北京某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（解析）

北京交大附中2024-2025学年第一学期期中练习

局一数学

命题人：审题人：2024.10

说明：本试卷共8页，共100分。考试时长120分钟。

1.集合尸={xCZ|0WxV3},M={XGZ|X2<9},则()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0^x<3}D.{x|0WxW3}

【分析】由题意集合尸={x6Z|0Wx<3},M={xez\x1<9},分别解出集合P,M,从而

求出

【解答】解：•集合P={x6Z|0Wx<3},

.•.尸={0,1,2},

'：M={X£Z|X2<9},

：.M={-2,-1,0,I,2},

：.PCiM^{0,1,2},

故选：B.

2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是()

A.v=x2B.y=yjx

C.v=x4(x>0)D.y=\x\+1

答案D

解析对于A,函数歹=/的对称轴为j轴，故丁=/是偶函数,

令》2=0得X=0,所以>=炉的零点为x=0.不符合题意；

对于B,函数了=心的定义域为［0,+8),不关于原点对称,

故了=也不是偶函数，不符合题意；

对于C,函数了=短的定义域为(0,+8),不关于原点对称，

故了=/不是偶函数，不符合题意.

对于D,函数y=|x|+l,

所以函数为偶函数,令博+1=0,此时方程无解，所以函数了=恸+1无零点,

符合题意.

3.定义在R上的函数寅X),对任意XI,X2GR(X1#X2),篦8)—f5)<0,则

X1~X\

AX3)<A2)<A1)B^1)<A2)<A3)

DX3M1M2)

答案A

解析对任意XI,X2GR（X1关X2）,有―/（X1）Y0,

X2—Xl

则X2—XI与人X2）一兀Vl）异号，则兀V）在R上是减函数.

又3>2>1,则火3）勺（2）勺⑴.

4.已知命题p：3xo£R,x：+2xo+a〈O是假命题，则实数。的取值范围是（）

A.（-8,J]B.[1,+8）C.（-°°,1）D.（1,+8）

【分析】由题意得/+2x+a>0恒成立，然后结合二次函数的性质可求.

【解答】解：因为/>：3xo£R,x/+2xo+aWO是假命题，

故xCR,，+2》+0>0恒成立，

所以4-4。<0,

所以a>l.

故选：D.

5.关于函数加）=三匕，下列说法不正确的是（）

X—1

A.火x）有且仅有一个零点

B.八工）在（一8,1）,（1,+8）上单调递减

C.於）的定义域为{x|xWl}

D./）的图象关于点（1,0）对称

答案D

解析令A）=o,即:==。，解得尸一；，

所以外）有且仅有一个零点，故A正确；

函数/（x）=3-2=3+上_（彳=1）,

X—1X—1

因为y=W一在（一8,1）,（1,+8）上单调递减，

X—1

所以函数y（x）在（一8,1）,（1,十8）上单调递减，故B正确；

函数4）的定义域为{x|xWl},故C正确；

因为函数了=工的图象关于点(1,0)对称，

X—1

所以函数40=3+上的图象关于点(1,3)对称，故D错误.

X—1

6.若关于x的不等式办一5>0的解集为{x|x>l},则关于x的不等式”9>0的解

x-2

集为()

A.{x|x<—2,或%>1}

B.{x|l<x<2}

C.{x|x<一1,或x>2}

D.{x|—2<x<—1}

答案C

解析..•不等式ax-b>0的解集为

**«x=1为ctx—b=0的根且Q>0,

.\a—b=0,即a=b,

.ax-\-ba(x+1)八科/人丁/,八、八

故L----=--------->0,等价于(x+l)(x—2)>0.

x—2x—2

.*.x>2或x<—1.

7.如果a,b,C满足CVbVQ且QCV0,那么下列选项中不一定成立的是()

A.ab>acB.c(b—a)>0

C.cb2<ab2D.ac(a—c)<0

答案C

解析*.*c<a,且ac<0,c<0,a>0.

A成立,c<b,ac<ab,艮Rab>ac.

B成立，b<a,b—a<0,/.c(b~a)>0.

C不一定成立，当b=0时，必2〈4接不成立.

D成立，c<a,/.a~c>0,/.ac(a—c)<0.

8.已知a,6€R,贝lj是“a>b”的()

ab

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】根据题意作差可得!上曳，由此结合充要条件的定义，判断出正确答案.

abab

【解答】解：由上」上曳，可得：

abab

若上《工，则上卫＜0，当成＜0时，b＞a,故不能推出a＞6；

abab

若a＞b,则当成＜0时，工」上曳＞0,可得上＞1,也不能推出上〈」.

abababab

综上所述，“工《工”是“a＞b”的既不充分也不必要条件.

ab

故选：D.

9.已知函数了=/）是定义在R上的偶函数，且在（一8,0]上是增函数，若不等

式八°）芸为0对任意的x©[l,2]恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.（—8,1]B..[—1,1]

C.（—8,2]D..[-2,2]

答案B

解析由题意，知道x）在[0,+8）上是减函数，则不等式义a）书G）对任意的X©[1,

2]恒成立,即不等式加目）三川x|）对任意的x©[l,2]恒成立,

|a|W|x|对任意的x©[l,2]恒成立,

即一iWaWl,故选B.

YX6P

10.函数f（x）=（'厂.其中p,M为实数集R的两个非空子集，又规定/（尸）

-x,xtM

=f(x),xGP},f(Af)={y\y=fCx\x&M}.下列四个判断其中正确的是（）

①若PCM=0,则/(尸)n/(M)=0；

②若尸CMW0,贝丫（尸）n/(Ww。；

③若PUM=R,则/（尸）U/(M)=R；

④若尸UA//尺，则/i（P）U/(WWR.

A.①③B.②③C.②④D.①④

【分析】根据题意，通过取特殊集合判断出①③的正误；然后分析尸nw的结果，根据

结果判断②的正误；最后考虑。C(PUW的情况，并且分析0的唯一性，由此判断④

的正误.

【解答】解：对于①：若尸={1},M={-1},满足尸CM=0,此时/(尸)={1},f(M)

={1},/(尸)n/(W={1}#0,故①错误；

对于②：若尸HMW0,则由函数定义可知x=-x,即x=0,所以PCM={0},则Oe[f

(、P)A/(M)],所以/(P)0/(M)W0,故②正确；

对于③：若尸=[0，+°°),M=(-8,0],满足PUM=R,此时/(尸)=[0,+°°),f

(M)=[0,+8),/(尸)n/(WN0,故③错误；

对于④：若。名(PUM),则0任，(尸)U/(W],/(P)U/(WWR；若xoe(PUW,

xoWO,

假设『(尸)U/(W]=R,则xo£P,xo《M,所以xo救(尸)，-x比fQM)所以-犹可(P),

xoEf(Af),

所以-xoEP,-xoEM,-xoG(MAP),这显然与尸{0}矛盾，故假设不成立，即

“若PUMWR,则/(尸)U/(WWR”成立，故④正确.

故选：C.

H.已知集合/={1,2},B={a,4+3}.若205={1},则实数。的值为.

答案1

解析由已知得2iB,显然层+3巳3,所以。=1,此时/+3=4,满足

题意.

12.函数八-的定义域

|x+l|-5

答案.[3,4)U(4,+8)

ylx——3lx—3NO,

解析要使'有意义,只需，解得x@[3,4)U(4,+8).

|x+l|-51+1俨5,

13.设XI,X2是方程3/—2x—4=0的两根，不解方程，求下列各式的值:

(1)-+-;(2)x?+xl

XlX2

।_2

X\~TX2——,

3

解由根与系数的关系，得‘4

X\X2------

（］产।%1_一++（%1+%2）2—21112

'XIX2X\X2X1X2

（Xl+12）2

X\X2

（2）X?~\-xi=（XI+%2）（X?~X1X2+x5）

=（X1+X2）［（X1+%2）2—3X1X2］

=（X1+%2）3—3X1X2（X1+%2）—畋.

-ax+1,x<Ca,

14.设函数f(X)=<若/(x)存在最小值，则a的一个取值为0；

(x-2)。x〉a.

a的最大值为—1

【分析】对函数/(X)分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小

值时4的范围即可.

函数/(x)图像如图所示，不满足题意,

当。=0时，函数/(%)图像如图所示，满足题意;

当0VQV2时，函数/G)图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足-M+ieo,解

得：0<QW1；

当。=2时，函数/'(x)图像如图所示，不满足题意,

当0>2时，函数/(x)图像如图所示，要使得函数/(x)有最小值，需(a-2)2忘-

cr+\,无解，故不满足题意；

综上所述：。的取值范围是[0,1],

故答案为：0,L

15.设/是非空数集，若对任意x,西4都有x+y&、xyEA,则称/具有性质P,给出以下

命题：

①若/具有性质尸，则/可以是有限集；

②若/具有性质P,且NWR,贝晓运具有性质产；

③若出、/2具有性质产，且/1C/2W0，则/m/2具有性质产；

④若小、，2具有性质P,则/1U/2具有性质尸.

其中所有真命题的序号是①⑶.

【分析】举特例判断①；利用性质尸的定义证明③即可；举反例说④错误；利用反证

法判断②，元素0是关键.

【解答】解：设/是非空数集，若对任意x,yEA,都有x+ye/、xyEA,则称/具有性质

P,

对于①，取集合/={0}具有性质P,故N可以是有限集，故①正确；

对于③，取X,yGAin^2,贝！JxC/i,XEA2)y&Ai,y&Ai,又4,如具有性质P>•'•x+yEAi,

xyEAi,x+y£A2>xyEAi,.'.x+yEAir\A2>xyEAiA^2,所以出C/2具有性质P，故③正

确；

对于④，取4i={x|x=2履任Z},/2={x|x=3匕keZ},2EAi,3EA2,但2+3千1UZ2,

故④错误；

对于②，若/具有性质P,且/WR假设CM也具有性质P，

设06/,在。谡中任取一个x,xWO,此时可证得-xC/,否则若-XECR),由于CRN也

具有性质P,则x+(-X)=O6CR/,与0E4矛盾，故-XEA,

由于/具有性质P,CR/也具有性质P,

所以(-x)2GA,X2GCRA,

22

而(-x)=x,这与NCCRN=0矛盾，

故当06/且A具有性质P时，则CR/不具有性质P，

同理当谡时，也可以类似推出矛盾，故②错误.

故答案为：①③.

16.(10分=4+3+3)已知全集。=尺,集合/=(x|x2-4x+3^0},5={x||x-3|<1},C={x\2a

WxWa+2,crGR}.

(I)分别求/CB,AU(Cu5)；

(II)若BUC=3,求a的取值范围；

(III)若NACW0,求a的取值范围.

【分析】(I)先求出集合/,B,再利用集合的基本运算求解；

(II)由可得CU3,分C=0和CW0两种情况讨论，分别求出a的取值范围，

最后取并集即可；

(III)先求出/nc=。时。的取值范围，再取补集即可.

【解答】解：(I)集合/=(4?-4x+3W0}={x|lWxW3},B^{x\\x-3|<1}={X|2<X

<4}，

C3={x[2<xW3},CuS={x|xW2或x\4},

.♦./U(CuB)={x|xW3或x24}；

(II)-：B^C=B,：.CQB,

①当C=0时，2a>a+2,：.a>2,

2a4a+2

②当CW0时，贝!h2a>2,

a+2<4

解得l<a<2,

综上所述，a的取值范围为(1,2)U(2,+8)；

(III)若NCC=0,

①当C=0时，2a>a+2,：.a>2,

(2a<a+2_(2a<a+2

②当CW0时，"个二或I二,

［a+2<l12a>3

：.a<-1或3<aW2,

2

综上所述，若/nc=0,则。的取值范围为(-8,-1)u(士，+8),

2

所以若/AC/0,则。的取值范围［7,3］.

17.(10分=2+4+4)已知函数八x)=g^,小)为R上的奇函数且近1)=」

x2+12

⑴求a,b；

(2)判断於)在［1,+8)上单调性并证明；

(3)当x£［—4,—1］时，求小)的最大值和最小值.

解(1次%)为R上奇函数，

.,m0)=0,得6=0,

又寅D—；-—,

•,•»=^T7-

十1

经检验，/(%)=*是奇函数。

x^+1

(2次乃在［1,+8)上为减函数，证明如下:

设X2>X121，

••必2)一大用)=之7-Utr

xs+lxf+1

_(x/+l)X2—(x/+l)Xl

一(x?+l)(招+1)

_X仅2—X/l+x2-Xl

一(x?+l)(xHl)

一(X1—X2)(X1X2—1)

一(x?+l)(遥+1).

".*X2>X1^1,/.X1X2-l>0,Xl—X2<0,

•,，(X2)—/(X1)<O,即/(X2)勺(XI),

...«0在［1,+8)上为减函数.

(3)'."(x)为奇函数，

且人》)在［1,+8)上为减函数，

在(一8,—1］上为减函数，

又X©［—4,—1］,

.••〃)的最大值为八一4)=一齐加)的最小值为八一1)=一；.

18(11分=3+4+4).已知函数/G)是定义在R上的奇函数，且当xWO时，/(x)=x2+2x.

(1)求出当x>0时，f(x)的解析式；

(2)如图，请补出函数/(x)的完整图象，根据图象直接写出函数/(x)的单调递减区间;

(3)结合函数图象，讨论函数/(x)在［-3,a］上的值域.

-2

【分析】(1)由奇函数的定义求出解析式作答.

(2)由奇函数的图象特征，补全函数/(x)的图象，并求出单调增区间作答.

(3)利用图象，借助单调性求出最值作答.

【解答】解：(1)依题意，设x>0,则-x<0,

于是/(-%)=(-x)2-2x=x2-2x,

因为/(x)为R上的奇函数，因此f(x)=-/(-%)=-X2+2X,

所以当x>0时，/(x)的解析式/(x)=-X2+2X.

(2)由已知及(1)得函数/(x)的图象如下：

观察图象，得函数/(x)的单调递减区间为：(-8,-1］,［1,+8).

⑶

当ae(-3,-1］时,函数/(x)的值域为［a2+2a,3］.

当ae(-1,1+正］时，函数/(x)的值域为［-1,3］

当旺(1+亚，+oo］时，函数/(x)的值域为［一a2+2a,3］

19.(12分=4+4+4)近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多

元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，

通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价

格P(单位:元)与时间双单位:天)的函数关系近似满足尸(x)=10+编为常数,且左>0,14W30,

X

xdN+),日销售量。(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：

X1015202530

0(无)5055605550

已知第10天的日销售收入为505元.

(1)给出以下四个函数模型：①。(x)=ax+6；②。(x)=a|x—利+6；③。(x)=°—bx.请你根据

表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量0(x)与时间x的变化关

系，并求出该函数的解析式;

(2)设该工艺品的日销售收入为加)(单位：元)，求人x)的解析式.

(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？

解(1)由表格中的数据知，当时间x变长时，0(x)先增后减,

①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型.

所以选择函数模型②：Q(x)=a\x—m\+b.

由0(15)=0(25),可得|15一剂=|25一剂,解得加=20,

，5尸5“+-55,解得Cl=1,

由

@20)=6=60,b=60,

则日销售量0(x)与时间x的关系式为

Q(x)=—|x—20|+60(lWxW30,x£N+).

(2)因为第10天的日销售收入为505元，

flO+^l

则I10jX50=505,解得左=1,

所以P(x)=l+10.

X

由(1)知Q(x)=~\x—20|+60

x+40,1W%W2O,%£N+,

.—x+80,20VxW30,x£N+,

则｛x)=P(x>°(x)

40

10x+^+401,1WXW20,%£N+,

x

—QA

-10x+^+799,20<xW30,x£N+,

x

当1WXW20,x£N+时，

40I40

外尸10x+^+40122、/10x—+401=441,

x\lx

当且仅当10x=K,即x=2时，等号成立；

当20<x^30,x《N+时，

/x)=-10x+^+799单调递减，

所以函数的最小值为H30)=499+：＞441,

综上可得，当x=2时，函数«r)取得最小值441.

20.(12分=4+4+4)对于正整数集合4={m,ai,•••an](nG