导数的应用-函数的单调性问题（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题12导数的应用-函数的单调性问题5题型分类

彩题如工总

题型5：含参数单调性讨论题型1：利用导函数与原函数的关系确定

原函数图象

题型4：不含参数单调性讨论

专题12导数的应用一函数的单调

性问题5题型分类

题型2：求单调区间

题型3：巳知含量参函数在区间上单调或不

单调或存在单调区间，求参数范围

彩先渡宝库

一、单调性基础知识

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数＞=/（尤）在某个区间内可导，如果r（尤）＞0,则y=〃尤）为增函数；如果

r（x）＜0,则y=/（x）为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若/（X）在某个区间上单调递增，则在该区间上有广（X）N0恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足尸（x）＞0,

才能得出了（X）在某个区间上单调递增；

②若/（X）在某个区间上单调递减,则在该区间上有了'（无）＜0恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足尸（X）＜0,

才能得出Ax）在某个区间上单调递减.

二、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负,

无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正

负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续

的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，

无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图象定区间；

（一）

利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/（X）单调递增O导函数（（无）20（导函数等于0,

只在离散点成立，其余点满足ra）＞o）；原函数单调递减。导函数/''（无厅。（导函数等于o,只在离散点

成立，其余点满足/（/）＜。）.

题型1:利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

1-1.（天津市西青区为明学校2023-2024学年高三上学期开学测数学试题）已知函数y=/（£）的图象是下列

四个图象之一，且其导函数y=/'（x）的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（）

求单调区间

1.求函数的单调区间的步骤如下：

（1）求/（X）的定义域

（2）求出f'（x）.

（3）令/（x）=0,求出其全部根，把全部的根在无轴上标出，穿针引线.

（4）在定义域内，令/'（x）＞0,解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令（（x）＜0,解出x的取值

范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用"U"、"或"

连接，而应用"和"隔开.

2.导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类

讨论和数形结合思想的应用.

3.已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函

数的形式及图象特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线

最小值落在端点等.

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

题型2:求单调区间

2-1.（2024高三下,江西鹰潭,阶段练习）函数y==^+lnx的单调递增区间为（）

x

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+oo）D.（1,+℃）

【答案】D

【分析】求导，求出不等式y＞o的解集即可.

【详解】函数的定义域为©+8）.

尤2+2,2,21x~+x—2（尤+2）（x—1）

y=-------+\nx=x+-+\nx,贝Uy=1---+-=-------——=-------?------.

xx厂Xxx

y>0

令c，解得%£（l,+8）.

［x>0

故选：D

22（2024高二下•湖北,期中）函数”x）=ln（4f-l）的单调递增区间（）

A.B,1-［JUW（。，+8）

【答案】A

【分析】根据户（*）>0,结合函数的定义域，即可得出单调递增区间.

【详解】由4尤2-1>0,可得x<-g或x>g,

所以函数〃x）=ln（4x2-l）的定义域为,

Q1

求导可得:（力=7竽r7,当用勾>。时，%>0,由函数定义域可知，%>-,

4x—12

所以函数〃司=m（4/-1）的单调递增区间是6，+，|.

故选：A.

2-3.（2024・上海静安•二模）函数y=xlnx（）

A.严格增函数

B.在［0,1］上是严格增函数，在+上是严格减函数

C.严格减函数

D.在卜,：上是严格减函数，在［。+上是严格增函数

【答案】D

【分析】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.

【详解】解：已知y=xlnx,x>0,则y'=lnx+x,=lnx+l,

令y'=0,即lnx+l=0,解得X=L

e

当o<x<，时，y<o,所以在上是严格减函数，

当时，y>o,所以在g,+，|上是严格增函数，

故选：D.

【点睛】导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类

讨论和数形结合思想的应用.

题型3:已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

3-1.（2024•陕西西安•三模）若函数/（x）=d-衣+lnx在区间（l,e）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.[3,+co）B.（—8,3]C.[3,e?+l]D.[3,e~—1]

【答案】B

【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得/"）2。在（Le）上恒成立，由此可得a42无+：在区间

（l,e）上恒成立，求函数g（x）=2尤+：（l<x<e）的值域可得。的取值范围.

【详解】因为函数〃尤）=/-依+ln龙在区间（Le）上单调递增，

所以「（无）=2彳-4+/20在区间（1,6）上恒成立，

即在区间（l,e）上恒成立，

X

令g（九）=2兀+,（l<x<e）,

贝—与「正坐空包0，

XXX

所以g（x）在（Le）上递增,又g⑴=3,

所以

所以。的取值范围是（f,3].

故选：B

3-2.（2024・山东济宁•一模）若函数〃x）=log«（G-x3）m>o且a*1）在区间（0#内单调递增，贝的取值

范围是（）

A.[3,^o）B.（1,3]CD.1,lj

【答案】A

【分析】令〃=g（x）=办-d,利用导数求出函数g（无）的单调区间，再分“>1和0<a<l两种情况讨论，结

合复合函数的单调性即可得解.

【详解】令〃=8（力=依一丁，贝I]g'（x）=a-3x2,

当x>#或x<-R时，g[x）<0,当时，g'（x）>0,

所以8（%）在1小I,+8和-巩-上递减，在上递增，

当a>l时，y=log“〃为增函数，且函数〃x）在区间（。,1）内单调递增，

a>\

所以一小0,解得。23,

此时g（x）在（0,1）上递增,则8（力>8（。）=0恒成立，

当0<“<1时，y=log"〃为减函数，且函数〃x）在区间（0,1）内单调递增，

所以什3一，无解，

0<a<l

综上所述，。的取值范围是[3,内）.

故选：A.

丫21

3-3.（2024咛夏银川•三模）若函数y（x）=+-lnx在区间（见机+?上不单调，则实数机的取值范围为（）

22

A.0<m<—B.—<m<1

33

2

C.—<m<lD.m>l

3

【答案】B

【详解】首先求出/（X）的定义域和极值点，由题意得极值点在区间（孙加+g）内，且〃2>0,得出关于加的

不等式组，求解即可.

【分析】函数/（x）=f■-Inx的定义域为（0,+8）,

且——，

令小）=0,得无=1,

因为，（九）在区间（人加+;）上不单调，

m>0

2

所以1,1，解得：-<m<l

m<l<m+—3

13

故选：B.

3-4.（2024高三上•江苏苏州•期中）若函数小）=限+依2_2在区间曰2i内存在单调递增区间，则实数。

的取值范围是（

1

A.[-2,+oo）B.——,+00D.(-2,+oo)

8

【答案】D

【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数（）

-32gx=*的最值，即可求出。

的范围.

【详角军】0f(x)=\nx+ax2-2,

团/'(x)=—+2依,

x

若/（X）在区间g,2内存在单调递增区间，则-。）>0/6（32]有解,

故">一』，

令（）1在;，2

gxT单调递增,

则g（元）=一寿

•••g(x)>g

故a>—2.

故选：D.

,「1一

3-5.（2024高三上•山西朔州•期中）已知函数〃x）=lnx+（x-8y（6eR）在区间-,2上存在单调递增区

间，则实数。的取值范围是

【答案】B

【详解】试题分析：,•・函数/（X）在区间1-2上存在单调增区间，，函数“X）在区间1,2上存在子区间

使得不等式/'（x）>0成立.f'（x）=-+2（x-b）=2x2~2bx+1,设6（x）=2尤02服+1,则/?（2）>0或

XX

即8-4b+l>0或:一匕+1>0,得故选B.

考点：导数的应用.

【思路点睛】该题考查的是函数存在增区间的条件，属于较难题目，在解题的过程中，紧紧抓住导数的应

用，相当于广（力>。在区间1,2上有解，最后将问题转化为不等式21.2法+1>0在区间1,2上有解，

设立（x）=2/—3+1,结合二次函数的性质，可知只要//（2）>0或彳即可，将2和3分别代入，求得

结果，取并求得答案.

3-6.（2024高二下•天津和平•期中）已知函数/（%）=；加+3（〃?-l）d-〃/+1（租>0）的单调递减区间是（0,4）,

则机=（）

11

A.3B.-C.2D.-

32

【答案】B

【分析】利用导数结合韦达定理得出机的值.

【详解】函数〃%）=如3+3（m-l）x2-m2+l（m>0）,则导数/'（%）=3瓶/+6（m—l）x

令/'（%）<°，即3mx2+6（m-l）x<0,

团机>0,外力的单调递减区间是（0,4）,

团0,4是方程3如2+6（机_1卜=。的两根，

回0+4=2（―"7）,0义4=0,

m

^\m=—

3

故选：B.

彩他题秘籍二

函数单调性的讨论

1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，

二是函数的单调区间不能用并集，要用"逗号"或"和"隔开.

2、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从

而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）.

3、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函

数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.

4、利用草稿图象辅助说明.

题型4：不含参数单调性讨论

4-1.（2024高三•全国•专题练习）已矢口函数/（x）=l+ln，+l）（x＞0）.试判断函数在（0,+s）上单调性并

证明你的结论；

【答案】函数/'（X）在（。,+8）上为减函数，证明见解析

【分析】求出函数/（尤）的导数，根据导数取值范围求解函数单调性.

【详解】函数/'（X）在（0,+8）上为减函数，证明如下：

因为〃x）Jln,+x）（x＞o）,所以广⑴「二一；（1+无）,

又因为尤＞0,所以占＞0,ln（l+x）＞0,所以/'（x）＜0,

即函数f（x）在（0,+e）上为减函数.

4-2.（2024高三•全国•专题练习）已知/（力=1g+，十”,若。=1,求/'（*）的单调区间.

【答案】（0,1）为单调递减区间；（1,+⑹为单调递增区间.

【分析】利用导数求得f（x）的单调性.

【详解】若a=l,贝U/（x）=lnx+W（x＞0）,

求导得/⑴+1）,

令制x）>0可得x>l,令/'（“<0可得0<x<l,

故〃x）在（0,1）上单调递减；在（1,+8）上单调递增.

4-3.（2024•贵州•二模）已知函数/（x）=_xlnx-e、+l.

⑴求曲线y=在点（L/⑴）处的切线方程；

（2）讨论〃x）在（0,+8）上的单调性.

【答案】⑴y=（l-e）x

（2）“X）在（0,+功上是减函数.

【分析】（1）求导，计算斜率，再用点斜式求解即可；

⑵令g（x）=7'（x）,求出g'（x）,根据短出>0、g，⑴<0可得叫使小）=0,可得xe（O,x。）、

无时/（x）的单调性，从而得解.

【详解】（1）r（x）=lnx+l-e\

“⑴=1-e,又/(1)=1-e,

回曲线y=/（x）在点处的切线方程是yT+e=（l-e）（x-l）,

即y=0-e)x；

(2)令g(x)=/,(x)=ln%+l-ejr(x>0),

且g'(；)=2-&'>0

则8’（力=：-/在（0,+8）上递减,g,(l)=l-e<0,

03xoe[i1j,使g'(尤o)=^e%=0,即

I2/%

,

当工«0,%)时,g'(飞)>0,当xe(如+QO)时,g(x0)<0,

回尸（力在（0,尤0）上递增，在（％,内）上递减,

1

回尸(x)4/'(尤o)=ln%+l-e&=

一无o+—+1<-2x0-—+l=-l<0,

IXoJV/

当且仅当x°=,，即％=1时，等号成立，显然，等号不成立，故ra）＜o,

xo

团/（无）在（。，+00）上是减函数.

【点睛】方法点睛：判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正

值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那么原函数就是单调减的，而如果导函数为0,那么可

能是函数的极值点.

题型5:含参数单调性讨论

5-1.（2024高三・全国,专题练习）已知函数/（x）=（〃z+l）x-〃21nx-m.讨论f（x）的单调性；

【答案】答案见解析

【分析】根据题意，求导得尸（无），然后分根=T,m＜-l,加＞-1分别讨论，即可得到结果；

«、*.即、a,、,m（m+V）x-m、

【详解】f（x）=m+l——=----------,无e（0,+＜»）,

①当m+1=0,即机=-1时，/'（x）=-＞0,/（X）在区间（0,+8）单调递增.

X

②当根+1＜0,即机＜一1时，

令r（x）＞。，得o＜x＜=,令/（了）＜0,得x＞y,

所以人%）在区间单调递增；在区间+8］单调递减.

③当加+1＞0,即机＞—1时，

若—1〈加40,贝!）广（1）＞0,在区间（0,+8）单调递增.

若相＞0,令/'（力＜0,得0＜彳＜弋，令了"）＞0,得x＞M，

所以f（x）在区间（0,-々］单调递减；在区间（上，+00］单调递增.

综上，机＜-1时，/（元）在区间单调递增；在区间（上，,+8〕单调递减；

（m+1）+l）

一1（机00时，fM在区间（0,+8）单调递增

m＞0时，/（无）在区间（0,一竺；］单调递减、在区间（一依：,+＜»］单调递增.

Im+1）I机+1）

5-2.（2024高三•全国•专题练习）已知函数〃x）=lnx—2a2f+3依—1.20）,讨论函数〃x）的单调性.

【答案】答案见解析

【分析】

求导，分a=0和。>0两种情况，利用导数判断原函数的单调性.

【详解】

由题意可知：的定义域为（0,+功，且-3=工-4a2x+3a=出士1乂匕竺t

XX

若4=0,则/'（x）=B>0恒成立，所以“X）在（0,+8）上单调递增；

若。>0,令/（龙）=。，解得x='或x=—;<0（舍去），

a4a

当0<x<：时，制x）>0,函数〃x）在（0,£|上单调递增，

当x>：时，r（x）<0,函数外力在上单调递减；

综上所述：若a=0,/（x）在（0,+"）上单调递增；

若a>0,/（X）在m上单调递增，在+8）上单调递减.

5-3.（2024高三・全国・专题练习）已知函数〃x）=lnx+（l-a）x+l（aeR）,讨论函数〃x）的单调性.

【答案】答案见解析.

【分析】

将函数求导，对1”的正负性进行分类讨论，进而得到/（X）的单调性.

【详解】因为〃%）=11»+（1-。）龙+1（«€1<）的定义域为（0,+（»）,

所以尸（同=：+（］_动=（1_?尤+1,其中X>0,

当1—时，即a<l,"X）在（0,+8）上单调递增，

当1一〃<0时，即a>l,

令「（x）h直办+|>0,得0（尤<々；

xa-1

—

人,/\（

令广⑴:1——1ci-\——x+1<0,,得n龙〉-1

xa-1

所以/'（X）在（。，£］上单调递增，在上单调递减.

综上，当“VI时，/（X）在（0,+8）上单调递增；

当时，〃x）在（0,；］上单调递增，在（一上单调递减.

5-4.（2024高二下•全国•课后作业）已知函数/'（司=^-依-1.讨论函数〃力的单调性.

【答案】答案见解析.

【分析】求出导函数（（x）,再分类讨论确定尸（x）的正负得单调性.

【详解】函数〃x）=e*-6-1的定义域为R,求导得7•'（》）=e，-a,

当aWO时，力^）>0恒成立，〃x）在R上是增函数，

当a>0时，当xclna时，/,（x）<0,〃尤）递减，当x>lna时，刊㈤>0,f（x）递增，

所以当aW0时，/'（X）在R上是增函数，当a>0时，/（x）在（ro,lna）上是减函数，在（ina,田）上是增函

数.

5-5.（2024高三・全国•专题练习）已知函数/（x）=alnx+x2-（a+2）x（a>0）,讨论函数“X）的单调性.

【答案】答案见解析.

【分析】求出导函数/（X）,然后分类讨论确定/（X）的正负得单调区间.

【详解】因为/（劝=。111工+/_（a+2）x（a>0）,该函数的定义域为（0,+8）,

/，（无）,+2尤一（“+2）=2/-（。+2卜+。=（21-初合1）.

因为a>0,由尸（力=0得：x=£或x=l.

①当■!=：!,即a=2时，r（x）20对任意的x>0恒成立，且/（X）不恒为零，

此时，函数/（X）的增区间为（0,+8）,无减区间；

②当q>1,即。>2时，由得0<x<l或x>5；由/（x）<0得1<上<色.

222

此时，函数“X）的增区间为（0,1）、匕，+"，减区间为,，事；

③当人<1,即0<a<2时，由得0<x<5或%>1；由/'（"<0得9<X<L

222

此时函数“X）的增区间为。鼻、（l,+s）,减区间为期.

综上所述：当4=2时，函数“X）的增区间为（0,+8）,无减区间；

当a>2时，函数〃尤）的增区间为（0,1）、减区间为

当0<a<2时，函数〃尤）的增区间为/f、（1,+向，减区间为

5-6.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=（j-*］（x-a）-lnx-：+b,其中a,Z?eR,讨论函数

的单调性.

【答案】答案见解析.

【分析】先将函数求导并对导函数分子进行因式分解，再对参数进行分类讨论，最后得到不同情况下的函

数的单调性.

【详解】f（x）=（^--^］（X-a）-lnx-^-+b=l-^--^+^-lnx-^-+b

\人乙人"J444人<人乙人>

\aa.7r

=------H------lnx+p+1,

xx2x

所以/（x）的定义域为（0,+"），

x_1aa1_-X2+（\+a）x-a_

fX1+X1x3x~x3-X3

①若4>1时，

0<%<11\<x<aax>a

-0+0-

〃尤）极小值/极大值\

②若Q=I时，r（x）〈o恒成立，/（%）单调递减，

③若Ova<1时

G<x<aaa<x<l1X>1

/（X）-0+0-

“X)极小值/极大值

④若aWO时令r（x）>。，解得0<x<l,此时〃尤）单调递增，

令了3<0解得x>l,此时“X）单调递减，

综上所述，当a>l时，f（尤）在（。,1）和内）单调递减，在（1,a）单调递增；

当。=1时,“X）在（0,+8）单调递减；

当0<0<1时，”尤）在（0,4）和（1,+8）单调递减，在（。,1）单调递增；

当aVO时，/⑺在（0,1）单调递增，在。,内）单调递减.

5-7.（2024高三■全国■专题练习）已知函数〃到=；尤2-3依+2。21nx,awO,讨论/'（x）的单调区间.

【答案】答案见解析

【分析】

先求得尸（x）,对。进行分类讨论，由此求得〃x）的单调区间.

【详解】

〃x）的定义域为（0,+动，/⑴=（-"）,-2“）,

若a>0,当xe（0,a）时，f>0,〃尤）单调递增；

当xe（a,2°）时，f（x）<0,f（x）单调递减；

当xe（2a,y）时，f\x）>0,/（无）单调递增.

若。<0,则制》）>0恒成立，“X）在（0,+8）上单调递增.

综上，当4>0时，〃尤）的单调递增区间为（O,a）,（2a,内），单调递减区间为（a,2a）；

当a<0时，/⑺的单调递增区间为（0,+8）,无单调递减区间.

5-8.（2024高三全国•专题练习）已知函数〃耳=尸111》-5.判断函数〃力的单调性.

【答案】在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减

【分析】求函数的定义域，对函数求导数，分析其正负号，得到函数的单调性.

【详解】因为〃x）=x-lnx-、，定义域为（0,+«0,

/0)=-—(x-l)ex

X2X2

令g(x)=x-e",因为x>0,贝|g'(犬)=1一e"<1—e。=。，

可得g（'）在（。,+8）上单调递减，所以g（x）<g（O）=-lv。,

所以当xe（O,l）时，/^x）>0,当x«l,y）时，r（x）<0,

所以f（x）在（。，1）上单调递增，在。,内）上单调递减.

炼习与桎升

一、单选题

b

1.（2024高三•全国•课后作业）函数/（x）=ax+（（a、6为正数）的严格减区间是（）.

【答案】C

【分析】由题得xwO,再利用导数求出函数的单调递减区间得解.

【详解】解：由题得XN0.

A

由f\x)=a~-,令—(%)=Q-~-^<。解得-4口<x<0或0<x<P.

xVaVa

h

所以函数/（力="+—的严格减区间是与

X

选项D,本题的两个单调区间之间不能用"U"连接，所以该选项错误.

故选:c

2.（2024高二上•浙江•开学考试）已知函数/（x）=sinx+acosx在区间上是减函数，则实数。的取值范

围为（）

A.a>-s/2—1B.a>1C.a>1--\/2D.a>—1

【答案】B

【分析】根据函数的单调性知导数小于等于。恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.

【详解】由题意，/'（%）=COS%-asinxWO在［2马上恒成立，

、COSX1r/兀吟匚卜一分一

R即n。之二--=----在上怛成”，

sin尤tanx

因为y=tanx在仁金）上单调递增，所以y=tan无>1,

所以在无/不彳]时，0<---<1,

（41）tanx

所以a?l.

故选：B

3.（2024高三・全国・专题练习）三次函数/。）=〃«;3-彳在（-<»,+<»）上是减函数，则加的取值范围是（）

A.m<0B.m<1C.m<0D.m£1

【答案】A

【分析】根据题意可得/（无）〈。在R上恒成立，结合恒成立问题分析运算.

【详解】对函数/。）=，/-尤求导，得尸（x）=3〃》;2-1

因为函数/（X）在（-8,+8）上是减函数，则f\x）W0在R上恒成立，

即3〃a2_ivo恒成立，

当炉=（）,即％=0时，3m恒成立;

1

当f片0,即XNO时，^>0,贝1]3加44，即加'-^,

因为《"NO,所以3m40,即加40；

x

又因为当机=0时，/（%）=-%不是三次函数，不满足题意，

所以相<0.

故选：A.

4.（2024高三下•青海西宁•开学考试）已知函数/（x）=3+lnx.若对任意玉，x2e（0,2],且%w%，都有

则实数。的取值范围是（

x2一百

B.(Y»,2]D.(-co,8]

【答案】A

【分析】根据题意,转化为1呼+匕+玉〈山/+鼻+/，然后构造/（x）=lnx+&+无，得到avi^±D_,

%]।1x?।1X+1x

从而求得。的取值范围.

【详解】根据题意，不妨取玉<X2,则1（：）：；GJ>T可转化为/（%）_/（芯）>现_々，

1a1a

即Inxx-\--------F玉<Inx2H---------Fx2.

x1+1x2+1'

^F(x)=］nx+-^—+x,则对任意A，Aj6(0,21,且占</，

X+1

都有尸(不)〈尸(%),

所以尸(x)在(0,2］上单调递增，即9⑺=J-肃1+12。在(0,2］上恒成立,

即aW('+l)3在(。,2］上恒成立.

X

令MX)=3L0<X<2,则/«X)=(X+1)I2XT),0<x<2,

XX

令得0<x<g,令”(兄)>0,得g<%W2,

所以g)在［g］上单调递减，在］,2上单调递增，所以〃3mM所以维昂，

即实数a的取值范围是，巴・，

故选:A

5.(2024高三・全国•专题练习)若函数/。)=/+尤-1”-2在其定义域的一个子区间(2—1,2左+1)内不是

单调函数，则实数%的取值范围是()

A.［-|。B.加C.D.［1,|］

【答案】D

【分析】先求出函数的定义域(0,+8),则有2人-120,对函数求导后，令广。)=0求出极值点，使极值点

在(2人-1,2左+1)内，从而可求出实数上的取值范围.

【详解】因为函数F(x)的定义域为(0,+s),

所以2左一120,即左23,

小、»12x12+x-l(x+l)(2x-l)

t(x)-2x+1——----------------------，

XXX

令尸(x)=0,得尤=；或*=一1(舍去)，

因为于(x)在定义域的一个子区间(2"1,2左+1)内不是单调函数，

113

所以2左一1<—<2左+1,得一一<k<-

2449

13

综上，—<77,

24

故选：D

6.（2024高三•全国・专题练习）已知函数〃h=93+］/+尤+1在（y,。），（3,+8）上单调递增，在（1,2）上

单调递减，则实数。的取值范围为（）

【答案】A

了'（0）20

【分析】由题意可得（（无）=0两个根分别位于［0,1］和［2,3］上，所以，;<0,从而解不等式组可求出实数

「⑶20

。的取值范围.

【详解】由/'（犬）=；X3+■|._¥2+%+1,得70=/+&1c+］.

因为;■（%）在（-8,0）,（3,+8）上单调递增，在（1,2）上单调递减，

所以方程f（X）=o的两个根分别位于区间［0』和［2,3］上,

7W>o1>0,

1+a+1W0,

所以/z(2)<0,即，

4+2tz+l<0,

八3)209+3〃+120,

解得一号《〃工一"1.

故选：A.

3111

7.(2024•全国)已知〃=一,Z?=cos—,c=4sin—,贝|()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

r,11

【分析】由7=4ta,结合三角函数的性质可得c〉b；构造函数/⑺=COSX+5/TX£（O,+8）,利用导数可

得bf即可得解.

【详解】［方法一］:构造函数

因为当tanx

c1c

故：=4taiiT>l,故工>1,所以c>b；

b4b

设/⑺=c°sx+32T无e(0,+oo)

/'(x)=-sinx+x>0,所以于(x)在(0,+GO)单调递增,

故叫"。尸。,所以*-||＞。，

所以b＞。，所以故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当sinx<x,

取x二得：cos—=l-2sin2—>l-2f—=—,故力〉。

848⑶32

.11rrz.(1)(兀、.14

4sin—+cos—=V17sinl—+I,其中sin=—j=,coscp=.—

当4sin!+cos'=7F7时,17rp兀T

一+。=一，及(p=-----

444224

,141.1

此时sin7=cos。=-7=,cos—=sin0=—j=

41174历

.114•1…1皿

故c°s；=K<-^=sm；<4sm],故b<c

4V1771744

所以〃＞。，所以故选A

［方法三］:泰勒展开

»mu_31」0.252,110.2520.254

ixx-0.25,贝[Ia——=1------,b—cos-21--------1------，

322424!

.I

.1sin4,0.2520.2547好,口，以、咫

c=4A8111-=—^®1———+^—,计算得c>6>a,故选A.

4

[方法四]:构造函数

因为f=4tan,，因为当xwfo,g],sinx<尤<tanx,所以tan」>即f>1，所以c>b；设

b4<2J44。

f(x)=cosx+^x2-l,xe(0,+co),f,(%)=-sinx+x>0,所以/⑺在(0,+>»)单调递增，贝(J/>/(0)=0,

131

所以COS]-互>0,所以所以c>6>a,

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=4tan,，因为当xe(0，W],sinx<x<tanx,所以tan，>工,即£>1,所以c>b；因为当

b4{2J44〃

x£（7,sinx<x,x——得cos—=1—2sin—>1—2\—j=—,故6>。，以c>/?〉1.

I2；848（8）32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法;

方法5:利用二倍角公式以及不等式无€[0胃）,011苫<苫<1211》放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

8.(2024•全国)设。=0.加°」,6=，，c=-ln0.9,贝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定d瓦C的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

^/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为--1=—F，

l+x1+X

当％£(-1,0)时，f(x)>0,当%£(0,+oo)时广(%)<0,

所以函数/(%)=ln(l+%)-%在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增,

所以/(/</(0)=0,所以皿弓-1<0,故|>ln¥=-ln0.9,即b>c,

所以〃-77)</(°)=°，所以故二<e%所以上一。<上，

10101010109

故。<》，

设g(x)=xe，+ln(l-x)(0<x<l),则g，(x)=(x+i)e*+^^=~+.

令h(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2%—1),

当0〈尤〈夜一1时，h'(x)<0,函数/?(无)=e'(x2-1)+1单调递减，

当A-1<X<1时，"(x)>0,函数/z(x)=e*(x2-l)+l单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0<x<近一1时，以x)<0,

所以当0<x<a_］时,g'M>0,函数g(x)=^re*+ln(l-x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°,>-ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0Ae°l,b=-^-,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①ln«-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

|一y

贝uf'(x)=l--=--<0,

l—xL—X

故于(x)在(0,0.1］上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-lnb<o,所以a<b；

②a-c=0.1e0A+ln(l-0.1),

令=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

I/、1+—x)cx—1

贝n!Jg\x\=xex+ex-—~=——八——』-----,

v71-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以k,(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k{x}在(0,0.1]上单调递增，可得k{x}>k(0)>0,即gf(x)>0,

所以g(x)在(0,0-H上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

9.(2024高三上•河南•阶段练习)下列函数中，既是偶函数又在(0,+。)上单调递增的函数是()

A./(x)=xlnxB./(%)二%-C./(x)=ex+e-xD./(冗)=，一

XX十1

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别判断即可，利用导数即可判断函数在(0,+8)的单调

性.

【详解】对于A,/(力=加的定义域为(0,+8),定义域不关于原点对称，

函数f(x)为非奇非偶函数，不符合题意；

丫211

对于B,〃尤)===%+上,定义域为(-8,0)11(0,y),

XX

因为〃-》)=-犬-5=-〃司，所以〃尤)为奇函数，不符合题意；

对于c,7(x