分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2025高考数学一轮复习

第十章

DIS川ZHANG计数原理、概芟J随机变量及其州J

第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考试要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能解决简单

的实际问题.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同的方法，在第2类方案

中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+”种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有机种不同的方法，做第2步有冏种不同的

方法，那么完成这件事共有N=mXv种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问

题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法

计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成

了才算完成这件事.

［常用结论］

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始

终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，

分步完成”.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

⑴在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()

答案(1)X(2)V(3)V

解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成

这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一

步，不能完成这件事，所以(1)不正确.

2.(选修三P5T1改编)(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法

完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选

法的种数是

(2)从A村去3村的道路有3条，从5村去C村的道路有2条，则从A村经5村

去C村，不同路线的条数是.

答案(1)9(2)6

解析(1)不同的选法共有5+4=9种方法.

(2)从A村去3村有3种走法，由3村去。村有2种走法，根据乘法原理可得2X3

=6(种).

3.如图所示，在A,5间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路，则

电路不通.今发现A,3之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有种.

答案13

解析电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的情况

却只有3种，即2或3脱落或全不脱落，每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，

故共有24—3=13(种)情况.

4.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有种.

答案125

解析因为第1、第2、第3个班各有5种选法，由分步乘法计数原理，可得不同

的选法有5X5X5=125(种).

考点突破•题型剖析

考点一分类加法计数原理的应用

例1(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.

一天一人从甲地去乙地，共有种不同的方法.

答案12

解析分三类：一类是乘汽车有8种方法；

一类是乘火车有2种方法；

一类是乘飞机有2种方法，

由分类加法计数原理知共有8+2+2=12(种)方法.

(2)满足a,0,1,2],且关于x的方程af+2x+人=0有实数解的有序

数对(a,0)的个数为.

答案13

解析当a=0时，6的值可以是一1,0,1,2,故(a,与的个数为4；

当aWO时，要使方程ar+Zx+b：。有实数解，需使/=4-4">0,即仍W1.

若a=—1,则人的值可以是一1,0,1,2,(a,0)的个数为4；

若a=l,则。的值可以是一1,0,1,(a,与的个数为3；

若a=2,则6的值可以是一1,0,(a,份的个数为2.

由分类加法计数原理可知(a,。)的个数为

4+4+3+2=13.

感悟提升分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键

词、关键元素和关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不

同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.

⑶分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.

训练1(1)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方

案有()

A.3种B.6种

C.7种D.9种

答案C

解析买一本，有3种方案；

买两本，有3种方案；

买三本，有1种方案，

因此共有方案3+3+1=7(种).

(2)集合/={x,1},Q={y,1,2},其中x,ye{l,2,3,…，9},且PUQ.把

满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是

()

A.9B.14

C.15D.21

答案B

解析当x=2时，xWy,点的个数为1X7=7.

当x丰2时，由PGQ,.,.x=y.

...X可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.

因此满足条件的点共有7+7=14(个).

考点二分步乘法计数原理的应用

例2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报

名方法(六名同学不一定都能参加)？

(1)每人只参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

⑶每项限报一人，但每人参加的项目不限.

解(1)每人都可以从三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36=729(种).

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，

因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项

目只有4种选法，

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6X5X4=120(种).

(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛，

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63=216(种).

感悟提升1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即

分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的,

只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，

逐步完成.

训练2（1）某机场T3航站楼有7个入口，2个接机口（出口），则某人进出机场的方

案数为（）

A.4B.9

C.14D.49

答案C

解析方案种数为7X2=14.

（2）已知集合"={1,-2,3},N={-4,5,6,—7},从N这两个集合中各

选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示

第一、第二象限内不同的点的个数是（）

A.12B.8

C.6D.4

答案C

解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2

种情况，

因此第一、二象限内不同点的个数是3X2=6.

考点三两个计数原理的综合应用

角度1与数字有关的问题

例3用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成个无重复数字的四位

偶数（用数字作答）.

答案420

解析要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不

能为0,个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分

类，再分步.

第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,2,

4,6中的任意一个，再依次取百位、十位数字.

共有3X4X5X4=240（种）取法.

第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除

首位数字的任意一个偶数数字，再依次取百位、十位数字.

共有3X3X5X4=180（种）取法，

共可以组成240+180=420（个）无重复数字的四位偶数.

角度2与几何有关的问题

例4如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面

组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平

行线面组”的个数是（）

A.60B.48

C.36D.24

答案B

解析一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个“平

行线面组”，一共有6个面，共有6X6=36（个）.

长方体的每个对角面有2个“平行线面组”，共有6个对角面，一共有6X2=

12（个）.

根据分类加法计数原理知共有36+12=48（个）.

角度3涂色问题

例5如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种

颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）

A.24种B.48种

C.72种D.96种

答案C

解析分两种情况：

①4c不同色，先涂A有4种，。有3种，E有2种，3,。有1种，有4X3X2X1

=24（#）；

②A,C同色，先涂A,C有4种，再涂E有3种，3,。各有2种，有4X3X2X2

=48（种）.

故不同的涂色方法有48+24=72（种）.

感悟提升1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：（1）一般是先分类再分步.

在分步时可能又用到分类加法计数原理.（2）对于较复杂的两个原理综合应用的问

题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.

2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.

训练3（1）（2023•杭州调研）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位

数的个数为（）

A.243B.252

C.261D.279

答案B

解析0,1,2,9共能组成9X10X10=900（个）三位数，

其中无重复数字的三位数有9X9X8=648（个），

故有重复数字的三位数有900—648=252（个）.

⑵现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公

共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是（）

A.120B.140

C.240D.260

答案D

解析由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂3处4种涂法，第三步涂C,若C

与A同色，则。有4种涂法，若C与A不同色，则。有3种涂法，由此得不同

的着色方案有5X4X（1X4+3X3）=26O（种）.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

L每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12

班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（）

A.22种B.33种

C.300种D.3600种

答案B

解析从甲地到乙地不同的方案数为5+10+6+12=33.

2.（2023•衡阳质检）将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张,

不同的分法种数为（）

A.720B.240

C.120D.60

答案A

解析可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票

有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数原

理得，共有10X9X8=720种不同分法.

3.如图，小明从街道的E处出发，先到R处与小红会合，再一起到位于G处的老

年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

1^1

III

♦bLm口

A.24B.18

C.12D.9

答案B

解析分两步，第一步，从E-凡有6条可以选择的最短路径；第二步，从R-G,

有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6X3=18条可以选择的

最短路径.

4.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的

不同取法的种数为（）

A.30B.20

C.10D.6

答案D

解析从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为

两类：

第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2,0和4,2和4,共3种不同的取法;

第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3,1和5,3和5,共3种不同的取法.

由分类加法计数原理得，共有3+3=6种不同的取法.

5.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，

这样的等比数列的个数为（）

A.3B.4

C.6D.8

答案D

解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；

以2为首项的等比数列为2,4,8；

以4为首项的等比数列为4,6,9；

把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，

...所求的数列共有2（2+1+1）=8（个）.

6.如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设

计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座

桥连接，则设计方案的种数最多是（）

A.8B.12

C.16D.24

答案B

解析四个人工小岛分别记为A,B,C,D,对A分有一座桥相连和两座桥相连

两种情况，用“一”表示桥.

①当A只有一座桥相连时，有A—B—C—D,A—B—D—C,A—C—B—D,

A—C—D—B,A—D—B—C,A—D—C—B,共6种方法；

②当A有两座桥相连时，有C—A—B—D,D—A—B—C,D—A—C—B,

B—A—C—D,B—A—D—C,C—A—D—B,共6种方法.故设计方案最多有6+6

=12（种）.

7.如图所示，积木拼盘由A,B,C,D,E五块积木组成，若每块积木都要涂一种

颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与3为相邻区

域，A与。为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的

种数是（）

A.780B.840

C.900D.960

答案D

解析先涂A,则A有5种涂法，再涂3,因为3与A相邻，所以3的颜色只要

与A不同即可，有4种涂法，同理C有3种涂法，。有4种涂法，E有4种涂法,

由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为5X4X3X4X4=960.

8.将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4X4小方格内，每格内只填入一

个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有（）

A.288种B.144种

C.576种D.96种

答案C

解析第一步，先从16个格子中任选一格放一个汉字有16种方法，

第二步，任意的两个汉字既不同行也不同列，剩下的只有9个格子可以放，有9

种方法，

第三步，第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，

由分步乘法计数原理知共有16X9X4=576（种）.

9.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a,6组成复数a+历，

其中虚数的个数是.

答案36

解析因为a+历为虚数，所以6W0,即》有6种取法，。有6种取法，由分步

乘法计数原理知可以组成6X6=36个虚数.

10.乘积（ai+。2+a3）（b\+历+加+Z?4）（C1+C2+C3+C4+C5）展开后的项数为

答案60

解析从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4

种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知

共有N=3X4X5=60（项）.

H.4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片

排放在一起，可组成个不同的三位数.

答案168

解析要组成三位数，根据百位、十位、个位应分三步：

第一步：百位可放8—1=7个数；

第二步：十位可放6个数；

第三步：个位可放4个数.

故由分步乘法计数原理，得共可组成7X6X4=168（个）不同的三位数.

12.如图，在一个正六边形的六个区域中涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻

的两个区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的

涂色方案有种.

答案4100

解析若A,C,E三个区域用1种颜色，则有5X43=320种涂色方案；

若A,C,E三个区域用2种颜色，则有（5X4X3）X（4X3X3）=2160种涂色方案;

若A,C,E三个区域用3种颜色，则有5X4X3X33=1620种涂色方案.

所以共有320+2160+1620=4100种涂色方案.

【B级能力提升】

13.（多选）现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9

人、10人，则下列说法正确的是（）

A.选1人为负责人的选法种数为34

B.每组选1名组长的选法种数为5400

C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420

D.若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人

选，则不同的选法有37种

答案AD

解析对于A,4个数学课外兴趣小组共有7+8+9+10=34（人），故选1人为负

责人的选法共有34种，A正确；

对于B,分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名

组长，所以不同的选法共有7X8X9X10=5040（种），B错误；

对于C,分六类：从第一、二组中各选1人，有7X8种不同的选法;

从第一、三组中各选1人,有7X9种不同的选法；

从第一、四组中各选1人,有7X10种不同的选法;

从第二、三组中各选1人,有8X9种不同的选法；

从第二、四组中各选1人,有8X10种不同的选法;

从第三、四组中各选1人,有9X10种不同的选法.

所以不同的选法共有7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（种），C错

误；

对于D,若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43=64（种）选法，其中

第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33=27（种）选法，所以不同的选法

有64—27=37（种），D正确.

14.如图，将钢琴上的12个键依次记为ai,G,…，.2.设.若k-j

=3且尸，=4,则称q，勾，以为原位大三和弦；若左一/=4且尸，=3,则称如

勾，以为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个

数之和为（）

A.5B.8

C.10D.15

答案C

解析满足条件1WK/V左W12,左一j=3且j—，=4