2025年中考数学思想方法复习【分类讨论】直角三角形中的分类讨论思想（解析版）

直角三角形中的分类讨论思想

知识方法精讲

1.直角三角形的性质

(1)有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.

(2)直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的

性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理).

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边

的中点)

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形

中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

2.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+店=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式*+62=C2的变形有：a=J26=/及c=J,2+卜2.

(4)由于。2+62=C2>02,所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

3.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,。满足/+62=C2,那么这个三角形就

是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足

较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合

其他已知条件来解决问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两

条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

4.等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和

直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，

三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径尺而高又为内切圆的直径（因为等

腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三

角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径厂=1,则外接圆的半径尺=亚+1,所以厂：R=l：

V2+1.

5.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们

所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统

一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不

同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的,

即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这

种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

一.选择题（共4小题）

1.（2021•大庆模拟）已知RtAABC,AC=3,BC=4,则RtAABC的面积为（）

A.6或过-B.6或25C.12或3aD.12或45

2

【考点】勾股定理

【分析】需要分类讨论：4为直角三角形的直角边，利用面积公式求解；4为直角三角形的

斜边，利用勾股定理求得另一直角边，利用面积公式求解即可.

【解答】解：在RtAABC中，当4C=4是直角边，此时SRMABC=1x3x4=6；

2

在RtAABC中，当NC=4是斜边，此时另一直角边长为：底=近,此时

deRtAABC--X3XV/-・

综上所述，RtAABC的面积为6或些.

2

故选：A.

【点评】本题考查直角三角形的勾股定理以及三角形的面积，解题时需要进行分类讨论，以

防漏接，属于基础题.

2.有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形，则第三边长为()

A.3B.V41C.3或aD.3或历

【考点】勾股定理的逆定理

【分析】要使三角形为直角三角形，则该三角形其中两边的平方和等于第三边的平方.此题

考虑两种情况：第三边是直角边或斜边.

【解答】解：当要求的边是斜边时，则第三边的长是J42+52="1；

当要求的边是直角边时，则第三边的长是乒不=3.

故选：D.

【点评】此题要能够熟练运用勾股定理的逆定理，不要漏掉一种情况.

3.将等腰直角三角形NOB按如图所示放置，然后绕点。逆时针旋转90。至△4。所的位置,

点B的横坐标为2,则点4的坐标为()

A.(1,1)B.(V2,V2)C.(-1,1)D.(-V2,V2)

【考点】坐标与图形性质；直角三角形的性质

【分析】根据图形和已知条件可以求得点/的坐标，由等腰直角三角形按如图所示放

置，然后绕点O逆时针旋转90°至4A'OB'的位置，进而得到A'的坐标.

【解答】解：•••三角形NO2是等腰直角三角形，点3的横坐标为2,

OA=AB,ZOAB=90°,OB=2,

OA=AB=-\/2,

二点4的坐标为（1,1）,

・••等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点0逆时针旋转90°至4A'OB'的位置，

.,.点H的坐标为（-1,1）,

故选：C.

【点评】本题考查直角三角形的性质、坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所

求问题需要的条件.

4.（2021秋•阳信县月考）在RtAABC中，乙4,ZB,2C的对边分别为a,b,c,a=3,

b=5,则c的长为（）

A.2B.V34C.4D.4或后

【考点】勾股定理

【分析】分两种情况利用勾股定理解答即可.

【解答】解：在RtAABC中，乙4,/B,NC的对边分别为a,b,c,a=3,b=5,

贝!Jc=+b2=V32+52=A/34或c=A/52-32=4,

故选：D.

【点评】此题考查勾股定理，关键是根据分两种情况利用勾股定理解答.

二.填空题（共8小题）

5.（2020秋•普陀区期末）在RtAABC中，ZC=90°,NC=6,点。为边上一点，将A4CO

沿直线翻折得到A4E。，点C的对应点为点£,联结如果A5DE是以8。为直角

边的等腰直角三角形，那么8c的长等于12或3后.

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；等腰直角三角形

【分析】根据题意可知，需要分两种情况，ABDE=90°,ADBE=90°,画出对应的图形，

再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解.

【解答】解：①当NBOE=90。时，如图，

此时，四边形是正方形,

贝。=DE=NC=6,

又A5DE是等腰直角三角形,

属于BD=DE=6,

所以5C=CD+BO=12；

②当NOBE=90。时，如图，

设BD=x,贝UBE=x,DE=叵x,

由折叠可知，CD=DE=41X,

由题意可知，ZBDE=ZDEB=45°,

ZCDE=\35°,

ZCAE=45°,

即是等腰直角三角形，

AC=CF=6,N尸=45°,

/.BE=BF=x,

/.V2x+x+x=6,

解得x=6—3A/2,

BC-+x=3A/2.

故答案为：12或3收.

【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等

知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题.

6.(2020秋•九江期末)已知在平面直角坐标系中N(-2月，0)、8(2,0)、C(0,2).点尸在

x轴上运动，当点P与点/、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为

(0,0)一(:-0)」(-2,0)一

【考点】勾股定理的逆定理；坐标与图形性质

【分析】因为点P、/、3在x轴上，所以P、/、8三点不能构成三角形.再分RtAPAC

和TtNPBC两种情况进行分析即可.

【解答】解：•.,点尸、4、3在x轴上，

:.P、/、2三点不能构成三角形.

设点尸的坐标为(加,0).

当AP/C为直角三角形时，

①N4PC=90。，易知点尸在原点处坐标为(0,0)；

②44。=90。时，如图，

■.■ZACP=9Q°

AC2+PC2=AP2,

(2如)2+2?+77?+22=(〃?+26)2,

解得，:空,

3

二点P的坐标为(半，0)；

当A^C为直角三角形时，

①NBPC=90。,易知点P在原点处坐标为(0,0)；

②N8C尸=90。时，

•••NBCP=90°,COLPB,

PO=BO=2,

.•.点P的坐标为(-2,0).

综上所述点尸的坐标为(0,0),(罕，0),(-2,0).

【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想.解题的关键

是不重复不遗漏的进行分类.

7.（2021•南潺区二模）如图是用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式设计的

“毕达哥拉斯”图案.现有五张大小各不相同的正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5,

选取其中三张，按如图方式组成图案，所围成的RtAABC的面积可以为正或如或1或

22

2

【考点】勾股定理

【分析】由勾股定理知，选取的纸片面积为1,2,3或2,3,5或1,4,5或1,3,4,四

种情形，分别计算即可.

【解答】解：•.•五种正方形纸片，面积是1，2,3,4,5,

.•.五种正方形纸片的边长分别为1,6,6,2,石，

由题意得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积,

i6

当选取的三块纸片的面积为1,2,3时，所围成的RtAABC的面积为-xlx^=J；

22

当选取的三块纸片的面积为2,3,5,时，所围成的RtAABC的面积为'后、百="；

22

当选取的三块纸片的面积为1,4,5时，所围成的RtAABC的面积为Lxlx2=l；

2

1向

当选取的三块纸片的面积为1,3,4时，所围成的RtAABC的面积为-xlxg=更，

22

故答案为：也或逅或1或苴.

222

【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.

8.(2021春•柳南区校级期末)有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角

三角形，则第三边长为3或4I.

【考点】勾股定理的逆定理

【分析】因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析.

【解答】解：①当第三边为斜边时，第三边="2+52=历；

②当边长为5的边为斜边时，第三边=存二不=3.

【点评】本题利用了勾股定理求解，注意要分两种情况讨论.

9.(2021秋•乐平市期中)如图，在平面直角坐标系中，已知/(4,0),8(0,3),以48为一

77

边在A4O3外部作等腰直角A43C.则点C的坐标为_(7,4)或(3,7)或(于］)—.

【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质

【分析】分三种情形讨论求解即可.当4B=AC,ZB/C=90。时，作CE_Lx轴于£.由

NAOB=ACEA(AAS),推出4E=OB=3,CE=OA=\,可得。点坐标，同法可得，当

AB=BC,ZABC=90°,。(3,4),当48是等腰直角三角形的斜边时，C”是8c的中点,

C〃(2,2).

【解答】解：如图，当A5=NC,N8/C=90。时，作CE_Lx轴于E.

:.ZABO+ZBAO=90°fZOAB+ZCAE=90°,

/ABO=/CAE,

•・•AB=AC,

\AOB?ACEA(AAS),

:.AE=OB=3,CE=OA=4,

C(7,4),

同法可得，当AB=BC,ZABC=90°,0(3,7),

当/B是等腰直角三角形的斜边时，。〃是5C的中点，C〃(g,|),

综上所述，满足条件的点C的坐标为(7,4)或(3,7)或g,I).

故答案为：(7,4)或(3,7)或g,1).

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

10.(2021秋•鼓楼区校级期中)在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学

总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形

框架尸48。，其中48=42c加，AP,2。足够长，R4_L于点2,点M从B出发向/运

动，同时点N从8出发向。运动，点M,N运动的速度之比为3:4,当两点运动到某一瞬

间同时停止，此时在射线4P上取点C,使AACAf与全等,则线段NC的长为18

或28cm.

【考点】全等三角形的判定

【分析】设c加，则8N=4/c/，使A4CM与A&W全等，由//=Z8=90。可知,

分两种情况：

情况一：当=8N=4W时，列方程解得f,可得/C；

情况二：当BM=AM,BN=/C时，列方程解得/,可得/C.

【解答】解：设.BM=3tcm,则BN=4/cm,因为NN=N3=90。，使A4CM与ABMN全等,

可分两种情况：

情况一：当BM=AC,8N=4W时，

BN=AM,AB=42cm,

At=42—37,

解得：f=6,

AC=BM=3；=3x6=18cm；

情况二：当BM=AM,BN=/C时，

BM=AM,AB=42cm,

3t—42一3t，

解得：t=1,

AC=BN=4z=4x7=28cm,

综上所述，/。=18。加或/。=28。m.

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类

讨论思想是解答此题的关键.

11.（2021秋•徐州期中）已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2,则第三条边长的平

方是5或3.

【考点】勾股定理

【分析】分2为直角边和斜边两种情形，分别利用勾股定理进行计算.

【解答】解：当2是直角边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：『+22=5；

当2为斜边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：22-12=3.

故答案为：5或3.

【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键.

12.（2021秋•诸暨市期中）如图，将一张三角形纸片/2C的一角折叠，使得点工落在四边

形3CDE的外部4的位置，且4与点C在直线48的异侧，折痕为£>£,已知NC=90。，

44=30。.若保持△4DE的一边与8c平行，则NADE的度数_45。或30。_.

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理

【分析】分D4//3C或E4//3。两种情况，分别画出图形，即可解决问题.

【解答】解：当。H//BC时，如图，

AA'DA=NACB=90°,

■：NADE沿DE折叠到A'DE,

NADE=NA'DE=-ZADA'=45°,

2

当E4//3C时，如图，连接44',

Z2=NABC=60°,

NA'AB=ZAA'E=30°,

ZDAA'=ZDA'A=60°,

△AA'D是等边三角形,

Zl=120°,

•••\ADE沿DE折叠到A'DE,

ZADE=ZA'DE=^ZADA'=^（180°-Zl）=30°,

综上所述，N4DE的度数为：45。或30。.

故答案为：45。或30。.

【点评】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质等知识，能根据题意，运用分类讨论思

想分别画出图形是解题的关键.

三.解答题（共11小题）

13.（2020秋•德惠市期末）如图，A4BC是等边三角形，AB=4cm.动点尸，。分别从点

4、2同时出发，动点尸以1cm/s的速度沿NC向终点C运动.动点。以2cm/s的速度沿

射线8C运动.当点尸停止运动时，点。也随之停止运动.点尸出发后，过点尸作尸E//4B

交BC于点E,连结PQMPQ为边作等边三角形PQF,连结C尸，设点尸的运动时间为心）.

（1）用含/的代数式表示C。的长.

（2）求APCE的周长（用含/的代数式表示）.

（3）求C/的长（用含/的代数式表示）.

（4）当APQF的边与3c垂直时，直接写出I的值.

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线的性质

【分析】（1）分两种情况讨论，点。在线段8c上，点。在射线CD上;

（2）先证明APEC是等边三角形，然后求出PC即可；

（3）根据手拉手全等模型，证明A£P。三ACPF即可；

（4）分两种情况，PQLBC,QF1BC；

【解答】解：（1）由题意得：

AP=tcm,BQ=2tcm,

KABC是等边二角形，

/.AB-BC=AC=4cm，

分两种情况：

当点。在线段5c上，CQ=BC—BQ=(4-2txm,

当点。在射线CO上；CQ=BQ-BC=(2t-4)cm,

:.CQ的长为(4-2t)cm或(It-4)cm；

(2)・.・A45C是等边三角形，

NA=NB=NACB=60°，

•・•PE11AB,

AB=APEC=60°,NA=NEPC=60。,

/.APEC是等边三角形，

vAC=4cm,AP=tcm，

PC=AC-AP=(4-t)cm,

APEC的周长=3(4-1)=(12-3t)cm；

(3)APEC是等边三角形，AP。b是等边三角形，

/.PE=PC=EC,PQ=PF,/EPC=ZQPF=60°,

ZEPQ=ZCPF,

,\EPQ二ACPF(SAS),

,EQ=CF,

BE=AP=tcm,BQ=2tcm,

/.EQ=CF=BQ—BE-tcm；

(4)分两种情况：

当尸Q_L5C时，如图：

•・•PE=PC,PQ1BC,

CE=2CQ,

,-.4-/=2(4-20,

4

t——，

3

当尸Q_L5C时，如图:

・・・APQb是等边三角形，

ZFQP=60°,

二./尸。。=30。,

・.•ZACB=60°,

:.ZCPQ=3Q°,

:.CP=CQ,

「.4—t=2t—4，

8

..t——,

3

:.t的值为士或§.

33

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，结合图

形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想.

14.(2021秋•历下区期末)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点/坐标为(3,0),

四边形0/2C为平行四边形，反比例函数y="(x>0)的图象经过点C,与边4B交于点D,

X

若OC=2叵,tanZAOC=l.

(2)点P(a,O)是x轴上一动点，求|PC-P0最大时。的值；

(3)连接CN,在反比例函数图象上是否存在点M,平面内是否存在点N,使得四边形

W为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】反比例函数综合题

【分析】(1)先确定出O£=C£=2,即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论;

(2)先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得3c=CM=3,BC/IOA,ABHOC,利

用待定系数法可求解析式，求出点。的坐标，再根据三角形关系可得出当点P,C,D

三点共线时，|尸C-P0最大，求出直线CD的解析式，令＞=0即可求解；

(3)若四边形C4上W为矩形，则是直角三角形且/C为一条直角边，根据直角顶点

需要分两种情况，画出图形分别求解即可.

【解答】解：(1)如图，过点C作轴于E,

图1

ZCEO=90°,

,/tanZ.AOC=1

...ACOA=45°,

/.ZOCE=45°,

•••OC=2V2,

OE=CE=2,

C(2,2),

・・•点。在反比例函数图象上，

.,.左=2x2=4,

反比例函数解析式为＞=3；

(2)•.•点C(2,2),点0(0,0),

解析式为：y=x，

•.•四边形。4BC是平行四边形，

BC=OA=3,BC//OA,AB!IOC,

二点2(5,2),

.•.设N8解析式为：y=x+b,

...2=5+6,

/.b=-3，

.•"解析式为：＞=%-3,

'_4

联立方程组可得：

j=x-3

或[x=-l（舍去）,

[y=ib=-4

点。(4,1)；

在APCD中，|尸C-P0＜CO,则当点尸，C,。三点共线时，|PC-P0=CO,此时,

IPC-P0取得最大值，

由(1)知C(2,2),。(4,1),设直线CD的解析式为：y=mx+n,

f2m+n=2,„,m=--

,解得ZF2，

4m+n=\c

i[n=3

,直线CO的解析式为：y=--x+3,

2

令y=0,BP-—x+3=0)得x=6,

2

尸C-P0最大时°的值为6.

(3)存在，理由如下:

若四边形C4MN为矩形，则是直角三角形，

则①当点/为直角顶点时，如图2,过点/作/C的垂线与y=3交于点分别过点C,

M作X轴的垂线，垂足分别为点尸，G,

由“一线三等角”模型可得入4斤。64区弘，

则NB:MG=CF:/G,

■.■C(2,2),N(3,0),

OF=CF=2,AF=1,

:.1:MG=2:AG,即MG:NG=1:2,

设MG=f,则ZG=2,

M(2/+3,f),

4

•・・点M在反比例函数y=—的图象上,

x

则Q+3）=4,

解得仁士回

,（负值舍去）,

4

图2

图3

②当点C为直角顶点时，这种情况不成立;

3+V41-3+741

综上，点Af的坐标为（-).

24

【点评】本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判

定.第一问的关键是求出点C的坐标，第二问的关键是知道当点尸，C,。三点共线时,

|PC-尸。取得最大值，第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三

角形的性质建立等式.

15.（2021秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系xQy中，直线乙：y=fcc+6与x轴交于

点/(-6,0),与直线4：y=-2x交于点C(a,4),点£为X轴上一个动点.

(1)求直线4的解析式;

(2)若点E的坐标为(3,0),过点£作直线轴，分别交直线于点尸，G.求ACFG

的面积;

(3)若以点C、/、E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标.

【考点】一次函数综合题

【分析】(1)首先求出点。的坐标，再将，(-6,0).。(-2,4)代入y=Ax+6,解方程即可;

(2)求出尸，G的坐标，从而得出尸G的长度，代入三角形面积公式；

(3)分乙4£。=90。或N/C£=90。或NC/£=90。，分别画图进行计算即可.

【解答】解：(1)将C(a,4)代入y=-2x得，-2a=4,

/.a=-2，

C(-2,4),

将4(一6,0).。(一2,4)代入y=Ax+b得,

-6k+6=0

一2左+6=4

解得

[b=6

：.直线/1的解析式y=x+6；

(2)如图，当x=3时，＞=3+6=9,，尸(3,9),

当x=3时，y=-2x=-6,G(3,-6),

:.FG=15,

0175

SACFG=-X15x5=—；

(3)当N/EC=90°时，£'(-2,0),

当N/CE=90。时，

AE'=CE'=4,

:.ZACE'=45°,

ZE'CE"=45°,

E'E"=CE=4,

.・.E"(2,0),

由题意知ZCAE不可能为90°,

综上，£(-2,0)或(2,0).

【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点问题，待定系数法求函数解析式，

三角形的面积，直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.

16.(2021秋•河东区期末)在平面直角坐标系中，直线A8分别交x轴，y轴于/Q0),3(0,6),

且满足J4+2+62-86+16=0.

(1)a=__—2__,b=

(2)点尸在直线48的右侧：且乙4必=45。；

①若点尸在无轴上(图1),则点P的坐标为

【分析】(1)根据非负数的性质可得a,6的值；

(2)①由乙4PB=45。，APOB=90°,得OP=OB=4,从而得出点尸的坐标；

②由A43尸为直角三角形，ZAPB=45°,只有情况：N48P=90。或NB/尸=90。，分别利用

上型全等可解决问题.

【解答】解：Vsla+2+b2-8/?+16=0,

Ja+2+(6-4)2=0,

/.a=—2Jb=4,

故答案为：-2,4；

(2)①如图，

•.•/4尸5=45。，APOB=90°,

.-05=4,

尸(4,0),

故答案为：(4,0)；

②・・•〃=-2,6=4,

/.OB=2OA=4,

又・.•A45尸为直角三角形，NAPB=45。,

?.只有情况：NABP=90°或/BAP=90°,

I：如图，若445尸=90。，过点尸作尸C_L05于C,

/PCB=ABOA=90°,

又•・,NAPB=45。,

ZBAP=/APB=45°,

BA=BP,

又・.•AABO+AOBP=AOBP+NBPC=90°,

/ABO=ZBPC,

AABO=ABPC(AAS),

pc=OB=4,BC=OA=2,

OC=OB——BC=4—2=2,

・•.P(4,2)；

II：如图，若NBAP=90。，过点尸作尸。_LO4于。,

/PDA=ZAOB=90°,

又・・•N4PB=45。,

/ABP=/APB=45°,

AP=AB,

又•・.ABAD+ZDAP=90°,

NDPA+ZDAP=90°,

/BAD=ZDPA,

:.ABAO=AAPD(AAS),

PD=OA=1,AD=OB=4,

:.OD=AD-OA=4-2=2,

P(2,-2),

综上所述，点尸的坐标为：(4,2)或(2,-2).

【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，非负数的性质,

全等三角形的判定与性质等知识，熟悉基本模型利用左型全等解决问题是关键，同时渗透了

分类思想.

17.(2021秋•嵩县期末)如图，点。是等边AA8C内一点，E是A48c外的一点，

ZCDB=130°,ABDA=a,ABDA三ACEA.

(1)求证：是等边三角形；

(2)若ACDE是直角三角形，求a的度数.

【考点】全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到=ZCAE=ABAD,根据等边三角形的概

念证明结论；

(2)根据全等三角形的性质得到ACEA=ABDA=a,用a表示出NCED,ZCDE,根据

直角三角形的概念列式计算即可.

【解答】(1)证明：•.■A4BC为等边三角形，

ABAC=60°,

VMDA=ACEA,

AE=AD,NCAE=NBAD,

NCAE+ZDAC=ABAD+ADAC=60°,

\AED是等边三角形；

(2)解：V/^BDA=ACEA,

/.Z.CEA-Z.BDA-a,

VA4E。是等边三角形,

NAED=ZADE=60°，

NCED="60°,ZCDE=360°-130°-e-60°=170°-a,

ZDCE=180°-ZCED-ZCDE=180°-(a-60°)-(170°-a)=70°,

当NC£D=90。时，&-60。=90。，

解得：a=150。，

当NCDE=90°时，170°-a=90°,

解得：a=80。，

综上所述：ACDE是直角三角形时，e的度数为150。或80。.

【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等边三角形的概念和性质、直角三角形的性质,

掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

18.(2021秋•婺城区校级月考)如图，在RtAABC中，乙4c3=90。，AC=6,ZABC=30°,

点D,£分别在边4S,AC±,在线段ED左侧构造RtADEF,使ADEFsABM

图1图2备用图

(1)如图1,若=点£与点C重合，£＞尸与相交于点X.求证：2cH=BH.

(2)当/£=2时，连接即，取8b的中点G,连接。G.

①如图2,若点尸落在NC边上，求DG的长.

②是否存在点D,使得AT^G是直角三角形？若存在，求ND的长；若不存在，试说明理由.

【考点】相似形综合题

【分析】(1)首先可证\AED是等边三角形，则NHCD=30°,CH=DH,得ZBHD=60°,

ZBDH=90°,仄而有BH=2DH,即可证明结论；

(2)①延长加至/,使4=①，连接歹/,同理可得A4FD是等边三角形，得

AD=AF=AI=4,则AD=Z)/=8,则。G是AS打的中位线，求出口的长，从而解决问

题;

②由①可知，DG//FI,得N5DG=N[=30。，贝IN阳G=180。—/5QG—/用4=90。，

AZ）尸G是直角三角形，此时4。=4；当/DG尸=90。时，作。平_L/C于匹，设/O=2x,

贝l」Z沙=x,WD=y/3x,DB=FD=12-2x,EW=x-2,在RtADWE中，利用勾股定理

列方程即可得出答案；当/。产G=90。时，作。O_L4C于0,FN1AC于N,于

M,设4。=2工，则/O=x,OD=6x,DB=12-2x,EO=2-x,利用K型相似，表

示出EN=x,FN=^~,再利用由A2）尸QsAFG尸得，22二£2,代入各线段长，得

PFGP

,从而解决问题.

上二(16+x)

【解答】（1）证明：•・・/4C5=90。，AD=BD,

CD=AD=BD,

•・Z5C=30。，

N4=60°,

/.\AED是等边三角形，

ZACD=ZADC=60°,

ZHCD=30°,

NDEF^\BCA,

ZHCD=ZHDC=/ABC=30°,ZDFE=60°,

CH=HD,

•/ZADC=60°,ZHDC=ZABC=30°,

/HFB=90°,

二.2DH=BH,

2CH=BH；

（2）解：①延长。%至/,使4/=D4,连接尸/,

B

I

vZACB=90°,AC=6,ZABC=30°,

AB=12fBC=NAB?-AC2=6百,

•・•点/落在zc边上，

・•.ZDFA=ZA=60°,

/.\AFD是等边三角形，

AE=2,

AD=AF=AI=4,

・•.BD=DI=8,

•・・G是即的中点,

2DG=FI,

vAF=AI,AA=60°,

/AFI=ZI=30°,

ZDFI=90°,

:.FI=y/DI2-DF2=473,

DG=2y/3；

②由①可知，DG//FI,

/BDG=〃=30°,

ZFDG=180°-NBDG-ZFDA=90°,

.•.ADbG是直角三角形，此时NO=4；

如图，/DG尸=90。时，

:G是新的中点，

DB=FD,

作。少_L/C于匹，

设AD=2x,贝IJZFK=x,WD=43x,DB=FD=l2-2x,EW=x-2,

ADEFSABCA,

EF=6-x,ED=43(6-x),

(岳＞+(x-2)2=(60_岳了，

解得：x=6A/TO—16—6VTO—16(舍去)，

此时，NO=12&U-32；

如图，NDFG=90。时，作。。_L/C于。，FN工AC于■N,FA/18C于"，交DO于Q,

GP工FM于P,

B

设/D=2x,贝=OD=A,DB=12-2x,E0=2-x,

ADEF^ABCA,

.33

EF

•・•ZFNE=ZDOE=/DEF=90°,

ZDEO+/ODE=90°,/DEO+ZFEN=90°,

/.ZODE=/FEN,

AODEs.EF,

DO_OEDE_

*'E/V-FT7"EF-'

EN=x,FN=^^,CN=FM=6-2-x=4-x,BM=6百-FN=66-

J3V3

由AZ)尸0SAFGP得，坐="，

PFGP

26c

---(2x-ln)

.5_________?2___

2-9f(16+x)

乙o

化简得，x2+17x-14=0,

解得：x=UZ或旦士(舍去)，

22

此时/£>=取^-17；

综上所述，/D的长为屈^-17或12&U-32或4.

【点评】本题是相似形综合题，主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质,

直角三角形的性质等知识，构造K型相似是解题的关键，难度较大，属于中考压轴题.

19.(2021秋•沐阳县校级月考)如图，在平面直角坐标系中，点/,8的坐标分别为(-1,0),

(3,0),现同时将点8分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点N,B

的对应点C,。，连接/C,BD,CD.(三角形可用符号△表示，面积用符号S表示)

(1)直接写出点C,。的坐标；

(2)在x轴上是否存在点W,连接MC,MD,使2sAMm，若存在，请求出点M的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若动点P从点3出发，沿着x轴正方向运动；当A5DP是直角三角形时，求。尸长.

【考点】几何变换综合题

【分析】(1)根据平移的性质可直接得出答案；

(2)设点W(小,0),由5AM3c=25AM即，则CD=2的0,有4=2|〃?-3],从而得出"的坐

标;

(3)当ZBPD=90°时，得DP=2；当ZBDP=90°时，设P(m,0),则

8尸2=(冽-3)2=加2—6机+9,DP2-(m-4)2+22^m2-8m+20,=(4一3了+2?=5,

运用勾股定理列方程可解决问题.

【解答】解：(D由平移知，点C(0,2),£>(4,2).

CD=4,

设点M(m,Q),

•・•5(3,0),

:.BM=\m-3\

S.DC_2S.BD，

-CDx2=2x-BMx2,

22

CD=IBM,

4=21冽—3|,

.•.冽=5或冽=1,

.•.M(5,0)或(1,0).

,一。(4,2),

...DP=2,

设尸(加,0),

BP2=(m-3)2=m2-6m+9,

DP2=(m-4)2+22=m2-8m+20,

5Z)2=：(4-3)2+22=5,

m2-6m+9=m2-8m+20+5，

解得：加二8,

/.DP=dm2-8m+20=2退，

由题意知ZDBP不可能为90。，

综上所述，当A5QP为直角三角形时，DP的长为2或2

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理,

三角形的面积等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.

20.（2021秋•郸城县月考）（1）观察猜想：如图1,AABC是以4B、/C为腰的等腰三角

形，点。、点E分别在、AC±,豆DEUBC,将NADE绕点/逆时针旋转

次0。骨卷60。）.如图1：请直接写出旋转后助与CE的数量关系_8O=CE_.

图1

（2）探究证明：如图2,A4cB是以/C为直角顶点的等腰直角三角形，DE//BC分别交AC

与两边于点E、点。.将A4DE绕点/逆时针旋转至图2所示的位置时，（1）中结论是

否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

图2

（3）拓展延伸：如图3,A4C2是直角三角形，tanNB/C=J,BC=2,D、E分别是NC

2

与的中点，现将AADE绕点/旋转（旋转角＜180。），当A4BE是直角三角形时，求C。的

长.

图3

【考点】几何变换综合题

【分析】(1)结论BD=CE.证明=A4c£(&4S)；

(2)结论不成立.3。与CE的数量关系：BD=叵CE.证明AD/BSAE/C,可得结论；

(3)分两种情形：当/瓦42=90。时，当乙4助=90。口寸，分别利用勾股定理,相似三角形

的性质求解即可.

【解答】解：(1)结论&)=CE.

理由：如图1中，;NBAC=NDAE,

ABAD=ZCAE,

•••AB=AC,AD=AE,

NABD=NACE(SAS),

BD=EC.

故答案为：BD=CE.

(2)结论不成立.3。与CE的数量关系：BD=y[2CE.

理由：•.・A43C,ZUED都是等腰直角三角形，

ARAF)I—

ACAB=ZEAD=45°,——=——=<2,

ACAE

NDAB=ZEAC,

・•.^DABs^EAC,

:总』=6,

CEAC

BD=42EC；

(3)RtAACB中，tanZBAC=-,BC=2,

2

BC_1

AC=4,

~AC~2

AB=V^C2+BC2=V22+42=2V5,

.:D,E分别是ZC,48的中点,

AE=—AB=5/5,AD=—AC=2>

22

当NE/5=90。时，EB=4AB1+=^(275)2+(V5)2=5,

当//匹=90。时，EB=dAB?_AE?=J(2后_(后二诟,

•・•ZEAD=ABAC,

NEAB=ADAC,

AEAB加

•'AD~Hc~~r9

\AEB^\ADC,

EBAEV5八厂275“

DCAD25

当£8=5时，CD=2下,

当=时，CD=2。

综上所述，满足条件的CD的值为2e或2G.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用

分类讨论的思想思考问题.

21.(2021秋•尤溪县期中)已知加组正整数：第一组：(4,3,5)；第二组：(6,8,10)；

第三组：(8,15,17)；第四组：(10,24,26)；第五组：(12,35,37)；...

(1)写出符合上述规律的第六组三个数：48,14,50；

(2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80?若存在，请求出这组数；若

不存在，请说明理由；

(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使

得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例.

【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类；勾股定理的逆定理

【分析】(1)根据题意可知，这"组正整数符合规律/-1,2m,苏+1(加用，且加为整

数）.

（2）分三种情况：m2-1=80；2m=80；m2+1=80；进行讨论即可求解；

（3）由于（加z