二次函数解析式的确定及图像变换（考点解读）-2023年中考数学第一轮复习

专题13二次函数解析式的确定及图像变换（考点解读）

中考命题解读

二次函数是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题

形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函

数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形

结合思想的典例。

考标要求〉

1.要掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件灵活运

用，确定二次函数的解析式；

2.掌握二次函数图像的平移方法。

考点精讲

考点L二次函数解析式常见形式

（1）一般式：y=a/+b%+c（a,b,c为常数，aHO）;

（2）顶点式：y=a（x-hp+k（a,h,k为常数,aHO）;

（3）交点式：y=a（x-xj（x-X2）（xi,X2为抛物线与x轴交点的横坐标，aHO）

解题思路：

根据题中所给的条件选择合适的形式：

①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为y=a/+b久+c;

②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值时，可设函数解析式为

y=a（x—h）2+k;

③当已知抛物线与x轴的两个交点（xi,0）,（X2,0）时，可设函数解析式为y=

考点2：平移

平移步骤:：（1）先将函数化成y=a（x-h）2+k,顶点坐标为（h,k）

（2）从函数y=ax2平移烦方法如下：

向上（上01或向下（上。）】平移因个单位

Ay=ax2+k

向右（心0）【或左（麻0）】

向右（心0）【或左（左。）】

向右（加0）1或左（左0）】平移I川个单位

平移回个单位平移I用个单位

向上（30）【或下（上0）】

平移岗个单位

;1=%-妒+可产a（x-妒

向上（上0）1或下（收0）】平移因个单位

注意：（1）上下平移若原函数为y=a/+"+c

向上平移加个单位，则平移后函娄为y=ax?+6x+c+根

向下平移/n个单位，贝!J平移后函娄於Jy=ax?+6x+c-m

注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。

（2）左右平移

若原函数为ynaV+H+c,左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式

y=a（x-4+k然后再进行相应的变形

,若向左平移了〃个单位，则平移后的襁为y=a（x-丸+〃）2+左

〔若向右平移了〃个单位，贝U平移后的磁为y=a（x-丸-4+左

注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。

母题精讲

【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y^ax2+bx+c的图像经过点A(1,

0)、B(0,-5)、C(2,3).求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对

称轴.

【典例2】已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.

【典例3】抛物线过点(9,0)、(5,16)、(1,0),求二次函数解析式，并画出函数图象.

【典例4】(2022•山西模拟)将抛物线y=V-4x-3先向左平移2个单位长度，再向上平

移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为()

A.y=x2-4B.y=(x-4)2-10

C.尸(x-4)2-4D.10

真题精选

命题1二次函数函数解析式的确定

1.（2021秋•祥云县期末）若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（0,I）,那么

这个二次函数的解析式可以为（只需写一个）.

2.（2021秋•伊川县期末）已知二次函数的图象经过（-1、0）、（3、0）、（0、3）三

点，那么这个二次函数的解析式为.

3.（2020秋•永嘉县校级期末）一条抛物线和抛物线y=-2炉的形状、开口方向完全相同,

顶点坐标是（-1,3）,则该抛物线的解析式为（）

A.y=-2f+4x+lB.y=-2x2-4x+l

C.y=-4a2-4x+2D.y=-4X2+4X+2

命题2二次函数图像的平移

4.（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-1）2+1的图象向左平移1个

单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）2+3C.j=x2+lD.j=x2-1

5.（2022•湖州）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）

A.y=f+3B.y=x2-3C.y=（x+3）2D.y=（x-3）2

6.（2022•牡丹江）抛物线y=F-2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度,

得到抛物线的顶点坐标是.

7.（2022•青海）如图1,抛物线yuf+H+c与%轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与

y轴交于点C

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线的对称轴与直线的交点，点尸是抛物线的顶点，求EF的长;

专题13二次函数解析式的确定及图像变换（考点解读）

中考命题解读

二次函数是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题

形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函

数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形

结合思想的典例。

考标要求〉

1.要掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件灵活运

用，确定二次函数的解析式；

2.掌握二次函数图像的平移方法。

考点精讲

考点L二次函数解析式常见形式

（1）一般式：y=a/+b久+c（a,b,c为常数，aHO）;

（2）顶点式：y=a（x-hp+k（a,h,k为常数,aWO）;

（3）交点式：y=a（x-xj（x-X2）（Xi,X2为抛物线与x轴交点的横坐标，aHO）

解题思路：

根据题中所给的条件选择合适的形式：

①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为y=a/+b久+c;

②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值时，可设函数解析式为

y=a（x—h）2+k;

③当已知抛物线与x轴的两个交点（xi,0）,（X2,0）时，可设函数解析式为y=

考点2：平移

平移步骤:：（1）先将函数化成y=a（x-h）2+k,顶点坐标为（h,k）

（3）从函数y=ax2平移烦方法如下:

向上（上01或向下（收0）】平移因个单位

■*y=ax^+k

向右信＞0）1或左（左0）】

向右仅＞0）【或左（左0）】

向右（右0）t或左（Av。）】平移I川个单位

平移I用个单位平移I对个单位

向上（上0）【或下（K0）】

平移因个单位

产％-妒卜日产伞妒+屋

向上（上0）【或下（k0）】平移因个单位

注意：（1）上下平移若原函数为y=ax2+"+c

向上平移,九个单位，则平移后函娄於Jy=。必+6x+c+m

向下平移m个单位，则平移后函数句y=ax?+6X+C-〃2

注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。

（2）左右平移

若原函数为丁=。/+法+°,左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式

y=a（x-4+上然后再进行相应的变形

若向左平移了〃个单位，则平移后的磁为y=。（％-丸+〃）2+左

［若向右平移了〃个单位，贝U平移后的襁为了=心-丸-〃）2+左

注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。

母题精讲

【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y^ax2+bx+c的图像经过点A（1,

0)、B(0,-5)、C(2,3).求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对

称轴.

【答案】解：由这个函数的图象经过点A(L0)、B(0,-5)、C(2,3),得

a+b+c=0

c=-5

{4a+2b+c—3

(a=-1

解得Jb=6

(c=-5

所以，所求函数的解析式为y=_/+6x_5.

y——%2+6x—5=—(x—3)24-4•

所以，这个函数图象的顶点坐标为(3,4),

对称轴为直线x=3.

【典例2】已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.

【答案】解：I•抛物线顶点为(1,-4),

.♦•设抛物线解析式为y=a(x-1)-4,

把(2,-3)代入得a-4=-3,

解得a=l,

所以抛物线解析式为y=(x-l)2-4

【典例3】抛物线过点(9,0)、(5,16)、(1,0),求二次函数解析式，并画出函数图象.

【答案】解：；抛物线经过点(9,0)、(1,0)

抛物线的对称轴为直线*=?=5

又•••抛物线过点(5,16)

・・•点(5,16)即为抛物线的顶点

・•・可设二次函数的解析式为：y=a(%—5)2+16

把点(1,0)代入得：0=◎(1—5)2+16

解得：a=—1

・•・二次函数的解析式为：y=-(%-5)2+16

列表如下:

X13579

y01216120

【典例4】（2022•山西模拟）将抛物线y=V-4%-3先向左平移2个单位长度，再向上平

移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y=x12-4B.y=（x-4）2-10

C.y=（x-4）2-4D.10

【答案】A

【解答】解：y=x2-4x-3=（x-2）2-7,

当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得丁=（x-2+2）2-7+3,即

-4.

故选：A.

真题精选

命题L二次函数函数解析式的确定

1.（2021秋•祥云县期末）若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（0,I）,那么

这个二次函数的解析式可以为（只需写一个）.

［答案］y=3+1

【解答】解：•.•二次函数的图象开口向下,

，可知a为负数，取。=-1,

•.•顶点坐标为(0,1),

.♦.二次函数的解析式为：y=-(x-0)2+1=-x2+l,

故答案为：y=-f+i(答案不唯一).

2.(2021秋•伊川县期末)已知二次函数的图象经过(-1、0)、(3、0)、(0、3)三

点，那么这个二次函数的解析式为.

［答案］y=-1+21+3

【解答】解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

把(0,3)代入得3=。(0+1)(0-3),

解得a=-b

所以抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3),

即丁=-/+2x+3.

故答案为丁=_X2+2X+3.

3.(2020秋•永嘉县校级期末)一条抛物线和抛物线y=-2/的形状、开口方向完全相同,

顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的解析式为()

A.y=-2X2+4X+1B.y=-2x2-4x+l

C.y=-4x2-4x+2D.y=-4x2+4x+2

【答案】B

【解答】解：抛物线解析式为y=-2(x+1)2+3=-2/-4x+l.

故选：B.

命题2二次函数图像的平移

4.(2022•通辽)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-1)2+1的图象向左平移1个

单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为()

A.y=(x-2)2-1B.y=(x-2)2+3C.y=x2+lD.-1

【答案】D

【解答】解：将二次函数y=(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个

单位长度，得到的抛物线的解析式是y=(%-1+1)2+1-2,即y=%2-i.

故选：D.

5.(2022•湖州)将抛物线丁=/向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是()

A.y=f+3B.y=x1-3C.y=(x+3)2D.y=(x-3)2

【答案】A

【解答】解：•.•抛物线产/向上平移3个单位，

.••平移后的解析式为：y=f+3.

故选：A.

6.(2022•牡