北京市某中学2024-2025学年高二年级上册期中调研数学试卷

北京市第一七一中学2024-2025学年高二上学期期中调研数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线x+y_G=0的倾斜角为（）

A

-45°B.60。C.120。D.135»

2.已知圆的方程是一+/_2》_4=0,则该圆的圆心坐标及半径分别为（）

A-（1,0）与5B.0,0）与石

C㈠⑼与5D.㈠⑼与百

3・圆G:/+/=2与圆C?：。-2了+（了-2）2=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

4.圆/+@+2）2=4与直线力+勺+2=0相交于A、8两点，则线段的垂直平分线的方

程是（）

A.4x+3y+6=0B.3x+4y+8=0C.4x-3j-6=0D.4x-3y+6=0

5.“a=7”是“直线k办+4丁-3=0与直线3x+（"3力+2=0平行的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得

分分别为10,8,a,8,7,9,6,8,如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75

百分位数为（）

A.8B.9C.8.5D.9.5

试卷第11页，共33页

P22p7

7.已知为椭圆c：二+匕=l(a>6>0)上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为,

a2b2

最大值为18，则椭圆的离心率为()

3455

A.-B.2C.-D.-

5543

8.如图，在平行六面体"CD-4用口中，==4/0=工,

2

NBAAi=NA[AD=W，则/%皿=()

A.12B.8C.6D.4

9.设动直线/与OC：(X+1)2+J?=5交于45两点.若弦长|/河既存在最大值又存在最小

值，则在下列所给的方程中，直线/的方程可以是()

A.x+2y=aB.ax+y=2a

CD

•ax+y=2-x+ay-a

10.曲线c：d+/=i.给出下列结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1;

试卷第21页，共33页

③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.

其中，所有正确结论的序号是

A.①②B.②C.②③D.③

二、填空题

11-直线4：2x-y+l=0与直线个2工-了-1=0之间的距离为.

12.已知空间°=（2,3，1）,B=（-4,2,X）,alb＞则忖=_.

13.在正方体/BCD-NbCT/中，£是的中点，则异面直线与NC所成角的余弦

值为-.

14.由直线y=x+l上的一点向圆（x_3）2+/=l引切线，则切线长的最小值为.

15.如图，正方体48co-44G。］的棱长为2,点。为底面48co的中心，点尸在侧面

84GC的边界及其内部运动.若〃O_LOP，则△℃/面积的最大值为___.

三、解答题

16.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，他们的月收入均在

内.现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下.（每个分组包括左端点，不包括右端

点，如第-组表示月收入在［刈°］刖

内）

试卷第31页，共33页

小A甘中0口心、r[3<X)0,40(M))小田防士

(1)求某居民月收入在内的频率；

(2)根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数；

(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，需再从这10000人中利用分层抽样的

方法抽取100人作进一步分析，则应从月收入在13000.35"”内的居民中抽取多少人？

17.如图，在边长为2的正方体48CD_42]G2中，E为线段的中点.

(1)求证：3cl〃平面AED1；

⑵求点4到平面的距离；

(3)直线AA,与平面所成角的正弦值.

18.已知圆。的圆心在直线2x-y=0上，且与x轴相切于点

试卷第41页，共33页

⑴求圆C的方程；

(2)若圆C直线/:x-y+wj=O交于A,3两点，,求加的值.

从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：圆c被直线/分成两段圆弧，其弧长比为2：1；

条件②：|/同=2上；

条件③：乙4cB=90。，

19.已知耳鸟分别是椭圆C：W+g_=i(a>6>0)的的左、右焦点，BQ,。)，点尸在椭圆

a2b1

c上且满足I尸耳|+|尸81=276-

(1)求椭圆C的方程；

⑵斜率为1的直线/与椭圆c相交于48两点，若V/08的面积为百，求直线/的方程.

20.如图，四棱锥尸一/BC£)中，A。，平面/Bp，

SC||AD,NPAB=90°,PA=AB=2,AD=3,BC=m,E是P5的中点.

(1)证明：ZE_I_平面P8C；

试卷第51页，共33页

⑵若二面角C-AF-D的余弦值是9A?,求m的值；

3

(3)若加=2,在线段AD上是否存在一点尸，使得尸尸,酸.若存在，确定尸点的位置;

若不存在，说明理由.

21.在平面直角坐标系中，0为坐标原点.对任意的点P(x,y),定义||OH=N+M•任取

点/(再,必)，B(xv%)，记4(“y2)>B'(X2,必)，若此时之盟/［「+口0现

成立，则称点人A，DR相关.

(1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①/(-2,1),3(3,2);②C(4,-3),£>(2,4).

(2)给定“wN*，7??3,点集={(x,y)卜〃4x44y4eZ}•

(z)求集合Q“中与点4(1,1)相关的点的个数；

(〃)若SqC"，且对于任意的A,BwS，点、A,B相关，求S中元素个数的最大值.

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案DBDCACBBDC

1.D

【分析】由一般方程得到直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出即可；

【详解】由题意可得直线的斜率为gPtan0=_r

又。e[Om)，所以6=135。，

故选：D.

2.B

【分析】利用圆的标准方程即可得到圆心坐标与半径长度

【详解】由圆的一般方程为/+/_2工_4=0,配方得圆的标准方程为(尤_1)2+/=5

所以圆心坐标为(1,0)半径为㈠

故选：B

3.D

【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.

【详解】圆G：，+J?=2的圆心G(0,0)，半径”也,圆c2:(x-2r+3-2)2=2的圆心

。2(2,2)，半径々=收，

显然|C|C2r2行=厂1+丁所以圆G与Q外切，

故选：D

4.C

【解析】由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直

求出线段AR的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.

【详解】圆/+(7+2)2=4的圆心坐标为(0,—2)，

答案第11页，共22页

由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线/A垂直，

AADRAD

直线4s的斜率为-』，则所求直线的斜率为

43

因此，线段"的垂直平分线的方程是尸3-2,即以一3了-6=0.

故选：C.

5.A

【分析】求出当〃儿时实数。的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】当/J/时，Q(Q-3)=4，即。2一34-4=0,解得用=-1或4,

当。=一1时，直线4的方程为％-4>+3=0,直线4的方程为％—4y+2=0,止匕时/J4；

当”4时，直线4的方程为x+L；=0,直线4的方程为x+y+2=°,此时〃4.

因为11}°{_1,4}，因此，因=-1”是“直线4：次+4y-3=0与直线

4：x+(a-3力+2=0平行”的充分不必要条件•

故选：A.

6.C

【分析】由平均数求出〃的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可

求解.

【详解】由题意可得：---------------------=8,解得：，

8

将这组数据从小到大的顺序排列为6,7,8,8,8,8,9,10,

因为8x75%=6为整数，

答案第21页，共22页

所以这组数据的75百分位数为士=8.5,

2

故选：C.

7.B

【分析】根据点尸到椭圆焦点的距离的最小值为2,最大值为18,列出a,c的方程组，进而

解出a,c,最后求出离心率.

【详解】因为点尸到椭圆焦点的距离的最小值为2,最大值为18,

c4

所以椭圆的离心率为：e=-=-

a5

故选：B.

8.B

【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解

即可.

2

【详解】=AB-AD+AB-AAt+145-1^+AAt

―■——11,

nAB.-AD,=0+2x2x—+2x2x—+22=8,

1122

故选：B

9.D

【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.

【详解】0C：(x+l)2+y2=5,圆心C(T,O)，半径厂=石，

选项A,由直线x+2k“斜率为3，可得动直线为为平行直线系,

答案第31页，共22页

圆心C(T°)到直线X+2y-a=°的距离八卜1-4,

V5

当-6或.24时，d>^,直线与圆不相交，不满足题意，故A错误;

选项B,由直线办+了=2a可化为a(x-2)+y=0,

则直线恒过(2,0),因为(2+1/>5，点(2,0)在圆外，

故直线不一定与圆相交，故B错误；

选项C,由直线办+『=2恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，

当。=工时，直线方程可化为x+2»-4=0,

2

此时圆心,(T°)到直线X+2'-4=0的距离"二^^=石=厂，

V5

圆与直线相切，不满足题意，故C错误；

选项D,由直线方程x+即=.可化为丫+心一1)=0，

则直线恒过W(0,1)，且点屈在圆C内，故直线恒与圆C相交，

当直线过圆心C时，弦长最长，由(-1,0)在直线x+a(y-l)=0上,

可得.=一1，&取到最大值；

如图，取N8中点T,则C7_L/8，圆心到直线的距离d=|cr|v|C"|

I阴=2〃_屋=2行『当"取最大值时，弦长最短，

即当直线与C•垂直时，弦长最短，由优的斜率为%=3=1

答案第41页，共22页

此时直线斜率为左=1=L,即当。=1时，0幺3J取到最小值.故D正确.

故选：D.

10.C

【解析】将（_居-田代入，化简后可确定①的真假性•对无分成x<0,x=0,0<x<l,x=l,x>l

等5种情况进行分类讨论，得出由此判断曲线。上任意一点到原点的距离不小

于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C的两个整点（01）,0,0）,然后证得其它点

不是整点，由此判断出③正确.

【详解】①，将（_苍_回代入曲线。：/+丁=1，得》3+/=_1，与原方程不相等，所以曲

线C不关于原点对称，故①错误.

②，对于曲线0：/+/=1，由于了3=1_丁，所以"=祖二7，所以对于任意一个X，只有

唯一确定的V和它对应.函数y=%二’是单调递减函数.当X=0时，有唯一确定的y=1;

当x=l时，有唯一确定的>=0.所以曲线C过点（0,1）,0,0）,这两点都在单位圆上，到原点

的距离等于1.当x<0时，>>1，所以•当X>1时，”0,所以

x+y>7x+y>i，

答案第51页，共22页

2.2^//2].当0<%<1时,且

]-(J+/)=/+,3_(、2+,2)=%2(%_])+,2(,_])<0,

所以工2+/>1q+/>「

综上所述，曲线c上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.

③,由②的分析可知，曲线C过点(0,1),(1,0),这是两个整点.由》3+/=1可得彳3_]=(_»,

当XN0且X"时，若X为整数,丁-1必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C只经过

两个整点.故③正确.

综上所述，正确的为②③.

故选：C

【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.

11,275

5

【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解.

【详解】直线〃4，

则与之间的距离”二/高二]二丁.

故答案为：巫

5

12.2近

【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得

答案.

【详解】由]/心且口=(2,3,1>3=(-4,2,X)，则；)=_8+6+x=(T解得X=2，

答案第61页，共22页

故忖=J16+4+4=2限

故答案为：2a.

13.叵

10

【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.

【详解】

如图所示，取/，夕的中点尸，易得AF//DE，则4c或其补角为所求角，

不妨设正方体棱长为2,则/尸=退=FC,尸c=Ic,F。+C'C?=3,AC=2也，

由余弦定理知：“AC"+4C-FC,=5+8-9=叵,

2AFAC2A/5X2A/210

则NE4c为锐角，即异面直线QE与ZC所成角.

故答案为：叵.

10

14.不

【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理,

显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.

圆心到直线的距离为：|3-0+1|=,=2后,

炉下V2

答案第71页，共22页

切线长的最小值为J(2板)2-1=疗：故本题正确答案为近.

15.右

【分析】取8片中点耳，可得Z)0_L平面。qC，可判断点P的轨迹在线段6c上，可求出

点尸到棱GA的最大值，即可得出・

【详解】由正方体的性质可知，当尸位于点C时，ROJ.OC，满足题意，

当点尸位于BB、中点片时，DD]=2,DO=BO=>/2,BP,==2725

则0口=V4+I=a,OP\=VTTT=EDR=V8+1=3，

所以0。；+。42=。附，故

又OPqOC=0，所以Z)|O_L平面。々C，故点P的轨迹在线段4C上，

由G8=cq=后，可得为锐角，而CG=2<V^，

所以点尸到棱G2的最大值为V5，

所以面积的最大值为工X2x石=6.

2

答案第81页，共22页

16.(1)0.25；(2)2500；(3)15.

[3000,4000)

【详解】(1)由频率分布直方图可知，居民月收入在内的频率为

(0.0002+0.0003)x500=0.25.

(2)由频率分布直方图可知

0.0001x500=0.05,

0.0004x500=0.20,

0.0005x500=0.25,

从而有0.0001x500+0.0004x500+0.0005x500=0.5,

所以可以估计居民的月收入的中位数为2500(元).

[30003'00)

(3)由频率分布直方图可知，居民月收入在1­内的频率为

0.0003x500=0.15,

[30003500)

所以这10000人中月收入在I内的人数为0.15x10000=1500(人)，

[30003500)

再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100人很IJ应从月收入在1内的

皿驶=15

居民中抽取：*，(人).

17.(1)证明见解析

(3)t

【分析】(1)证明出四边形N8CQ]为平行四边形，可得出8G///A，利用线面平行的判

定定理可证得结论成立;

(2)以点A为坐标原点，AD、4B、所在直线分别为X、＞、二轴建立空间直角坐标

答案第91页，共22页

系，利用空间向量法可求得点4到平面的距离;

（3）利用空间向量法可求得直线与平面NE2所成角的正弦值.

【详解】⑴证明：在正方体NBCD-481G2中，NB//CQ且=CQ，

故四边形4BCA为平行四边形，则BCJIAD,>

AED

因为8G0平面\,42u平面AEDX，因此，8G〃平面AEDt-

（2）解：以点A为坐标原点，AD、4B、/4所在直线分别为X、V、z轴建立如下图所

示的空间直角坐标系，

则/（0,0,0）、4（0,0,2）、£（0,2,1）、A（2,0,2）>

所以，五^=（0,0,2），瓯=（2,0,2），通=（0,2,1），

AED\n=（x,y,z）

n-ADX=2x+2z=0

设平面的法向量为，则

n-AE=2y+z=0

取z=-2，可得3=（2,1,-2），

4AER

\AAt-n\4

所以，点到平面的距离为〃=L记

3

答案第101页，共22页

——-AA,・n42

(3)解：因为c°s<M…用雨=旃=晨

因此，直线"4与平面所成角的正弦值为1-

18-(1)(X-1)2+(J^-2)2=4

(2)答案见解析

【分析】(1)利用几何关系求出圆心的坐标即可；

(2)任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可•

【详解】(1)设圆心坐标为c(a,6)，半径为

由圆C的圆心在直线2x-y=0上，知：2a=b'

又；圆C与x轴相切于点(1,0),

..a=l,b=2,则厂=|6-0|=2.

二圆C圆心坐标为0,2)，则圆C的方程为(x_lj+(y_2)2=4

(2)如果选择条件①：AACB=120°,而|CH=|C8|=2,

，圆心C到直线/的距离d=|G4|xcos600=1>

则力丁=1,

Vi+i

解得机=五+1或-G+r

如果选择条件②和③：|/用=2及,而|cz|=|ca=2，

‘圆心。到直线"的距离d=Lp_l^2=及，

答案第111页，共22页

则亚，

Vi+i

解得加__1或3.

如果选择条件③：/ACB=90。，而0|=|。4=2，

圆心C到直线/的距离d=1cz|xcos45。，

则/>>=£

Vi+i

解得加=_1或3.

22

19.⑴土+匕=1

62

(2)%-歹+2=0或、-夕-2=0

【分析】(1)根据焦点坐标求出。，进而根据椭圆定义求出。，然后求出儿最后求得答案;

(2)设直线/的方程为y=%+加，A(x1,B^x2ry2)»直线/:>=x+加与'轴父于点E，

则S“BC=？O£H玉-X2I，将直线方程代入椭圆方程并化简，进而结合根与系数的关系求

得答案.

【详解】⑴由题意，c=2,2a=2"na=C，所以b£a2.c2=W所以椭圆C的

22

方程为土+匕=1.

62

Iy=x+m/区,乂),及工2，力)[x2

(2)设直线的方程为，,由7+5=1得：

y=x+m

答案第121页，共22页

4x2+6mx+3加2—6=0,

则△=-12/+96>0,即：加2<8=-2/<刃<2&・

-3m3m2-6

X1+X2=^-，/X2=~­,

设直线/：歹=%+加与V轴交于点E，则颐0,一）,|OE|=|"|

所以A/。的面积为S/8C=T°斗再一/=；|同X|-马=曰时加|+马）2-

初19m24x3/M-5,化简得：/（8_病）=16,解得：疗=4所以*±2.

2V44J

直线/的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.

20.（1）证明见解析

⑵1

（3）不存在，理由见解析

【分析】（1）推导出8C_L平面P48.AEYBC,AEYPB.由此能证明/E_L平面P8C；

（2）建立空间直角坐标系N-盯z,利用向量法能求出”?的值；

G）设尸（0,0#（00”3），当m=2,。（0,0,2），而=（2,0/）,丽=（1,-1,-2），由

PR_LC£知，方.西=o，-2-2f=O,f=-1，这与0VIV3矛盾，从而在线段ND上不存在点

F）使得Pb_LCE.

【详解】（1）证明：因为平面尸48，BC//AD,

所以2c_1_平面尸

答案第131页，共22页

又因为/Eu平面尸AB'所以AEIBC

PA=AB'£是尸8的中点，

所以AEIPB'

又因为8CnP8=3，BC,P8u平面尸5C,

所以/E_L平面尸2C，

(2)因为40_L平面尸48,/瓦力匚平面尸/^,

所以

又因为PALAB,

所以如图建立空间直角坐标系/-乎.

则4(0,0,0),3(0,2,0),C(0,2,加),E(l,1,0),尸(2,0,0),0(0,0,3)，

则就=(0,2,加)，酢=(1,1,0)，

设平面NEC的法向量为力可.

AC-n=0(2y+mz=0

则［次•力=0即卜+"0，

令X1则”一1,z一,

m

故五=11,一1,前

因为4DJ_平面尸48'尸3u平面尸

答案第141页，共22页

所以4D_LP8，

又/£_1尸8,/。门4£=4/。,工石<=平面/££>，

所以尸8J_平面/££)・

又因为丽=(-2,2,0)，

所以取平面AED的法向量为方=(_2,2,0)

I一IM画6

所以卜°3",网卜欣=5，

|-2-2|_V3病=1

则广I7二?，解得^

2\2.2-1—Y

Vm

又因为7M>0,所以冽=1；

(3)结论：不存在.理由如下：

证明：设尸(O,Oj)(O4/V