二次函数中定值、定点问题（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

二次函数中定值、定点问题

解题思路：

二次函数中的定值定点问题通常涉及到二次函数在特定点或特定条件下的性质。

这类问题一般会要求找出某个特定的值（定值）或某个特定的点（定点），使得二次函数满

足某种条件。

解决这类问题的一般步骤是：

1.根据题目条件，设出二次函数的一般形式。

2.利用题目给出的条件（如定点、定值等），建立方程或不等式。

3.解方程或不等式，找出满足条件的值或点。

1.（2023•内蒙古呼和浩特•中考真题）探究函数＞=-2国2+4国的图象和性质，探究过程如

下：

（1）自变量x的取值范围是全体实数，％与y的几组对应值列表如下

_5_325_

XL-2-1012L

~2~2~2222

_52222_5

yL0m020L

~22222~2

其中，m=.根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函

数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=-2/+4x交x轴于。，A两点（点。在

点A的左边），点尸是点。（1,0）关于抛物线顶点的对称点，不平行，轴的直线/分别交线段

OP,AP（不含端点）于/,N两点.当直线/与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的

和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

2.（2023•辽宁大连•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线G：y=/上有两点A、

B,其中点A的横坐标为-2,点8的横坐标为1,抛物线C2：y=-x2+ZJx+c过点A、B.过

备用图

⑴求抛物线C2的解析式；

（2）将矩形ACDE向左平移机个单位,向下平移n个单位得到矩形ACDE，点C的对应点。

落在抛物线C|上.

①求”关于的函数关系式，并直接写出自变量〃，的取值范围；

②直线AE交抛物线于点尸，交抛物线Q于点Q.当点®为线段PQ的中点时，求机的

值；

③抛物线C?与边E。、AC分别相交于点M、N,点、M、N在抛物线C?的对称轴同侧，

当MN=±叵时，求点。的坐标.如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点

3

的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点.过作轴交抛物线另一点为点.以长为边向上构造

矩形.

Q

3.(2023•辽宁・中考真题)如图，抛物线广加+>+c与x轴交于点A和点3(3.0),与y

轴交于点C(0,4),点尸为第一象限内抛物线上的动点过点P作尸轴于点E,交8C于

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△3EF的周长是线段尸产长度的2倍时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到抛物线顶点时，点。是y轴上的动点，连接BQ,过点8作直线/18。，

连接。尸并延长交直线/于点当=时，请直接写出点。的坐标.

4.(2023•四川德阳・中考真题)己知：在平面直角坐标系中，抛物线与无轴交于点A(-4,0),

8(2,0),与y轴交于点C(0,-4).

图I图2

(1)求抛物线的解析式；

(3)如图2,如果把直线A3沿y轴向上平移至经过点D,与抛物线的交点分别是E,F,直

DFI-

线BC交EF于点H,过点尸作bGLC”于点G,若丁=2石.求点尸的坐标.

5.（2023・湖北・中考真题）如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线

y=加+桁-6（"0）与x轴交于点A（—2,0）,3（6,0）,与V轴交于点C,顶点为。，连接BC.

图1图2

（1）抛物线的解析式为；（直接写出结果）

（3）如图2,若动直线I与抛物线交于M,N两点（直线/与5c不重合），连接CN,BM,直线CN

与8M交于点尸.当时，点尸的横坐标是否为定值，请说明理由.

6.（2023・福建・中考真题）已知抛物线〉=0?+法+3交工轴于4（1,0）,3（3,0）两点，以为抛

物线的顶点，CD为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记A8中点为E,直线的

交点为P.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若C（4,3）,。］机且相＜2,求证：C,2E三点共线；

（3）小明研究发现：无论G。在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，

AAMP,AMEP,AABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形

及其面积，不必说明理由.

7.（2023・湖北武汉•中考真题）抛物线G：y=V-2彳-8交X轴于两点（A在8的左边）,

交V轴于点C.

⑴直接写出A,民C三点的坐标；

（3）如图（2）,将抛物线C1平移得到抛物线C”其顶点为原点.直线y=2尤与抛物线C?交于

0,G两点，过0G的中点H作直线（异于直线0G）交抛物线G于两点，直线M0

与直线GN交于点P.问点尸是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请

说明理由.

8.（2023・湖南•中考真题）如图，已知抛物线y=--2ax+3与x轴交于点A（-l,0）和点B,

（2）将直线8C向下平移机＞0）个单位长度，交抛物线于夕、C'两点.在直线B'C'上方的

抛物线上是否存在定点。，无论“取何值时，都是点。到直线AC的距离最大，若存在，

请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由

9.（2023•江苏扬州•中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上.

⑴如果四个点（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三个点在二次函数y=以？（°为常数，且“40）

的图象上.

①a=；

②如图1,已知菱形A3CD的顶点8、C、。在该二次函数的图象上，且轴，求菱形

的边长；

③如图2,已知正方形ABCD的顶点2、。在该二次函数的图象上，点8、。在y轴的同侧，

且点8在点。的左侧，设点8、。的横坐标分别为机、n,试探究〃一机是否为定值.如果是，

求出这个值；如果不是，请说明理由.

（2）已知正方形ABCD的顶点2、。在二次函数＞=办2（a为常数，且。＞0）的图象上，点2

在点。的左侧，设点8、。的横坐标分别为机、”直接写出机、〃满足的等量关系式.

10.（2023・四川南充・中考真题）如图1,抛物线丫="2+6尤+3（。片0）与无轴交于A（-LO）,

3（3,0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

⑵点P在抛物线