2025年中考数学难点突破与训练：最值问题中的瓜豆原理模型（解析版）

专题22最值问题中的瓜豆原理模型

【模型展示】

瓜豆原理

若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从

动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直线AB上运动，

Q的运动轨迹是？

C

1

特点_…I___;_____

APpQB

住）1（从）

结论：

①主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角；

②当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；

③主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

r'Q-4%

分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径

MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQS/\AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共

线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的

相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

结论主动点、从动点到定点的距离之比是定量

【模型证明】

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

1

D---------------/・.•

解决方案

X..内

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故Q点轨迹与P点轨

迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑APJ_AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM_LAO;

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M

位置，任意时刻均有△APO丝△AQM.

如图，Z\APQ是直角三角形，/PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

分析考虑AP_LAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM_LAO;考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨

迹圆圆心M满足AO:AM=2:L即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOS/^AQM,且相似

比为2.

模型总结

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.此类问题的必要条件：两

个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

结论：

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM;

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也

等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=2,/。=3,点£是48的中点，点厂是4D边上的一个动点，将“E尸

沿即所在直线翻折，得到尸，则4c的长的最小值是（)

C.V13-1D.Vio-i

【答案】D

【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A，在线段CE上时，AC的长取最小值，根

据折叠的性质可知A旧=1,在RSBCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-AF即可求出结论.

【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A，在线段CE上时，AC的长取最小值，如

在RSBCE中，BE=-AB=1,BC=3,/B=90。，

2

CE=VBE2+BC2=Vib,

A'C的最小值=CE-AE=V1O-1.

故选D.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出AC取最小值时点A，的位置是

解题的关键.

2.如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=26,AADC与AABC关于AC对称，点E、

F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF,BE、DF相交于点P,则CP的最小值为（）

L3

A.1B.0C.-D.2

2

【答案】D

【分析】连接BD,证明△EDBt^FCD,可得/BPD=120。，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心,

AD为半径的弧BD上，当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值.

【详解】解：连接AD,因为/ACB=30。，所以/BCD=60。，

因为CB=CD,所以4CBD是等边三角形，

所以BD=DC

因为DE=CF,NEDB=NFCD=60°,

所以△EDB^^FCD,所以/EBD=/FDC,

因为NFDC+/BDF=60。，

所以/EBD+NBDF=60。，所以/BPD=120。，

所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角AABC中，ZACB=30°,BC=20,所以AB=2,AC=4,

所以AP=2

当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故选D.

【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及

定点在一条直线上时，取最小值.

3.如图，等腰RtZ\ABC中，斜边AB的长为2,O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQLOP交BC

于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）

C.ID.2

【答案】C

【分析】连接0C,作PELAB于E,MH_LAB于H,QFLAB于F,如图，利用等腰直角三角形的性质得

AC=BC=V2，ZA=ZB=450,OC±AB,0C=0A=OB=1,NOCB=45。，再证明RtZ\AOPg/kCOQ得至UAP=CQ,

接着利用AAPE和ABFQ都为等腰直角三角形得到PE="AP=Y1CQ,QF="BQ,所以

222

PE+QF=^BC=1,然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=y,即可判定点M到AB的距离为g,

从而得到点M的运动路线为4ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长.

【详解】连接0C,作PEJ_AB于E,MHJ_AB于H,QFJ_AB于F,如图，

VAACB为等腰直角三角形，

.".AC=BC=—AB=V2>ZA=ZB=45°,

2

•.•O为AB的中点，

AOCXAB,OC平分/ACB,OC=OA=OB=1,

ZOCB=45°,

VZPOQ=90°,ZCOA=90°,

.,.ZAOP=ZCOQ,

在RtAAOP和ACOQ中

Z=/OCQ

<AO=CO,

ZAOP=ZCOQ

ARtAAOP^ACOQ,

・・・AP=CQ,

易得4APE和ABFQ都为等腰直角三角形，

.*.PE=^AP=—CQ,QF=—BQ,

222

.,.PE+QF=—(CQ+BQ)=^BC=—x>/2=l,

222

：M点为PQ的中点，

/•MH为梯形PEFQ的中位线，

；.MH=g(PE+QF)=y,

即点M到AB的距离为。，而CO=1,

二点M的运动路线为AABC的中位线，

二当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=/AB=1,

故选C.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在

运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-：x+2上的一个动点，将Q绕点P(l,0)顺时针旋转90。，

得到点0',连接。。'，则的最小值为()

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数

的性质即可解决问题.

【详解】解：作QM，x轴于点M,QNLx轴于N,

ZPMQ=ZPNQ,=ZQPQ,=90°,

ZQPM+ZNPQ,=ZPQ,N+ZNPQ,,

ZQPM=ZPQ,N,

在△PQM和△QPN中，

ZPMQ=ZPNQ'=90°

"ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

：.△PQMdQTN(AAS),

.*.PN=QM=-1m+2,Q-N=PM=m-l,

.".ON=l+PN=3--m,

2

.,.Q13-g%,m),

OQ，2=(3-；%)2+(I-my=^-m2-5m+]0=:(m-2)2+5,

当m=2时，OQ〃有最小值为5,

.•.0Q，的最小值为小,

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与

图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键.

二、填空题

5.如图，正方形48。的边长为4,E为BC上一点、,且5£=1,尸为48边上的一个动点，连接E尸，以EF

为边向右侧作等边A£FG,连接CG,则CG的最小值为.

【答案】|

【分析】由题意分析可知，点尸为主动点，G为从动点，所以以点£为旋转中心构造全等关系，得到点G的

运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.

【详解】由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点户在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将/绕点E旋转60°,使E尸与EG重合，得至“AEFB三AEHG,

从而可知〃为等边三角形，点G在垂直于HE的直线加上，

作CMLHN,则CM即为CG的最小值，

作可知四边形为矩形，

135

贝尸=7ffi+—石。=1+—=一.

222

【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨

迹，是本题的关键.

6.如图，等边二角形A8C中，AB=4,高线/〃=26，。是线段/“上一动点，以3。为边向下作等边二角

形BDE,当点。从点/运动到点〃的过程中，点E所经过的路径为线段CM,则线段CM的长为,

当点D运动到点H,此时线段BE的长为.

【答案】2石2

【分析】由可得△/瓦注△C2E,推出4D=EC,可得结论，再由勾股定理求解3〃=2,当。,〃重合

时，BE=BH=2,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接£C

V/XABC,都是等边三角形，

：.BA=BC,BD=BE,/ABC=NDBE=60°,

：.ZABD=ZCBE,

在△48。和△C5E中,

BA=BC

<AABD=NCBE,

BD=BE

:.AABD安/\CBE(SAS),

：.AD=EC,

:点D从点A运动到点H,

二点E的运动路径的长为CM=AH=2拒,

当。,H重合，而(gp^BHE)为等边三角形,

\BE=BH,

QAB=4,AH=25AH'BC,

BH=44T2可=2,

BE=2,

故答案为：26,2.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形解决问题.

7.如图，在平面内，线段N3=6,尸为线段N3上的动点，三角形纸片的边CD所在的直线与线段N3

垂直相交于点P,且满足若点尸沿N3方向从点/运动到点8,则点E运动的路径长为.

A

【答案】6V2.

【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段NC,点£运动的路径为E#,由平移的性质可知

AC'=EE',在RtZX/BC中，易知/8=8。=6,ZASC'=90°,：.EE'=AC'=762+62=672,故答案为6收.

点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考

填空题中的压轴题.

8.如图，在中，ZACB=90a,/BAC=30。,BC=2,线段绕点2旋转到3D,连4D,E为

AD的中点，连接CE,则CE的最大值是—.

【答案】3

【分析】通过已知求得。在以8为圆心，5。长为半径的圆上运动，为/。的中点，

...E在以A4中点为圆心，；劭长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与

圆心的距离+圆的半径，求得C£的最大值.

【详解】解：：2C=2,线段2c绕点2旋转到AD,

D

：.BD=2,

：.-BD=l.

2

由题意可知，D在以8为圆心，8。长为半径的圆上运动，

为/。的中点，

在以历1中点为圆心，!龙长为半径的圆上运动，

2

CE的最大值即C到BA中点的距离加上工切长.

VZACB=900-ABAC=30°，BC=2,

...C至I」及1中点的距离即1NB=2,

2

又：乜。"

2

ACE的最大值即148+,8。=2+1=3.

22

故答案为3.

【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别£点运动轨迹是解题的关键.

9.如图，在矩形/BCD中，对角线/C,3。相交于点。，AB=4,ZDAC^60°,点尸沿线段/。从点/

至点。运动，连接DR以。尸为边作等边三角形。反，点E和点N分别位于D尸两侧，连接。£.现给出

以下结论：

®ZBDE=ZEFC；②ED=EC；③直线OELCD；④点£运动的路程是2G.

其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②③

【分析】①根据/D/C=60°，OD=OA,得出△04。为等边三角形，再由△DEE为等边三角形，得

ZEDF=NDEF=60°，即可得出结论①正确；

②如图，连接OE,利用MS证明再证明VODE之VOCE,即可得出结论②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④如图，延长OE至E',使连接。戌，通过△可/段△£＞（?£,ZDOE=60°,可分析得出点尸

在线段4。上从点4至点O运动时，点£从点O沿线段运动到夕，从而得出结论④错误.

【详解】解：①・・・/。4。=60。，OD=OA,

•••△OAD为等边三角形，

AADOA=ADAO=AODA=60°,AD=OD,

•：ADFE为等边三角形,

：.ZEDF=ZEFD=/DEF=60。,DF=DE,

ZBDE+ZFDO=ZADF+ZFDO=60°f

：.ZBDE=NADF,

・・・NADF+NAFD+NDAF=180°,

AZADF+ZAFD=1SO°-ZDAF=120°f

•.・ZEFC+ZAFD+ZDFE=ISO°,

：.ZEFC+ZJFD=180°-/DFE=120。,

：.ZADF=ZEFC,

：.ZBDE=ZEFC,

故结论①正确；

②如图，连接OE,

在/和△OOE中，

AD=OD

<ZADF=ZODE,

DF=DF

:.dDAFmADOE(SAS),

・・・ZDOE=ZDAF=6Q°,

180°-ZAOD=nO0,

：.ZCOE=ZCOD-ZDOE=\2G0-60°=60°,

：.ZCOE=ZDOE.

在△ODE和△OCE中，

OD=OC

</DOE=/COE,

OE=OE

:•△ODE"AOCE(SAS),

：.ED=EC,NOCE=NODE,

故结论②正确；

@'：ZODE=ZADF,

：./ADF=ZOCE,即/ADF=ZECF,

故结论③正确；

④如图，延长0E至E',使。E'=OD,连接。戌，

4DAF汜ADOE,ZDOE=60°,

点F在线段/。上从点/至点。运动时，点£从点。沿线段OE'运动到E',

"：OE'=OD=AD=AB>tanZABD=^tan3Q°=,

3

.•.点£运动的路程是谑，

3

故结论④错误.

故答案为①②③.

【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定

和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关

键.

10.如图，已知NC=2/O=8,平面内点尸到点O的距离为2,连接4P,若乙4尸3=60。且8尸=；/尸，连

接48,BC,则线段3c的最小值为.

【答案】2V7-V3

【分析】如图所示,延长PB到D使得PB=DB,先证明△4P。是等边三角形,从而推出ABP=90°,N84P=30。,

以工。为斜边在/C下方作必△/MO,使得NA£4O=30。，连接CM,过点〃作Mf_L4C于X,解直角三角

形得到独=四=",从而证明得至ij0K=丝=",则收=G，则点8在以“为

AOAP2OPAP2

圆心，以百为半径的圆上，当M、B、C三点共线时，即点8在点m的位置时，5c有最小值，据此求解即

可.

【详解】解：如图所示，延长依到。使得尸2=08,

BP=-AP,

2

，4P=PD=2PB,

又：ZAPB=60°,

/XAPD是等边三角形，

为PD的中点，

：.AB±DP,即N4BP=90°,

ZBAP=30°,

以工。为斜边在ZC下方作必△ZMO,使得NA£4O=30。，连接CM,过点初作WL4c于人

••cosz_OA.M------------,

AO2

同理可得,

AP2

•：/OAM=30o=/PAB,

：.ZBAM=ZPAOf

-yj..AMABG

X•----=----------，

AOAP2

/\AMB^/\AOP,

.BMAB_43

"oF"I?"V

点P到点O的距离为2,即。尸=2,

/.BM=y/3,

...点8在以〃为圆心，以内为半径的圆上，

连接CM交圆M（半径为百）于女，

.•.当M、B、C三点共线时，即点5在点Q的位置时，8c有最小值，

"：AC=2AO=8,

：.AO=4,

/•AM=AO-cos/OAM=2退，

AH=AM-cosZ.MAH=3,.sin/A£4//=\f5,

CH=5,

CM=yiHM2+CH2=2#!，

/.B'C=CM-MB'=2y/l-43,

."C的最小值为2V7-G，

故答案为：2币-也.

D

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理,

圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点3在以A/为圆心，半径

为百的圆上运动.

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，A(a,0)、B(b,0),且a,6满足/-6a+9+|b+3|=0,C、。两点分别是y轴

正半轴、x轴负半轴上的两个动点；

(1)如图1,若C(0,4),求△/8C的面积；

(2)如图1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,且/CB4=/CDE,求。点的坐标;

(3)如图2,若NCA4=60。，以CD为边，在CO的右侧作等边△CDE,连接0£,当OE最短时，求/,E

两点之间的距离.

3

【答案】(1)△N8C的面积为12；(2)。点的坐标为(-2,0)；(3)A,E两点之间的距离为

【分析】(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出a,b,然后确定/、2两点坐标，从而利用三角形面积

公式求解即可；

(2)根据题意判断出多△WE,从而得到C3=/D,然后利用勾股定理求出C3,及可求出结论；

(3)首先根据“双等边”模型推出ADCB四A£C4,得到ND8C=/E4C=120。，进一步推出ZE〃BC,从而

确定随着。点的运动，点E在过点/且平行于2。的直线尸。上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线

段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：(1)tz2—6<2+9++3|=0,

("3『+B+3|=0,

Ia—3—0。二3

由非负性可知，八，八，解得:

匕+3=0b=—3

.・./(3,0),5(-3,0),45=3-(-3)=6,

•••C(O,4),

・・・。。=4,

SaOC」x6x4=12；

AADC22

(2)由(1)知Z(3,0),5(—3,0),

：・OA=OB,

・「OCLAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

在“。。和AS。。中，

OA=OB

<AAOC=/BOC

oc=oc

：.AAOCSBOC("S),

ZCBO=ZCAO,

'：ZCDA=ZCDE+ZADE=ZBCD+ZCBA,ZCBA=ZCDE,

・•・ZADE=/BCD,

在和VZDE中，

/BCD=ZADE

<ZCBD=ZDAE

BD=AE

：・ABCDAADE(AAS),

：.CB=AD,

・・・5(—3,0),C(0,4),

：・OB=3,OC=4,

・•・BC=NOB2+OC?=5,

AD=BC=5,

・・・4(3,0),

.・・。(-2,0)；

(3)由(2)可知CB=CA,

9：ZCBA=60°,

为等边三角形，/BCA=60。,ZDBC=nO°f

•「△CQE为等边三角形，

:・CD=CE,NOCE=60。，

■:/DCE=NDCB+/BCE,/BCA=/BCE+/ECA,

：.ZDCB=ZECAf

在△QC5和△£0中，

CD=CE

<ZDCB=ZECA

CB=CA

工小DCB会公ECA(SAS),

ZDBC=ZEAC=120°f

ZEAC+ZACB=120°+60°=180。，

・•・AE〃BC,

即：随着。点的运动，点£在过点/且平行于8C的直线尸0上运动,

••,要使得。£最短，

，如图所示，当OE_LP。时，满足OE最短，此时/O£N=90。，

■:NDBC=ZEAC=120°,NCAB=60°,

AZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,NZOE=30。，

3=3,

13

AE=-OA=-,

22

【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理

解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是

解题关键.

12.如图所示，在RtZ\/8C中，/8=8C=2,点。是ZC上一点，以AD为一边向右下方作等边△瓦）E,

当。由点A运动到点C时，求点£运动的路径长.

【答案】点E运动的路径长为2行.

【分析】根据△3DE是等边三角形，得出点£运动的路径长等于点。运动的路径长，即为/C的长，根据

勾股定理即可得出答案

【详解】•••点B为定点,

.〔BE可以看作是8。绕点B顺时针旋转60。而来,

•••点E运动的路径长等于点D运动的路径长，即为/C的长，

AB=BC=2,ZABC=90°,

:.AC=2收■

.••点£运动的路径长为2后.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E

的运动轨迹，属于中考常考题型.

13.如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时针旋转60。得到

线段DE,连结BE.

(1)若点D在AB边上(不与A,B重合)请依题意补全图并证明AD=BE；

(2)连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

【答案】(1)见解析；(2)2百

【分析】(1)根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,由旋转的性质得:

ZACB=ZDCE=60°,CD=CE,得出/ACD=NBCE,证明AACD0ABCE,即可得出结论；

(2)过点A作AF_LEB交EB延长线于点F.由△ACDg/XBCE,推出/CBE=NA=60。，推出点E的运动

轨迹是直线BE,根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，止匕时CD=CE=CF,利用勾股定

理求出CF即可.

【详解】解:(1)补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下：

「△ABC是等边三角形，

；.AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,

由旋转的性质得：ZACB=ZDCE=60°,CD=CE,

ZACD=ZBCE,

.".△ACD^ABCE(SAS),

.*.AD=BE.

(2)如图2,过点A作AF_LEB交EB延长线于点F.

VAACD^ABCE,

AZCBE=ZA=60°,

二点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小,

止匕时CD=CE=CF,

ZACB=ZCBE=60°,

；.AC〃EF,

VAF±BE,

AAFXAC,

在Rt^ACF中，

CF=AC2+AF2=J?+(2⑹=2V7，

.,.CD=CF=2A/7.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识；熟

练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键.

14.如图①，在AABC中，AB=AC=3,NA4c=100°,D是BC的中点.

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，

点B的对应点是点E,连接BE,得到A3PE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置

也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明

继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.

①NBEP=；②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图③中画出AAPE,使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系,

并说明理由.

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

【答案】(1)①50°；@EC//AB-,(2)AB//EC；(3)AE的最小值3.

【分析】(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明N/3C=40°，/EC8=40°，推出/=

即可.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.利用圆周角定理证明N3CE=!/APE=40°即可解决问题.

2

(3)因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最

小，止匕时AE的最小值=48=3.

,/ZBPE=80°,PB=PE,

，/PEB=/PBE=5。，

②结论：AB//EC.

理由：•；AB=AC,BD=DC,

JADIBC,

BDE=90°,

・・・/£5O=90°—50°=40°,

VAE垂直平分线段BC,

:・EB=EC,

：・/ECB=/EBC=40°，

VAB=AC,ZBAC=100\

：・N4BC=ZACB=40°，

：.ZABC=/ECB,

：.AB//EC.

故答案为50,AB//EC.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.

VAD垂直平分线段BC,

:,PB=PC,

：./BCE=-ABPE=40°,

2

AB//EC.

(3)如图④中，作于H,

•.•点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，

二当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=/8=3.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题.

y——1x1^-2.x

15.如图，过抛物线.J上一点A作X轴的平行线，交抛物线于另一点B,交•'轴于点C,已知

点A的横坐标为.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；

(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线0P的对称点D；

①连结BD,求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在'轴上方时，求直线PD的函数表达

425

【答案】⑴x=4；B(10,5).(2)①5或-5.②产-3X+3.

【详解】试题分析：(1)确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；

(2)①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD；

②当点D在对称轴上时，RtA0D=0C=5,0E=4,可得DE=JOO"-谩'=v5a-4W=3,求出P、D

的坐标即可解决问题.

-2

2x1

试题解析：(1)由题意A(-2,5),对称轴x=-4=4,

,:A、B关于对称轴对称，

:.B(10,5).

(2)①如图1中,

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上,

当0、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD=>/5:+10*-5=5^-5.

当点D在对称轴上时，在RtZXODE中，OD=OC=5,0E=4,

:.DE=(OD。-OE'=-4*=3,

二点D的坐标为(4,3).

设PC=PD=x,在RtZYPDK中，x2=(4-x)2+22,

5

.*•x=2,

5

:.p(2,5),

425

，直线PD的解析式为y=-3x+3.

考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式.

16.如图所示，在等腰Rt4/BC中，/C=BC=2&，点P在以斜边N8为直径的半圆上，〃为PC的中

点，当点尸沿半圆从点A运动至点5时，求点/运动的路径长.

【答案】点M运动的路径长为万.

【分析】取AB的中点0、AC的中点E、BC的中点F,连结0C、OP、0M、OE、OF、EF,如图，利用

等腰直角三角形的性质得到AB=0BC=4,贝U0C=gAB=2,OP=yAB=2,再根据等腰三角形的性质得

0MXPC,则/CMO=90。，于是根据圆周角定理得到点M在以0C为直径的圆上，由于点P点在A点时，

M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=0C=2,所以M点的路

径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长.

【详解】解：如图所示，取的中点O,/C的中点E,8C的中点尸，连接OC、OP、OM,OE、OF,

EF,

Cn

•••在等腰RtA^SC中，AC=BC=2亚，

AB=4iBC=4.

OC=OP=-AB=2.

2

为尸C的中点，

OMVPC.

ACMO=90°.

点M在以oc为直径的圆上，

当点尸与点A重合时，点M与点£重合：当点尸与点8重合时，点M与点尸重合，易得四边形CEO9为正

方形，EF=OC=2,

...点M运动的路径为以EF为直径的半圆.

点"运动的路径长为;,2%/=%.

【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等腰

三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆.

17.如图所示，点尸（3,4）,O尸的半径为2,/（2.8,0）,*5.6,0）,点乱是。尸上的动点，点C是板的中

点，求NC的最小值.

3

【答案】zc的最小值为;.

2

【分析】如图，连接OP交。P于M，，连接OM.因为OA=AB,CM=CB,所以AC，OM,所以当OM最

小时，AC最小，M运动到NT时，OM最小，由此即可解决问题.

【详解】解：如图所示，连接。尸交。尸于点河'，连接。M，BM',

•••尸（3,4）,

二由勾股定理得：。尸=，3?+4?=5,

OA=AB,CM=CB,

:.AC^-OM.

2

.二当最小时，AC最小

当M运动到AT时，OM最小.

1113

此时4C的最小值为5（W'=5（OP—9'）=5乂（5—2）=,.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题

的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型.

18.如图所示，A/8。为等腰直角三角形，Z（T，°），直角顶点8在第二象限，点C在了轴上移动，以BC为

斜边向上作等腰直角△BCD,我们发现直角顶点。点随着C点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的

函数解析式.

【答案】直线的函数解析式为y=-x+2.

【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出

此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b,将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组

的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式.

【详解】如图所示.当3C与x轴平行时，过点8作轴于点E,过点。作轴于点F，交BC于

点G,

•.•△/3。是等腰直角三角形，点人的坐标是(-4,0),

/.AO=4,

:.BC=BE=AE=EO=GF=LOA=2,

2

又•.•ABDC是等腰直角三角形，

OF=DG=BG=CG-—BC=1,DF=DG+GF=3,

2

二点。的坐标为(T3).

设所求直线解析式为：>="+6化片0）,

将（一1,3）、（0,2）代入得

-k+b=3,k=-1,

b=2,解

b=2.

・・・直线的函数解析式为了=-x+2.

【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的

性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键.

19.如图1,在A48C中，ZACB=90。,AC=2,BC=2道,以点B为圆心，百为半径作圆.点P为。3

上的动点，连接尸C,作尸'C,尸C,使点P落在直线3C的上方，且满足PC:尸c=l：6,连接8尸，AP.

（1）求/3/C的度数，并证明△/PCS^APC；

（2）如图2,若点P在48上时，连接8P,求8P的长；

（3）点尸在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当8P取得最大值或最小值时，ZPBC

的度数；若没有，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）BP'=y/Y7;（3）有.①当8P取得最大值时，ZPBC=UO°；②当8p取得最

小值时，APBC=60°.

【分析】⑴利用锐角三角函数求出/BAC,先判断出痣=空=占，再判断出/PC4=/PCB,即可

BCpc3

得出结论；

（2）先求出/P，AC,进而得出NP，AB=90。，再利用相似求出AP，，即可得出结论；

（3）先求出AP，=1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点P在胡的延长线上

时和当点P在线段48上时，两种情况讨论即可.

【详解】（1）在中，AC=2,BC=2也,

:.tanZBAC=—=43,

AC

ABAC=60°,

AC2_V3P'C1V3

•瓦一亚一『7F一方一T'

.ACP'C

■5C-PC*

...P'C1PC,

NP'CP=NACB=9Q°,

ZP'CA=aPCB,

:.△AP'CS^BPC；

(2)由(1)知，ZBAC=60°,

ZABC=90°-ZBAC=30°,

...AB=2AC=4,

:.AAPCSABPC,

Ap'p'CC

f

ZPAC=ZPBC=30°f—=—=—,

PBPC3

•1-ap=5

/尸'=1,

•­•ZP'AB=ZCAP'+ZBAC=30°+60°=90°,

.•.在RtAP/8中，AP'=1,AB=4,

由勾股定理得BP=AP'2+AB1=拒；

(3)有.由(1)知，LAP'Cs^BPC,

,AP'P'C

"~BP~~PC~~i，

AP，_也

yr丁

工尸'=1是定值，

二点尸'是在以点A为圆心，半径为/P=l的圆上,

①如图所示，当点尸'在胡的延长线上时，BP取得最大值,

ZP'AC=180°-/a4c=120°.

•.,△AP'CsABPC,

...ZPfAC=ZPBC=nO°.

.,.当BP取得最大值时，/尸50=120。；

②如图所示，当点P在线段43上时，取得最小值,

•:△AP'Cs/XBPC,

ZPBC=ZBAC=60°，

...当BP取得最小值时，NPBC=60。.

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和

性质，圆的性质，判断出△AP，Cs2\BPC是解本题的关键.

20.如图所示，在扇形中，04=3,44。8=120。，点C是荔上的动点，以8C为边作正方形BCDE,

当点C从点A移动至点8时，求点。经过的路径长.

【答案】点。经过的路径长为2亿.

【分析】如图，由此8。交0O于凡取砺的中点”，连接尸〃、HB、BD.易知是等腰直角三角形,

HF=HB,ZFHB=90°,由/FDB=45°=gNFHB,推出点。在。〃上运动，轨迹是诵（图中红线），易

知/HFG=NHGF=15。,推出150。，推出NG〃B=120。，易知/仍=30,利用弧长公式即可解

决问题.

【详解】解：如图，由此2。交。。于尸，取丽的中点X,连接小、HB、BD.

易知△77办是等腰直角三角形，HF=HB,NFHB=90。,

'：ZFDS=45°=yZFHB,

...点。在。立上运动，轨迹是⑤（图中红线），

易知ZHFG=ZH