轴为直线，x=—=2,

2a

••・抛物线的开口向上，对称轴在>轴右侧，

•••图象经过点(0,2),与x轴有两个交点，且交点的横坐标为整数，

••・抛物线与x轴的两个交点坐标只能是(1,0),(3,0),

二抛物线的解析式为：y^a(x-l)(x-3),把(0,2)代入，得：2=3°,

2

答案第11页，共15页

24.(1)D(2)能，力=2,3(3)偶

【分析】本题考查一元二次方程的应用，分式的运算，有理数加法运算，熟练掌握握手定理,

是解题的关键：

(1)根据每两人都要握手一次，所有人共握手了36次，列出方程即可；

(2)根据题意，得到弘=咚少，为=5+D?+17),进一步求解即可；

(3)根据奇数和奇数的和为偶数，偶数和偶数的和也为偶数，进行判断即可.

【详解】解：(1)设有x人参加活动，由题意：可列方程为:尤(》-1)=36；

故选D；

(2)能，=2,3

由题意可知：乂=△——L,y=-——---------二

1222

...%=2一+1--1+2=]।2,

yxn-\n-1n-\'

-2-

・•・当区为整数时，贝I」：二为整数，

必n-1

n—1=1,2,

.•.几=2,3；

(3)•••任意两个奇数的和为偶数，任意两个偶数的和为偶数，

••・握过偶数次手的〃人的握手次数之和一定为偶数，即：4+打+…+”一定为偶数，

又••・握过奇数次手的人必有偶数个，

，加为偶数，

a

.•.%+日-...+m必为偶数，

S=a{+a2H-----1-am+bx+b2H-----n6,必为偶数.

故答案为：偶.

25.⑴①见解析②7

(2)存在，AN*

【分析】(1)①连接。£，根据菱形的性质，得到=圆周角定理，得到

/COE=/BOC,根据弧，弦，角之间的关系即可得出结论；②设交于点尸，勾股

答案第12页，共15页

定理求出NC的长，证明ACE8sAeR4,求出CF,3尸的长，证明“后小性火力，列出比

例式进行求解即可；

（2）过点M作MV〃OC,交AB于点、N,根据等边对等角，平行线的性质，推出

BNMNMN

ON=MN,证