导数与不等式问题（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第15讲导数与不等式问题

（5类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第20题,16利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲

分线上一点处的切线方程（斜率）函数的最值（含参）

2023年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数证明不等式利用导数研究

分不等式恒成立问题

2022年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数研究不等式恒成立问题利

分用导数研究函数的零

2021年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

分利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析

2020年天津卷，第20题,16

利用导数证明不等式

分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分

【备考策略】L理解、掌握导数与不等式的关系

2.能掌握不等式的恒成立与有解问题

3.具备数形结合的思想意识，会借助图像解决不等式问题

4.会证明不等式问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数，证明不等式成立，以及求解不等式恒成

立及有解问题。

「立•考点梳理，

知识讲解

知识点一.不等式

1.恒成立问题的转化：a>/(%)恒成立=>a>/(x)max;a</(%)恒成立a<f(x)min

2.能成立问题的转化：。>/(%)能成立=>a>f(x)min;;a</(%)能成立=>a</QOmax

3.恰成立问题的转化：。>/(乃在M上恰成立o。>/(汽)的解集为“

另一转化方法:若％££>,/(%)N4在D上恰成立,等价于/(久)在D上的最小值f(x)疝n=4若Xe0，/(x)<

B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值/(;0m陋=B.

4.设函数/(%)、g(x),对任意的久ie[a,b],存在不e[c,d],使得/■(久力2。(右)，则/(久)血讥2g(x)m讥

5.设函数/(X)、g(x),对任意的e[a,b],存在比26[c,d],使得/(修)Wg(>2)，贝!1/(%)maxW9(乂)max

6.设函数/(X)、g(x),存在“1e[a,句,存在小e[c,d],使得/(5)2或句)，则/'(x)max2g(X)m讥

1

7.设函数/■(%)、g(x),存在xie[a,b],存在久2e[c,d],使得/(xj<g(x2),贝Jf(乃加皿W9(久)max

8.设函数/(%)、g(x),对任意的C[a,b],存在久26[c,d],使得fOi)=g(久2)，设/(久)在区间[。，6]上

的值域为A,g(x)在区间[c,可上的值域为8,则AuB.

9.若不等式/(久)>gO)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y=f(x)和图象在函数y=g(x)图

象上方.

10.若不等式/(%)<g。)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y=和图象在函数y=g。)图

象下方.

知识点二.恒成立问题的基本类型

在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.

函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义

域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等…

恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想

方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也

成为历年高考的一个热点.

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的

图象.

考点一、导数与不等式解集问题

典例引领

I________________________

1.(24-25高三・上海•随堂练习)若函数y=f(x),其中f(x)=%2-2%-41nx,则产(久)>0的解集为().

A.(0,+8)B.(—1,0)U(2,+8)

C.(2,+oo)D.(-1,0)

2.(2024•山东潍坊•三模)已知函数/(久)的导函数为尸0),且f(l)=e,当x>0时，f'M<^+ex,则不等

式留9>i的解集为()

ex

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(1,+oo)D.(0,1)U(1,+oo)

即时检测

1.(2024.宁夏银川.三模)已知定义在R上的奇函数/(%)的图象是一条连续不断的曲线，尸(%)是/(%)的导函

数，当%>0时,3/(x)+x尸(久)>0,且f(2)=2,则不等式(久+l)3f(%+1)>16的解集为()

A.(1,+8)B.(—co,—2)U(2,+co)

C.(—co,1)D.(一8,—3)U(1,+8)

2.(2024•江西南昌三模)已知函数/(%)的定义域为R,M/(2)=-1,对任意x€R,f(x)+xf'(x)<0,则

不等式(x+1)/(%+1)>一2的解集是()

A.(―oo,1)B.(—8,2)C.(1,+oo)D.(2,+8)

3.(23-24高三下•北京•阶段练习)已知定义在R上的函数/(x)满足/(2+x)=/(—%),且当x>1时,有支广(x)+

f(x)>f(x),若/(2)=1,则不等式f(x)〈二的解集是.

4.(23-24高三下•上海•阶段练习)已知函数“X)是定义在R上的偶函数，其导函数为尸Q),且当x<0时，

2f(x)+xf(x)<0,则不等式(久-2023)2/(%-2023)一汽-1)>0的解集为_______.

5.(2024.四川成都.模拟预测)已知定义在(0,+8)上的函数y=f0)的导函数为y=尸(%)，当x>0时，

xf(x)+f(x)<0,且/(2)=3,则不等式/O—1)>m的解集为.

考点二、单变量不等式的证明

典例引领

1.(2023•陕西榆林•二模)已知函数f(%)=In%+|%2(。ER).

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)当a=2时，证明：/(x)<%2+x—1.

2.(2024•陕西榆林•三模)已知函数/(%)=minx—%+1.

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)当血=1时，证明：/(%)<ex-3x+1.

即0唧(

1.(2024高三・全国•专题练习)设函数/(%)=(%+a)\nx+b,曲线y=/(%)在点处的切线为X+y-

2=0.

(1)求y=/(%)的解析式；

(2)证明:/(%)>0.

2.(2024•河北保定•三模)已知函数/(%)=/一+inx,x=1为/(%)的极值点.

(1)求a；

(2)证明：/(%)<2x2—4x.

考点三、双变量不等式的证明

典例引领

1.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=|x—1|+|用+2|x+l|.

(1)求不等式f(x)<4的解集；

(2)若/(%)的最小值为zu,正实数a,b满足1+1=证明：小+b2+5之忠+3出).

2.(2024•贵州黔东南•二模)已知函数/(%)=In%—要孑在久=1处的切线为无轴.

(1)求实数。的值；

x-x<%1+%2

(2)若%1>外>0，证明:12

In%!—lnx22

即时检测

1.(2024.山东荷泽•模拟预测)已知函数/'(%)=txlnx—x2+1(0<t<2).

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若a>6>0,证明:In昌<悬・

2.(2024•陕西榆林•一模)已知函数/(%)=%—7.

⑴求/(%)的极值；

(2)已知aGfo,-Ym/Csina)+n/(coscr)=tan-,证明：m+n>-.

\2/62

考点四、不等式恒成立问题

典例引领

1.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/(%)满足/(%)=e%-久2+2%,若关于%的不等式/(%)>(2-a)%+1

在(0,+8)上恒成立，实数a的取值范围为-

2.(24-25高三上•浙江金华•开学考试)已知函数f(%)=In%—ax+a.

⑴讨论函数/(久)的单调性；

(2)当%>1时，不等式/(%)<ex-1-1恒成立，求实数a的取值范围.

♦♦即时检测

1.(2024•黑龙江大庆•三模)已知a,bWR,函数f(%)=a——2%一41n%+b,且((1)=—4.

⑴求/(%)的单调区间；

(2)若/(%)>0恒成立，求b的取值范围.

2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数f(%)=xlnx,g(%)=—%2—ax—4(a6R).若对任意XG(0,+oo),

不等式/(%)>恒成立，求a的取值范围.

3.(2024•陕西西安•三模)已知函数/(%)=(»+l)e%.

(1)当a=1时，求曲线y=/(%)在点(O,f(0))处的切线方程；

(2)若当％20时，/(%)21恒成立，求a的取值范围.

4.(23-24高三上•江苏南通•阶段练习)已知函数/(%)=%-In%+2«+Ina.

(1)当a=l时，求函数y=/(%)的单调区间；

(2)若f(%)>2y]x-x+1恒成立，求实数a的取值范围.

考点五、不等式有解问题

典例引领

1.(2023高三•全国•专题练习)若关于x的方程5炉=15%-租在[-1,2]上有解，则实数m的取值范围是()

A.[-10,10]B.[-10,+oo)C.(-oo,-10]D.[10,+oo)

2.(2024•西藏拉萨•二模)已知函数/(久)=xex+ax2+1.

(1)当a=0时，求函数/(%)的最值；

(2)若方程/(%)=ex+1在久G[1,3]上有解，求实数a的取值范围.

即时检测

I________L__________

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数f(%)=e%—/+a，xER,</?(%)=/(x)+x2—x.

(1)若9(%)的最小值为0,求a的值；

(2)当aV0.25时，证明：方程/(%)=2%在(0,+8)上有解.

2.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=x2—2alnx—2(aER).

⑴讨论f(%)的单调性；

3.(23-24高三上•山西吕梁•阶段练习)已知函数/(%)=e%—%2一1.

(1)求/(%)在％=1处的切线方程；

(2)若/(%)<a%在第G(0,+8)上有解，求实数a的取值范围.

4.(2024高三•全国・专题练习)已知函数/(%)=QX—X.

⑴求函数/(%)的极值；

(2)若对任意x>0,/(久)>jax2+1有解，求a的取值范围.

好题冲关・

基础过关

1.(2022•福建南平三模)对任意的％i，%26(1,3],当％i<%2时，/-冷-包>0恒成立，则实数a的取

3%2

值范围是()

A.[3,+oo)B.(3,4-00)C.[9,4-oo)D.(9,+oo)

2.(2024・四川成都•二模)在区间[-4,刀上随机取一个实数x,使xWsinx恒成立的概率是()

2113

A.-B.-C.-D.-

3234

3.(2022.重庆沙坪坝.模拟预测)若关于x的方程1=。%2。>0)有解，则实数a的取值范围为.

4.(2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数/(%)=ln(mx)—x(m>0).

(1)若f(%)40恒成立，求血的取值范围；

(2)若f(%)有两个不同的零点%1，%2，证明％1+%2>2.

5.(2024•湖北武汉・模拟预测)已知/(%)=-尸(1)/+%+21nx.

⑴求广⑴并写出/(%)的表达式；

(2)证明：/(%)<x-1.

6.(2023•吉林长春•模拟预测)已知函数/'(%)=|(x2-1)-In%.

(1)求/(%)的最小值；

(2)证明：呜>2

7.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(%)=ex-1—ax+lnx(aeR),若不等式f(%)>In%—a+1对一

切久E[1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

能力提升

1.(23-24高三上.陕西咸阳•阶段练习)已知函数/(£)=/+cosx—1,若不等式/(ax+2)</(/+6)对

任意％eR恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(—4,4)B.(—8,4)U(4,+8)

C.(-4V2,4V2)D.(-8,4鱼)U(4应,+oo)

2.(2024.宁夏银川.模拟预测)已知QGN*,函数f(%)=e3%—久。>0恒成立，则a的最大值为()

A.2B.3C.6D.7

3.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数/(%)=Inx+a%+l,aC知

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)当aW2时，证明：e2%.

X

4.(2024高三.全国.专题练习)设函数/(%)=aln%+g,曲线y=/(%)在点(1厅(1))处的切线方程为％+y-

3=0.

(1)求见5；

(2)证明:/(%)>e~x.

5.(2024・广西•模拟预测)设函数/(%)=—dlnx+e2x,a>0.

(1)当a=e时，求函数/(%)的单调区间；

(2)证明：/(%)—2a—aln2+alna>0.

6.(2024・四川内江•三模)已知函数/(%)=In%+a(：—1),a>0.

(1)若f(%)>0恒成立，求a的取值集合；

(2)证明：—+—+•••+—<ln3(neN^.

7n+ln+23nvy

7.(2024•福建福州•三模)已知函数/'(x)=ax-ln(l-x)(aGR).

(1)求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)若/(x)>。恒成立，求a的值

真题感知

1.(2024.全国・高考真题)已知函数/(%)=a(%—1)-In%+1.

⑴求/(%)的单调区间；

(2)当a42时，证明：当久>1时，/(%)<恒成立.

2.(2023•全国•高考真题)已知函数/(%)=a(e%+a)—%.

⑴讨论f(%)的单调性;

(2)证明：当。>0时，f(x)>21na+

3.(2023・天津•高考真题)已知函数/O)=G+yinO+D.

(1)求曲线y=/(*)在x=2处的切线斜率；

(2)求证:当％〉0时，/(%)>1；

（3）证明：|Vln（m）—（九+1）lrm+九41.

4.（2023•全国•高考真题）（1）证明：当0<%Vl时，x—x2<sinx<x；

(2)已知函数/(%)=cosa%-ln(l-12),若久=0是/(%)的极大值点，求a的取值范围.

5.(2021•全国•高考真题)已知函数/(%)=%(1—In%).

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b,证明：2〈工+/<e