2025年中考数学思想方法复习【数学模型】建立方程模型解决实际问题（原卷版）

建立方程模型解决实际问题

知识方法精讲

1.一元一次方程的应用

（一）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题;

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=今胆乂100%）；（4）工程问题（①工作量

进价

=人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=

工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度义时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题;

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,

直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出

之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹h解、答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知

数.

3.歹!J：根据等量关系列出方程.

4.解：解方程，求得未知数的值.

5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.

2.二元一次方程组的应用

（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

3.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

(1)数字问题：个位数为。，十位数是6,则这个两位数表示为106+服

(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是0,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为。(1+x)；第二次增长后为。(1+x)2,即原数X(1+增长百分率)

2=后来数.

(3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角

形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③

利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二

次方程.

(4)运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹IJ：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

4.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹!］、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整,

要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率

=工作量工作时间等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能

力.

选择题（共1小题）

1.（2020•绵阳模拟）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图1方式放

置，再交换两木块的位置，按图2方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（）

2

A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm

二.解答题（共19小题）

2.（2020秋•石狮市期末）如图，将一块直角三角板N8C按如图所示放置，点/,2在数

轴上，48=5,点8在点N右边，点/表示的数是-3.

（1）直接填空：点B表示的数是—;

（2）将三角板A8C沿数轴正方向移动至三角板的位置，点/,B,。的对应点分

别是点H,B',C.

①连结C4,若C4恰好将三角板N8C的面积分成2:3的两部分，求这时点，'表示的数；

②设三角板48c的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段44,的中点，点下在线段BB'

上，且BB'=4BF.设三角板A8C移动的时间为，（秒）.试探索：是否存在某一时刻加

使点E与点厂表示的两个数互为相反数？若存在，试求出/的值；若不存在，请说明理由.

（备用图）

3.(2021秋•碑林区校级期中)【知识准备】：数轴上/、3两点对应的数分别为a、b,则

A>8两点之间的距离表示为：AB=\a-b\.

【问题探究工数轴上/、2两点对应的数分别为a、b,且满足|a+2|+S-6)2=0.

(1)求得/、B两点之间的距离是—；

(2)若在数轴上有一点“，满足皿/=4/“，求点”表示的数；

(3)若P、。两点在数轴上运动，点P从/出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动,

同时，点。从8出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动.经过一秒，尸、。相距

2个单位长度；

(4)原点。在数轴上表示0,点N在数轴上表示3,若/、。两点在数轴上以2个单位长

度/秒的速度同时向右匀速运动，与此同时，2、N以3个单位长度/秒的速度在数轴上向

左匀速运动，在这个过程中，有一段时间，A,。两点都运动在线段3N上，则这段时间的

时长是一秒.

4.(2021春•农安县期末)长春消夏灯会节将在长春农博园举办.承办方计划在现场安装小

彩灯和大彩灯.已知：安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大

彩灯共需220元.

(1)安装1个小彩灯和1个大彩灯各需多少元.

(2)若承办方安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过4350元，则最多安装大彩

灯多少个？

5.(2019秋•长乐区期末)已知两条直线12,/"〃2，点N，8在直线4上，点/在点8

的左边，点C,D在直线上，且满足NNDC=N48C=115。.

(1)如图①，求证：AD//BC;

(2)点”，N在线段C。上，点M在点N的左边且满足ZMAC=ABAC,且AN平分ACAD；

(I)如图②，当448=30。时，求的度数;

(II)如图③，当NC4O=8/腿4N时，求乙4。的度数.

6.(2021春•婺城区校级期中)某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，

为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170c加x40c%的标准板材作为原材料，

每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下/型与B型两种板材.如图所示，(单位：cm)

(1)列出方程(组)，求出图甲中。与6的值.

(2)在试生产阶段，若将〃?张标准板材用裁法一裁剪，”张标准板材用裁法二裁剪，再将

得到的N型与8型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒.

①两种裁法共产生A型板材一张，B型板材一张(用相、”的代数式表示)；

②当3曰340时，所裁得的/型板材和8型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是

个.(在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程)

7.（2021•临海市一模）【发现问题】

小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系:

【提出问题】

对于任意一个矩形是否一定存在矩形使得0=%=工成立?

QS”2

【解决问题】

（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为x和7-x）,使得

.若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由;

（2）矩形/两条邻边长分别为加和1,若一定存在矩形使得3成立，求加的

gS,2

取值范围；

（3）请你回答小聪提出来的问题.若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出

矩形/两条邻边长a,b满足什么条件时一定存在矩形

8.（2020秋•扶风县期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球

却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响.新冠肺炎具有人传人的特性,

若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染

的人数相同）.求：

（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？

（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有

多少人患病？

9.(2021春•济阳区期末)国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要

来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.响应国家号召，成都某社区拟建4、

3两类地摊摊位，已知每个/类摊位占地面积比2类多2平方米，建4类摊位需40元/平

方米，8类30元/平方米，用60平方米建N类摊位的个数恰好是同样面积建3类摊位个数

的3.

5

(1)求每个/、8类摊位占地面积各为多少平方米？

(2)若该社区拟建N、8两种摊位共90个，且/类摊位数量要多于22个，建造总费用不

超过10850元，则共有几种建造方案？

(3)在(2)的条件下，哪种方案总费用最少？最少费用为多少元？

10.(2021秋•集贤县期末)如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三

条道路(两条纵向，一条横向，且互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使

试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？

11.(2021•奎屯市二模)甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行

两次调价.已知该商品现价为每件32.4元，

(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；

(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.已知甲商品售价40元时每月可销

售500件，若商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价

的基础上还应如何调整？

12.（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人

数三月份为4万人，五月份为5.76万人.

（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有4,8两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式甲乙丙

可游玩景点AB4和8

门票价格100元/人80元/人160元/人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、

乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客

和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万

元？

13.（2014春•太康县校级月考）某商店在销售西服时，按每套进价的150%标价，后来为吸

引消费者，按标价的八折销售，此时每套西服仍可获利120元，求西服的进价为多少元？

（1）建立一元一次方程模型并解答上述问题；

（2）解答后请思考以下问题：

①在建立一元一次方程的模型解决问题过程中，你认为最关键的是什么？

②解一元一次方程的算法，步骤有哪些？

③用算术法解决实际问题与建立方程模型解决实际问题,这两种方法有什么不同？你说说哪

种方法更优越？

14.（2021秋•丛台区校级期末）黄冈小河中学七年级学生在5名教师的带领下去赤壁公园

游玩，公园的门票为每人30元.现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8

折收费；乙方案：师生都7.5折收费.

（1）若有机名学生，则甲方案师生共需元，乙方案师生共需元（用含〃?代数式

表示）.

（2）当"7为何值时，两种方案收费一样？

（3）你能帮老师建议一下选择哪种方案优惠？

15.（2021秋•双辽市期末）某工厂车间有28个工人，生产/零件和B零件，每人每天可生

产/零件18个或8零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个N零件配两个8零件，

且每天生产的/零件和B零件恰好配套.工厂将零件批发给商场时，每个/零件可获利10

元，每个3零件可获利5元.

（1）求该工厂有多少工人生产/零件？

（2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分4零件供商场零售使用，现从生产3零件

的工人中调出多少名工人生产/零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？

16.（2021•江州区模拟）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的N、8两种型号

的电风扇，表中是近两周的销售情况:

销售时段销售数量销售收入

/种型号B种型号

第一周3台5台1800元

第二周4台