对数函数（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第08讲对数函数

（12类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2022年天津卷，第5题,5分对数的运算、对数的运算性质的应用

2021年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2021年天津卷，第7题,5分运用换底公式化简计算

2020年天津卷，第6题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2021年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质

2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题

4.能结合图像与性质解决综合型问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。

12.考点梳理*

知识点一.对数的定义考点一、对数函数的解析式

1.定义I考点二、对数函数的求值、求参问题

知识点二.对数函数的定义

2.对数函数的图象与性质]考点三、对数函数的定义域与不等式

考点四、对数函数的值域问题

考点五、对数函数的定义域与值域求参问题

对数函数

知识点三.对数函数图象的特点考点六、对数函数过定点问题

考点七、对数函数的单调性

考点八、对数函数的图像

考点九、对数模型实际应用

考点十、对数函数比较大小

知识点四.指对函数性质的比较考点十一、对数函数综合应用

考点十二、对数函数的奇偶性与对称性

知识讲解

知识点一.对数的定义

1.一般地，如果a（a〉O,a#1）的6次幕等于“即那么称6是以a为底”的对数，记作6=10gsM

其中，a叫做对数的底数，”叫做真数.

2.底数的对数是1,即log«t=l,1的对数是0,即logsl=0.

知识点二.对数函数的定义

L形如y=logax（a〉0,aWl）的函数叫作对数函数,其中x是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

2.对数函数的图象与性质

a>l0〈水1

yy

1

图象0L_.

0

定义域：（0,+°0）

值域：R

性质

过点（1,0）,即当x=l时，y=0

在（0,+8）上是单调增函数在（0,+8）上是单调减函数

知识点三.对数函数图象的特点

1.对数函数y=logax（a>0且aWl）的图象过定点（1,0）,且过点（a,1）,一1）,函数图象只在第一、四

象限.

2.函数y=logaX与y=Zo^?（a>0且a#l）的图象关于x轴对称.

3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

注意：

1.在运算性质10ga"=〃10ga〃中，要特别注意粉0的条件，当刀£N*,且〃为偶数时，在无〃>0的条件下应

为10ga/=7710ga|M.

2.研究对数函数问题应注意函数的定义域.

3.解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对於1及0〈水1进行分类讨论.

4.对数函数的图象与底数大小的关系

—y=logx

一n*：

°——r=log*

'尸hg产如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0

<c<d<l<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

知识点四.指对函数性质的比较

图像特征函数性质

共性向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

函数图象都在X轴上方函数的值域为R

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)过定点(0,1)

0<a<l自左向右看，图象逐渐下降减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x〉0时，0<y<l;

在第二象限内的图象纵坐标都大于1当xO时，y>l

图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较

慢；

a>l自左向右看，图象逐渐上升增函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x〉0时，y>l;

在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x〈0时，0〈y〈l

图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢

到了某一值后增长速度极快；

考点一、对数函数的解析式

典例引领

1.(23-24高三上•江苏•期末)满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数〃久)可以为f(x)=—.(写出一个即

可)

2.(22-23高三上•江苏泰州•期中)已知函数/(%)同时满足(l)/(nm)=/(m)+/(几)；(2)(租一九)[/(m)-

/(H)]<0,其中zn>0,几>0,znWn，则符合条件的一个函数解析式/(%)=.

即时便测

1.(2023高三上•全国•专题练习)已知/(%)是定义在R上的偶函数，且当X>0时，/(x)=loga(x+1)(a>

0,且awl),则函数/(%)的解析式是—.

2.(2024•河北沧州•模拟预测)直线X=4与函数/(%)=logx(a>l),g(%)=log”分别交于两点，

a2

且[48|=3,则函数以%)=/(%)+g(%)的解析式为()

A./i(x)=—log2xB./i(x)=—log4x

C./i(x)=log2xD./i(x)=log4x

3.(2024•北京东城•一模)设函数/0)=a+1，则()

A-/«+/©=2B./«-/£)=2

C./(X)/Q=2D./(x)=2/g)

4.(23-24高三上•北京•阶段练习)定义域为R的函数同时满足以下两条性质：

①存在XoCR,使得/Oo)40；

②对于任意16R,有/(%+1)=2/(%).

写出满足上述性质的一个增函数/(%)=—.

考点二、对数函数的求值、求参问题

典例引领

x

1.(2024•湖北•模拟预测)已知函数/㈤=-b?~x<-华7则"嗝12)=()

1J,X)/，

.10pj13「35”37

A.—D.—C.—D.—

3366

2.(23-24高三下•重庆•阶段练习)已知定义在R上的函数/Q)是奇函数，且当汽20时，/(%)=

log2(x+3)+a,贝！)/(-3)=()

A.1B.—1C.2D.—2

即B承测

1.(2024•四川遂宁•模拟预测)下列函数满足f(log23)=-f(log32)的是()

A./(x)=1+InxB./(x)=%+：

C./(x)=%—|D./(%)=1—x

2.（2024•山东济宁•三模）己知函数/（功=-⑴'，，财年）=——•

log/,%>0

3.（2024•河北•三模）已知函数f（%）=|lg%|,若f（a）=f（b）（a手b）,则当2a,3》取得最小值时，

a_

b--------■

4.（2024•四川•模拟预测）已知函数f（%）=cos%.In"*+i一％）+i,若/（7n）=3,则/（一加）=

（）

A.-1B.-3C.-5D.3

考点三、对数函数的定义域与不等式

典例引领

1.（2024•青海海南•二模）函数/（X）=馆（1；/）的定义域为（）

A.（-VTo,VTo）B.（-00,-V10）u（V10,+00）

c.[-Vio.VTo]D.（-V10,0）u（0,V10）

2.（23-24高三上•天津河东•阶段练习）函数f（乃='箸的定义域为.

1.（2022高三上•河南•专题练习）函数/0）=黑亮的定义域为（）

A.（I,=）u（p4）B.U5,4）C.[l,=）U（p4]D.[1,n）U（n,4]

2.（2024高三•全国•专题练习）已知函数f（x）的定义域为[-2,刀，则函数尸（久）=端苧的定义域为

（）

A.[-3,1]B.[-3,0）U（0,1]

C.（-1,0）U（0,1）U（1,3]D.[-3,-1）U（-1,0）U（0,1）

1

3.（2024•北京通州•二模）已知函数f（%）=久5+1g（久一2）的定义域为.

4.（23-24高三下-上海-阶段练习）函数/（%）=lg（4x-2%—2）的定义域为—.

考点四、对数函数的值域问题

典例引领

1.（23-24高三上•北京•期中）下列函数中，值域为（1,+8）的是（）

A.y=-^―B.y=代+1C.y=lg（|x|+1）D.y=2%+1

2.(2024高三•全国•专题练习)函数/(%)=In%+x,xE[l,e]的值域为.

即时检测

1.(23-24高三上•上海黄浦•期中)函数y=log3》+高而在区间(，+8)上的最小值为.

2.(23-24高三上•河南•期中)已知函数f(x)=，贝次(e+1)=,函数f(x)的

值域为.

(|log2%L%>a

3.(23-24高三上•重庆•期中)已知。〉0,函数/(%)=%_2,当。=2时，/(%)的值域

"3

为;若不存在%1，%2(%1。%2)，使得f(%i)=f(%2)，则实数a的取值范围是

4.(23-24高三上•福建莆田•阶段练习)函数/O)=log2x-210g2(x+1)值域为

考点五、对数函数的定义域与值域求参问题

典例引领

1.(23-24高三下•四川雅安•阶段练习)若函数f(x)=logo5(/—a*+2a)(a>0)的值域为R,则/(a)的

取值范围是()

A.(—00,—3]B.(—00,-4]C.[—4,4-00)D.[—3,+8)

2.(22-23高三•全国•对口高考)若函数y=lg(M—+9)的定义域为R,则a的取值范围为；

若函数y=lg(%2-ax+9)的值域为R,则a的取值范围为.

♦♦眼举w

1.(23-24高三上•上海闵行•期中)已知"X)={(二8靠;;a，若函数V=的值域为R，则实数a的

取值范围是.

2.(2023•全国•模拟预测)若“Yxe[3,27],log3x<m"是真命题，则实数m的一个可能取值为.

3.(2023•江西景德镇•模拟预测)若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则在函数/(久)=ln(x2+ax+b)

的值域为R的条件下，满足“函数g(久)=鲁三为偶函数”的概率为()

。(a+b)x

222R

A.EB.-C,-D.-

考点六、对数函数过定点问题

典例引领

1.(,山东•高考真题)函数y=loga(x+3)-l(a>0,aW1)的图象恒过定点若点4在直线zn%+ny+

1=0±,其中根、n>0,则工+2的最小值为

mn-------

2.(23-24高三上•陕西•阶段练习)函数f(%)=loga(%+l)+2*Q>0,且aHl)的图象过定

点.

即时检测

1.(23-24高三上•陕西咸阳•期中)已知函数，=1。8久式一1)+4((1>0且£1力1)的图象恒过定点「，点P在

塞函数y=〃久)的图象上，则lgf(2)+lg/(5)=.

2.(2023•江西赣州•一模)已知函数y=1+loga(2-x)(a>。且a丰1)的图像恒过定点P,且点P在圆久2+

y2+mx+m=o外，则符合条件的整数m的取值可以为.(写出一个值即可)

3.(2023•青海西宁•二模)已知函数y=loga(3x-2)+2(a>0且aH1)的图像过定点A,若抛物线y?=

2P久也过点A,则抛物线的准线方程为.

4.(2023高三•全国•专题练习)已知数列｛厮｝为等比数列，函数y=loga(2x-1)+2的图象过定点(的,a2),

bn=log2an,数列｛6n｝的前n项和为贝USi。的值为.

考点七、对数函数的单调性

典例引领

1.(2022高三•全国•专题练习)函数/(%)=logi(-2x2+3%+2)的单调递减区间为

5

2.(2024•黑龙江•模拟预测)设函数/(%)=ln|%-a|在区间(2,3)上单调递减,则。的取值范围是(

A.(—8,3]B.(—8,2]C.[2,+oo)D.[3,+8)

即时检测

1.(2024•江苏南通•模拟预测)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范

围是()

A.a<0B.-1<a<0C.-1<a<0D.a之一1

3

2.(•天津•高考真题)若函数f(x)=loga(%-a%)(a>0且a中1)在区间(一表0)内单调递增，贝b的

取值范围是()

A-I?1)B.[|,1)C.(…)D.(1,)

3.(2024•陕西铜川•三模)若函数丫=[(3°]1)久+2；，：<1，在7?上单调递减，则实数。的取值范围是

()

A-(*)B.(0,|]C,[|,0D.[|,1)

考点八、对数函数的图像

典例啊

即时建

的大致图象为（

)

考点九、对数模型实际应用

中典例引领

1.（21-22高三上•江苏扬州•期末）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的

著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎

曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在

此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为“（久）«户的

Inx

结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为（）（素数即质数，Ige。0.43,计算

结果取整数）

A.1079B.1075C.434D.2500

2.（2021•宁夏银川•二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传

输速率C取决于信道带宽肌经科学研究表明：C与W满足C=〃log2（l+5），其中S是信道内信号的平均

功率，N是信道内部的高斯噪声功率，?为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若

不改变带宽肌而将信噪比，从1000提升至4000,则C大约增加了（）（附：lg2=0.3010）

A.10%B.20%C.30%D.40%

即时检测

1.（2024•陕西渭南•二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：

在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为/C,且y=k•0.9227*+25（x>0,fce

R）.当茶水温度降至60K时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（）

（参考数据：ln2-0.69,ln3-1.10,ln7-1.95,ln0.9227«-0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

2.（2024•河南三门峡•模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间

的关系为IgE=4.8+1.5M.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的

能量记为外,2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为E2,则比值辱的整数部

E2

分为（）

A.4B.5C.6D.7

3.（2024•广东•一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前

一天的基础上进步2%,而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步K.那么，大约需要经过

（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：lgl02~2.0086,lg99-1.9956,lg2-0.3010）

A.23B.100C.150D.232

考点十、对数函数比较大小

典例引领

1.（2020•全国・高考真题）若2%-2、V3T-3-则（）

A.ln（y—%+1）>0B.ln（y—%+1）<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

2.（2024•湖北武汉•二模）设a=gb=21n（sin2+cos^）,c=号1哈则a,hc的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

即时便测

1.（2024•湖北黄冈•二模）已知a,4c,d分别满足下列关系：16。=15,b=log1716Jogi5C=^,d=tan|,

Ti162

则a,b,c,d的大小关系为（）

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

1104

2.（2024•山东聊城•三模）设a=log49,b=log25,c=S-^,贝6,c的大小关系为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

考点十一、对数函数综合应用

典例啊

1.(23-24高三下•江苏,阶段练习)已知函数/(%)=V3sin3x+cos3%,g(%)=21g(x+1),则函数h(%)=

/(%)-。(%)的零点个数为()

A.9B.10C.11D.12

2.(2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数。(久)=%—3,方程f(。(久))=一3-。(久)有

两个不同的根，分别是%1，%2,则％1+%2=()

A.0B.3C.6D.9

即时检测L

1.(2024•陕西西安•模拟预测)"0<a4'是“方程22工=log。％在工e(0局上有实数根”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.(2024•河南•模拟预测)已知｛的｝为正项等比数列,若lga2，lga2023是函数fQ)=3%2-12%+9的两个

零点，则的£12024=()

A.10B.104C.108D.1012

3.(2024高三•全国•专题练习)设方程2，+x+3=0和方程log2%+%+3=0的根分别为p,q,设函数

f(x)=(x+p)(x+q),则()

A./⑵=f(0)</(3)B./(0)=f(3)>f(2)

C.”3)<f(2)=/(0)D./(0)<f(3)<f(2)

考点十二、对数函数的奇偶性与对称性

典例引领

1.(2022•全国•高考真题)若/(切=111,+±|+6是奇函数，则a=—,b=—.

2.(2024•重庆•模拟预测)已知定义在[0,1]上的函数/O)满足：X/xe[0,1],都有/(1—久)+/(x)=1,

.1.当oWK1<叼W1时，恒有/01)<〃K2)，则/(等)=(）

111

A.-B.-C.-D.In3

324

♦♦即时检测

■________

1.(2024•山东泰安•模拟预测)设/(%)是定义在R上的奇函数，且/(2+%)=/(-%),当一1<%<0时，

/(X)=10g2(-6x+2),则f(?)的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

2.(2024•江西•二模)已知定义在R上的函数/(%)满足/(%+2)=/(-x)=一/(%),当0<%<1时，f(%)=

log2(x+1).若f(a+1)>/(a),则实数a的取值范围是()

A.(—-+4k,——+4k),fcGZB.(-1+4fc,4k),fcGZ

C.(—1+4fc,1+4/c),/c€ZD,(一,+4k,g+4/c),fcGZ

2

3.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)已知函数/(%)=31og2(V%+1-x),正数a,b满足/(a)+/(3b-1)=0,

则华的最小值为()

ab

A.6B.8C.12D.24

IN.好题冲关

A基础过关

1.（2024•四川成都•模拟预测）已知定义在R上的奇函数f（久）满足/（久+3）=/（%-1）*且当%£（-2,0）时,

f（x）=log2（x+3）,贝行（2021）-/（2024）=（）

A.1B.-1C.1—D.-1—

2.（2024•江苏•模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了

解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1.5M.2008年5

月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级

地震的（）倍

o8

A.-B.IOTC.IO15D.104-8

7

3.（2024•四川成都•模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高

计算速度和准确度.已知M={1,3},N={1,3,5,7）,若从集合M,N中各任取一个数x,y,则log3（xy）为整数

的概率为（）

1214

A.-B.-C.-D.-

4525

4.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（%）=1。82（2-％）的值域为（一8,1],则函数/（2%）的定义域为

5.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（%）=log2“%2+a一%）是奇函数,则。=.

2X-1(%<1),

6.(2024•四川自贡•三模)函数/(久)=,^-x(x>ir4)=2则n。=

「2024

7.(23-24高三下•福建厦门•强基计划)[灯表示不超过久的最大整数，则溜和gk][嘲=

B能力提升

1.(2024•重庆九龙坡•三模)正整数1,2,3,…,n的倒数的和1+；+；+…+工已经被研究了几百年，但是迄

23n

今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，l+[+[+-+3=hm+y.

其中y称为欧拉-马歇罗尼常数，Y〜0.577215664901至今为止都不确定y是有理数还是无理数.设[制表

示不超过x的最大整数，用上式计算[1+号+：+・“+/]的值为()

(参考数据：ln2«0.69,ln3«1.10,InlO«2.30)

A.10B.9C.8D.7

f__Jx<2

2.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(%)=4钮-4，4是R上的单调函数，则实数a的取值

[loga(4x)-l,%>|

范围是()

A.(0,1)B.(1,V3]C.(1,V3)D.(1,3)

x

3.(23-24高三下•浙江•阶段练习)已知函数/'(£)=匕-2(x>1),^(%)=±-log2x(x>1)的零点分

别为a,。，贝咛+"的值是()

A.1B.2C.3D.4

4.(2024•宁夏银川•三模)命题p:0<a<1,命题q:函数f(x)=log。(2-ax)(a>0且a丰1)在(—8,3)上

单调，贝如是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(2024•四川绵阳•模拟预测)已知定义在R上的函数/(%)满足/(%+