北京市某中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

北京市十一学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试

卷

一、单选题

1.方程/+2%=1的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（）

A.1,2,0B.1,2,1C.12-1D.1,-2,1

2.下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（）

3.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=先向右平移2个单位，再向上平移3个单位,

得到的抛物线的解析式是（）

A.y=（x+2）~+3B.y=-（x-2）2+3

C.y=-（x+2）2+3D.^=_（尤_2）'3

4.在平面直角坐标系xQy中，点/（a,-2）和点8（1,6）关于原点对称，则的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

5.用配方法解一元二次方程/-6x+8=0,配方后得到的方程是（）

A.（x-6）2=44B.（X-6）2=28

C.（x-3）2=17D.（尤-3『=1

6.若抛物线对称轴为直线x=l,与x轴交于点则该抛物线与x轴的另一交点的

坐标是（）

A.（3,0）B.（-3,0）C.（1,0）D.（2,0）

7.如图，4D是。。的切线，点C是O。上的一点，连接。，AC,NC交。。于点3,若

ZC=20°,则NN的度数是（）

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A.40°B.45°C.50°D.55°

8.在平面直角坐标系xQv中，若抛物线＞++"的图象在第三象限存在两个横、纵

坐标相同的点，则抛物线＞=-/-（机-l）x+〃的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题

9.抛物线^=-/+4工+1的顶点的坐标为.

10.已知。是方程/+2-2=0的一个根，则代数式（a+l『的值为.

11.某个二次函数，当定1时，夕随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式.

12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1,

点尸表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为圆

心，2.5m为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为4m,当筒车工作

时，则盛水桶在水面以下的最大深度为m.

13.某工厂2022年生产1吨某产品的成本是700元，由于原料价格上涨，两年后，2024年

生产1吨该产品的成本是850元，求该种产品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x,

则所列的方程应为.

14.如图，V4BC中，ZS=40°,将VN8C绕点A逆时针旋转。度（0。＜7＜180。）后得到

V/OE,点£恰好落在3C上，ZEAD=60°,则。=°.

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c

15.如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点4B,连接2B,再作出力B的垂直平分线,

交4B于点。，交々于点C,如果知道48、CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径,

已知48=4\5cm,CD=2cm,则圆的半径为cm,阴影部分的面积为

16.如图，V/8C与ACDE中，AC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=120°,连接8。，

点、F、H、G分别为BD、48的中点，则NWG的度数为°；若NC=6,CD=2,

在ACDE绕点C任意旋转的过程中，则AFGH面积的最大值是.

三、解答题

17.解方程：x2=4x+5.

18.如图，四边形48CD的顶点都在。。上，边BC为。。直径，延长胡、CD交于£且

DE=DA,求证：CD=DE.

19.已知：如图，在V48c中，AB=AC.求作：V/8C的外接圆.

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下面是小张的作法：

①如图，作5c的垂直平分线小

②作NC的垂直平分线4,与4交于点。；

③以O为圆心，CM长度为半径作圆.

则OO是V/3C的外接圆.

(1)请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形.

(2)小李看到他的作法后灵机一动，找到了V/3C的内心.下面是小李的作法：

直线4与衣交于点。，连接交/。于点/，则点/是VNBC的内心.

请你补全下面证明.

4经过点。，

•.AC=CD(①)(填推理的依据)，

：./ABD=速)_(③)(填推理的依据).

lxLBC,AB=AC,:.NBAO=NCAO.

■:DB与AO交于点、I,.•.点/是V/BC的内心.

20.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:

X012345

y30-1038

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;

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X

(3)当-l<x<3时，y的取值范围为

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，/(-1,3)、5(-1,1),C(-3,2),将V/8C绕原点。

顺时针旋转90。得到△44G(点4，B],。分别是点4,B,C的对应点).

⑴在图中画出△43©；

(2)VABC旋转到的过程中，点C经过的路径长为；

(3)先将点B关于原点对称得到B2,再将点B2向右平移一个单位，向上平移h个单位得到B3,

使自落在△44G内部(不含边界)，直接写出h的取值范围为.

22.已知关于X的方程V+(左一3卜一2(左一1)=0.

(1)求证：无论先为何值，方程总有两个实数根；

(2)若方程有两个实数根a，x2,且|x「X2卜3,求左的值.

23.一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学

子们期待的盛会.某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意

向，社团成员提前进行了市场调研.经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定

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为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件.

设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元.

⑴求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？

24.如图，在中，ZACB=90°,。为边/C上的点，以力。为直径作。0,连接BD

并延长交。。于点E,连接CE,CE=BC.

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）连接/E,若CD=1,BC=2,求/E的长.

25.“十一，，当天，某景区工作人员统计了上午7:30至下午16:30期间，累计进入景区的游客

人数与累计离开景区的游客人数，据统计，上午8:30时该景区已累计进入游客1380人，从

此时开始陆续有游玩结束的游客离开.从上午7:30开始计时，经过的时间记为统计时间

x（0<x<9）,则累计进入景区游客人数歹（单位：人）与累计离开景区游客人数Z（单位：

人）随统计时间X（单位：h）

变化的部分数据如下表所示：

统计时间

0123456789

x/h

累计进入景

区游客人数240138024003300408047405280570060006180

y/人

累计离开景

区游客人数\030060090012001500180021002400

z/人

探究发现，y与尤，z与X之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.

（1）根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全y与X的函数图象；

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⑵根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出Z与X的函数图象，并直接写出z关于X的

函数关系式为(不要求写出自变量的取值范围)；

材

6600—

6000

5400--；-

4800一一4T

4200一+ttt…m+T

3600

3000

24oo-+++TTTiH-T

1800—

1200-十十十-十-十十-十一十-j

600--1-—r--T---—T--!--r—1

____iIIiiiIiI.

o\123456789~x

(3)结合表格、图象推断，统计时间x大约为时，景区内游客人数最多(保留一位小数)；

(4)当景区内游客人数达到3400人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间无大约为

时，将首次触发人流高峰黄色预警(保留一位小数).

26.在平面直角坐标系彳S中，已知抛物线y=o%2_2a2》+加3.

(1)求抛物线的顶点坐标(用含。的代数式表示)；

(2)已知点尸(XQ1),。色,外)是抛物线上的两点.若对于1-。＜再42-0,x2=a-l,都有

yi＜y2,求。的取值范围.

27.已知在V4BC中，AB=AC,44c8=a,作点8关于射线C4的对称点。，连接CO,

点M是线段CD上的动点，连接将线段绕点M逆时针旋转的角度为180。-2a,

得到线段九W,连接3N交射线C4于点£.

(1)当a=45。，且点M与点C重合时，如图1,请补全图形，并求证：点E为8N的中点；

⑵当45。＜口＜90。，且点M不与点。、。重合时，连接4D,如图2,(1)中的结论是否成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

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28.某郊区公园设计了赏花步道和书画展览，吸引了大量市民和游客争相“打卡”留念.已知

赏花步道与公园主干道之间是一片开阔的休闲广场，计划在赏花步道与公园主干道之间设计

一条美食街（美食街宽度忽略不计），使得美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的

距离相等.为了便于设计，在地图上建立如图平面直角坐标系，赏花步道所在直线为y=4,

公园主干道所在直线为了=-8,展览馆坐标为（0,-4）,设美食街摊位N（xj）.

8-

6-

赏花步道

4--