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文档简介

不等式(组)中的分类讨论思想

知识方法精讲

1.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;

④合并同类项;⑤化系数为1.

以上步骤中,只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向,其他

都不会改变不等号方向.

注意:符号和y分别比和各多了一层相等的含义,它们是不等号与

等号合写形式.

2.解一元一次不等式组

(1)一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

(2)解不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

(3)一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.

解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.

3.一元一次不等式组的整数解

(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的

限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

(2)已知解集(整数解)求字母的取值.

一般思路为:先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等,然后再根

据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式,最后解代数式即可得到答案.

4.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们

所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统

一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不

同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一致的,

即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这

种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想。

一.选择题(共1小题)

1.(2021春•鼓楼区校级期末)解不等式(x-2)(x-l)>0时,我们可以将其化为不等式组

厂一2>°或5得到的解集为》<]或》>2,利用该题的方法和结论,则不等式

[x—1>01x—1<0

(X-3)(x-2)(x-l)>0的解集为()

A.x>3B.1<x<2C.x<1D.x>3或l<x<2

二.填空题(共7小题)

x+26

2.(2021春•涪城区校级月考)若关于无的不等式组-的所有整数解的和是-12,

x<m

则"的取值范围为一.

3.(2021春•郸都区校级期中)若关于x的不等式组?一加>°的所有整数解的和是15,则加

[13-2xK

的取值范围是—.

4.(2020•拱墅区一模)已知关于x的不等式组I-一的所和

的取值范围是—.

5.(2021秋•让胡路区期末)若关于x的不等式组/一尤+1,恰有2个整数解,则。的取

1X—4<0

值范围为—.

I3Y+<-0

6.(2020秋•芙蓉区月考)已知关于x的不等式组的所有整数解的和为-9,加的

[%>-5

取值范围是—.

2%+1+3〉—1

7.若关于x的不等式组2的所有整数解的和是-7,则加的取值范围是—.

x<m

X—TT1'>0

8.若关于x的不等式组的所有整数解的和是18,则切的取值范围是—.

[13-2xK

三.解答题(共12小题)

9.(2021秋•西城区校级期中)阅读下列材料:

根据绝对值的定义,|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离,那么,如果数轴上两点P、

0表示的数为X],X?时,点P与点0之间的距离为尸。=|王-超|.

根据上述材料,解决下列问题:

如图,在数轴上,点/、3表示的数分别是-4,8(/、3两点的距离用43表示),点M是

数轴上一个动点,表示数"7.

(1)AB=个单位长度;

(2)若|+41+1加-81=20,求加的值;(写过程)

(3)若关于x的方程|x-l|+|x+l|+|x-5|=a无解,则。的取值范围是.

A0B

10.(2021秋•平谷区校级期中)若分式一^值为正,求”的取值范围.

2m-1

关于这道题,某同学根据分式即除法,根据除法处理符号的原则,同号相除得正,得2加-1>0,

求得m>—.

2

根据这位同学的做法,若土二%<0,求加的取值范围—.

-5

若Qt2〉o,求加的取值范围—.

2加+3

若曰<0,求他的取值范围—.

3-m

11.(2021春嚼城区期末)例:解不等式(x-2)(x+3)>0

解:由实数的运算法则:“两数相乘,同号得正”

[x—2>0.[x—2<0

得①〈,或r②〈,

[x+3>0[x+3<0

解不等式组①得,x>2,

解不等式组②得,x<-3,

所以原不等式的解集为x>2或x<-3.

阅读例题,尝试解决下列问题:

(1)平行运用:解不等式/-9>0;

(2)类比运用:若分式二±1的值为负数,求x的取值范围.

12.(2021春•西城区校级月考)阅读材料:解分式不等式义出<o.

解根据实数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,因此,原不等式可转

化为:①+或②(3x+6:°解不等式组①得无解,解不等式组②得一2<》<1,所以

x—1>0x—1<0

原不等式的解集是-2<x<l.

请仿照上述方法解下面的分式不等式:

2%+5

13.(2021春•三元区校级月考)先阅读理解下面的例题,再按要求完成后面的问题:

例:解不等式(x-2)(尤+1)>0.

解:由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正,异号得负”得:

II:①或x—2<0

②,

x+1<0

解不等式组①,得:x>2;

解不等式组②,得:x<-l.

所以(x-2)(x+l)>0的解集为x>2或.

根据上述方法解答下列问题:

(1)解一元二次不等式/一4>0;

(2)解不等式卫1<0.

2x-3

14.(2021•商河县校级模拟)阅读下面材料,根据要求解答问题:求不等式(2x-1)(尤+3)>0

的解集.

解:根据“同号两数相乘,积为正”可得:①信或②

解不等式组①得:x>-.解不等式组②得x<-3.

2

不等式(2x-l)(x+3)>0的解集为•或x<-3.

请你仿照上述方法解决下列问题:

(1)求不等式(2》-3)(》+1)<0的解集.

L-i

(2)求不等式3口的解集.

%+2

15.(2021秋•龙凤区期中)先阅读理解,再解答问题.

解不等式:^>1

解:把不等式五\>1进行整理'得/pl>。'即公>。-

1—X>0-1—x<0

则有(1)_,或(2)

2%—1>02%—1<0

解不等式组(1),得

2

解不等式组(2),得其无解.

所以原不等式的解集为

请根据以上解不等式的方法解不等式:一<2.

3x+2

16.(2021春•丰台区校级期末)已知实数。是不等于3的常数,解不等式组

'-2x+3声3①

,小一初+夫〈。②并依据。的取值情况写出其解集.

17.(2021春•西秀区期末)阅读理解题:

阅读:解不等式(x+l)(x-3)>0

解:根据两数相乘,同号得正,原不等式可以转化为:1+1>°或1+1<°

[x-3>0[x-3<0

解不等式组(x+j°得:x>3

[x—3>0

解不等式组+得:%<-1

所以原不等式的解集为:x>3或

问题解决:根据以上阅读材料,解不等式(x-2)(尤+3)<0.

18.(2021春•武城县期末)感知:解不等式立2>0.根据两数相除,同号得正,异号得

x-1

负,得不等式组①卜+2>°,或不等式组②卜+2<0.解不等式组①,得》>1;解不

[x—1>0[x—1<0

等式组②,得x<-2,所以原不等式的解集为x>l或x<-2.

探究:解不等式在於<0.

x+1

应用:不等式(x-

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