北师大版高考数学一轮专项复习讲义-极值点偏移

极值点偏移

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极

值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐,

计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独

具特色.

1.极值点偏移的概念

已知函数y=/(x)是连续函数，在区间(°,6)内只有一个极值点xo,八xi)=/(X2),且xo在xi与

X2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，

常常有配力包士这，这种情况称为极值点偏移.

2

2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1)函数外)存在两个零点Xl，X2且求证：》+工2>2%0(%0为函数段)的极值点)；

(2)函数外)中存在Xi,X2且X1WX2,满足於1)=加2)，求证：修+工2>2%0(%0为函数加)的极值点)；

)，，X1；"2

(3)函数人X存在两个零点XlX2且X1#X2令XO=,求证：f(%0)>0；

⑷函数/件存在卬X2且x/必满足加)=加2),令X尸手，求证：/(X0)>0.

题型一对称化构造函数

例1(2023・唐山模拟)已知函数於)=xe2r.

⑴求大x)的极值；

⑵若a>l,b>l,a^b,»+»=4,证明：a+b<4.

(1)解因为兀。=我2",

所以，(x)=(1—x)e2r,

由/(x)>0,解得x〈l；由，(x)<0,解得x>l,

所以/(x)在(一8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

又｛l)=e,

所以")在x=l处取得极大值e,无极小值.

(2)证明由(1)可知，於)在(1,+8)上单调递减，人2)=2,

且a>l,b>l,a声b,火。)+心)=4,

不妨设要证。+6<4,只需证6<4—

而6>2,2<4—0<3,且在(1,+8)上单调递减，

所以只需证人6)寸(4—a),

即证4—/(a)>/(4—a),

即证J(a)+/(4—a)<4.

即证当l<x<2时，")+/(4一刈<4,

令尸(x)=/(x)+/(4—x),l<x<2,

则厂'(x)=f(x)—f(4—x)

=(1-柳2'一-2。-3),

令h(x)=(1—x)e2-Jr—ev2(x—3),I<x<2,

则h'(x)=e2-x(x—2)—ex-2(x—2)

=(x—2)(e2r_&L2),

因为l<x<2,所以x—2<0,e2x—ex2>0,

所以/(x)<0,

即〃(x)在(1,2)上单调递减，

则h(x)>h(2)=Q,即F'(x)>0,

所以*x)在(1,2)上单调递增，

所以-x)<F(2)=贽2)=4,

即当1cx<2时，/)+/[4—x)<4,

所以原命题成立.

思维升华对称化构造函数法构造辅助函数

(1)对结论XI+X2>2XO型，构造函数F(x)=»-/(2xo-x).

(2)对结论xiX2>x8型，方法一是构造函数F(X)=»-/E3,通过研究尸(x)的单调性获得不等

式；方法二是两边取对数，转化成lnxi+lnx2>21nxo,再把Inxi,ln%2看成两变量即可.

跟踪训练1(2022•全国甲卷)已知函数人x)=五一lnx+x—a.

(1)若於)20,求a的取值范围；

(2)证明:若於)有两个零点XI,X2,则X1X2<1.

(1)解由题意知函数兀v)的定义域为(0,+°°).

由/1+1

X2X

1)—x+x2_(ex+x)(x—1)

X2X29

可得函数人X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以於)min=/(l)=e+l—Q.又加)20,

所以e+1—解得aWe+1,

所以。的取值范围为(-8,e+1].

(2)证明方法一不妨设X1〈X2,

则由(1)知0<Xl<l<X2,—>1.

XI

令尸(x)=Ax)—/日,

1

ex+—II--1

X]\X

则尸，(x)=⑹+x)(x—l=(izzl)(ev+x_X/-1).

X2"TX2X2

x2

]_

令g(x)=e*+x—xex—1(x>0),

11

贝Ug，(^)=^+1—ev+xeA'•—

x2

=d+l+eQ-1(x>0),

1X

所以当xe(0,1)时，g'(x)>0,

所以当xd(0,l)时，g(x)<g(l)=0,

所以当xW(0,l)时，F'(x)>0,

所以F(x)在(0,1)上单调递增，

所以9(x)<F(l),

即在(0,1)上儿：)一/H<F(I)=O.

又加1)=兀m)=0,所以“X2)—/LLIVO,

即加2)歹［)

由(1)可知，函数段)在(1,+8)上单调递增,

所以X2<,，即X1X2<1.

XI

方法二(同构法构造函数化解等式)

不妨设X1<X2,

则由(1)知0<XI<1<X2,0<L<1.

X2

由HXD=/(X2)=0,

得——Inxi-\-Xi=----InX2+X2,

再X2

即9一山西+x]—inxi=e、2fx2+x2-inx2.

因为函数歹=^+%在R上单调递增,

所以xi—Inxi=X2—In工2成立.

构造函数h(x)=x-]nx(x>0),

g(x)=h(x)—=x—­—21nx(x>0),

(x

则g，a)=i+：_2=^^No(x>o),

力XX2,

所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增,

所以当班1时，g(x)>g(l)=0,

即当x>l时，/z(x)>/zLJ,

所以〃(、。二/也),〃[)

1y--1

又勿(X)=1--=----(x>0),

XX

所以〃(x)在(0,1)上单调递减，

所以0<XI<^<1,即XI%2VL

X2

题型二比值代换

例2(2024・沧州模拟)已知函数於)=111]一办一1(〃£10.若方程")+2=0有两个实根修，必

且X2>2XI,求证：工应>言(参考数据：In2-0.693,In3七1.099)

e3

证明由题意知人x)+2=lnx—ax-\-1—0,

finxi+1=axi,

于是.

InX2+1=ax2,

令及=/,则由X2>2XI可得t>2.

x\

曰_12一lnx2+l_In，+ln%i+l

xit=—='=',

xiInxi+1Inxi+1

即Inx\='^-■—1.

从而lnx2=ln^+ln

一t-l

另一方面，对XIX红?两端分别取自然对数,

eJ

则有Inxi+21nX2>51n2—3,

于是，即证上"+即—3>51n2—3,

t-lt-l

(l+2rtlntLic44-c

m即^------->51n2,其中62.

(l+2，)lnt

设g«),t>2.

t~\

..,,1+2/1

2Int~\I

、tJ«—1)—(1+2%)ln/

则g‘(尸

(L

(1)2

设((£)=-3In———1,t>2.

则“⑺=―)+2+；=2/一$+1=Q/I}—I)〉。在Q,+8)上恒成立,

tt2t2t2

于是9⑺在(2,+8)上单调递增，

从而9«)>9(2)=—31n2+4—；—1=|-31n2>0.

所以g'。)>0,即函数g(。在(2,+8)上单调递增,于是g(/)>g(2)=51n2.

因此x忌,¥，即原不等式成立.

e3

思维升华比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换/=里化为单变量的

X2

函数不等式，利用函数单调性证明.

跟踪训练2已知函数40=2+lnx(°eR).

X

(1)讨论於)的单调性；

(2)若/(X)有两个不相同的零点Xi,X2,设/(%)的导函数为，(x).证明：X\f(x\)+x2fr(X2)>21n

a+2.

(1)解作)=旦+山工的定义域为(0,+8),

X

口,//、一1a_x-a

且/(%)—----

Xxz

当aWO时，，(x)>0恒成立，八工)在(0,+8)上单调递增；

当A0时，令，。)>0,解得%>。，令/(x)<0,解得0〈%vq,

故/(X)在(0,4)上单调递减，在(Q,+8)上单调递增，

综上，当4<0时，加)在(0,+8)上单调递增；

当4>0时，/(X)在(0,Q)上单调递减，在(Q,+8)上单调递增.

(2)证明由(1)知，当时，段)在(0,+8)上单调递增，故人x)至多有一个零点，不符合

要求，故Q>0,

要想加)有两个不相同的零点XI，X2,

则次〃)=l+lna<0,

解得0<a<~,

e

由于e+lnxi=O,旦+lnx2=0,

X1X2

故旦+且=_inx\-InX2=_ln(xi%2).

X\X2

要证x\f'(xi)+x/(X2)>21na+2,

即证xi•2=+%2•迎这N=2+ln(xiX2)>21na+2,

xlxlX\X2

即证ln(xiX2)>21na,

因为y=lnx在(0,+8)上单调递增，

所以只需证xiX2>a2,不妨设0〈xi<X2,

旦+lnxi=0,4+lnx2=0,

X\X2

两式相减得且一——lnX2—Inxi,

X1X2

变形为,—Xi

InX2-Inxia

下面证明—————在0<Xl<X2上成立,

lnx2-Inxi

t-.用、丁工2一X1[[

只M证]--->lnX2—Inxi,

7X1X2

即P>ln也,

XlVX2X\

令—=r>l,即证t-->2\nt,t>\.

xit

构造函数〃(。=/—1—21nt,介1,

,12_t2-2t+l_(t-l)

则〃'(0=1-]--;----------->o恒成立,

故〃")=r-l—2hu在(1,+8)上单调递增,

故//(0>〃(l)=l—l—21n1=0,

所以t——>2Int,t>\,

故必一'I>而2,即2,加,

InX2—InXia

所以A/xiX2>a,xiX2>a2,证毕.

11能力提升

1.(2023・洛阳联考)已知函数g(x)=lnx—6x,若g(x)有两个不同的零点xi,x2.

(1)求实数6的取值范围；

(2)求证：lnxi+ln*2>2.

⑴解令g(x)=lnx—6x=0,得6=啦。>0).

令9(%)=皿(%>0),则/(x)=-一"，

XX2

由9，(x)>0,得0〈x〈e；由9，(x)<0,得x>e.

所以函数夕(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

所以9(X)max=e(e)=

e

又夕(1)=0,且当、f+8时，夕当％―0时，9(x)f—8,

由于g(x)有两个不同的零点，

则直线>=b与函数9(x)的图象在(0,+8)上有两个不同的交点.

所以o<Q.

e

⑵证明方法一(比值代换法)

由⑴知，不妨设lvx2〈evxi,

由g(Xl)=g(X2)=0,

得Inxi—bxi=0,InX2—6x2=0,

两式相减得Inxi—InX2=b(xi-xi),

两式相加得Inxi+lnX2=6(xi+X2).

欲证Inxi+InX2>2,

只需证b(x\+X2)>2,

^Inxi-InX22

即m证--------->-----,

Xl-X2Xl+%2

即证in皂〉2(XI—X2)

X2X\+%2

设片里>1,则X\=tX2,

X2

代人上式得出介丝二2»1.

e+1

故只需证In/具匕。，Al.

%+1

设〃6)=ln，一^~~—,t>l,

t~\-1

则〃(尸;2。+1)—2(/—1)=(/-I/)。

0+1)2娥+1)2

所以〃(。在(1,+8)上单调递增,

所以/z(f)>A(l)=0,

2(i)

所以Int>

t~\~1

故Inxi+lnX2>2,得证.

方法二(对称化构造法)

由(1)知，不妨设l<xi<e<X2,令G=lnxi,fa=ln.X2,贝U与,

e1e2

欲证Inxi+InX2>2,

即证介+亥>2.

设左«)=」；，。>0,贝!］左(九)=网力).

因为公(。=匕，

ez

所以左⑺在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

当打三2时，易得力+打>2；

当0<ZI<1<^2<2时，要证介+女>2,

即证1>九>2—亥>0,即证左(九)>左(2一打).

因为k(h)=k(t2),

所以即证k(t2)>k(2-ti).

构造函数K«)=M。一网2—。(14<2),

易得K(l)=0,

1—tt—1

K，(/)=〃(。+〃(2—。=一十丁=(1—/)(1'—6「2)(1<K2),

efe2t

因为1—fO,且一f«一2,

所以「<-2,即K’⑺>0.

所以K(Z)在(1,2)上单调递增，K(/)>K(l)=0(l«<2).

所以即2)>0,即旗2)>©2一幻.

故ln»+lnx2>2,得证.

2.(2023・聊城模拟)已知函数於)=lnx+/GR),设心，〃为两个不相等的正数，且加?)=/(")

X

=3.

(1)求实数Q的取值范围；

(2)证明：a2<mn<ae2.

(1)解由题意知外)=3有两个不相等的正根，所以lnx+m=3有两个不相等的正根，

即a=3x—xlnx有两个不相等的正根，

令函数〃(x)=3x—xlnx,x>0,

则h'(x)=2—Inx,

令(x)=0,得x=e2；令〃'(x)>0,得0<x〈e2；令〃'(x)<0,得x"?,

所以函数％(x)=3x—xlnx的单调递增区间为(0,e2),单调递减区间为(e2,+-),

令〃(x)=0,得x=e3,.S.h(e2)=e2,当x—0时，〃(x)—0,

h(x)=3x-xlnx

of__

作出函数〃(x)=3x—xlnx的图象，如图所示，要使a=3x—xlnx有两个不相等的正根，则函

数y=a与函数〃(x)=3x—xlnx有两个交点，由图知0<a<e2,

故实数a的取值范围为{q|0〈QVe2}.

(2)证明函数段)的定义域为(0,+°°),

4/、1ax-a

fW=--^=丁，

X片