导数的综合应用 专项训练模拟练习-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-323-导数的综合应用-专项训练模拟练习

【A级基础巩固】

1.当x>l时，^x2+lnx<|j?.

2.设函数兀月二。%2—Inx—a,a2]

(1)求人x)在[1,+8)上的最小值；

(2)证明：当时式x)+=—eir》o恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

Ji

3.已知函数"x)=ex,当％>—2时，求证：«x)>ln(%+2).

4.当x>y>e—l时，求证：e-^lnCy+1)>e4n(^+1).

【B级能力提升】1.已知函数

1.已知函数

(1)求曲线y=/(x)在点(1,汽1))处的切线方程；

(2)当［0,2］时，求证：人为三一2f+8x—5.

2.已知函数兀v)=ax+xlnx在x=e-2处取得极小值.

⑴求实数a的值；

(2)当x>l时，求证：y(x)>3(x—1).

3.函数火x)=e%—%—a,

(1)求函数y=/(x)的单调区间及极值；

(2)若%i,九2是函数y=/(%)的两个不同零点，求证：①尤1+X2<0；②XI+X2>2(1

—a).

参考答案

【A级基础巩固】

21

1.［证明］设g(x)=］%3—时―inx,

则g'(x)=2x2—x—\

人

(X—1)(2X2+X+1)

当%>1时，g'(%)=--------------------->0,

所以g(x)在(1,+8)上单调递增，

当x>l时，g(x)>g(l)=t>0,

所以当x>l时，^,x2+lnx<1%3.

,1(y［lax-\-l)(yj2ax-1)

2.［解析］(I)/(x)=2ax--=^---------------------

当时，/x+l>0,在X—1N0,所以(x)>0,因此Hx)在［1,+8)

上单调递增，所以1X)M/Q)=O,/Cx)min=0.

一1x—e'］

(2)证明：原不等式等价于_/(x)NeLx—;,即—Li'令g(^)=x—ex~1,x^l,

g'(X)=l—ex-1<0,所以g(X)在［1,+8)上单调递减，g(x)Wg(l)=O,g(X)max=

%—e'i1

211-JC

0.结合(1)可知ax—Inx—aNOF，忙「1恒成立，即ax—^x+~—e—tz^O恒成

立.

3.［证明］设g(x)=/(x)—(x+l)=ex—x—l(x>—'2).

则屋(x)=e*—1,

当一2<x<0时,g'(x)<0；

当x>0时，g'(x)>0,

即g(x)在(一2,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

于是当X=0时,gQ)min=g(0)=0,

因此1x)>x+l(当且仅当x=0时取等号)，

令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),

【卡壳点】利用x+1作为中间量，进行放缩

,1%+1

川'(x)=l-X+2=X+2,

则当一2<x<一1时，/?'(x)<0,

当x>—1时，h'(x)>0,

即有力。)在(一2,—1)上单调递减，在(一1,+8)上单调递增，

于是当％=—1时，A(X)min=/l(—1)=0,

因此x+121n(x+2)(当且仅当x=—1时取等号)，所以当x>—2时，»>ln(x

+2).

【易错点】注意取等号的条件

4.［证明］%>y>e—1,/.x+1+1>e,

ln(x+l)>ln(y+l)>l,

欲证ex\n(y+l)>e4n(x+1).

即证明>J］

ln(x+l)ln(y十1)

令g(w=ln(x+l)'

e，ln(x+l)-^j

则g'a尸—w+T)—，

显然函数/1。)=111(%+1)—^7在(6—1，+8)上单调递增，

h(x)>1—->0,即g'(x)>0,

e

，g(x)在(e—1,+8)上单调递增,

：x>y>e—1时，g(x)>g。)，

即ln(x+l)>ln(y+iy

当x>y>e-1时，e，ln(y+l)>eyln(x+1)成立.

【B级能力提升】1.［解析］(1/Q)=2ek2(升+无)，/(i)=4,加)=1,则

曲线尸危)在点(1』)处的切线方程为y—l=4(x—1),即y=4x~3.

1.［解析］(1/(X)=2e2x-2(f+x),f(1)=4,-1)=1,则曲线y=/a)在点

(1,1)处的切线方程为j-l=4(x-l),即y=4x~3.

(2)证明：当x©［0,2］时，令gQuj？e为-2+2X2—8X+5,则g'(x)=2e2%-2(x2

+x)+4x-8,

令h(x)=g'(x),则今(x)=2e2x~2(2x2+4x+1)+4>0,

所以屋Q)在［0,2］上单调递增,且/(1)=0,

所以g(x)在［0,1］上单调递减，在(1,2］上单调递增，

所以g(x)的最小值为g(l)=0,所以g(x)N0,

即HjON—zd+Sx—s.

2.［解析］(1)因为«x)=ax+xlnx,

所以，(x)=a+lnx~\~1,

因为函数«x)在x=b2处取得极小值，

所以77(e，)=0,即a+lne-2+l=0,

所以a=l,所以，(x)=lnx+2,

当f(x)>0时，x>-2,当f(x)<0时，0<%<-2,

所以人X)在(0,52)上单调递减，在(［2,+8)上单调递增，

所以八%)在》=b2处取得极小值，符合题意.

所以0=1.

(2)由(1)知a=l,所以/(x)=x+xlnx.

令g(x)=«x)—3。-1),即g(x)=xln—2x+3(x>0).

g'(x)=lnx—1,由g'(%)=0得％=6.

由g'(x)>0得x>e,由g'(x)<0得0<x<e,

所以g(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

所以g(x)在(1,+8)上的最小值为g(e)=3—e>0.

于是在(1,+°0)±,都有g(x)>g(e)>0,所以兀0>3(无一1).

3.［解析］(l)Hx)=ex—x—a定义域为R,，(x)=e》一1,

令/(x)>0,则x>0,令/(x)<0,则x<0,

.7/(九)递减区间为(一8,0),递增区间为(0,+°°),

，火x)极小值=AO)=1—a,无极大值.

(2)证明：由(1)知兀一一8时，+8;%—+8时，人防一+8,

要使兀x)有两个不同零点xi,Xi,则人0)=1—战0即a>l,

不妨设Xl<0<X2,

①令g(x)=fix)—i/(一力=eA—ex—2x(x>0),

则g'(x)=f(x)+/'(—x)=e，+er—2,

由于ex+er>2(xW0),故g'(x)>0,

g(x)在(0,+8)上单调递增，而X2>0,，g(X2)>g(0)=0,

一人—X2)>0即«T2)次—X2),

•.•%1)=%2)=0,..•危1)次一尤2),

Vxi,一X2©(—8,0)且五X)在(一8,0)上单调递减，

.".Xl<—X2,即XI+%2<0.

②令F(x)=x-e1~2x+x(x>l),

下面先证明尸(x)>2,F'(x)=(l-2x)e2-2x+l,令力(x)=(l—2x)e2，+i,

'：x>l,勿(x)=(4x—4)e2-2x>0,.•.尸(x)在(1,+8)上单调递增，

：.F'(x)>F/(1)=0,，R(x)在(1,+8)上单调递增，.\F(X)>F(1)=2,

即x-e2~2xJrx>2在尤>1总成立,

,//(X2)=