等比数列及其前n项和（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第26讲等比数列及其前n项和

（9类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

考题示例考点分析

2024年天津卷，第19题,15由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等

分比数列前n项和裂项相消法求前n项和

2023年天津卷，第19题,15等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差

分数列前n项和写出等比数列的通项公式

2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项

2022年天津卷，第18题,15等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位

分相减法求和分组（并项）法求和

2021年天津卷，第19题,15等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和

分数列不等式恒成立问题

2020年天津卷，第19题,15等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公

分式的基本量计算分组（并项）法求和

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分

【备考策略】L理解、掌握等比数列的概念

2.能掌握等比数的通项公式与前n项和公式

3.具备类比的思想，会借助函数的图像与特征求解数列的最值与单调性问题

4.会解等比数的通项公式与前n项和问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列的递推关系式，求解数列的通项公式与前

n项和公式。

CL考点梳理・

考点一、等比数列基本量的计算

1.定义

r知识点一.等比数列有关的概念

2.等比中项｛考点二、等比数列的判断与证明

知识点二.等比数列的通项公式及前n项和公考点三、等比数列项的性质

式考点四、等比数列前n项和的性质

等比数列及其前n项和J考点五、奇偶项求和问题

知识点三.等比数列的常用性质考点六、等比数列实际应用

考点七、等比数列综合应用

知识点四.等比数列前n项和的常用性质考点八、集合中元素的特性

知识点五.等比数列的常用结论考点九、等比数列的单调性与最值

知识讲解

知识点一.等比数列有关的概念

1.定义：如果一个数列从第1项起，每一项与它的前一项的比都等于同二仝常数，那么这个数列叫做等比数

列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母式行。)表示.

2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与6的等比中项，

此时，G^=ab.

知识点二.等比数列的通项公式及前"项和公式

1.若等比数列｛斯｝的首项为的，公比为q,则其通项公式为

nm

2.等比数列通项公式的推广：an^amq-.

，nalt(Q=1)

3.等比数列的前"项和公式：%=al-anQz,-1\

(不一二下小丰1)

4.①等比数列的前〃项和公式有两种形式，在求等比数列的前“项和时，首先要判断公比q是否为1,再由q的

情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q丰1两种情况讨论求解.

②已知a1,q(q41),打(项数)，则利用Sn=陪虫求解；已知的,即,q(q41),则利用Sn=四产求解.

1—Q1—Q

③Sn=华芦=言口”+言=kq"一k(k片Q,qH1),Sn为关于砂的指数型函数，且系数与常数互为相反

数.

知识点三.等比数列的常用性质

1.等比中项的推广.

若m+7i=p+q时，则九=,勾，特别地，当租+ri=2pm+〃=2〃时，aman=a^.

2.4女，dk+rn，四+2刈，…仍是等比数列，公比为贮(％,ZW^N*).

3.若数列｛斯｝，｛为｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛6斯｝,1斯•办｝｛片｝也是等比数列(6,p,疗0).

4.若仁i或｛o?i则等比数列｛如｝递增.

若｛o裳;或心;:则等比数列仅"｝递减.

知识点四.等比数列前〃项和的常用性质

若等比数列｛四｝的公比分一1,前“项和为S”则S”S2nSn，瓯二题L仍成等比数列，其公比为

知识点五.等比数列的常用结论

1.等比数列｛斯｝的通项公式可以写成斯=修"，这里存0,#0.

2.等比数列｛斯｝的前〃项和S”可以写成&=阳"一4(A/),"1,0).

3.设数列｛斯｝是等比数列，S,是其前〃项和.

n=m

(1)5祖+〃=5八+qSmSm-\-qSn.

(2)若,…,斯=G，则乙，等，善■，…成等比数列.

1Nn

(3)若数列｛斯｝的项数为2"，则兽=q；若项数为2〃+1,则铲=%

b奇、偶

考点一、等比数列基本量的计算

典例引领

1.(2020•全国•高考真题)记Sn为等比数列｛an｝的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则记二()

A.2n-lB.2-21-nC.2-2n-lD.21-n-l

2.(2019•全国•高考真题)已知各项均为正数的等比数列｛%J的前4项和为15,且劭=3a3+4ai，则的=

A.16B.8C.4D.2

即时啊

1.(2024.全国.高考真题)己知等比数列｛即｝的前几项和为无,且2Sn=3厮+1-3.

(1)求｛a九｝的通项公式；

(2)求数列｛SJ的前n项和.

2.(2024・浙江•模拟预测)公比为q的等比数列｛a九｝满足/i>0,a4=2a3+3a2，贝叼=()

A.-1B.1C.3D.9

3.(24-25高三上•宁夏银川・开学考试)若｛&J为等比数列，a5+a8=-3,a4a9=-18,则q3=.

考点二、等比数列的判断与证明

典例引领

L(2022•全国•高考真题)记治为数列｛即｝的前n项和.已知§+n=2厮+1.

(1)证明：｛an｝是等差数列；

(2)若明,。7，。9成等比数列，求％的最小值.

2.(2022.全国.高考真题)已知｛册｝为等差数列，也九｝是公比为2的等比数列，且g-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)证明:=瓦；

(2)求集合｛々IM=am+alfl<m<500｝中元素个数.

♦♦即时检测

1.(21-22高三上•云南昆明•阶段练习)设数列｛心｝的前n项和为治,若52=4,an+1=2Sn+1(neN*).

⑴证明：数列5+分是等比数列；

(2)求数列｛册｝的通项公式.

2.(21-22高三上•陕西渭南•期中)已知数列｛&J的前n项和为工,%=1,an>0,=a^+1-ASn+1,其

中2为常数.

⑴证明：Sn+1=2Sn+2；

(2)若数列｛an｝为等比数列，求2的值.

3.(2021•全国•模拟预测)已知各项都为正数的数列｛an｝满足an+2=2an+l+3an.

⑴证明:数列｛an+an+1｝为等比数列;

(2)若al=5a2=|,求｛an｝的通项公式.

4.(20-21高三下•江苏南京•开学考试)某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步

上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为右每步上两个台阶的概率为|,为了简

便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记

甲登上第n个台阶的概率为分，其中neN*,且nW998.

(1)若甲走3步时所得分数为X,求X的概率分布；

(2)证明：数列｛Pn+i-匕｝是等比数列；

(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

考点三、等比数列项的性质

典例引领

1.(2025・安徽•模拟预测)在等比数列｛的J中，若a2a3al3=8,则a4a8=()•

A.2B.2A/2C.4D.8

2.（2024・贵州贵阳•二模）记等比数列｛。九｝的前几项和为右,为a2a3=27,的=81,则S5=（）

A.121B.63C.40D.31

1.（2024・广西南宁•三模）已知｛an｝是等比数列，a3=2,a7=18,则=（）

A.10B.-10C.6D.-6

2.（2024•山东淄博・二模）已知等比数列｛aja2=4,QIO=16,则与=（）

A.8B.±8C.10D.±10

a

3.（2024•陕西西安・三模）已知5n是等比数列的前n项和，at+a4+a7=2,a2+a5+8=4,则S9=

（）

A.12B.14C.16D.18

4.（2024・山东济南•模拟预测）已知等比数列｛&J中所有项均为正数，若〜即=退（科71€*），则'+:的

最小值为（）

357

A.-B.-C.-D

246-1

考点四、等比数列前n项和的性质

典例引领

+

1.（2020・全国•高考真题）数列中，的=2,对任意mfnEN,am+n=aman,若以+i+以+2+…+

以+io—215—25,贝!Jk=（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2017・全国•高考真题）记Sn为等比数列｛际｝的前n项和，已知S2=2,S3=-6.

（1）求的通项公式;

（2）求Sn,并判断Sn+LSn,Sn+2是否成等差数列.

1.（2024.江苏•三模）设等比数列｛&J的前几项和为Sn,a5+a6=16,S6=21,则S2=（）

A.1B.4C.8D.25

2.（2024•西藏林芝•模拟预测）等比数列｛an｝的前n项和%=乎一1+3贝亚=（）

A.-LB.-1C.|D.|

3.（2024.山西晋中.模拟预测）设等比数列｛时｝的前几项和为分,若%=>3九-1—1,则”（）

A.-3B.3C.1D.-1

4.（2024・湖北襄阳•模拟预测）已知等比数列｛即｝的前几项和为%,若Sg+S24=140,且S24=13s8,贝伊第=

（）

A.40B.-30C.30D.-30或40

考点五、奇偶项求和问题

典例引领

1.（20-21高三上•陕西宝鸡•阶段练习）已知等比数列中，的=1,a[+的+—H。21+1=85,的++

—I-a2k=42,则々=（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2020.安徽.模拟预测）已知项数为奇数的等比数列｛&J的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,

则这个等比数列的项数为（）

A.5B.7C.9D.11

即时检测

5■1---9=

1.（21-22高三上•山东聊城•期末）已知等比数列｛&J的公比q=且%+%+。H的90,则的+a2+

的"I-----H%.00=-

n

2.（2020・全国•一模）已知数列｛册｝中，的=1,anan+1=2,则的前200项和S?。。=L

-CL-n+Tl,九天/奇数,

3.（23-24高三上•福建厦门•阶段练习）设先是数列｛%J的前几项和，已知的=1,。九+1=卜n

an-2n,71为偶数.

（1）求。4，并证明：｛。2九-2｝是等比数列；

（2）求满足S2九＞0的所有正整数九

n，

4.（2024•山东青岛.模拟预测）已知数列｛厮｝的前项和为先,且满足的=l,an+1=[厮+为号数则

I2M,71为偶数

Sioo=----------

考点六、等比数列实际应用

典例引领

1.（2024•北京・高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次

为65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

2.（2024.陕西西安.模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为0.5%,20年还清，约定采用等额本息按

月还款（即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金），则每月大约需还款（）（参考数据：

1.OO5240«3.310

A.7265元B.7165元C.7365元D.7285元

即时性测

1.（2024•天津红桥•二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为1.75%,以后按约定

自动转存，那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为（）

A.10000X1.01756B.10000x1.01757

C10000（l-1.75%6）D10000（1-1.75%7）

,1-1.75%,1-1.75%

2.（2024•河南洛阳•模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追

溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺.其

以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、亥h画手法为辅助手段，创作

出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品.随着一代代折纸艺人的传承和

发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如

生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，

内涵博大精深，世代传承.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折

后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（）

A.—B.-C.—D.-

8844

3.（2024高三下•全国・专题练习）在等腰直角三角形ABC中，B=鼻,AB=a,以AB为斜边作等腰直角三

角形4B1B,再以4名为斜边作等腰直角三角形482%,依次类推，记△ABC的面积为S1，依次所得三角形的

面积分别为52,S3……若S1+S2+…+S8=等，则a=（）

A.2B.2V2C.3D.4

4.（23-24高三下.山东济南.开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为a（a>0）,乙植物生长了一天，长度

为16a.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的弓倍，乙每天的生长速度是前一天的|,则甲的长度第一次

超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取lg2=0.3,lg3=0.48）

A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天

考点七、等比数列综合应用

典例引领

1.（2024•山西太原•二模）已知｛an｝，也｝分别是等差数列和等比数列，其前n项和分别是S“和加且的=&=1,

+⑦=4,&=3,则S3=（）

A.9B.9或18C.13D.13或37

2.(2024.湖北.模拟预测)已知数列为等差数列，｛,｝为等比数列，a4=b4=3,贝!!()

A.brb7>ara7B.+b7>at+a7

C.brb7<ara7D.br+b7<+a7

1.(2024•陕西宝鸡•三模)已知数列｛厮｝是公差不为0的等差数列，G4=5,且%,。3，a7成等比数列.

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)设“=Gtncos詈，求数列｛%„｝的前2024项和.

2.(2024.全国.模拟预测)已知数列｛&J满足口即｝是等差数列，｛丹是等比数列.

(1)证明：的=口2；

(2)记的前几项和为Sn,若对于任意n6N*,Sne[1,6],求的的取值范围.

3.(2024・四川达州.二模)等差数列的前几项和为%,的=8,当n=4和5时,取得最大值.

⑴求工；

(2)若｛%｝为等比数列，b1=^,b2=-a6,求｛6n｝通项公式.

4.(2024.四川内江•三模)己知等差数列｛%J的公差为4,且。2+2,。3,。5-2成等比数列，数列也｝的前n

项和为Sn,瓦=2且％=2Sn_i+2(n>2).

(1)求数列｛an｝、｛,｝的通项公式；

(2)设S=anbn(neN*),求数列｛cn｝的前n项和兀

考点八、集合中元素的特性

典例引领

1.(2023・全国•模拟预测)已知正项等比数列｛a九｝中，ara2a3=8,a5a7=64,数列也｝满足既=log迎火

则使得不等式熹+高+熹+…+武二2霆成立的n的最小值为()

A.2023B.2024C.2025D.2026

aa

2.(2024・陕西商洛•模拟预测)已知正项等比数列｛an｝中，的=4,a3=1,则满足的的+a2a3T--卜nn+i2

§成立的最大正整数兀的值为.

即时性测

1.(24-25高三上•云南•阶段练习)已知在数列｛a九｝中，的=2,且对任意的m,nGN+,都有为n+九=aman,

*23n

设/（%）=arx+a2x+a3x4------卜anx,记函数f（%）在%=1处的导数为尸（1）,贝!J使得（⑴>2025成立

的n的最小值为—.

2.（2024.河北.一模）已知等差数列的公差与等比数列｛b九｝的公比相等，且瓦一的=1,b2-a2=l,

%一。4=1，贝昉九=；若数列｛。九｝和｛g｝的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列&｝,

数列｛5｝的前n项和为目,则使得旦>12成立的ri的最小值为.

cn+l

3.（2024高三•江苏•专题练习）己知正项数列满足的=1；且对任意的正整数也都有%=!（2成+an-1）

成立，其中立是数列｛%J的前n项和，t为常数.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若4=会证明：数列｛cn｝的前n项和7；<|.

4.（2024.全国•模拟预测）已知数列的首项的=1,且满足外计1+an=3n+l.

（1）证明｛an—|几+；｝是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数使得对任意的正整数J1,即1+an=Gtjn+n总成立？若存在，求出zn的值；若不存在，

请说明理由.

考点九、等比数列的单调性与最值

.典例引领

1.（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）已知｛%J,｛加｝为公比相同的递减等比数列，且=4,%=3,则as>b5

的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

4334

2.（23-24高三下•湖北.开学考试）已知数列｛斯｝是等比数列，则“存在正整数鼠对于VteN*,4>利+左恒

成立”是：“｛即｝为递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

1.（2024高三.全国.专题练习）在等比数列中，公比为q,已知的=1,则0<。2九<吗是数列｛即｝单调

递减的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.（23-24高三下•山东•开学考试）已知数列｛即｝是以内为首项,q为公比的等比数列，则“%（1-q）>0”是“｛即｝

是单调递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（23-24高三下•北京•开学考试）在无穷项等比数列｛即｝中，Sn为其前n项的和，贝上｛an｝既有最大值，又

有最小值”是“｛S"既有最大值，又有最小值”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4.（2024•四川绵阳•模拟预测）己知等比数列的前71项和为%,若Sn=-15XG）n+t,则由。2…厮取最

大值时，71的值为.

IN.好题冲关

基础过关

1.（23-24高三上•天津•期末）已知等比数列｛an｝的前n项和是Sn,且%=2,a3=6a2-18,则=（）

A.30B.80C.240D.242

2.（23-24高三上.天津和平.阶段练习）在等比数列中，3%,引3,2。2成等差数列，则小2=（）

2Qy-FClg

1I

A.3B.-C.9D.-

39

3.（23-24高三上•天津和平•阶段练习）已知等比数列｛an｝的前3项和为168,a?-a5=42,则CI4=（）

A.14B.12C.6D.3

4.（23-24高三上•天津南开•阶段练习）设数列｛厮｝的公比为q,贝广的>0且0<q<1”是气即｝是递减数歹U”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（23-24高三上•天津和平•期中）｛an｝为等比数列，Sn为数列｛&J的前n项和，an+1=2Sn+2,则

6.（23-24高三上•河南•阶段练习）已知等比数列｛a,J的前n项和为%.若S2为S3和S4的等差中项,a2+。3=2,

则Ss=—.

能力提升

1.（2023・天津和平•三模）已知数列｛%J满足的=1,an+1=2an+l（nGW*）,S兀是数列的前几项和，

则59=（）

A.29-10B.29-11C.210-10D.210-11

2.（23-24高三下•天津•阶段练习）已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为%,=1,lgan+lgan+1=

馆22心1,n6N*,则S9=（）

A.511B.61C.41D.9

3.（23-24高三下.天津.阶段练习）对于数列｛ajn€N*,"a—i=2a『是"数列｛册｝是等比数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•天津河西•模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，

每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.如果第一次由甲

将球传出，设n次传球后球在甲手中的概率为七，则03=；4=—.

5.（23-24高三下.天津.阶段练习）已知｛即｝为等差数列，前n项和为&SeN*）,｛%｝是首