导数及其应用（选填题）-2020-2024年高考数学试题分类汇编（解析版）

4<03导敷女盛用（送蟆盘J

五年考情♦探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

2024全国甲卷I卷

考点1利用导2023II卷乙甲

2022甲卷I卷II卷乙卷

数求函数单调

2021甲卷I卷

性，极值最值2020I卷III卷

构造函数利用导数求函数单调性

从而进行比较大小，利用导数求函

数的极值点以及最值问题收高考

考点2构造函2023甲卷

必考题型

数利用导数求2022甲卷I卷II卷

单调性比较大2021乙卷II卷

小2020IIIIII卷

2021上海卷II卷

考点3导数综2022天津卷2023天津卷零点含参问题的讨论是导数综合

合应用2021I卷北京卷题型的重难点

分考点♦精准练工

考点01利用导数求函数单调性，极值最值

一、单选题

1.（2024•全国•高考甲卷）设函数=则曲线y=在点（0,1）处的切线与两坐标轴所围成

的三角形的面积为（）

【答案】A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其

面积.

(e*+2cosx)(1+x*2)-(e"+2sinx^-2x

【详解】1(司=

(e。+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

则:(。)==3,

(1+0)2

即该切线方程为y—l=3x,即y=3x+l,

令x=0,贝ijy=l,令y=0,贝！=

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=1xlx-：=3

236

故选：A.

2.(2023年全国新高考回卷)已知函数〃%)=斌-111天在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为().

2-12

A.eB.eC.eD.e-

【答案】C

【分析】根据((可=役，-520在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，:⑺=枇，—-20在(1,2)上恒成立，显然4>0,所以xe'N：,

设g(x)=xe：xe(L2),所以g[x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故即。Z」=eT,即。的最小值为

ae

故选：C.

3.(2023年全国高考乙卷数学(文)试题)函数/(%)=丁+分+2存在3个零点，贝心的取值范围是()

A.(-oo,-2)B.(-co,-3)C,(-4,-1)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】写出尸(x)=31+a,并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【详解】f(x)=x3+ax+2,则尸(无)=3尤2+a,

若广(X)要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则a<0,

令尸(尤)=3/+。=0,解得了=0或斤，

、

U旧M时，八元）＞0,

且当尤e

，r（无）＜。，

故的极大值为了,极小值为

>0+2>0

若f（x）要存在3个零点,则，，BP-，解得a＜-3,故选：B.

5+2<。

4.（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线y=/在点［1,e

处的切线方程为（）

eeeee3e

A.y=­xB.y=­xC.y=—x+—D.y=—x+—

424424

【答案】C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

营在点处的切线方程为=

【详解】设曲线y=

x%X

因为y=E,e(x+l)-eXQ

，所以y=——--

x+1X+l)2(X+1)2'

所以k=y'3=；所以丫一；=；"一1）所以曲线y=£在点Le处的切线方程为yj喈.故选：c

424x+1I

h

5.（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当％=1时，函数/（%）=Qlnx+2取得最大值—2,则八2）=（

x

1

A.-1B.——c-ID.1

2

【答案】B

【分析】根据题意可知/（1）=-2,尸（1）=0即可解得〃乃，再根据「（力即可解出.

【详解】因为函数“X）定义域为（0,+8）,所以依题可知，/（1）=-2,川）=0,而:（无），-与，所以

9?

b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以广（天卜-最+7，因此函数〃x）在（0,1）上递增，在（1,+向上递减,

x=l时取最大值，满足题意，即有了'（2）=-l+g=-g.故选：B.

6.（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设〃W0,若兀=。为函数"%）=〃（％-op（%-4的极大值点,

则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对"进行分

类讨论，画出/(K)图象，即可得到6所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=6,则=为单调函数，无极值点，不符合题意，故山b.

有x=a和尤=6两个不同零点，且在％左右附近是不变号，在x=6左右附近是变号的.依题意，

x=。为函数/(,v)=a(.v(x-h)的极大值点，，在x=。左右附近都是小于零的.

当.<0时，由人y(x)wo,画出〃尤)的图象如下图所示：

由图可知6<a,a<0,故ab〉".

当a>0时，由时，/(x)>0,画出的图象如下图所示:

由图可知人。，上>0,故而".

综上所述，次7>/成立.故选：D

7.(2021年全国新高考回卷)若过点(a,6)可以作曲线y=e、的两条切线，则()

A.e.b<aB.ea<b

C.0<a<e*D.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

结果；

解法二：画出曲线>=，的图象，根据直观即可判定点(“力)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线y=上任取一点尸对函数y=e*求导得y=e"

所以，曲线y=e，在点尸处的切线方程为y—e'=d(x-t),即y=e'x+(l—

由题意可知，点(4力)在直线y=e'x+(l—)e'上，可得b=ae'+(l-r)e',

令/⑺=(a+l-f)e'，则/'⑺=(a-)e'.

当/＜。时，/⑺＞0,此时函数/⑺单调递增，

当然。时，/(。＜0,此时函数，⑺单调递减，

所以，/(K=〃a)=e"，

由题意可知，直线y=b与曲线y=/。)的图象有两个交点，则1rax=",

当t＜“+l时，〃。＞0,当/＞。+1时，/(r)＜0,作出函数〃。的图象如下图所示:

由图可知，当0＜8＜e"时，直线＞=b与曲线y=/«)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e，的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,6)在曲线下方和x轴上方时才可以作

出两条切线.由此可知。〈匕＜e".

故选：D.

8.(2020年全国高考回卷)函数“刈=--2;?的图像在点(1,/⑴)处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【分析】求得函数y=的导数尸(x),计算出〃1)和广⑴的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简

即可.

【详解】••-/(X)=X4-2%3,.-.r(x)=4%3-6x2,=『'(1)=一2,

因此，所求切线的方程为y+l=-2(x-1),即y=-2尤+1.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

9.(2020年全国高考回卷)若直线/与曲线片&和乂2+必=!都相切，贝心的方程为()

A.y=2x+lB.y=2x+^-C.y=^x+lD.片

【答案】D

【详解】设直线/在曲线y=«上的切点为卜。,后)，则%>0,

,1

函数y=五的导数为>'=5%则直线/的斜率左=丁;=,

设直线/的方程为了一A=^^(彳_/),^x-2^y+xo=O,

cc1厮1

由于直线/与圆厂+y相切，则J1+4,二忑，

两边平方并整理得5x；-4x0-l=0,解得%=1,x0=-1(舍),

则直线/的方程为无一2、+1=。，即>=3》+(故选：D.

10.(2019年全国高考回卷)已知曲线丫=。1+尤111元在点(l,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()

A.a=e,b=—lB.a=e,b=1C.a=el,b=\D.a=el,b=-1

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得6.

【详解】详解：y'=aex+lnx+l,

k=yL=]=ae+1=2,a—e1

将(1,1)代入y=2x+6得2+6=1,6=-1,故选D.

【点睛】本题关键得到含有a,b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

二多选题

11(2024•全国•高考I卷)设函数f(x)=(x-l)2(x-4),则()

A.x=3是/(尤)的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当-l<x<0时，f(2-x)>f(x)

【答案】ACD

【分析】求出函数/'(X)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数/(X)在

(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【详解】对A,因为函数外力的定义域为R,/(X)=2(X-1)(X-4)+(X-1)2=3(X-1)(X-3),

易知当xe(l,3)时，r(x)<0,当xe(—8,1)或xe(3,+e)时，(无)>0

函数在(-81)上单调递增，在(L3)上单调递减，在(3,+动上单调递增，故x=3是函数的极小值

点，正确；

对B,当0<x<l时，x-x2=x(l-x)>0,所以l>x>d>0,

而由上可知，函数〃尤)在(0』)上单调递增，所以错误；

对C,当1<X<2时，1<2%-1<3,而由上可知，函数”X)在(1,3)上单调递减，

所以F(l)>F(2x—1)>/(3),即T</(2x-l)<0,正确；

对D,当_]<x<0时,/(2—%)—/(%)=(1—x)-(―2—%)—(%—1)-(%—4)=(x—1)-(2—2x)>0,

所以〃2-x)>/(x),正确；

故选：ACD.

三填空题

12.(2024•全国•高考I卷)若曲线y=e，+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+。的切线，贝|

a=,

【答案】In2

【分析】先求出曲线y=e*+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(x+l)+。的切点为a，ln(x0+l)+a),求

出V，利用公切线斜率相等求出％,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

【详解】由y=e"+%得了=/+1,/|x=0=e°+1=2,

故曲线y=e、+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+l；

由y=ln(x+l)+a得y'=—^f

设切线与曲线y=山(x+l)+a相切的切点为(%,In5+1)+4),

由两曲线有公切线得y'=L=2,解得无。=-：,则切点为+

y—21%+—+In——2x+1+Q—In2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=In2.

故答案为：ln2

13.(2023・全国乙卷)设1«0,1),若函数"％)=优+(1+4；在(0,+。)上单调递增，则〃的取值范围是.

【答案】

【分析】原问题等价于尸(x)=a1na+(l+ayin(l+a)tO恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可

由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数。的

取值范围.

【详解】由函数的解析式可得了'(x)=a1na+(l+ayin(l+a)20在区间(0,+时上恒成立,

则(l+ayin(l+a)2—a*lna,即［宁)二一/在区间(0,+“)上恒成立,

故［邛一瑞而a+le(L2)，故呼+加。，

14.(2022全国乙卷)已知％=玉和x=W分别是函数/(%)=2优-ef(。＞0且awl)的极小值点和极大值

点.若石＜%，则。的取值范围是.

【答案】

【分析】法一：依题可知，方程21nq・炉-26=0的两个根为外,三,即函数y=ln“•优与函数y=ex的图象

有两个不同的交点，构造函数g(x)=lnad,利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数

的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为(x)=21na•优-2e无，所以方程21nq-ax-2ex=0的两个根为占,三，

即方程Ina-/=ex的两个根为西，三,

即函数y=lna.优与函数，=6%的图象有两个不同的交点，

因为芭,马分别是函数=2^-ex2的极小值点和极大值点，

所以函数在(TO,%)和伍,收)上递减，在(网,左2)上递增，

所以当时(YO,不)(彳2，+°°)，r(x)＜。，即y=ex图象在y=lnazX上方

当时，f^x)＞0,即＞=6图象在y=ln“•优下方

a>l,图象显然不符合题意，所以0<QVL

令@(%)=111々・优，贝ljg'(x)=ln2tz«x,0<a<l,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(%,也。“&),

2

则切线的斜率为g'(x())=ln2a阳,故切线方程为y-lna-a&=ln«-a'«(%-x0),

则有-Inad=-尤oln"a%,解得/=白，则切线的斜率为1112a.eh?°，

因为函数y=lna.优与函数，=6%的图象有两个不同的交点，

所以eln2QVe,解得一<“<e,又。<avl,所以一<〃<1,

ee

综上所述，0的取值范围为

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

/f(x)=21n«-ax—2ex=0的两个根为%,三

因为不，%分别是函数〃x)=2"-ex?的极小值点和极大值点，

所以函数“X)在(T»,番)和(9,口)上递减，在(占,*2)上递增，

设函数g(x)=/'(尤)=2(a'lna—ex),则gr(x)=2ax(Ina)2-2e,

若a>l,则g'(x)在R上单调递增,此时若g'5)=0,则广(x)在

(-00,%)上单调递减，在(局,心)上单调递增，此时若有了=再和x=w分别是函数

〃同=2"-ex2(a>0且"1)的极小值点和极大值点，则不符合题意；

若则g'(x)在R上单调递减，此时若g'(%)=0,则广(x)在(TO,为)上单调递增，在上单

调递减，令g'(Xo)=O,则*=c'、2,此时若有了=%和x=%分别是函数/(%)=2"-然2(。>0且awl)的

极小值点和极大值点，且再<%，则需满足/'(/)>。，r(%)=2(a刃na-气)=21*-eXoJ>O,即

ln

x0<—,xolnfl>lfe^=xolna=ln—^>1,所以，

Ino(ina)e

15.(2022年全国新高考回卷)若曲线y=(x+a)e*有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

【答案】(f,T)U(0,+8)

【分析】设出切点横坐标飞,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于吃的方程,

根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】-y=*+a)e*,0/=(x+l+a)e",

设切点为(%,％),则％=(%+a)e用，切线斜率k=(x0+l+a)e~,

切线方程为：y-(x()+a)e*=(xo+l+a)ea(x-%),

回切线过原点，E|_(/+a)e而=(%+l+a)e~(F),

整理得：x：+ax0—a=0,

回切线有两条，团A=4+4a>0,解得a<-4或a>0,

回。的取值范围是(-®T)U(O,y),

故答案为：(r°,T)U(0,+co)

16.(2021•全国甲卷)曲线y=9Jx_1■在点(T-3)处的切线方程为__________.

x+2

【答案】5x-y+2=0

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】由题，当尤=-1时，尸-3,故点在曲线上.

,2(x+2)-(2x-l)5

求导得："/，―-=所以V1-1=5.

(x+2)(x+2)

故切线方程为5x-y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

17.(2021年全国新高考回卷)函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

1

【分析】由解析式知/(》)定义域为(0,+8),讨论0<xV：1、-<x<kx>l,并结合导数研究的单调性,

22

即可求/(x)最小值.

【详解】由题设知：/(无)=|2%-1|-2111元定义域为(0,+8),

回当0(尤时，f(x)=l-2x-21nx,此时f(x)单调递减；

12

当一<xVl时，/（尤）=2尤一l-21n无，有了'（x）=2--<0,此时/（%）单调递减；

2x

2

当x>l时，/（x）=2x-l-21nx,有/（无）=2>0,此时/⑺单调递增；

x

又/（x）在各分段的界点处连续，

团综上有：0<xWl时，f（x）单调递减，x>l时，f（x）单调递增；

0/U）>/（l）=l

故答案为：1.

三、双空题

18.（2022年全国高考回卷）曲线>=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分*>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（x°,lnx。），求出函数休导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线方程，当无<0时同理可得；

解:因为y=lnN，

当x>0时y=lnx,设切点为（%,In%）,由y'=L所以九=而=’,所以切线方程为y-lnx。=’（天-/），

X玉）玉）

又切线过坐标原点，所以Tn尤°=’（一无。），解得x0=e,所以切线方程为尸1=［x—e）,^y=-x；

当x<0时y=ln（—x）,设切点为（石,山（-石）），由，=工，所以*个=,，所以切线方程为

X』

yTn（-xJ=—（x-石）,

x\

又切线过坐标原点，所以Tn（f）=：（一玉），解得士=-e,所以切线方程为y—l=：（x+e）,即y=-

故答案为：y=~x；y=--x

ee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当天>0时y=lnx,设切点为（Xo，lnxo）,由/=工，所以人f=,，所以切线方程为y-也毛=’（x-x。），

X%0X。

又切线过坐标原点，所以Tn%0=’（一%）,解得%o=e,所以切线方程为y-1=」（％-e）,§Jfly=-x；因为

xoee

y=ln|M是偶函数，图象为：

所以当x<0时的切线，只需找到y=1尤关于y轴的对称直线y=即可.

ee

［方法三］：因为y=ln|x|,

当x>0时y=ln无，设切点为（%』11%），由y'=L所以丫1'=工，所以切线方程为V-也毛=,

X%0%

又切线过坐标原点，所以Tnx°='（-x。），解得x0=e,所以切线方程为y_l=&x_e）,B|Jy=-x；

%ee

当x<0时y=ln（-x）,设切点为（&ln（F））,由y'=L所以川『,=二所以切线方程为

X玉

y—In（一%）='（%—玉）,

再

又切线过坐标原点，所以-ln（f）='（一王），解得玉=-e,所以切线方程为广1=工（x+e）,即y=」x；

-ee

故答案为：y=-x；y=--x.

ee

考点02构造函数利用导数求单调性比较大小

一、单选题

1.（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数〃x）=eTE2.记。=/3b=f*«=f+

I27I27I27

贝IJ（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g（尤）=-（尤-I））则g（x）开口向下，对称轴为x=l,

因为坐T—1-y-="丁一而函+同一4?=9+6应-16=60一7>0,

6r-rrV6(6)A/6+A/34指6

所以----1-1----=------------>0,BJ----1>1--L—

2(2)2222

由二次函数性质知g(乎)<g(亭，

因为i20-/，M(A/6+V2)2—42=8+4^/3—16=4^/3—8=4(A/3—2)<0,

衅-1<1-冬所以且净空争，

综上，g(乎)<g(乎)<g(孝)，

又>=。"为增函数，故a<c<8,即方>c>a.

故选：A.

2.(2022年全国高考甲卷数学(文)试题)已知9"'=10,〃=10"'-11*=8"=9,则()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知"7=lOg910>l，再利用基本不等式，换底公式

可得“7>lgll,10g89>m,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:(指对数函数性质)

由9"=10可得加=1%1。=^>1，而lg91gli<产詈9=］詈:<l=(lgl0)2,所以黑，

即〃z>lgll,^flUa=10m-ll>10lgll-ll=0.

又lg81gl0<［g8；gl°］=］等)<(lg9)2,所以贵>需，BNlog89>m,

所以bMgm-gvgbga-gnO.综上，a>0>b.

［方法二1：【最优解】(构造函数)

由9"'=10，可得利=log91。e(1,1.5).

根据a，b的形式构造函数/(X)=JC"'-X-1(X>1),则-1,

令/'(x)=0,解得％=加士，由机TogglOe(1,1.5)知/€(0,1).

〃无)在(1,+«)上单调递增，所以/(1。)>/(8),即a>b,

又因为f(9)=/呵-10=0,所以a>0>6.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数/。)=/-x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

3.(2022年全国新高考回卷数学试题)设。=0.10°」,6=5c=-ln0.9,贝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定a,6,C的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/(x)=ln(l+x)—%(%>—1),因为/'(%)=/--1=—F，

l+x1+X

当%£(-1,0)时,f(x)>0,当无£(0,+oo)时,

所以函数f(x)=ln(l+X)-%在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增,

所以/(g)<7(0)=0,所以1!1^一^<0,^1>lny=-ln0.9,即b>c,

所以/(-记)</(0)=0,所以In历+5<0,故/屋。,所以已一。<」,

故。<2,

x+

设g(x)=xeX+ln(l-元)(0<x<l),则g'(x)=(x+1)e+-^―=—~\

x-1x-1

令h(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x—1),

当0<x<Gl时,h'(x)<0,函数以劝=，(--1)+1单调递减,

当应-1<X<1时，(无)>0,函数〃(x)=e*，-i)+i单调递增，

又网0)=0,

所以当O<x<0-1时,h{x)<0,

所以当0<x<虚-1时，g'O)>0,函数g(x)=xe*+ln(l-x)单调递增，

所以g(01)>g(0)=0,即O.le。」>—ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：。=0.1网，b=-^-,c=-ln(l-o.l),

1—u.1

①ln«-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令f(x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

1—丫

贝1Jr«=i---—<o,

l—x1—x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-ln&<0,所以a<b；

②6z-c=O.leol+ln(l-O.l),

令^(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1］,

El/\YY1+—Re"—1

贝1Jg'(x］=xe+e------=------------------，

v71-x1-x

令人(尤)=(1+x)(l—x)ex—1,所以kr(x)=(l—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即gr(x)>0,

所以g(%)在(OOH上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

4.（2021年全国高考回卷数学试题）已知〃=logs2,b=log83,则下列判断正确的是（)

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【分析】对数函数的单调性可比较。、匕与C的大小关系，由此可得出结论.

［详解］a=log2<log布=g=log242<log3=6,

5588即avc<〃.

故选：C.

2

5.（2020年全国高考回卷数学试题）设。=log32,fe=log53,c=-,则（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

3

【分析】分别将。/改写为。=曰幅23,&=1log53,再利用单调性比较即可.

112112

325==c,

【详解】因为。=§log323<]log39=]=c,Z?=-log53f

所以a<c<b.

故选：A.

【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

3111

6（2022•全国甲卷）已知一,Z?=cos—,c=4sin-,贝1!（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

ii

【分析】由石c二小皿^结合三角函数的性质可得c>b；构造函数〃x）=cosx+/x2T无40,+⑹，利用导数可

得人〃，即可得解.

【详解】[方法一]:构造函数

因为当xe0,-^-l,x<tanx

c1r

故厂故/I，所以"b；

、

^f(x)=cosx+—1x2-1,X€(0,4-00),

/r(x)=-sinx+x>0,所以于(x)在(0,+co)单调递增,

131

故/>/(0>0,所以cos：—三〉0,

432

所以b>a,所以故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当xe0,—l,sinx<x,

2

取x=J得：cos-=l-2sin->l-2U—,故人。

848I32

sinf1-+^j,其中14

4sin—+cos—=，且sin°=而展而

444’8S

当4sin1+cos工=47时,171R711

—+(p=—,及夕=5-a

4442

此时，解二侬"三，cosLin展上

4V174V17

乂114・14•1乂

^cos-=-^=<-==sin-<4sin-,故

4VI7V/1744

所以人>。，所以故选A

［方法三］：泰勒展开

设%=0.25,贝lj〃=2=l—2^,/7=cos-«l-^^+^^

322424!

.J.

.1SmZ10.2520.254、1生,日,.3

c=44sm-=—^^l———+^—,计算得c〉b>。，故选A.

4

［方法四］:构造函数

因为9=4tan』，因为当x£(0,5],sinx<x<tanx,所以即f>1,所以c>0；设

b4I2J444b4b

2

/(x)=cosx+-|x-l,xe(0,+oo),/'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)单调递增，贝I]/>f(0)=0,

131

所以COS^—瓦>0,所以b>a,所以

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为f=4tan,，因为当xe(0,5］,sinx<x<tanx,所以tan，>L即2>1，所以c>b：因为当

b4<2J^44。

xe(0,；］,sinx<x,MZ^=-^#cos-=l-2sin2->l-2f->|=—,故人。，所以c>6>q.

I2；848⑻32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

方法5:利用二倍角公式以及不等式无€［0e)用1!苫<苫<1211无放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

7.(2021•全国乙卷)设a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=A/L04-1.贝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于。与c,b与c的大小关系，

将0.01换成无，分另ij构造函数/'(x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,g(x)=ln(+2x)-Jl+4x+l,利用导数分析其在

0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合y(0)=0,g(0)=0即可得出。与c,b与c的大小关系.

【详解】［方法一］:

a=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>］nl.02=b,

所以Z?<a；

下面比较c与a,b的大小关系.

/、/\/----/、7?2(J1+4%—1—%)

记〃x)=21n(l+x)-Jl+4x+l,则/(0)=0,f'(x\=———」------,',

1+x+4x(l+x)\/l+4x

由于1+4工—(l+x)~=2x—X。=x(2—x)

所以当0<x<2时，1+4X-(1+X)2>0,即J1+4X>(1+X),f^x)>0,

所以在［。，2］上单调递增，

所以“0.01)>"0)=0,即21nl.01>即。>。；

/、/、/----/、?22“l+4x-l-2尤)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,贝i］g(0)=0,=—--------------=-^------------------',

、7l+2xJ1+4尤(l+x)Jl+4尤

由于l+4x-(l+2x)2=-4/,在x>0时，l+4x-(l+2x)2<0,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+8)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0,BPlnl.02<^04-l,即从c；

综上，b<c<a,

故选：B.

［方法二］:

令/⑺=

一<0,即函数〃x)在a+8)上单调递减

\/x2+l

f(Vl+0.04)</(l)=O,.-.Z?<c

令g(x)=21n1尤-x+l(l<x<3)

g，(x)=(x［］『)>0,即函数g(x)在(1,3)上单调递增

g(A/1+0.04)^(1)=0,.-.c

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

8.(2020年全国新高考回卷)若2"+log2a=4"+21%匕,则()

A.a>1bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

【分析】设/(X)=2"+10g2X,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.

b2b

【详解】设F3=2，+log2X,则"X)为增函数,H2°+log2a=4+21og4b=2+log2b

2h2hM

所以/(«)-了(2力=2"+log2a-(2+log?2b)=2+log2b-(2+log?2。)=log21=-l<0,

所以/(a)</(26),所以。<».

fc222fcia22i

f(a)-f&)