北京某中学2025届高三年级上册期中考试数学试卷（含解析）

北京市鲁迅中学2024-2025学年高三第一学期期中测试

数学试卷

本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120

分钟.

第一部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

]已知集合A={xIx=2%,%eZ},B={x\xW5},那么AB=

A.[0,2,4}B.{-2,0,2}

C.{0,2}D.{-2,2}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A,B,由此能求出ACB.

【详解】解：；集合A={小=2七keZ）,

B={x\x1<5}={x\-7?<x<7?}>

.\AnB={-2,0,2）.

故选艮

【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（_1,、后），则z的共辗复数彳=（）

A.1+A/3ZB.l-73i

C.-l+A/3iD.-i-73i

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共辗复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是（—1,8），根据复数的几何意义，z=-l+JGi,

由共轨复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D

3.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A./（x）=-lnxB./（x）=占

2

C./（%）=--D./（X）=3M

x

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=lnx在（0,+“）上单调递增，丁=一%在（0,+。）上单调递减，

所以/（x）=-Inx在（0,+。）上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2、在（0,+e）上单调递增，y=:在（0,+“）上单调递减，

所以〃x）=?在（0,+“）上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=：在（0,+“）上单调递减，y=r在（0,+动上单调递减，

所以/（x）=-工在（0,+。）上单调递增，故C正确；

X

对于D,因为"；］=3曰=3：=6，/⑴=扪=3°=1"（2）=卢=3,

显然〃％）=少一“在（0,+“）上不单调，D错误.

故选：C.

4.已知向量a/满足a=（2,l）,a-Z?=（—1,2）,则＞」=（）

A.-5B.OC.5D.7

【答案】C

【解析】

【分析】先求出人=a-（a-"）=（3,-1）,进而利用向量数量积公式求出答案.

［详解】因为。=（2,1）,。_匕=（_1,2）,所以＞2）=（3,—1）,

故a吆=（2,l）-（3,-l）=2x3—l=5.

故选：C

5.的展开式中x的系数为()

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】D

【解析】

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.

【详解】对于(2x—工]，由二项展开式的通项得力+1

令5—2厂=1解得厂=2,

则所求系数为(-1)2-25-2♦C；=80,

故选：D

6.设等差数列｛4｝的前〃项和为5“，且S5=15,贝的最大值为()

9

A.-B.3C.9D.36

4

【答案】C

【解析】

【分析】先求得的的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d，则S5=5a]+10d=15,4+2d=3,

也即生=3,所以=裙=9,

当且仅当4=%=3时等号成立.

故选：C

7.已知函数/(%)=丁+%,贝『'%+%2=0”是“/)+/(X2)=0”的()

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由/(%)的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】因为/(%)=丁+%定义域为区，/(—X)=(—X)3+(—X)=—/(X),

所以/(%)为奇函数，且/(X)为R上的增函数.

当X]+%2=0时，%=一石，所以/(%)+/(无2)=/(%)+/(_%)=0，

即“西+々=0”是“/(X)+/(々)=0”的充分条件，

当/(石)+/(%)=。时，/(%)=—/(%2)=/(—X2)，由/(%)的单调性知,

〜=~X2'即石+%=0，

所以“%+%=0”是“/(%)+/(毛)=0”成立的必要条件.

综上，=0”是“/(石)+/(/)=。”的充要条件.

故选：C

8,函数/(x)=cosx-cos2x是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为-D.偶函数，且最大值为一

88

【答案】D

【解析】

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可

判断最大值.

【详解】由题意，/(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以该函数为偶函数，

(1Y9

X/(%)=cosx-cos2x=-2cos2x+cos%+1=-21cosx-I+§，

所以当cosx=—1时，/(%)取最大值乙9.

48

故选：D.

5,E1

9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-叫=彳3”，

2七2

其中星等为侬的星的亮度为民(g1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天

狼星的亮度的比值为

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.1O-10-12

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得到关于E\,E］的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

5,E,

【详解】两颗星的星等与亮度满足啊一班=彳想了\令加，=一145,叫=一26.7,

2乜2

1g且=2•（根2—g）=2（―1.45+26.7）=10.1,互=1O101.

1^2551^2

故选A.

【点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数

运算.

10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点尸从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次

跳跃的长度都是5且落在整点处.则点尸到达点。（33,33）所跳跃次数的最小值是（）

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.

【详解】每次跳跃的路径对应的向量为

1111HliUULLLLUU

4=（3,4）,4=（4,3）,Cj=（5,0）,4=（0,5）,4=（-3,-4）也=（-4,-3）,c2=（—5,0）,4=（0,-5）,

因为求跳跃次数的最小值，则只取用=（3,4）,4=（4,3）,q=（5,0）,4=（0,5）,

设对应的跳跃次数分别为a,伍c,d，其中a,b,c,deN,

uum111111H

可得

OQ=aq+bbx+cq+d&=（3a+4b+5c,4〃+3Z?+5d）=（33,33）

则L07'两式相加可得7（a+》）+5（c+d）=66,

^TCL十十一\\

]〃+b=8[a+b=3

因为Q+"c+dwN,则〈或〈

c+d=2\c+d=9

a+b=8

当＜,c时，则次数为8+2=10；

c+d=2

a+b=3

当,则次数为3+9=12；

c+d=9

综上所述：次数最小值为10.

故选：B.

第二部分(共110分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11-函数y=^2-x+log3(l+x)的定义域为

【答案】(T2]

【解析】

【分析】通过对数函数的定义域即可求得答案.

2-x>0

【详解】根据题意，可知八C，解得—1<XW2,故定义域(—1,2].

1+尤>0

【点睛】本题主要考查函数定义域的相关计算，比较基础.

12.边长为1的正方形ABC。中，设A3=a，AD=b>AC=c，贝“。一万+，=

【答案】2

【解析】

【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可.

【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

在正方形ABC。中，AB=a=(l,0),AD=b=(O,l),AC=c=(l,l),

则£—Z>+c=(1—0+1,0—1+1)=(2,0),

/.|a-Z?+c|=2.

故答案为：2.

13.设等比数列｛an｝的公比为q(q>0),其前〃和为,且/=g,4=2,则4=；=

【答案】①.8②.—##15.5

2

【解析】

【分析】由等比数列通项公式可求出4=2,从而求出应，再代入等比数列前〃项和公式即可求出S5.

【详解】由子=4=八又因为“0,所以“=2；

所以%==2x4=8；s%(1--)=卫

5—-—1-2-T

31

故答案为:8；—.

2

14.如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(twx+0)+Z?,其中A〉0,且函

数在x=6与％=14时分别取得最小值和最大值.这段时间的最大温差为一；。的一个取值为.

【答案】①.20。©②.—(答案不唯一)

4

【解析】

【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得A,人，。，代入点(6,10),

可得。.

【详解】由图像可知最大值为30,最小值为10,

所以最大温差为30℃-10℃=20℃,

24=30-10A=10

即4,解得

2b=30+10工=20

又由已知可得工=14一6,即T=16,

2

2〃71

且丁=—,所以G=—,

8

n

所以函数解析式为y=10sin+20,

又函数图像经过点(6,10),

代入得10sin1x6+0+20=10,

所以，■兀+(p=5兀+2版,左£Z

37r

解得(P----H2k7i,左£Z,

4

37r

所以人的一个可能取值为彳(答案不唯f

3乃

故答案为：2。。彳(答案不唯一).

15.已知函数/'(x)=r，+""("给出下列四个结论：

[%+2ax,x>a

①当a=0时，/(%)的最小值为0；

②当a时，/(%)存在最小值；

③/(%)的零点个数为g(a),则函数g(a)的值域为｛0,1,2,3｝；

④当a21时，对任意玉,々eR,/(xJ+/(X2)22/["i.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③

【解析】

【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判

断④.

2%r<0

【详解】对①，当a=0时，/(%)=；，

x,x>0

当工<0时，0<2%<1，当X20时，x2>0,

综上，〃龙)的最小值为0,①正确；

2X+a,x<a

对②，a<J,/(%)=<

x2+lax,x>a

当x<a时，2工+。>。，

当xNa时，若a<0,x2+2ax>a2—2a2=—a2；若x2+lax>a2+la1=3a2>

如a=-3时，y(x)>--,函数不存在最小值，②错误;

对③，当。<0时，2，+a=0最多一个解，

y=£+2ax=0得％=0或%=-2a,

“、(2X-I,x<-1

如。=一1时，，由2，一1=0可得x=0(舍去),

x--2x,x>-l

由d—2工=0得x=0或x=2,故此时了(%)两个零点，即g(a)=2；

Lx11

12n——ni

如a=—彳时，/(x)={,由2'-不=0可得X=—1,

2x2—x,x、2—12

2

由尤2—x=0得x=0或x=l,故此时八了)三个零点，即g(a)=3；

X<0

当a=0时，/(x)=s2'，由2*=0可得%£0，

x,x>0

由d=o得％=o,故此时〃了)一个零点，即g(a)=l；

,,”\[lx+a,x<a,

当〃>。时，/(%)=12，♦时，2"+々>0，2%+〃=0无解,

x+2ax,x>a

%之。>。时，x2+2ax>0，X2+2〃x=0无解，

此时了(%)没有零点，即g(〃)=0.

综上，g(。)的值域为{0」,2,3},故③正确;

f2X+4x<4

对④，当a21时，如a=4时，，(x)=<',

')[X72+SX,X>4

"3)=12,"4)=48,"5)=65,此时“3)+45)=77<2/(4)=96,故④错误.

故答案为：①③

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间句上是连续不断的曲线，且/(a)•/伍)<0,还必须

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在VABC中，y/3a=2/jsinA.

(1)求25；

(2)若〃=近1=3,求VA3C的面积.

【答案】(1)无或女

33

(2)空或空

24

【解析】

【分析】(1)根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；

(2)根据题意，由余弦定理可得。，再由三角形的面积公式即可得到结果.

【小问1详解】

因为耳=26sinA，由正弦定理可得，

A/3sinA=2sinBsinA,

因sinA>0,所以sinB=苴，

2

且3€(0,兀)，所以3=1或g.

【小问2详解】

由(1)可知3=工或0，且6=、厅,c=3,b<c,所以5<C

33

jr

即3=由余弦定理可得，/=4+°2—2accos3，

即7=4+9—2ax3x—,解得a=l或a=2,

2

1

当。C_-D_11々V3_3A/3

当a—1盯，SARC=-acsinB——x1x3x—=-----,

ABC2224

iRoFM*C110a3百

当a=2时，S=—acsmB=—x2x3x——=-----，

ABRCr2222

所以VA3C的面积为主叵或土叵.

24

17.已知函数〃力=卜2-依+l)e，(aeR)在x=2处取得极小值.

(1)求。的值，并求函数了(九)的单调区间；

(2)求/(%)在区间［-2,0］上的最大值和最小值.

【答案】(1)单调递增区间为(—8,—1),(2,+8),单调递减区间为(—1,2)

(2)最大值为5小1，最小值为L

【解析】

【分析】(1)求导，根据/'(2)=0得到a=3,由尸(乃＞0求出单调递增区间，由尸0)＜0求出单调递减

区间；

(2)在(1)求出单调性的基础上，得到最值.

小问1详解】

(⑺=(2x-a)e*+(x?-at+l)eT={^-ax+2x-a+\^cx,

由题意得了'(2)=(4—2a+4—々+1户=0,解得a=3,

/(%)=(尤2_3%+**,定义域为R,

/'(x)=(%2-x-2,*=(x+l)(无一2)e”,

令尸(%)＞。得％＞2或xv—1,令尸(x)＜。得一lv%v2,

故/(%)单调递增区间为(—8,—1),(2,+8),单调递减区间为(-1,2),

此时函数/0)在久=2处取得极小值，满足题意；

【小问2详解】

由(1)知，故/(九)在(—2,—1)上单调递增，在(—1,0)上单调递减，

故"％)在x=—1处取得极大值，也是最大值，/(-l)=5e-1,

又〃0)=L/(-2)=11r,其中i<ne-2,

故/(%)在区间［—2,0］上的最小值为1,

综上，/(%)在区间［-2,0］上的最大值为51，最小值为1.

18.已知函数/(%)=2j^sin(兀一x)cos%+2cos2%.

(1)求函数7(%)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若xe-gg,求函数八％)的值域.

JT

(3)若函数g(x)=/(x)—l在_%,m上有且仅有两个零点，则求优的取值范围.

jl7［

【答案】(1)最小正周期为兀，单调递增区间为—q+E,：+E,keZ；

36

(2)[0,3]

5兀1171

(3)

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换得到〃x)=2sin2x+£+1,求出最小正周期，整体法得到函数单调递

增区间;

兀—,求出/(%)=2sij2%+/+l£[0,3]；

(2)在(1)基础上，得到+

6ook067

I7兀T］7T7117711Tl兀

⑶转化为sin2%+:=0在一小上有且仅有两个解，求出+,数形结合得

k6o/6666

兀

到兀<2加+—<2兀，求出答案.

6

【小问1详解】

/(x)=2百sin(兀一九)cos%+2COS』九二2百sin/cos%+2xl+2犬

=A/3sin2x+cos2x+1=2sinl2%+-^-1+1,

2冗

“X)的最小正周期丁=2=兀，

7T7TTC

令----F2左兀«2xH—<—F2左兀,kGZ,

262

,71兀

解得---FkitV%K—Fku，kGZ

36

JIJI

故单调递增区为一"+左兀,二+左兀，keZ：

36

【小问2详解】

71712》+台715兀

xe6'T

故sin(2x+^]e-3/，-^(x)=2sin^2x+-^-j+le[0,3],

故函数值域为[0,3]；

【小问3详解】

函数g(x)=0n/(x)—l=0n/(x)=l,

即2sin[2x+g)+l=1,sinf2x+^-j=0,

兀

故g(x)=/(x)-l在_%，m上有且仅有两个零点,

等价于sin[2x+qJ=0在_%,m上有且仅有两个解,

71c兀兀c兀

x€——,m2%H--£---,2md——

6666

要想sin12》+看)=0在71

加上有且仅有两个解,

O

IT57r117T

则兀<2m+—<271,解得——<m<---,

61212

5兀11兀)

故m的取值范围为

^12)

19.某景区有一人工湖，湖面有AB两点，湖边架有直线型栈道C。，长为50m,如图所示.现要测是

A3两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在C点测得NACD=45。，ZBCD=30°；

在。点测得ZADB=135°,ZBDC=120°.(A,3,C,。在同一平面内)

B

A

D

(1)求AB两点之间的距离；

(2)判断直线C£＞与直线AB是否垂直，并说明理由.

【答案】(1)50V5m

(2)直线C£＞与直线AB不垂直，理由详见解析.

【解析】

【分析】(1)先求得AD,BD,利用余弦定理求得AB.

(2)先求得AC3C,然后根据向量法进行判断.

【小问1详解】

依题意，ZACD=45°,/BCD=30°,^ADB=135°,ZBDC=120°,

所以ZADC=360°-135°—120°=105°,ZCAD=180°—45°—105°=30°,

ZCBD=180°-120°-30°=30°=ZBCD,所以BD=CD=50,

在三角形ACD中，由正弦定理得上2-=-^2-=上一,4。=500,

sin45°sin30°sin30°

在三角形ABD中，由余弦定理得AB=小5()2+(500『—2x50x夜义cos135°=506m.

【小问2详解】

在三角形BCD中，由余弦定理得5C=7502+502-2x50x50xcosl20°=50g,

通+0

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60°sin45°

4

AC_CDAC_50

在三角形ACD中，由正弦定理得sin105°-sin30°'#+加一1

~T~2

AC=25(76+72),

直线CD与直线AB不垂直，理由如下：

CDAB=CD(CB-CA^=CDCB-CDCA

=50x5073XCOS300-50X25(A/6+V2)XCOS45°

=2500-1250G#0,

所以直线CD与直线AB不垂直.

20.已知函数/(x)=wulnx-x?+1(根eR).

(1)当加=1时,求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若/(x)W0在区间工收)上恒成立，求加的取值范围；

(3)试比较ln4与a的大小，并说明理由.

【答案】(1)x+y-l=0

(2)(-co,2]

⑶ln4<V2

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；

(2)将在区间上恒成立，转化为机lnx—x+L<0,^g(x)=mlnx-x+—,问题转

XX

化为g(x)1mx<o,利用导数求函数g(x)1mx即可得解；

(3)由(2)知，7%=2时，/(“40在区间[1,”)上恒成立，取x=JE，可得解.

【小问1详解】

当初=1时，/(x)=xlnx-x2+l,

/.f(x)=lnx+l-2x,

所以曲线了(%)在点(1,/(1))处切线的斜率％=广(1)=—1,又/(1)=0,

所以曲线〃%)在点处切线的方程为y=—(尤―1)即x+y-l=0.

【小问2详解】

/(x)W。在区间[1,十》)上恒成立，即grlnx—J+IVO，对Vxe[l,+co),

即+对VX£[1,+QO),

令g(x)=mlnx-x+L只需8(%)睥40,

-x+mx-1

XE[L+。),

当相40时，有侬;<0,则g'(x)<0,

・•・g(x)在［1,舟)上单调递减,

■,.g(x)<g(1)=0符合题意，

当〃z>0时，^h{x)=-j3+mx-l,

其对应方程—d+mx-l=0的判别式A=m2-4，

若AW0即0<加《2时,有五⑺W0,即g'(x)W0,

・•・g(x)在□，+<»)上单调递减,

g(%)<g(1)=0符合题意，

若A〉0即加>2时，//(%)=-x2+mx-l,对称轴x=£>l,又。(1)=加一2>0,

方程一式+皿―1=0的大于1的根为/='"_'加2_4,

02

.,.XG(1,XO),/i(x)>0,即g'(x)>0,

XG(X0,+OO),即g'(x)<0,

所以函数g(x)在。,演)上单调递增，.•.g(x)>g(l)=O,不合题意.

综上，/(x)<0在区间［1,+8)上恒成立，实数机的取值范围为(7,2］.

【小问3详解】

由(2)知，当加=2时，/(x)v。，在区间［1,+°0)上恒成立，

即2xlnx<x2—1，对Vxe［L”)，

取x=0■代入上式得201n0<l，化简得ln4<行.

21.己知右：《,生,.,4("")为有穷数列.若对任意的，e{0,l,—1},都有k+i—闻<1(规定

劭=%），则称4具有性质产.设（=|（仃）|，——i—2«,/=1,2,.

（1）判断数列4：1,01,—12—0.5,4:1,2,2.5』.5,2是否具有性质「？若具有性质尸，写出对应的集合

T“；

（2）若A4具有性质尸，证明:4#0；

（3）给定正整数〃，对所有具有性质P