2025年中考数学技巧专项突破：相似三角形12个模型（共14类题型）原卷版

专题1-2一文吃透相似三角形12个模型・共14类题型

目录

模型梳理.......................................................................................3

题型一A字模型..............................................................................12

2023•四川成都•真题....................................................................12

2022宜宾.................................................................................12

2023•山东潍坊•真题....................................................................13

2022•浙江杭州•真题....................................................................13

2023•浙江温州•真题....................................................................14

2022安徽...............................................................................14

2023.广东.真题.........................................................................15

2023•山东泰安•真题....................................................................15

2023•四川眉山•真题....................................................................16

2022•江苏淮安•真题....................................................................16

题昌自"8”字型........................................................................17

2022•辽宁•真题.........................................................................17

2023•四川乐山•真题....................................................................17

2023•湖北武汉•真题....................................................................18

2023•四川泸州•真题....................................................................18

2023•浙江杭州•真题....................................................................19

2023•四川眉山•统考中考真题............................................................19

2022深圳.................................................................................20

题园巨三角形内接矩形...................................................................20

2022•山东东营•真题....................................................................20

题园画I倒数型（三平行结构）.............................................................22

湖南株洲•统考中考真题..................................................................22

2023•四川内江•真题....................................................................22

2024届•深圳中学九年级期中.............................................................22

题圆门A字型及8字型相结合.............................................................23

2023•黑龙江哈尔滨•真题................................................................23

2023•安徽•真题.........................................................................23

2023•陕西•真题.........................................................................23

题色质射影定理.........................................................................24

2023•湖南郴州•真题....................................................................24

2022湘潭.................................................................................24

题园电子母模型（公共边公共角）.........................................................26

2022•湖北鄂州•真题....................................................................26

2023•四川凉山•真题....................................................................26

题包加一线三等角模型...................................................................28

2023•黑龙江大庆•真题..................................................................28

2023•山东东营•真题....................................................................29

浙江中考真题.............................................................................30

2023•浙江丽水•统考中考真题.......................................................31

徐州中考..................................................................................33

2023•湖北武汉•统考中考真题...........................................................35

题色先旋转相似模型（手拉手）...........................................................35

2023•湖南常德•真题....................................................................35

2022烟台...............................................................................36

2021天门.................................................................................36

2022河池...............................................................................36

2023•辽宁营口•真题....................................................................37

2022鞍山.................................................................................39

题园。作辅助线构造A字和8字型相似....................................................40

2023•湖北十堰•真题....................................................................40

2023•浙江•真题.........................................................................40

2023•江苏•中考真题....................................................................41

2022•湖南常德•真题....................................................................41

2022•四川绵阳•真题....................................................................42

2022襄阳.................................................................................42

2023•山东烟台•真题....................................................................43

2022•湖北武汉•统考中考真题...........................................................45

题色。o反"8"字型相似（两组相似，四点共圆）.........................................46

2022•新疆•统考中考真题................................................................46

2023•浙江丽水•统考中考真题...........................................................46

重庆中考.................................................................................46

题园。昌十字架模型.....................................................................47

2023•辽宁丹东•真题....................................................................47

2023•山东荷泽•中考真题................................................................48

2021•四川达州•统考中考真题...........................................................49

题图令且对角互补模型...................................................................51

深圳中考..................................................................................51

双高型.........................................................................52

满分•技巧/

模型梳理

一、A字模型

已知：在AABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE〃BC.

加~\E

jnApJ~）F

结论：AADE^AABC,—=—=—.（共线的边之比相等）

ABACBC

反A字型

,,“ADAEDE..,,„.

结7仑：=——=.（共线的边N■积相等）

ACABBC

构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型

iy--\E

二、8字模型

已知：AC与BD相交于点O,AB〃CD.

结论：AOAB^AOCD,——=——=—（共线的边之比相等）.

OCODCD

构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型

ADA,________DF

乏「

BcB匕-----------------'C

三、反8字模型（两组相似，四点共圆）

“一团"AB0A0」8

性质一：如左图，NA=NDOAAOBS^DOCO==一

CD0D0（

AAOD=ABOC

性质二：如右图，（由第一组相似推出第二组相似）

\OA____—OB___O>A___—OD___4AoDsABOC

VD~OCOB~OC

性质三：四点共圆（圆周角定理）

ADD

—一

BCBC

四、三角形内接矩形型

三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形.

41EF

若四边形DEFG为矩形，则：小AEFfABCn二

AH~BC

特别地,

AI_EFAH-a_aAHBC

(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为Q,贝ha--------------

AH~~BCAH+BC

当为三角形的中位线时，矩形的面积最大,

(2)EFDEFG最大值为SDEFG=1S&ABC

2

AE

（晓飞~BE

3BDET3CGF

2

AE

证明：把△FGC向左平移至△£0C',贝跖〜△助C',・•・------应——

~BE

Q&BDE丁3CGF

五、倒数模型(三平行结构)

示意图结论

111

A------1--

倒数型相似EFABCD

AB〃EF〃CD111

-----1-----=----

S^ABCSABCD---S丛BCF

BFC

六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即常见的

结论有：CA?=AD-AB,BC^^BDBA,CD^DADB（均满足：（公共边）2=共线的边之积）

补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A,B,E,G四点组成射影

定理模型.

（2）在圆中也会出现射影定理模型.

七、母子相似模型

（-）基本模型

已知：在4ABC中，点D在AB上，NAC,D=NB或NADC=NACB.

结论：AACD^AABC,

BC

/D/CCD

—=——=——，AC2=AD-AB.（公共边）z=共线的边之积

4cABBC

（二）结论推导

“ADACCD

结论：AACD^AABC,——=—=—,AC2=AD-AB.

ACABBC

■i正明：：NACD=NB或NADC=NACB,NCAD=NBAC,

A“ADACCD

.".△ACD^AABC,—=—=—,.\AC2=AD•AB.

ACABBC

母子相似模型也叫共边共角相似模型.

（三）解题技巧

如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段

的乘积.

八、一线三等角模型

（一）基本模型

己知：点尸在线段48上，/1=N2=N3.

C

APB结论1：/\CAP^/\PBD.

V已知：点P在的延长线上，Z1=Z2=Z3.

结论2：AAPCsARDP.

（二）结论推导

结论1:/^CAP^^PBD.

证明：VZ1+ZC+ZAPC=18O°,Z2+ZBPD+ZAPC=18Q°,Z1=Z2,:.NC=NBPD.

VZ1=Z3,：./\CAP^/\PBD.

结论2:/\APC^/\BDP.

证明：VZ1=ZC+ZAPC,Z2=ZBPD+ZD,Z3=ZBPD+ZAPC,N1=N2=N3,：.ZC=NBPD,

NAPC=ND,:.△APCS^BDP.

（三）解题技巧

在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型.找准三个等角，再根据平角性质、

三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题.一线三等角模型常以一线三垂直（即Nl=

N2=N3=90。，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查

九、旋转相似模型（手拉手）

（一）基本模型

（二）结论推导

结论：AABDsLACE.

1正明：'JDE//BC,:.NADE=NABC,4ED=NACB,

/./\ADE^/\ABC,AD=4B-

~AE~AC

'：NBAD=NCAE,：./\ABD^/\ACE.

（三）解题技巧

如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、

顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似.在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可

以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解.

十、十字架模型

【正方形内的十字架结构】垂直相等，相等垂直

【十字结构在矩形中】

CECDm

如图，在矩形ABCD中，AB=m,AD=n,在AD上有一点E,若CE_LBD,则——=——=—,即CE

BDBCn

和BD之比等于矩形邻边之比

一般情况时，也满足（注意E,F,G,H四点的位置不能在同一条边上）

【十字结构在直角三角形中】

我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH,延长CE交AH

于点G

【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可

如图，把边长为/2=20,8C=4且/8=45。的平行四边形/BCD对折，使点8和。重合，求折痕

的长

如图，若B4=BC=6,。/=。。=8,ZBAD^90°.DELCF,请求出DE：CF的值

十一、对角互补模型

【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向

两边做垂线，从而证明两个三角形相似。

△FDCs/\GEC

/\DOC^/\EFC

十二、双高模型

双高模型：可谓“相似成灾”

N

O

F

BC

共有8组相似！

①RtZkB0MsRt2\BFNsRtZ^CFMsRtZ^C0N;

②△BCMS2\OFM（蝴蝶相似必成队）

\③△NOFs^NCB（反A型）

r］核心•题型/

03i

QA字模型

2023•四川成都•真题

1.如图，在AABC中，。是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分

别交48,/C于点N；②以点。为圆心，以40长为半径作弧，交DB于点、M'；③以点儿T为

圆心，以MV长为半径作弧，在二胡C内部交前面的弧于点N，：④过点V作射线DN'交8C于点E.若

RF

△8。5与四边形/皿）的面积比为4:21,则笔的值为.

CE

2.如图，△48C中，点£,尸分别在边/5,/C上，Nl=/2.若2C=4,N尸=2,CF=3,则EF

2023•山东潍坊•真题

3.在《数书九章》(宋•秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，8表示竹

竿顶端到地面的高度，E户表示人眼到地面的高度，48、CD、EF在同一平面内，点/、C、£在一

条水平直线上.已知/C=20米，CE=10米，CD=7米，斯=1.4米，人从点尸远眺塔顶8,视线恰

好经过竹竿的顶端。，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为米.

2022•浙江杭州•真题

4.如图，在A48C中，点。，E,尸分别在边48,AC,BC上,连接。E,EF,已知四边形3FED是平行

(1)若48=8,求线段4D的长.

(2)若V4DE的面积为1,求平行四边形3FED的面积.

2023•浙江温州•真题

5.如图，已知矩形4BC。，点£在C8延长线上，点尸在8c延长线上，过点/作万H1.斯交ED的延长

线于点X,连结4尸交EW于点G,GE=GH.

JR5

(1)求证：BE=CF,(2)当一=一，刈＞=4时，求EF的长.

FH6

6.小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度,

当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部A处发光，光线透

过窗子照亮地面的长度为DE,小言测得窗户距离地面高度AF=0.7m,窗高2c=1.4m,某一时刻,

2022安徽

7.如图，四边形/BCD是正方形，点£在边ND上，是以£为直角顶点的等腰直角三角形，EF,

BF分别交CD于点M,N,过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G,连接DF,若DE=T,DF=，

则MN=.

8.(2023•深圳•九年级统考期中)如图，在RM/5C中，ZABC=90°,AB=6,5C=8,NBAC,NACB

的平分线相交于点E,过点E作EF//BC交AC于点、F,则跖的长为()

A

710

D.

T

2023-T东•真题

9.边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的

面积为.

10.如图，在中，/C=8C=16,点。在48上，点E在8c上，点8关于直线DE的轴对称点为点

B',连接。9，EB',分别与/C相交于下点，G点，若/尸=8,DF=7,B，F=4,则CG的长度

为.

11.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在/C,BC上,有

两个顶点在斜边上则图中阴影部分的面积为

B

2023•四川眉山•真题

12.如图，/3C中，是中线，分别以点/，点2为圆心，大于;48长为半径作弧，两孤交于点",N.直

线MN交AB于点、E.连接CE交于点足过点。作。G〃CE,交N2于点G.若DG=2,则CF的

长为.

2022•江苏淮安•真题

13.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,3C=4,点。是/C边上的一点，过点。作。尸〃/B,

DF

交.BC于点、F,作/胡C的平分线交D9于点£,连接5E.若的面积是2,则一的值是

EF

14.（2023上•广东深圳•九年级统考期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有

借鉴意义.如图1，身高L5m的小王晚上在路灯灯柱/〃下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯

的高度，具体做法如下：先从路灯底部N向东走20步到〃处，发现自己的影子端点落在点尸处，作

好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点尸处，此时影子的端点在点。处，已知小王和灯

柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致.

图1

(1)请在图中画出路灯。和影子端点Q的位置.

(2)估计路灯/O的高，并求影长尸。的步数.

(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2,小明同

学用自制的直角三角形纸板时测量树的高度他调整自己的位置，设法使斜边D尸保持水平，并且

边DE与点8在同一直线上.测得。尸=0.5m,EF=0.3m,CD=10m,小明眼睛到地面的距离为1.5m,则

树IWJAB为m.

题七"8"字型

2022•辽宁•真题

15.如图，在正方形N3CD中，£为/。的中点，连接3E交4C于点尸.若AB=6,则ANE尸的面积

2023•四川乐山•真题

16.如图，在平行四边形N8CD中，E是线段上一点，连结NC、DE交于点足若言=则

EB3

2023•湖北武汉•真题

17.如图，平分等边A/IBC的面积，折叠得到△阳及NC分别与。尸,£尸相交于G,“两点.若

DG=m,EH=n,用含九"的式子表示GH的长是.

2023上•广东深圳•九年级南山实验教育集团南海中学校考期中

18.如图，在DNBCD中，E为40边上的点，AE=2DE,连接BE交/C于点厂，的面积为4cm?,

则"C的面积为

2023•四川泸州•真题

19.如图，E,/是正方形/BCD的边NB的三等分点，户是对角线/C上的动点，当PE+尸尸取得最小值

Ap

时，言的值是.

2023•浙江杭州•真题

20.在边长为1的正方形4BCD中，点E在边皿上(不与点A,。重合)，射线5E与射线C0交于点厂.

(1)若求DR的长.

⑵求证：AE-CF^l.

(3)以点3为圆心，8c长为半径画弧，交线段8E于点G.若EG=ED,求矶)的长.

2023•四川眉山•统考中考真题

21.如图，Y4BCD中，点E是40的中点，连接CE并延长交A4的延长线于点

(2)点G是线段/尸上一点，满足ZFCG=ZFCD,CG交AD于点、H,若/G=2,尸G=6,求G”的长.

22.如图，矩形N5C。中，点E在DC上，DE=BE,/C与5。相交于点。.班与/C相交于点尸.

DEC

(1)证明：△OBFs^ECF；

⑵若。尸=3,EF=2,求职的长度.

2022深圳

23.在RtZ\4BC中，ZABC^90°,AB=3,BC=5,AE=2Y5,连接CE,以CE为底作等腰Rt/XCDE,

C£>=DE,点尸是线段/£上一点，连接8D,BF,NFBD=45°,则N尸的长为.

题园且三角形内接矩形

2022•山东东营•真题

24.如图，在"BC中，点RG在3c上，点£、〃分别在48、AC±.,四边形EFG〃是矩形，EH=2EF,AD

是。3C的高.BC=8,AD=6,那么即的长为.

25.如图，是A/IBC的高，点E、尸在3C边上，点G在/C边上，点〃在8c边上，BC=2lcm,高

4D=15cm,四边形ERG〃是AA8C内接正方形，

(1)A/〃G与AABC相似吗？为什么？

(2)求内接正方形EFGH边长EF.

26.如图，△48C是一块锐角三角形余料，边BC=120min,高4D=80min,要把它加工成矩形零件尸QWN,

使一边在8C上，其余两个顶点分别在边/2、AC±.若这个矩形的边PN：尸0=1：2,则这个矩形的

长、宽各是多少？

27.如图，已知A/BC中，8c=10,8c边上的高/〃=8,四边形DEFG为内接矩形.

(1)当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长.

(2)设斯=x,矩形DEFG的面积为S,求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最

大值.

BDHEC

题园因倒数型（三平行结构）

湖南株洲•统考中考真题

28.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是（）

4

D.-

cI5

2023•四川内江•真题

29.如图，在443c中，点。、E为边N5的三等分点，点RG在边3C上，AC〃DG〃EF,苴H为AF与

DG的交点.若ZC=12,则。H的长为（）

2024届•深圳中学九年级期中

30.如图，在AABC中，点。、E为边43三等分点，点尸、G在边3C上，AC//DG//EF,点H为AF

与DG的交点.若HD=3,则ZC的长为.

题四理A字型及8字型相结合

2023•黑龙江哈尔滨•真题

31.如图，AC,3D相交于点0,AB//DC,M是的中点，MN//AC,交BD于点、N.若

DO:OB=1:2,AC=12,则MV的长为（）

A.2B.4C.6D.8

32.如图，在平行四边形中，过点8的直线分别与NC,及C£＞的延长线相交于点E,F,G,若

BE=6,EF=4,则FG的长为.

2023・安徽•真题

33.如图，点E在正方形/3CD的对角线/C上，EF工于点F,连接DE并延长，交边5c于点W,

交边A8的延长线于点G.若AF=2,FB=\,则MG=（）

C.V5+1D.Vio

34.如图，DE是“BC的中位线，点厂在。3上，DF=2BF.连接E厅并延长，与C8的延长线相交于点

M.若5c=6,则线段CM的长为（）

A

35.如图，在Y4BCD中，延长40至点E,使4D=2DE,连接班■交CD于点F,交/C于点G,则下的

值是（）

题园病射影定理

2023•湖南郴州•真题

36.在Rt△力3c中，ABAC=90°,是斜边3C上的高.

⑴证明：△ABDsACB4;

(2)若/8=6,BC=IQ,求的长.

2022湘潭

37.如图，在△NBC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线/经过点/,过点瓦。分别作/的垂线，垂足分别

为点、D,E,延长8。交NC于点尸，若CE=3,DE=\,求△8FC的面积.

==则

38.如图，在四边形中，NC与8。相交于点。，/48C=4D/C=90。，AB\'BO4S^ABD

^BC2~OD3SIXCBD

39.如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG〃CD交AF于点G,

连接DG.

(1)求证：AAGE之ZkAGD

(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由;

(3)若AG=6,EG=26，求BE的长.

题四比子母模型（公共边公共角）

2022•湖北鄂州•真题

40.如图，在边长为6的等边△4BC中，。、E分别为边BC、AC上的点，/。与BE相交于点P,若BD=CE=2,

贝必/AP的周长为.

2023•四川凉山•真题

41.如图，在Y/3CD中，对角线/C与8。相交于点0,ZCAB=ZACB,过点B作交ZC于点E.

⑴求证：AC1BD-,(2)若/3=10,AC=16,求OE的长.

42.如图，和ANGF是等腰直角三角形，ABAC=ZG=90°,AZGE的边/尸，NG交边8c于点D,

RF

E.若3=4,AE=3,则差的值是

43.（2023上•广东深圳•九年级校考期中）如图所示的一张矩形纸片N8CD（AD>AB）,将纸片折叠一次,

使点/与C重合，再展开，折痕斯交4D边于点E,交8C边于点R交/C于点。，分别连接/尸和

CE.

(1)求证：四边形/PCE是菱形；

(2)过£点作的垂线£尸交/C于点P,求证：2AE2=AC-AP；

44.如图，在中，点。在边AB上，NA4C的平分线交CD于点E,交于点尸，已知/。=9,BD

=7,AC^12.

(1)求证：AC2=AD-AB；(2)若4&=8,求斯的长.

45.如图，在菱形/BCD中，NB=60。，点、E为AB上一点、,将△4DE沿翻折，点N落在，处，连接

并延长交。£于点R若，C=2,A'F=3,求跖的长.

46.(2023上泗川成都•九年级统考期末)在中，点D,E分别在边N3,3c上，连接4E,CD交

于点0,S.ZADC=ZAEC,

A

⑴求证：BDAB^BEBC：

(2)当。为边48的中点时，且CE=4,

①若2/。=3。£,求NB；

②若△NEC为等腰直角三角形，且NE4C=90。，求四边形如。£的面积.

47.如图1，在△48C中，4D为中线，点E在/C的延长线上，NE=/ABC,4D的延长线交BE于点?

(1)求证：AABC^/XAEB；

(2)若/C=C£,BC=6,求昉的长；

(3)如图2,若BF=BC=4,求即的长.

48.如图，在△NBC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,£在边3c上，ZDAE=45°,过点3作8F_L8C,

交4D的延长线于点尸，连接EF

(1)求证：AE2=BE-DE；

(2)求证：

(3)若tan/B£尸=3，CE=2,求/尸的长.

题园式一线三等角模型

2023•黑龙江大庆•真题

49.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片/BCD如图

所示，点N在边上，现将矩形折叠，折痕为8N,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边。C

上，则图中与AWM一定相似的三角形是.

2023•山东东营•真题

50.如图，A48C为等边三角形，点Z）,E分别在边3C,48上，44。£=60。，若BD=4DC,DE=2A,

则/D的长为（）

51.如图，△/BC和△EDC都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,顶点N在边。£上，4B与CD

相交于点尸，若/E=2,AD=4,则△/尸。的面积为.

52.如图，在等边△/2C中，48=6,点D是边上一点,BD=2,点、F是边AC上一点,若在边3c上

只有一点E,使/。即=60。，则CF的长为.

53.如图，将等边△NBC折叠，使点3落在NC边上的点尸处，折痕为若N尸=4,CF=8,则C£的

长为

A

54.如图，点P是等边的一边8c上的任意一点，且C尸=38P,连接/P,作/P的垂直平分线交

AB./C于M、N两点,则的值为.

55.如图，点凡G分别在正方形/BCD的边2C,CD±,E为N5中点，连接ED,正方形尸G0尸的边尸。

恰好在DE上，若正方形N8C。边长为7,则正方形EPQG面积为

浙江中考真题

56.如图，矩形/BCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的工型模板如图放置，则矩形/BCD的周长

57.如图，菱形48CD与菱形/所G相似，4EPG的顶点G在/BCD的3c边上运动，GF与相交于点

H,ZE=60°.若CG=3,AH=1,则菱形/BCD的边长为

E

C

2023•浙江丽水•统考中考真题

58.如图，在四边形N8CA中，NO〃5C,NC=45。，以为腰作等腰直角三角形胡£,顶点£恰好落在CD

边上，若40=1,则CE的长是（）

C.2D.1

59.如图，将8个边长为1的小正方形叠放，