2025年中考数学思想方法复习【数形结合】几何图形中的数形结合思想（原卷版）

几何图形中的数形结合思想

知识方法精讲

1.完全平方公式的几何背景

(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对

完全平方公式做出几何解释.

(2)常见验证完全平方公式的几何图形

(a+b)2=/+2仍+62.(用大正方形的面积等于边长为0和边长为b的两个正方形与两个长

宽分别是a,b的长方形的面积和作为相等关系)

2.平方差公式的几何背景

(1)常见验证平方差公式的几何图形(利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证

图(3?

(2)运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平

方差公式做出几何解释.

3.七巧板

(1)七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形(两块小

形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形)、一块正方形和一块平行四边形.

(2)用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可

以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号.

(3)制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格.②再

从左上角到右下角画一条线.③在上面的中间连一条线到右面的中间.④再在左下角到右

上角画一条线，碰到第二条线就可以停了.⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最

下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停.⑥最后，把它们涂上不同的颜色并

跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了.

4.轴对称的性质

(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对

称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线,

就可以得到这两个图形的对称轴.

(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

5.坐标与图形变化-对称

(1)关于x轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数.

(2)关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数.

(3)关于直线对称

①关于直线对称，P(a,b)=>P(2m-a,b)

②关于直线对称，P(a,b)nPQa,2〃-b)

6.旋转的性质

(1)旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角.③旋转前、后的图形全等.（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋

转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.

7.解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：ZA+ZB=90°；

②三边之间的关系：/+62=C2；

③边角之间的关系：

c°s/=N的对边=

坐里_=曳，噌?边=旦tan4=NAa

斜边C斜边CNA的邻边b

（q,b,C分别是N4/B、NC的对边）

8.简单组合体的三视图

（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图.

（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一

个平面上.

（3）画物体的三视图的口诀为：

主、俯：长对正；

主、左：iWi平齐；

俯、左：宽相等.

9.由三视图判断几何体

（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体

的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状.

（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：

①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的

长、宽、高；

②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；

③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；

④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法.

10.数形结合思想

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直

观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用

了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函

数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显

的几何意义。如等式。

3.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形

结合的重点是研究“以形助数

4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、

最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，

大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要

争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

一.选择题（共17小题）

1.（2021秋•襄汾县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数

学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称

之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾

股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和

公式的方法，简称为“无字证明”.在验证过程中它体现的数学思想是（）

A.函数思想B.数形结合思想C.分类思想D.统计思想

2.（2021秋•金水区校级期末）如图是一种正方形地砖的花型设计图，为了求这个正方形地

砖的边长，可根据图示列方程（）

A.4—2x=6xB.2+4x=6xC.2+6x=4xD.4+2x=6x

3.（2021秋•宣化区期末）在边长为°的正方形中挖掉一个边长为6的小正方形（a>6）.把

余下的部分剪拼成一个矩形（如图）.通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式,

则这个等式是（)

A.a1-b1=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b1

C.(a-b)2=a2-2ab+b1D.a2-ab=a[a-b)

4.（2021•汝阳县二模）七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前

一世纪.为祝贺辛丑年的到来，用一副七巧板（如图①），拼成了“牛气冲天”的图案（如

D.180°

5.（2021秋•雁塔区校级月考）如图，在A4BC中，AB=AC=IOBC=12,点。为的

中点，DELAB于点、E,贝hanNBDE的值等于（）

A

E,

BDC

A.-B.-C.-D.-

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6.（2021秋•禹州市期中）如图，在平面直角坐标系中，对AA8C进行循环往复的轴对称变

换，若原来点C坐标是（5,2）,则经过第2022次变换后点C的对应点的坐标为（）

A.（-5,-2）B.（5,-2）C.（-5,2）D.（5,2）

7.（2021秋•高青县期中）已知长方形的周长为16c加，它两邻边长分别为xcm,ycm,且

满足（x-yf-2尤+2了+1=0,则该长方形的面积为（）

A.16cm2B.15cm2C.—cm2D.—cm2

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8.（2021秋•舞钢市期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几

何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，能表示该几何体从

左面看到的形状图是（）

如只带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅切一块与以前一样的玻璃，你认为下列说法正

确的是（）

4

A.带其中的任意两块去都可以B.带1、4或2、3去就可以

C.带1、3或3、4去就可以D.带1、4或2、4去就可以

10.（2021秋•福州期中）在O。中，将圆心绕着圆周上一点/旋转一定角度0,使旋转后

的圆心落在。。上，则。的值可以是（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

11.（2021秋•谢家集区期中）如图，AA8C与耳G关于直线血W对称，P为MN上任

一点（尸不与441共线），下列结论中错误的是（）

A.AP=AXP

B.AX8c与△4耳G面积相等

C.垂直平分441

D.直线48,其月的交点不一定在上

12.（2021秋•三元区期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，其中邑=4,SB=2,Sc=2,SD=1,贝！JS=（）

B

A.25B.20C.9D.5

13.（2021秋•邓州市期中）如图，在等边三角形/8C中，4B=4,点D是边4B上一点,

且点尸是边5C上一动点（。、尸两点均不与端点重合），作/。尸E=60。，PE交

边AC于点、E.若CE=a,当满足条件的点尸有且只有一个时，则。的值为（）

A.2B.2.5C.3D.4

14.（2021春•雁塔区期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到

一个数学等式.例如，利用图1可以得至那么利用图2所得到的数学等

A.(Q+/7+0)?="++0?

B.(a+6+c)2=2a2+2b2+2c2

C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+be+ca

D.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

15.（2021秋•海曙区校级期中）如图，所有矩形都是正方形，设最大正方形的边长是最小

正方形边长的〃倍，则〃的值为（）

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16.（2021春•罗湖区校级期中）在边长为°的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（0>6）,

把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个

等式，则这个等式是（）

■I

A.a2-ab=a（a-b）B.a2-b2=（a+b）｛a-b）

C.（a+ft）2=a2+lab+b1D.（a-b）2=a2-lab+b1

17.（2018春•太原期末）如图，小明用长为ac加的10个全等的小长方形拼成一个无重叠,

无缝隙的大长方形，这个大长方形的面积为（）

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—.填空题（共7小题）

18.（2021秋•平昌县期末）三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”,

如图所示，AABH,NBCG>AC。下和AZ14E是四个全等的直角三角形，四边形/2CL1和

四边形昉G”都是正方形，如果£F=2,AH=6,那么四边形/BCD的面积等于.

19.（2021秋•沂水县期末）有两个正方形/、B,现将2放在/的内部得图甲，将/、B

并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10,则正

方形/,B的面积之和为

图甲图乙

20.（2021秋•雁塔区校级月考）如图，A4BC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan/A4c

的值为

21.(2021秋•朝阳区校级月考)如图，在1MBe中，AB=AC,ADLBC,ABAD=28°,

^.AD=AE,贝1]N4ED=

22.（2021秋•秦都区月考）已知几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为一.（结

果保留万）

俯视图

23.（2021秋•思明区校级期中）4张长为。、宽为6（。＞6）的长方形纸片，按如图的方式拼

成一个边长为（。+6）的正方形，图中空白部分的面积为耳，阴影部分的面积为S?.

(1)若a=3,b=\J贝！|5[=

(2)若£=2邑，求0与6满足关系:

24.(2021秋•襄汾县月考)有若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1

摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长

方形，其中阴影部分面积为102(各个小长方形之间不重叠不留空)，则每个小长方形的面

三.解答题(共11小题)

25.(2021秋•东海县期中)如图1,在平面直角坐标系xOy中，QO的半径为1,点P(-3,0).已

知点7是。。上一动点，点P关于点T的对称点为点Pt，我们称点月为点P关于。。的反射

点，请解决下列问题:

备用作

(1)在点/(1,0),8(3,-2),C(l,l),。(5,0)中，不是点尸关于。。的反射点的是

;(只填写对应字母)

(2)若T点从(-1,0)逆时针运动到,试求点尸关于。。的反射点片的运动路径长;

(3)若在直线y=x+6上存在点尸关于。。的反射点，求6的取值范围.

26.(2021春•萧山区期中)两个边长分别为a和6的正方形如图放置，其未叠合部分(阴影)

面积为若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为6的小正方形(如图2),两个

小正方形叠合部分(阴影)面积

(1)用含a,6的代数式分别表示岳，邑；

(2)若a+6=15,ab=5,求£+星的值；

(3)当，+§2=64时，求出图3中阴影部分的面积S3.

27.(2021春•临渭区期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直

观性，可以帮助理解数学问题.

ab

(1)请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式.

(2)用4个全等的长和宽分别为a、6的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这

三个代数式(a+6)2、(a-b)\之间的等量关系.

(3)根据(2)中你探索发现的结论，完成下列问题：

①当。+6=5,“6=-6时，贝！Ja-6的值为.

②设/=x+?3,B=x_2y_3,计算：(/+8)2-(4-8)2的结果.

28.(2020秋•延边州期末)【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示

一些代数恒等式.

例如图1可以得到(“+6)2=/+2仍+〃，基于此，请解答下列问题：

(1)根据图2,写出一个代数恒等式；—.

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若“+b+c=10,ab+ac+bc=35,则

a2+b2+c2=.

（3）小明同学用图3中x张边长为。的正方形，y张边长为6的正方形，z张宽、长分别为

a、6的长方形纸片拼出一•个面积为（2a+6）（。+26）长方形，则x+y+z=.

【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示

的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图

形的变化关系，写出一个代数恒等式：—.

29.（2020春•邢江区期末）如图1是一个长为4°、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平

均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）观察图2请你写出（a+6＞、（a-b）2,仍之间的等量关系是；

Q

（2）根据（1）中的结论，若x+y=5,x-y=—,贝！Jx-y=；

（3）拓展应用：若（2019-加＞+（加-2020）2=15,求（2019-优）（a-2020）的值.

30.（2021秋•鼓楼区校级期中）我们将（0+6）2=/+2仍+62进行变形，如：

a2+廿=（a+b"2ab,而=丝土”叵土^等.根据以上变形解决下列问题:

（1）已知。2+6?=10,（。+6）2=18,则必=.

(2)已知，若x满足(25-x)(x-10)=T5,求(25-尤＞+(x-lO?的值.

(3)如图，长方形48FD,DALAB,FBLAB,AD=AC,BE=BC,连接CD,CE,

若/C-8C=10,则图中阴影部分的面积为.

31.(2021秋•光泽县期中)如图所示，已知长方形的长为a米，宽为6米，半圆半径为尸米.

(1)这个长方形的面积等于一平方米；

(2)用代数式表示阴影部分的面积S；

(3)当a=3,6=2,厂=0.5时，求阴影部分的面积S(结果保留万).

32.(2021秋•南安市期中)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，/种纸

片是边长为a的正方形，5种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为6,宽为a的长方

形.并用/种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.利用图2

正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：(0+6)2=/+29+62.

(1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,

请画出图形.

(2)已知：a+b=5,a2+Z?2=13,求的值；

(3)已知(2021-a>+(a-2020y=4043,求(2021-a)(a-2020)的值；

(4)已知(a-2020)2+(a-2022)2=64,求(a-202的值.

33.（2021秋•西城区校级期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究

代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以

很直观地推导出公式.以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题.

构图一，小函同学从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为6的小正方形后，将其裁成

四个相同的等腰梯形（如图（1））,然后拼成一个平行四边形（如图（2））,那么通过计

算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（—）.

A.a2-b2=（a-b）2B.（a+b）2=a2+lab+b2C.（a-b）2=a2-2ab+b1D.

a2-b2=(a+b)(a-b)

构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为。的