多边形的面积几何模型篇之等高模型-2024-2025学年苏教版五年级数学上册典型例题（解析版）

2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列

第二单元多边形的面积•几何模型篇•等高模型【六大考点】

函【第一篇】专题解读篇

目专题名称第二单元多边形的面积几何模型篇•等高模型

邕专题内容本专题以等高模型为主，其中包括六种常见问题。

回总体评价★★★★★

京讲解建议几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，

其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，

因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解

部分考点考题。

品考点数量六个考点。

匿匿【【第第二二篇篇】】目目录录导导航航篇篇

30【考点一】等高模型问题一：基础应用........................................3

【考点二】等高模型问题二：进阶应用........................................4

30【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）...............6

30【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点）.......8

30【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分）.................9

30【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用....................14

Qj【第三篇】典型例题篇

30【考点一】等高模型问题一：基础应用。

■【方法点拨】

1.等高模型。

两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，

因此，这个模型被称为“等高模型”。

2.解题方法与原理。

三角形面积的计算公式是三角形面积=底义高+2,从这个公式我们可以发现：三

角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

(1)等底等高的两个三角形面积相等(等积模型)。

(2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

(3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例：如图，如果DC=2BD,则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。

如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC

底边BC边上的高AE长9厘米。

(1)求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

(2)求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？

A

解析：

BD的长度是CD的3倍，而对于4ABD与4ADC高相等，所以AABD的面积

>AADC的3倍。同理BC的长度是CD的4倍，所以4ABC的面积是AADC

的4倍。

【对应练习】

如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是

三角形ADC面积的几倍？

解析：

BD是CD的3倍。所以SZ\ABD=3SZ\ADC；

BC是CD的4倍。所以S4ABC=4SZiADC

【考点二】等高模型问题二：进阶应用。

■【方法点拨】

1.等高模型。

两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，

因此，这个模型被称为“等高模型”。

2.解题方法与原理。

三角形面积的计算公式是三角形面积=底义高+2,从这个公式我们可以发现：三

角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

(1)等底等高的两个三角形面积相等(等积模型)。

（2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍,

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

（3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍,

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例：如图，如果DC=2BD,则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。

A

【典型例题】

2

如图，在aABC中，CD=2BD,SAABD=20cm,求SZ!\ABC。

2

解析：SAABC=20X(1+2)=6(cm)

【对应练习】

如图，在aABC中，AD=2cm,CD=3cm,已知SAABD=12CDI2,求SZkABC。

2

解析:SAABC=12-2X(2+3)=30(cm)

【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中

o

A【方法点拨】

1.等高模型。

两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，

因此，这个模型被称为“等高模型”。

2.解题方法与原理。

三角形面积的计算公式是三角形面积=底义高+2,从这个公式我们可以发现：三

角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

（1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。

（2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

（3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例：如图，如果DC=2BD,则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。

如图，在AABC中，BD=CD,AE=CE,已知S^BC=12cm2,求SADEC

解析：SMDE=12+2+2=3(cm2)

【对应练习11

如图，在AABC中，BD=CD,AE=CE,已知SmBC=8cm2,求S―DE

A

解析：SAADE=8+2+2=2(cm2)

【对应练习21

如图,在aABC中，D、E分别是BC、AC的中点,已知S.DE=8cm2,

求SAABC-

角星析：S△ACD~8X2X2—32(cm?)

【对应练习31

2

如图，在AABC中，BD=CD,DEIAB,BE=DE,AB=9cm,SAABC=36cm,

求SAADE-

S/kABD=36+2=18(cm2)

BE=DE=18x2+9=4(cm)

SAADE=(9-4)x4+2=10(cm2)

【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（=

等分点）。

A【方法点拨】

1.等高模型。

两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，

因此，这个模型被称为“等高模型”。

2.解题方法与原理。

三角形面积的计算公式是三角形面积=底义高+2,从这个公式我们可以发现：三

角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

（1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。

（2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

（3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例：如图，如果DC=2BD,则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。

如图，在AABC中，AD=CD,AE=3BE,已知S^ABC=144cm2,求S^BDE.

2

解析:SABDE=144-2-(1+3)=18(cm)

【对应练习11

如图，在AABC中，AD=CD,BE=3AE,已知S.DE=24cm2,SAABC

角星析：SAABC=24-^3X(1+3)x2=64(cm2)

【对应练习21

如图，在AABC中，AD:CD=3:1,AE:BE=3:1,已知S4ABC=48cm2,求S^BDE.

2

解析:SABDE=48-(1+3)x3+(1+3)=9(cm)

【对应练习3]

如图，在AABC中，CD=2BD,CE=3AE,已知S^ADE=6cm2,求S―BC

解析：SAABC=6X(1+3)+2x(1+2)=36(cm2)

【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用(多次等分)。

，【方法点拨】

1.等高模型。

两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，

因此，这个模型被称为“等高模型”。

2.解题方法与原理。

三角形面积的计算公式是三角形面积=底义高+2,从这个公式我们可以发现：三

角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

（1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。

（2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

（3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例：如图，如果DC=2BD,则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。

已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE=2ED,F为EC

的四等分点中靠近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？

【答案】15平方厘米

【分析】三角形ABC和三角形ACD的高是相等的，且D是BC的中点，因此

CD=|BC,所以三角形ACD的面积等于三角形ABC面积的;；又因为三角

2

形ACD和三角形ACE的高相等，且AE=2ED,所以AE=§AD,因此三角形

2

ACE的面积等于三角形ACD面积的］；三角形ACE和三角形AEF的高相

等，且F为EC的四等分点中靠近C的一点，因此EF=；CE,所以阴影三角形

AEF的面积等于三角形ACE面积的I，据此解答。

【详解】由分析得：

三角形ACD的面积：1x60=30（平方厘米）

三角形ACE的面积：$30=20（平方厘米）

三角形AEF的面积：-x20=15（平方厘米）

答：阴影三角形AEF的面积是15平方厘米。

【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，两个三角形的高相同时，一个三角

形的底是另一个三角形底的几分之几，这个三角形的面积就是另一个三角形面

积的几分之几。

【对应练习11

将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？

［答案］

BDEFC

BC

DEF

【详解】试题分析：将任意一条边四等分，利用等底等高的三角形面积相等可

以解决；还可以利用线段的中点去做.

解：如图

A

BDEF

A

方法1：在已知AABC的任意一边（假设BC边）上取三个四等分点D,E,

F,顺次连接AD,AE,AF,这样就将AABC分成了面积相等的四个小三角

形，如上面第一幅图.

方法2：在已知AABC的任意一边（假设BC边）上取三个四等分点D,E,

F,用实线连接AD,AE（或AD,AF或AE,AF）,用虚线连接AF（或AE

或AD）,然后在AF（或AE或AD）上取中点G,用实线连GE,GC（或

GD,GF或GB,GE）,这样AABC中的实线将其分成了四个面积相等的图

形，如上面第二幅图.

点评：此题主要考查：①等底等高的三角形的面积相等；②等量加等量和相

等.

【对应练习21

将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、

（2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画

【分析】利用等底等高的三角形面积相等，可以将三角形的一条边或三角形上

的其他连线五等分，再与相对的顶点相连即可。

【详解】由分析可知，如图所示：

【点睛】此题主要考查等底等高的三角形面积相等。

【对应练习3]

如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD=BD,则三角形BCD

与三角形ACD的面积相等。

D

(1)如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角

2

形ADE的面积是2cm2,则三角形ABC的面积是()cmo

(2)如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分'AC边四等分。已知三角形

2

ADE的面积是2cm2,则三角形ABC的面积是()cmo

(3)如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平

2

行四边形ABCD的面积是15cm2,则三角形AEF的面积是()cmo

【答案】(1)8

(2)24

(3)0.25

【分析】(1)根据题意，推理出因为E是AC边的中点，所以三角形ADE的

面积等于三角形CDE的面积。又因为D是AB边的中点，所以三角形BCD与

三角形ACD的面积相等。那么用三角形ADE的面积乘2,先求出三角形ACD

的面积。再将三角形ACD的面积乘2,即可求出三角形ABC的面积；

(2)同理(1)可推出，把AC边四等分，那么三角形ADE的面积是三角形

ACD面积的四分之一。把AB边三等分，那么三角形ACD是三角形ABC的三

分之一。据此，将三角形ADE的面积先乘4,求出三角形ACD的面积。再将

三角形ACD的面积乘3,求出三角形ABC的面积；

(3)将平行四边形的面积除以2,先求出三角形ABD的面积。再将三角形

ABD面积除以5,求出三角形ADE的面积。最后再将三角形ADE的面积除以

6,即可求出三角形AEF的面积。

【详解】(1)2x2x2

=4x2

=8(cm2)

所以，此时三角形ABC的面积是8cm2。

(2)2x4x3

=8x3

=24(cm2)

所以，此时三角形ABC的面积是24cm2。

(3)15+2+5-6

=7.5+5+6

=1.5+6

=0.25(cm2)

所以，此时三角形AEF的面积是0.25cm2o

【点睛】本题考查了三角形的面积，解答本题的关键是理解题干中的理论，应

用新方法去求三角形的面积。

30【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用。

■【方法点拨】

1.等高模型。

两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，

因此，这个模型被称为“等高模型”。

2.解题方法与原理。

三角形面积的计算公式是三角形面积=底义高+2,从这个公式我们可以发现：三

角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

(1)等底等高的两个三角形面积相等(等积模型)。

(2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

(3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，

那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例：如图，如果DC=2B