2025年中考数学思想方法复习【猜想归纳】图案规律中的猜想归纳思想（解析版）

图案规律中的猜想归纳思想

知识方法精讲

1.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化

规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

2.认识图形

(1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形.几何图形分为立体图形和平面图

形.

(2)立体图形：有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在

同一个平面内，这就是立体图形.

(3)重点和难点突破：

结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等.能

区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内.

3.猜想归纳思想

归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、

图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析

推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类

比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察一归纳一猜想一证明(验证)”，具体做法：

(1)认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；

(2)根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个

一般性的结论；

(3)结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。

4.归纳猜想类问题可以分成四大类：

(1)数式归纳猜想题

这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一

般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的

关键。

(2)图形归纳猜想题

此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为

载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关

系。

(3)结论归纳猜想题

结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化,

是解题的关键。

(4)类比归纳猜想题

类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中■类对象的某些

已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、

学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。

一.选择题(共19小题)

1.(2021•巴南区自主招生)把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共

有4个三角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，…，若按此规律拼

图案，则图案⑧中共有()

漫画…一

①②③

A.13个三角形B.19个三角形C.25个三角形D.31个三角形

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】由题意可以得出第〃个图案中三角形的个数为：3n+\,据此可求第⑧个图案的三

角形个数.+

【解答】解：第①个图案中三角形的个数为：4,

第②个图案中三角形的个数为：7=4+3,

第③个图案中三角形的个数为：10=4+3+3,

则第〃个图案中三角形的个数为：4+3("-1)=3〃+1,

，第⑧个图案中三角形的个数为：3x8+1=25.

故选：C.

【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是由题意得出第〃个图案中三角

形的个数为：3«+1.

2.（2019•渝北区自主招生）下列图形都是由相同的☆按一定规律组成的，其中，第①个图

形中一共有3个☆，第②个图形中一共有7个☆，第③个图形中一共有13个☆，…，则第

7个图形中☆的个数为（）

☆

☆☆

☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

*☆☆☆☆

①②③④

A.51B.57C.73D.74

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据题意得出得出第"个图形中☆的个数为/+〃+1；由此代入求得第7个图形中

☆的个数.

【解答】解：第①个图形中一共有3个+，3=12+2；

第②个图形中共有7个☆，7=2?+3；

第③个图形中共有13个☆,13=32+4；

第"个图形中☆的个数为：〃2+〃+1；

第7个图形中☆的个数为：72+7+1=57.

故选：B.

【点评】此题主要考查规律型：图形的变化类，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题

的关键.

3.（2021•康巴什校级三模）将一些相同的病毒“•”按如图所示的规律依次摆放成类似“蝙

蝠侠”的图案，观察下列“蝙蝠侠”图案中病毒的排列规律，则第21个图形中

的个数为（）

①②③④

A.347B.385C.425D.467

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据图形的变化归纳出第〃个图形有+个即可.

【解答】解：由图知，第1个图形有Oxl+5=5个“•”，

第2个图形有lx2+5=7个"•力

第3个图形有2x3+5=11个“•”，

第4个图形有3x4+5=17个“•”，

第〃个图形有皿〃-1）+5］个“•”，

.•.第21个图形中的个数为21x（21-1）+5=425,

故选：C.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第〃个图形有+个

是解题的关键.

4.（2021•淄川区一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中

空白处的是（）

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据图形的变化规律可以看出，每行每列的总点数都是10,根据此规律即可得出

结论.

【解答】解：根据图形的变化规律可得，每行每列的总点数都是10,

故选：C.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，观察出每行每列的总点数都是10,是解题的关键.

5.（2021•泗水县一模）将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6,....如图所示有序排列.根

据图中的排列规律可知，有理数4在“峰1”中C的处.则有理数-2021在（）

A.峰403£处B.峰403。处C.峰404。处D.峰404£处

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】由图形变化规律知，除了起始数字-1外，其余数字中，每5个数字就开始一个峰,

共有（2021-1）+5=404个峰，且奇数峰起始数字是偶数，偶数峰时，起始数字是奇数，由

此判断即可.

【解答】解：••・除了起始数字-1外，其余数字中，每5个数字就开始一个峰，

共有（2021-1）+5=404个峰，

••・奇数峰起始数字是偶数，偶数峰时，起始数字是奇数，

.•.第404个峰起始数字都是奇数，且-2021在£处，

故选：D.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，灵活把握每个峰的构成特点是解题的关键.

6.（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放,

则第8个图案中共有圆点的个数是（）

n=ln=2n=3n=4

A.34B.40C.49D.59

【考点】规律型:图形的变化类

【分析】观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图

案基础上有规律地增加圆点数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多一个的圆点数,

从而解决该题.

【解答】解：当〃=1时，第1个图案的圆点的个数是必=5+2=7个.

当〃=2时，第2个图案的圆点的个数是％=必+3=5+2+3=10个.

当〃=3时，第3个图案的圆点的个数是%=%+4=5+2+3+4=14个.

当〃=4时，第4个图案的圆点的个数是”=%+5=5+2+3+4+5=19.

以此类推，第〃个图案的圆点的个数是%=5+2+3+4+...+（〃+1）

_j"（2+〃+1）_<+3）A

-D।-D|•

22

，当〃=8时，第8个图案的圆点的个数是%=5+8x（：+3）=49个.

故选：C.

【点评】本题主要考查学生的观察能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题.

7.（2021•江北区校级模拟）下列图形是用棋子按照一定规律摆成的，第①个图中有2枚棋

子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有12枚棋子，…，按照这种摆法，第8个图形中

共有棋子（）

•••••

••••••・•・...

•••••••

•••••••••

①②③④

A.42B.56C.64D.72

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】观察并比较分析每个图形的相同点与不同点,得出每个图形的每行的棋子数相等.另

外，任意两个相邻的图形中后一个图形的棋子的行数总是比前一个图形的棋子多1行，且每

一行棋子数比前一个的图形的每一行棋子数对一个，进而得出图形棋子数的变化规律，从而

解决该题.

【解答】解：第①个图形的棋子数为乂=2枚.

第②个图形的棋子数为%=2x3=6枚.

第③个图形的棋子数为%=3x4=12枚.

第④个图形的棋子数为"=4x5=20枚.

以此类推，第〃个图形的棋子数为"="(〃+1)枚.

二第⑧个图形的棋子数为以=8x9=72枚.

故选：D.

【点评】本题主要考查学生观察与比较分析能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律

题.

8.(2021•九龙坡区模拟)下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第

①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个

实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为()

①②③…

A.19B.20C.22D.23

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】观察并比较分析图形的相同点与不同点，得出每两个相邻的图形中后一个图形总是

在前一个图形的底部增加1个实心圆点，顶部的两侧各增加1个实心圆点，进而归纳任意两

相邻的图形中后一个图形实心圆点数比前一个实心圆点数多3个，从而得出图形实心圆点数

的一般变化规律.

【解答】解：第①个图形的实心圆点数是必=5个.

第②个图形的实心圆点数是%=%+3=5+3=8.

第③个图形的实心圆点数是%=%+3=5+3+3=5+3x2.

第④个图形的实心圆点数是北=%+3=5+3+3+3=5+3X3.

以此类推，第〃个图形的实心圆点数是”=5+3(〃-1)个.

.•.当〃=7时，第⑦个图形的实心圆点数是%=5+3x6=23个.

故选：D.

【点评】本题主要考查学生观察与比较分析得能力，运用特殊到一般的数学思想可解决此类

规律题.

9.（2021秋•平阴县期末）将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2022

应位于（）

1—*25f6

tl

03—47―►...—12）—*■

A.?位B.?位C.?位D.?位

【考点】规律型：数字的变化类

【分析】观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2022是第2023个数，

所以用2023除以4,再根据商和余数的情况确定2022所在的位置即可.

【解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，

•••2022是第2023个数，

2023+4=505.......3,

二.2023应位于第506循环组的第3个数，在。位.

故选：C.

【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关

键，要注意2022是第2023个数.

10.（2021秋•中原区校级期末）找出以下图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形

的数量是（）

■=・口0......

A.3030B.3031C.3032D.3033

【考点】规律型：图形的变化类.

【分析】仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案.

【解答】解：观察图形可知：

第1个图形中黑色正方形的数量是2,

第2个图形中黑色正方形的数量是3,

第3个图形中黑色正方形的数量是5,

发现规律:

:当〃为偶数时，第〃个图形中黑色正方形的数量是("+[?)个；

2

当“为奇数时，第"个图形中黑色正方形的数量是5+生上)个，

2

...第2022个图形中黑色正方形的数量是：2022+Lx2022=3033(个),

2

故选：D.

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找

到规律.

11.(2021秋•泉州期末)如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数

组成的，第〃行有〃个数，且两端的数均为工，每个数是它下一行左右相邻两数的和，若用

n

36)表示第0行从左到右第6个数，如(2,2)表示的数是(3,2)表示的数是(4,3)表

26

示的数是则(7,5)表示的数是()

1

1

11

22

11_1_

36T

1111

41212T

R111

A.—rn

42105210420

【考点】倒数；规律型：图形的变化类

【分析】根据图形的变化规律可得，第〃行有〃个数，且两端都是工，每个数是它下一行左

n

右相邻两数的和，根据此规律写出第5,6,7行从左往右第一个数，第6,7行从左往右第

二个数，第7行从左往右第三个数即可得到(7,5)表示的数.

【解答】解：由图形的变化可知，

第〃行有"个数，且两端都是工，每个数是它下一行左右相邻两数的和，

n

.•.第5,6,7行从左往右第一个数分别是1,-；

567

第6,7行从左往右第二个数分别是工-工=工，

56306742

第7行从左往右第三个数为—-—=

3042105

由图形的特征可得（7,5）表示的数是第7行从左往右第五个，它和（7,3）表示同一个数，

故选：B.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形归纳出第〃行有〃个数，且两端都是工，

n

每个数是它下一行左右相邻两数的和是解题的关键.

12.（2021秋•秦淮区期末）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形

成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a,将每边四等分，作一凸一凹的两个边长

为。的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同

的变化，得到图形如图（3）,称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的

雪花图案.如不断发展下去到第"次变化时，图形的面积和周长分别为（

第一次变化第二次变化

A.16/和2"+'B.16a2和2"%C.32a2和2-3aD.32a?和4"a

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同

时又减少一个相同的小正方形，即面积不变.

【解答】解：周长依次为32a,64a,128a,…，2"%,即无限增加，

所以不断发展下去到第〃次变化时，图形的周长为2"+%；

图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一

个定值16/.

故选：B.

【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图

形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度.

13.（2021秋•顺德区期末）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第100个图形需要木棒根

数是（）

第1个图形第2个图形第3个图形

A.501B.502C.503D.504

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】不难看出，后一个图形比前一个图形多了5根木棒，据此可表示出第"个图形中木

棒的根数，从而可求第100个图形需要的木棒根数.

【解答】解：•.•第1个图形需要的木棒根数为：6,

第2个图形需要的木棒根数为：11=6+5=6+5x1,

第3个图形需要的木棒根数为：16=6+5+5=6+5x2,

.•.第"个图形需要的木棒根数为：6+5（/7-1）=5/1+1,

.•.第100个图形需要的木棒根数为：5x100+1=501（根），

故选：A.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出所存在的规律.

14.（2021秋•丰台区期末）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个图

案需要的棋子个数为（

)①②③④

A.81B.91C.109D.111

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据图形的变化归纳出第”个图案需要黑色棋子个数为：n2+n+l,即可求解.

【解答】解：由图知，第1个图案中黑色棋子的个数为l+2=F+i+i,

第2个图案中黑色棋子的个数为4+3=2z+2+1,

第3个图案中黑色棋子的个数为9+4=3?+3+1,

第4个图案中黑色棋子的个数为16+5=代+4+1,

第n个图案需要黑色棋子个数为n2+n+l,

，第⑨个这样的图案需要黑色棋子个数为92+9+1=81+10=91,

故选：B.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第〃个图案需要黑色棋子个

数为（/+〃+1）是解题的关键.

15.（2021秋•新都区期末）用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“3”，按此规律摆下

去，第2021个“3”需要火柴棒的根数为（

C.6068D.8085

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】通过观察图形易得每个图案需要火柴棒的根数都比前面的图案需要火柴棒的根数多

4根，利用图形序号”来表示出规律即可.

【解答】解：由图可知

第1个图中：需要火柴棒的根数是5=1+4x1；

第2个图中：需要火柴棒的根数是9=l+4x2；

第3个图中：需要火柴棒的根数是13=1+4x3；

第"个图中：需要火柴棒的根数是477+1.

当”=2021时，4«+1=8085.

故选：D.

【点评】本题主要考查了图形的变化类规律.从变化的图形中找到与图形序号变化一致的信

息是解题的关键.

16.（2021秋•锦江区校级期末）如图，用菱形纸片按照如下规律拼成下列图案，若第〃个

图案中有2021张纸片，则〃的值为（）

A.503B.504C.505D.506

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据图形归纳出第〃个图形中有(4〃+1)个菱形纸片，然后列方程求解即可.

【解答】解：由图知，第一个图案中有5张菱形纸片，以后每个图案都比前一个多4张菱形

纸片，

故第"个图形中有(4»+1)张菱形纸片，

由图知4n+l=2021,

解得n=505，

故选：C.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第"个图形中有(4〃+1)个

菱形纸片是解题的关键.

17.(2021秋•西山区期末)将正方形做如下操作，第1次分别连接各边中点如图2,得到5

个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形...，以此

类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数为()

图1图3

A.503C.505D.506

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】从特殊到一般，探究规律后利用规律即可解决问题;

【解答】解：••・第1次：分别连接各边中点如图2,得到4+1=5个正方形;

第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到4x2+1=9个正方形,

以此类推，根据以上操作，则第〃次得到4”+1个正方形,

由题意4〃+1=2025,

解得n=506，

故选：D.

【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键.

18.（2021秋•嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直

角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生

长”（如图1）;再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别

以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）…

如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形

中所有的正方形的面积和是（）

（图1）

A.1B.2020C.2021D.2022

【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类

【分析】利用勾股定理得其+Sc=l,则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面

积和为2,同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3,找到规律即

可解答.

由题意得：=1,

由勾股定理得：SB+SC=1,

■.“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3,

“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4,

“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022,

故选：D.

【点评】本题主要考查了勾股定理，根据图形变化找到前3次“生长”后所有正方形的面积

是解题的关键.

19.（2021秋•大埔县期末）如图所示，直线/B,CD相交于点。，“阿基米德曲线”从点。

开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为1,-2,3,-4,5,-6....那么标

记为“2021”的点在（）

A.射线ON上B.射线上C.射线0c上D.射线8上

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据图形的变化，每四条射线为一组，从。/开始，由2021+4=505..」，即可得出

结论.

【解答】解：观察图形的变化可知：

奇数项：1、3、5、…为正整数）；

偶数项：-2、-4、-6、...-In.

•••2021是奇数项，每四条射线为一组，04为始边，

.-.2021H-4=505...1,

二.标记为“2021”的点在射线。4上.

故选：A.

【点评】本题主要考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规

律.

二.填空题（共6小题）

20.（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正

方形，拼第2个正方形需要9个小正方形...，按这样的方法拼成的第（〃+1）个正方形比第〃

个正方形多_(2〃+3)_个小正方形.

【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方

形的个数的关系找出规律解答即可.

【解答】解：•••第1个正方形需要4个小正方形，4=22,

第2个正方形需要9个小正方形，9=3?,

第3个正方形需要16个小正方形，16=7,

第"+1个正方形有(〃+1+1)2个小正方形，

第n个正方形有+1)2个小正方形，

故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多("+2)2-(〃+1)2=(2M+3)个小正方形.

故答案为：(2〃+3).

【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求

解.

21.(2021•安溪县模拟)北京天坛的国丘坛为古代祭天的场所，如图所示分上、中、下三层，

上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外

每环依次增加9块，下层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，

已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)27

环.

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】设每层有〃环，则第一层由9+18+27+36+…+9〃块扇面形石板，第二层由

9(〃+1)+9(〃+2)+9(〃+3)+…+9(〃+〃)块扇面形石板，第三层由

9(2〃+1)+9(2«+2)+9(2〃+3)+…+9(2〃+ri),再根据下层比中层多729块求出/值即可.

【解答】解：设每层有〃环，则第一层由9+18+27+36+...+9"块扇面形石板，

第二层由9(n+1)+9(H+2)+9(n+3)+...+9(n+n)块扇面形石板，

第三层由9(2〃+1)+9(2〃+2)+9(2〃+3)+…+9(2«+〃)，

...9(2〃+1)+9(2〃+2)+9(2几+3)+…+9(2〃+川)一[9(几+1)+9(及+2)+9(n+3)+...+9(n+n)]=729

即9«2=729,

n=99

「.9x3=27,

故答案为：27.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出下层比中层多〃个9〃是解题

的关键.

22.（2021•五华区一模）如图所示，下列各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点,

图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，那么图8中黑点的个数是79

图1图2图3图4

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】由图形的变化规律可以看出，黑点组成的正方形少两个黑点，第〃个图的正方形边

长是(〃+1),所以第〃个图形中黑点的个数为("+1)2-2.

【解答】解：由图形的变化规律可知，第〃个图的正方形边长是("+1),

.•・第〃个图形中黑点的个数为("+1)2-2,

.•.图8中黑点的个数是(8+以-2=79,

故答案为：79.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第"个图形中黑点的个数为［(“+1)2-2］是

解题的关键.

23.(2021•大庆模拟)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑

色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形…按此规律

排列下去，则第5个图案中黑色三角形的个数为15

△

△△△

△△△△△△

个.第一个图案第二个图案第三个图案

【考点】规律型:图形的变化类

【分析】观察图形的变化即可得第5个图案中黑色三角形的个数.

【解答】解：•••第1个图案中有1个黑色三角形,

第2个图案中有1+2=3个黑色三角形,

第3个图案中有1+2+3=6个黑色三角形,

,按此规律排列下去，则第5个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15(个).

故答案为：15.

【点评】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，准确找出图形变化与数字的

关系是解题的关键.

24.(2021•黔东南州模拟)如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图

形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图

形中一共有22个圆...按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是112个.

第1个图形第1个图形第3个图形第4个图形

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据图形得出第"个图形中圆的个数是“(〃+1)+2进行解答即可.

【解答】解：因为第1个图形中一共有1x(1+1)+2=4(个)圆，

第2个图形中一共有2x(2+l)+2=8(个)圆，

第3个图形中一共有3x(3+l)+2=14(个)圆，

第4个图形中一共有4x(4+l)+2=22(个)圆；

可得第〃个图形中圆的个数是["。?+1)+2](个)；

所以第10个图形中圆的个数10x(10+1)+2=112(个).

故答案为：112.

【点评】本题考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到下面圆的个数等于图形的序号

与序号数多1数的积，上面圆的个数为2是解决本题的关键.

25.(2021秋•大同期末)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第〃个

图形中★的个数为_3〃+1

★

★★

★★★

★★★★

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

★★★★

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据每个图形观察发现，每个图形上、左、右的五角星个数个图形序号一致，下方

只有一个，根据规律即可求出答案.

【解答】解：根据已知图形得：

第1个图形五角星个数：4=1x3+1,

第2个图形五角星个数：7=2x3+1,

第3个图形五角星个数：10=3x3+1,

第4个图形五角星个数：13=4x3+1,

由此规律得：

第”个图形中共有(3〃+1)个图形；

故答案为：3n+1.

【点评】题目考查了图形的变化类，属于规律型题目求解，解题关键是通过图形的变化与图

形序号的关系求出答案.

三.解答题（共3小题）

26.（2021•胶州市一模）问题提出：

如果在一个平面内画出〃条直线，最多可以把这个平面分成几部分？

问题探究：

为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到

复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用.

探究一：

如图1,当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为"0）=1.

探究二：

如图2,当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可

记为f（1）=1+1=2.

探究三：

当在平面内画2条直线，若两条直线平行（如图3）,该平面被分成3部分；若两条直线相

交（如图4）,交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2

部分，该平面被分成4部分因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可

记为/（2）=1+1+2=4,我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多.

一一一、■一.9、、

,一\广

1、

J'J

图1图2图3图4

一

图5圜6图7

探究四:

当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点(如图5),该平面被分成6部分；若3条

直线的交点都不相同时(如图6),第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交

点分成了3段,每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分,该平面被分成7部分.因

此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为/(3)=1+1+2+3=7.我

们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多.所以直接探索直线

交点个数最多的情况即可.

探究五：

当在平面内画4条直线(如图7),第4条直线与前3条直线有3个交点，该直线被3个交

点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前次多出4部分，该平面被分成11部

分.因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为/(4)

=1+1+2+3+4=11.

探究六：

在平面内画5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？(仿照前面的探究方法，写出解答

过程，不需画图)

问题解决：

如果在一个平面内画出"条直线，最多可以把这个平面分成优+〃+2部分.

—2—

应用与拓展：

(1)如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至

多被分成一个部分.

(2)如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有一条.

(3)一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为一块.

【考点】认识立体图形；相交线；规律型：图形的变化类；平行线的性质

【分析】探究六：仿照探究五即可得出答案；

问题解决：由探究一至探究六总结归纳得出规律即可；

应用与拓展：

(1)运用上述探究得出的规律，即可得出答案；

(2)运用上述探究得出的规律，建立方程求解即可；

(3)将上述探究得出的规律，推广运用即可.

【解答】解：探究六：当在平面内画5条直线，第5条直线与前4条直线有4个交点，该直

线被4个交点分成了5段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出5部分，该平面被

分成16部分.因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成16部分，可记为/(5)

=1+1+2+3+4+5=16.

问题解决：由探究一■至探究六可得：f(0)=1,f(1)=1+1=2,f(3)=1+1+2+3=7,

f(4)=1+1+2+3+4=11,/(5)=1+1+2+3+4+5=16,

n(n+1)n2+n+2

/.f(〃)=1+1+2+3+4+5+...+力=1+

22

故答案为：丁

应用与拓展:

(1)