2025年中考数学热点题型复习专项训练：四边形压轴题综合（原卷版）

专题11四边形压轴题综合

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01三角形与旋转变换.............................................................................1

题型02三角形与翻折变换.............................................................................3

题型03三角形类比探究问题...........................................................................6

中考练场.............................................................................................7

热点题型归纳

题型01四边形与旋转变换

【解题策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关

键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023•浙江衢州・中考真题）如图1,点0为矩形ABCD的对称中心，AB=4,AD=8,点E为AO边上一点（0<AE<3）,

连接EO并延长，交于点尸，四边形ABEE与A7TFE关于E尸所在直线成轴对称，线段交AO边于点G.

⑴求证：GE=GF；

（2）当钻=2DG时，求AE的长;

(3)令AE=Q,DG=b.

①求证：（4一〃乂4—b）=4；

②如图2,连接OB',OD,分别交AO,于点H,K.记四边形OKGH的面积为Si，OGK的面积为S?.当。=1时,

求确■的值.

【变式演练】

1.（2023・辽宁盘锦•二模）如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG.

图1图2备用图

刈上,求出器的值•

（1）在图1中，点、E,F,G分别在边AB,AC,

（2）将正方形//G绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接。G,FC,请问（1）中的结论是否发生变化？并加以证

明；

（3）如果正方形ABCD的边长为5,正方形AEFG的边长为3.当正方形AEFG绕点A顺时针旋转至点E,F,8三点共线

时，请直接写出CG的长.

2.（2023•辽宁阜新•一模）如图，四边形ABCD和四边形都是正方形，且EH,EG交于点A,正方形EFGH绕

点A旋转，连接。尸，BE.

(D如图1，求证：DF=BE,DF工BE；

(2)如图2,将DR绕点尸逆时针旋转90。，得到线段bK,连接8K.

①求证：四边形£?仍是平行四边形;

②连接KG,若AB=5,EF=3,直接写出在正方形EFGH旋转的过程中，线段KG长度的最大值.

3.(2023广东深圳•模拟预测)【综合探究】在数学综合与实践活动课上,兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形

纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为8cm,宽为4cm.

(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片ABCD和瓦'GQ摆成图1的形状，点A与点E重合，边AD与边EF

重合，边AB,QE在同一直线上.

请判断：ACG的形状为；

(2)［解决问题】如图2,在(1)的条件下,小明将长方形EFGQ绕点、A顺时针转动m0(转动角度小于45°),即ZDAF=,

边EF与边CD交于点、M,连接BM,BN平分NMBC,交CD于点N,ZAMB+ZAMC=180°,求NCBN的度数；

(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形所GQ绕点A顺时针转动一周，若边E产所在的直线恰好经过线段BQ的中

点。时，连接8尸，FQ,请直接写出一8尸。的面积.

题型02四边形与翻折变换

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理,

解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

【典例分析】

例..(2023・湖南•中考真题)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD

的边上任意取一点G,以3G为边长向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转.

图①图②图③

特例感知:

(1)当8G在8c上时，连接ORAC相交于点P,小红发现点P恰为OR的中点，如图①.针对小红发现的结论，请

给出证明；

(2)小红继续连接EG,并延长与。尸相交，发现交点恰好也是O尸中点P,如图②，根据小红发现的结论，请判断VAPE

的形状，并说明理由；

规律探究：

(3)如图③，将正方形BEFG绕点8顺时针旋转。，连接CF,点尸是Ob中点，连接AP,EP,AE,VAPE的形状

是否发生改变？请说明理由.

【变式演练】

1.(2023•浙江金华・三模)如图，平行四边形ABCD中，AB=9,3C=12,点尸是8C边上的点，连结AP,以A尸为对

称轴作二ABP的轴对称图形-AQP.

gD

a-

o»CopLDpC

图1图2图3

(1)如图2,当点。正好落在43边上时，判断四边形A8PQ的形状并说明理由；

(2)如图1,当点P是线段8C的中点且CQ=4时，求AP的长；

(3)如图3,当点尸，Q,。三点共线时，恰有NPQC=NPQA,求BP的长.

2.(2023・贵州铜仁•三模)阅读材料：如图，在矩形ABCD中，点。是42的中点，点E是边AD上动点，将ZiAOE沿

OE翻折得VR9E,连接"并延长"交边DC于点M,连接

八〃八M-oMc

AOBA0bA013

图①图②图③

【发现问题】

(1)如图①，判断AABE的形状是________三角形.

【探究发现】

(2)如图②，当£、F、C三点在一条直线上时，求证：M为边DC中点

【拓展迁移】

(3)如图③，延长交射线AD于点N,当AB=8,BC=6,DN=2时,求AE的长.

3.(2023•河南洛阳•二模)综合与实践

(1)【操作发现】如图1,诸葛小组将正方形纸片A3CD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕

为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使AT)与A"重合，折痕为"，请写出图中的一个45。角：.

(2)【拓展探究】如图2,孔明小组继续将正方形纸片沿E尸继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连

接而交A”于点P.

①ZA£F=_______度；

②若AB=垂＞，求线段尸河的长.

(3)【迁移应用】如图3,在矩形ABCD,点、E,歹分别在边3C、CZ)上，将矩形ABCD沿AE,反折叠，点2落在点

M处，点。落在点G处，点A,M,G恰好在同一直线上，若点尸为8的三等分点，AB=3,AD=5,请直接写出线

段BE的长.

题型03类比探究问题

【解题策略】

考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟

练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论。

【典例分析】

例.（2023•江苏盐城•中考真题）综合与实践

【问题情境】

如图1,小华将矩形纸片A8CD先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线8。上，点B的对应点记为9，

折痕与边AD,BC分别交于点E,F.

【活动猜想】

（1）如图2,当点8'与点。重合时，四边形BEL厅是哪种特殊的四边形？答：.

【问题解决】

（2）如图3,当AB=4,AD=8,3/=3时，求证：点A,B',C在同一条直线上.

【深入探究】

（3）如图4,当AB与BC满足什么关系时，始终有A®与对角线AC平行？请说明理由.

（4）在（3）的情形下，设AC与30,即分别交于点0,P,试探究三条线段AP,B'D,E尸之间满足的等量关系，

并说明理由.

【变式演练】

1.（2023•海南海口•二模）（1）【证明推断】如图，在正方形A3CD中，点E是对角线上的动点（与点2、。不

重合），连接AE,过点E作EFLAE,EG1BD,分别交直线BC于点RG.

AD

①求证：AABE当AFGE；

②求要的值;

AE

(2)【类比探究】如图，将(1)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件均不变.

①若AB=3,BC=4,求大的值;

AE

②若ABfBC,直接写出片的值(用含，〃的代数式表示)；

(3)【拓展运用】如图，在矩形A3CD中，点E是对角线8。上一点(与点8、。不重合)，连接AE,过点£作印，形,

EGLBD,分别交直线BC于点F、G,连接CE,当AB=2,BC=4,CE=CD时，求E尸的长.

2.(2023•山东泰安•三模)【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图1,点C在A3的延长线上，且NA=NDBE=NC,

若求证：DABsBCE；请用你所学的知识进行证明.

【拓展训练】

3CE

如图2,点C在AB的延长线上，且ZDAB=NDBE,若CE〃AD,NC=60。，AD=-AB,则”;的值为______；（直

2BC

接写出）

【知识迁移】

将此模型迁移到平行四边形中，如图3,在平行四边形A3CD中，E为边BC上的一点，歹为边43上的一点•若

/D砂=/3.求证：ABFE=BEDE.

ABABCEC

Si图2图3

1.（2023・山西・中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，

得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC和△DFE,其中NAC3=NOEF=90o,NA=4>.将ASC和△。网按图2

所示方式摆放，其中点B与点尸重合（标记为点8）.当Z4BE=NA时，延长DE交AC于点G.试判断四边形BCGE

的形状，并说明理由.

\D

'B

⑴数学思考：谈你解答老师提出的问题;

⑵深入探究：老师将图2中的DBE绕点3逆时针方向旋转，使点E落在ABC内部，并让同学们提出新的问题.

图2

①“善思小组''提出问题：如图3,当=时，过点A作A"，BE交BE的延长线于点河,台加与AC交于点

N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题；

图3

②“智慧小组”提出问题：如图4,当NCBE=ZR4C时，过点A作于点H,若BC=9,4C=12,求A”的长.请

你思考此问题，直接写出结果.

图4

2.（2022・辽宁阜新中考真题）已知，四边形A8CD是正方形，DEF绕点、D旋转（DE<AB）,ZEDF=90°,DE=DF,

连接AE,CF.

⑴如图1,求证：VADEmoCDF；

⑵直线AE与C/相交于点G.

①如图2,于点M,BNLCF于点、N,求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3,连接3G,若AB=4,DE=2,直接写出在，DE尸旋转的过程中，线段3G长度的最小值.

3.(2023•山东淄博・中考真题)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.

(D操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①.

试判断：的形状为.

(2)深入探究

小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2,4)=4.

探究一：当点尸恰好落在AO的延长线上时，设CG与£）户相交于点M,如图②.求_。质的面积.

探究二：连接AE,取AE的中点连接DH,如图③.

求线段DH长度的最大值和最小值.

图②图③

4.（2022•内蒙古通辽•中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A.

⑴如图1,当点G在AD上，歹在AB上，求方防的值为多少;

⑵将正方形"EG绕A点逆时针方向旋转口0°<a<90。），如图2,求：含的值为多少；

DCr

（3）A3=80，AG=与AD,将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转火0°<e<360。），当C,G,E三点共线时，请直

接写出。G的长度.

5.（2022・四川乐山・中考真题）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.

2.如图，在正方形ABC。中，CE±DF.求证：CE=DF.

证明：设CE与。尸交于点o,

・・•四边形ABC。是正方形，

：・NB=NDCF=90。,BC=CD.

：.ZBCE+/DCE=90°.

•.・CE±DFf

・•.ZCOD=90°.

：.NCDF+NDCE=90。.

J/CDF=/BCE.

：./\CBE^Z\DFC.

CE=DF.

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究

(1)【问题探究】如图，在正方形A3C0中，点石、F、G、”分别在线段A3、BC、CD、D4上，且EG上试猜想

刍FG二的值，并证明你的猜想.

(2)1知识迁移】如图，在矩形ABCD中，AB=m,BC=〃，点E、F、G、H分别在线段AB.BC、C。、D4上，且£G，.则

EG

FH-------•

(3)【拓展应用】如图，在四边形ABC。中，ZZMB=90°,ZABC=60°,AB=BC,点、E、尸分别在线段A8、AD上,

且CELBF.求其CF的值.

6.(2023•甘肃兰州•中考真题)综合与实践

【思考尝试】

(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形ABCZ)中，E是边A3上一点，DFLCE于点F,GDLDF,

AG1DG,AG=Cb.试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；

【实践探究】

(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形ABCD中，E是边AB上一点,DFLCE于点F,

4〃，位于点"，GDLDF交AH于点G,可以用等式表示线段切，AH,CT的数量关系，请你思考并解答这个问

题；

【拓展迁移】

(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如