2022年新教材高中数学课时检测11余弦定理（含解析）

余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b22abcosC,得3=a2+1-2a×1×cos,即a2+a2=0.解之得a=1或a=2(舍去),所以a=1.2.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60°,a=4b,c=,则b= ()A.1 B.2 C.3 D.【解析】选A.由余弦定理知()2=a2+b22abcos60°,因为a=4b,所以13=16b2+b22×4b×b×,解得b=1(b=舍去).3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若23cos2A+cos2AA.10 B.9 C.8 D.5【解析】选D.由23cos2A+cos2A=0得23cos2A+2cos2A1=0,解得cosA=因为A是锐角,所以cosA=.又因为a2=b2+c22bccosA,所以49=b2+362×b×6×.解得b=5或b=.又因为b>0,所以b=5.4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则AC边上的高为 ()A. B. C. D.3【解析】选B.由BC2=AB2+AC22AB·ACcosA,可得13=9+162×3×4×cosA,得cosA=.因为A为△ABC的内角,所以A=,所以AC边上的高为AB·sinA=3×=.5.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2ab,则△ABC的最大内角为 ()A.60° B.90° C.120° D.150°【解析】选D.由已知得,c2=a2+b2+ab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由余弦定理,得cosC==,又C∈(0,π),所以C=,即C=150°.6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则 ()A.c=1 B.c=2C.sinA= D.sinA=【解析】选BD.根据余弦定理,得c2=a2+b22abcosC=12+222×1×2×=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cosA==,所以sinA==.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________.

【解析】方法一:在△ABC中,由余弦定理,得cosA===,设中线长为x,由余弦定理,知x2=92+422×9×4×=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).则=(+),所以=(++2·)=(92+72+2||||cos∠ABC)由余弦定理,得2||||cos∠ABC=||2+||2||2=92+7282,所以||2=(92+72+92+7282)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.答案:78.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sinA=______.

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理,得cosA==,则sinA==.答案:【补偿训练】已知在△ABC中,a=2,b=4,c=3,则cosB=________.

【解析】cosB==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,已知sinC=,a=2,b=2,求边c.【解析】因为sinC=,且0<C<π,所以C为或.当C=时,cosC=,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=4,即c=2.当C=时,cosC=,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=28,即c=2.所以边c的长为2或2.10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sinAsinB=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.【解析】(1)由已知得2[1cos(AB)]+4sinAsinB=2+,化简得2cosAcosB+2sinAsinB=,故cos(A+B)=,所以cosC=cos(A+B)=,又C∈(0,π),从而C=.(2)如图S△ABC=a·ha=absinC,由S△ABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b22abcosC=10,得c=.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= ()A. B. C. D.【解析】选C.因为cos∠BAC===,又因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.2.在△ABC中,a2+b2c2+ab=0,则C等于 ()A.30° B.45° C.120° D.135°【解析】选D.由a2+b2c2+ab=0知,a2+b2c2=ab,由余弦定理得cosC==,因为0°<C<180°,所以C=135°.【补偿训练】在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为 ()A. B. C. D.【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2a2=bc.由余弦定理得cosA===,又因为0<A<π,所以A=.3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,S为△ABC的面积,则()A.B=60° B.sinA=C.sinC= D.S=10【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角和面积.【解析】选ABD.最小的角为A,最大的角为C,则cosA==,cosB==,cosC==,则sinA==,S=ch=cbsinA=10.又0°<B<180°,所以B=60°.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是 ()A.(8,10) B.(2,)C.(2,10) D.(,8)【解析】选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可.故解得2<a<.二、填空题(每小题5分,共20分)5.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=,c=,则b=________.

【解析】由余弦定理得a2=6=b2+52·b·cos60°,即b2b1=0,解得b=或b=(舍去).答案:6.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则∠BAC为________.

【解析】如图,设BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得,即14+2x2=20,解得x=,即BC=2.则cos∠BAC==,又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.答案:60°7.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为________.

【解析】因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD22AB·ADcos∠BAD,所以BD2=18+92×3×3×=3,所以BD=.答案:8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2a2,A=,则B=________.

【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2bc,所以b2a2=bcc2,与ac=b2a2联立,得ac+c2bc=0,即c=ba,代入ac=b2a2,得a(ba)=b2a2,解得b=a,所以c=ba=2a,所以cosB===,又因为B∈(0,π),所以B=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(ac)2=b2ac.(1)求cosB的值;(2)若b=,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(ac)2=b2ac,可得a2+c2b2=ac.所以=,即cosB=.(2)因为b=,cosB=,由余弦定理,得b2=13=a2+c2ac=(a+c)2ac,又a+c=2b=2,所以13=52ac,解得ac=12.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosAsinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.【解析】(1)由已知得cos(A+B)+cosAcosBsinA·cosB=0,即有sinAsinBsinAcosB=0.①因为sinA≠0,所以sinBcosB=0.又cosB≠0,所以tanB=.又0<B<π,所以B=.(2)由余弦定理,有b2=a2+c22accosB.因为a+c=1,cosB=,有b2=3+.②又0<a<1,于是有≤b2<1,即有≤b<1.11.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=,4a3cosA=0.(1)求a的值;(2)若B=λ