2025新高考数学计算题型专练：向量运算的坐标表示（解析版）

2025新高考数学计算题型精练

向量运算的坐标表示

1.若向量6=(2,3),c=(-7,-3).

(1)1=q+〃，，求之+〃的值；

(2)若场+5与之共线,求左的值.

3

【答案】(1)丸+〃=1(2)左=-不

【详解】⑴因血即(-7,-3)=彳(-1,1)+〃(2,3)=('+2〃"+3〃),

1—4+2//=—7=3

所以0°，解得。，故丸+〃=1；

[4+34=-31〃=-2

(2)因上Q+B与0共线，左a+B=左(一1,1)+(2,3)=(—左+2,左+3),c=(-7,-3),

所以(一人+2)•(-3)=优+3)•(-7),故人=一力

2.已知向量“=(3,2)1=(x,-l).

⑴若伍+2可乂21@,求实数x的值；

⑵若)=(-8,-l),Z〃0+3,求向量々与否的夹角仇

【答案】(l)x=6或x=_；3.(2)9=：TT

【详解】(1)已知。=(3,2)花=(%,-1),

所以〃+25=(3+2X,0),2Q-B=(6—x,5).

又因为(。+2q_L(2Q—@,所以有k+2可・(2。一/?)=0,

3

所以(3+2x)(6—x)+0x5=0,解得％=6或x=—2

(2)因为c=(—8,—1),所以6+c=(x—8,—2).

又Z//0+©,所以3x(—2)—2x(x—8)=0,

解得％=5,所以3=(5,-1).

„a-b3x5-2xlV2

所以c°E而两=不可不了O'

TT

因为04。(兀，所以e=一.

4

3.向量a=(cos23o,cos67。),向量否=(cos68。,cos22。).

⑴求75;

(2)若向量刃与向量加共线，u=a+m»求”的模的最小值.

【答案】⑴变⑵虫

22

【详解】(1)

a-b=cos23°cos680+cos67°cos22°=cos23°cos680+sin23°sin68°=cos(68°-23°)

=cos45°=^^;

2

(2)由题设浣且;IER,贝U

u=a+Ab=(cos23°+2cos68°,cos670+2cos22。)=(sin67°+Asin22°,cos67°+2cos22°),

所以

|u|=y1(sin67°+2sin22°)2+(cos67°+2cos22°)2=+Z2+2Z(sin67°sin22°+cos67°cos22°)

=-\/A2+V2A+1=J(2，

当4=一包时，.

2IImm2

4.已知向量1=(2,-1),5=(3,0),c=(4,l).

(1)求与之垂直的单位向量3的坐标；

⑵若仅+茨9〃0-2耳，求实数上的值.

r依心、，,、_［右2行V52后］,z1

【答案】(l)e=——或一--,一一—(2)k=--

3JJ

【详解】(1)设与I垂直的单位向量G=(x,y),

(2)■.■a+kc=(2+4k,-l+k),b-2a=(-l,2),又()+行)〃(6一2@),

;.2(2+4后)=-(-1+左)，解得：k=_3.

5.已知“=(一2,3),6=(4,2).

(1)求Q+B，a—b；

⑵求a+34.

【答案】(1)(2,5)；(-6,1)(2)4713

【详解】(1)由2=(-2,3),3=(4,2),

所以^+3=(-2,3)+(4,2)=(2,5),«-^=(-2,3)-(4,2)=(-6,1).

(2)由£=(-2,3),3=(4,2),

则2a+3B=2X(-2,3)+3X(4,2)=(8,12),

所以.+3可=正+122=4

6.已知£=。,0)3=(2,1).

(1)当上为何值时，左3-3与Z+2B共线？

(^2)若AB=2a+3b，BC=a+mb且4,B,C二点共线，求m的值.

13

【答案】(1)人=一5(2)〃7=]

【详解】(1)由题可得，左£一3=左(1,0)-(2,1)=(左-2,-1)；

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),

因为忘-5与Z+2石共线，则2(斤-2)-(-1)x5=0=>k=-；；

(2)因为4,B,。三点共线，々与B不共线，所以存在实数人使得刀9就QGR),即

2a+3b=X(a+rnb^,整理得(8,3)=“+2mA,成),

f2+2mA=83

所以；20*不

[mA=32

7.已矢口方=(sinx+cosx,2cos=12sine,；sin2x]

⑴若)=(-3,4)且x=；,0e(0,7i)时，£与"的夹角为钝角，求cosd的取值范围；

(2)若夕=3函数/。)=2片,求“X)的最小值.

【答案】(1)(-1,-平)。(一半,孚)；(2)1-V6.

33o2

【详解】⑴当x=W时，£=(血,2cosd),%与"的夹角为钝角，

于是屋工<0,且工与"不共线，

则a-c=-3V2+8cos(9<0)解得cos8<)^2，又6e(0,兀),即cos。e(-1,1),

则有-I<cos6<3&,又当£与"共线时，4V^+6cos6=0，解得cos9=一，

83

因此々与"不共线时，cos”-迪，

3

所以cos。的取值范围是(-1,-孚)u(-孚,斗).

(2)依题意，当6=1时，/(%)=3-ft=(sinx+cosx,1)*(V3,—sin2x)

=V3sinx+V3COSx+^-sin2x=V3(sinx+cosx)+sinxcosx,

4'=sinx+cosx=V2sin(x+—)e[-V2,5/2],贝ljsinxcosx=——-，

42

于是/(x)=V3/+^=|(f+V3)2-2,而函数y=g(/+百『-2在/e[-行，行]上为增函

数，

则当/=-近时，y有最小值;-C,

所以/(x)的最小值为;

8.已知平面向量3=。,2),b=(0,-1),ale,S.b-c=3-

(1)求己的坐标；

⑵求向量1-3在向量B上的投影向量的模.

【答案】(1)(6,-3)⑵5

【详解】(1)设？=(》/),因为3工己，所以x+2y=0,又石亮=一了=3,

解得x=6,y=-3,所以3=(6,-3)；

(2)&一3=(-5,5),所以他一0)石=一5,

则向量IV在向量B上的投影向量的模为5

综上，3=（6,-3）,向量在向量不上的投影向量的模为5.

9.已知向量a=(l,l),b=(2,0),

⑴求忸-24

⑵求"与Z-2：的夹角.

【答案】（1）2（2）彳

【详解】(1)因为向量3=(1,1),3=(2,0),所以121=(0,-2),

贝服_2d=2

所以之与Z-2：的夹角为亍.

10.已知向量5=(cosx,sinx),B=(1,2月).

(1)若无=方，求在在，上的投影向量的模长;

(2)若心一石)，,+萌)，求实数上的值.

【答案】(1)[(2)左=±姮

213

【详解】(1)由题意得当x=g时,a=(；,乎)

贝1<74=1*工+2石乂也=二，M=1,

22211

_7

所以3在Z上的投影向量的模为=2=2.

1同112

(2)由同=JsMx+cosZx=1,於=13，

由(万一右)_|_(万+汇)，得(万一石)•(万+左=左一优?=0,

即1一13左2=0,解得左=±姮.

13

11.设Z，石是两个不共线的向量.

⑴若。=(一1,3),6=(2,-1),求〈氏5〉；

(2)若(2a+B)〃(3a+Ah'),求4的值.

【答案】(1)〈〃,6〉=彳(2)4=±6

【详解】(1)因为cos&B〉=fl-=:5冬,又向量夹角范围为[0,用,

\a\\b\V10xV52

所以〈见一一力二3三兀.

4

(2)因为(4Q+B)〃(3〃+4否)，设/ia+B="(3Q+4B),〃为实数，

----,14=3〃△，，r~

即6=贝111，即42=3，解得丸=±6.

IZ//=1

12.已知)=(1,1)3=(0,-2)当先为何值时，

(1)标-B与万+B共线；

(2)34-扬与N+B的夹角为90°

【答案】(1)7(2)。

【详解】(1)因为》=(1,1)3=(0,-2),所以乙+5=(1,1)+(0,-2)=(1,-1),

ka-b=左(1,1)-(0,-2)=(左，左+2),

由标一分与万+3共线，贝ij4+2-(一左)=0,所以左=-1.

(2)因为d+B=(l,-l),31-布=(3,3)-(0,-2左)=(3,3+2月)，

因为31-防与Z+B的夹角为90。，所以由一板)•伍+分)=0,得至口-(3+2a)=0,所以上=0.

13.(1)已知单位向量，、B的夹角为45。，质-3与，垂直，求左；

(2)已知向量1=(1,2),6=(2,-2),c=(l,2),若G/Q+3),求人

【答案】(1)—；(2)1

22

【详解】⑴因为单位向量3、石的夹角为45。，所以33=|司•Wcos450=lxlx*=^,

又标与，垂直，所以胸-4，=0，即而2一彼二=0，即"x『一告=0,解得上=*；

(2)因为3=(1,2),5=(2,-2),所以22+3=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),

又己=(1㈤且己//(2@+彼)，所以42=1x2,解得2=g.

14.已知向量G=(2,-1)石=(1,2),,=(3,-4),求：

(1)^c=ma+nb，求加+〃；

⑵若(标+3〃入求后的值.

【答案】(1)1(2)-2

【详解】(1)因为@=(2,-1),5=(1,2),1=(3,-4),所以sH=(2加,-加)，怎=(〃,2〃),所以

ma+nb=(2m+n,-m+2〃),

[2m+n=3

又因为干=机)+〃人所以〈c〃解得机=2,"=-1,所以加+"=1.

[~m+2n=-4

(2)因为1=(2,-1),3=(1,2),,=(3,-4),所以%+B=(2)+1，->+2)，

又(faz+6)〃c,所以(2左+1)x(―4)—3x(—汇+2)=0,BP—5k-10=0,所以左=—2.

15.已知向量a=(-l,2),3=(1,4).

(1)若(而+2B)〃G-B),求左的值；

(2)若(防+2否)_L(3-3M),求后的值.

32

【答案】⑴蚱-］；(2)左=-§.

【详解】(1)由已知左£+2^=(2-冗8+2左)，a-b=(-2,-2),

_3

(ka+2b)//(a—b),—2(2—2A：)+2(8+2k)=0,解得无=—于

(2)S-3«=(4,-2),

2

,/(ka+2b)±(b-3a),：.4(2-k)-2(8+4k)=0,解得左=-§.

16.已知平面向量。=。,2),3=(-3,-2).

(1)'在Z方向上的投影向量；

(2)当上为何值时，左£+石与£一3石垂直.

【答案】⑴［〉汕

Ivl-Taa-ba(72、

【详解】(1)3在Z方向上的投影向量=M|cos<a,b>甲豆用=:歹引.

(2);左。+B与Q—3石垂直，左。+3二(左一3,2左一2),a—3加=(10,8),

.•.(后+可•仅一3可=0,即10(左一3)+8(2左一2)=0,解得左=!|.

17.已知向量2=(1,0),方=(2,1),

(1)当实数左为何值时，向量左之-石与£+3石共线

(2)当实数上为何值时，向量左aJ与£+3石垂直

117

【答案】(1)左=-］⑵笈=7

【详解】(1)标一3=后(1,0)-(2,1)=(左一2,—1),3+36=(1,0)+3(2,1)=(7,3)>

向量元与Z+3刃共线，所以("2>3=(-1)X7,所以左=一.

(2)ka-b=k(l,0)-(2,1)=(^-2,-1),Z+3$=(l,0)+3(2/)=(7,3),

17

向量元与£+3否垂直，所以7(b2)+3x(-1)=0,解得上=?

18.已知向量N=(2f,f),B=(-3,2),e=(3,-l),/eR.

⑴求/=1时，求归+2目的值；

⑵若5-7与1共线，求扇己夹角

【答案】⑴屈⑵:

【详解】(1)va=(It,t),&=(-3,2),c=(3,-1),

当f=l时，a=(2,1),5+2^=(2,1)+2(-3,2)=(-4,5),

A|a+2b|=J(-4『+52=V41.

(2)万=(-3-2/,2-r),且与^共线

3

/.(-3-2r)x(-l)=3x(2-r),解得/

6a3

/—\_a-c_5X5_41

所以3〈。，0=丽=]^，•・•♦小♦€[0,句,

I+；

所以第2夹角为

4

19.已知向量Q=(7,1),1=(1,3).

⑴求£与B夹角的余弦值；

(；2)若(。+23)_1(%"3)，求2的值.

【答案】(1)£⑵T

【详解】(1)解：由向量£=(7,1),3=0,3),可得口=5也，坂=而且£4=7x1+1x3=10,

LT\CL'b10A/5

所以。与3夹角的余弦值。冈池)=丽=运行=丁—

(2)解：由(a+25)_L,°-可，可得

-»~*\(~*\—2一——2

(a+2b)-(Aa-b)=Aa+(2A-l)a-b-2b=502+(22-1)x10-2x10=0,

3

BP702-30=0,解得2=—.

7

20.设平面三点/(-2,1),B(4,-1),C(2,3).

⑴若荏=①,试求。点的坐标；

⑵试求向量方与％的夹角余弦值；

【答案】(1)(8,1)(2*

【详解】(1)设。(x,y),则赤=(6,-2),丽=(x-2,y-3),

_.fx-2=6fx=8

因为48=CD所以｛,)，解得《,

0-3=-2[y^l

所以。点的坐标为(8,1).

(2)由(1)知方=(6,-2),又就=(4,2),

24-4_吏

所以cos(48,/C)=ABAC

RR740x^20-2

故向量冠与％的夹角余弦值为e.

2

21.已知3,R是同一平面内的两个向量，其中4=(1,2),且⑸=石.

(1)若nB，求B的坐标;

⑵若।a+31=|方-2石］,求3与B夹角.

【答案】(1)3=(2,-1)或3=(-2,1)(2)]

【详解】(1)设B=(x,y).

因为a—(1,2),

所以aZ=0即x+2y=0

又因为|31=6，所以Jx?+了2=亚.

解之得X=2时，＞=一1或工=-2时，7=1,

所以3=(2,-1)或B=(-2,1).

(2)记I与B夹角为6.

因为|/+司=|/-2司，所以0+彼)2=(/-23)2,

则片+庐+25石=片+拓2-领•日,即2晨办=庐,

a-bb2J.

所以cos。=

w2

又因为6H0,兀］,所以e=］.

22.设4,B,C,。为平面内的四点，且』(1,3),B(2,-2),C(4,1).

⑴若存=而，求。点的坐标；

(2)设向量"=在石=数，若向量3-3与£+35平行，求实数左的值.

【答案】(1)。(5,-4)；(2)-1.

【详解】(1)设。("),因为方=而，于是(2,-2)-(1,3)=(X/)-(4,1),整理得

(1，-5)=(x-4/-1),

，.fx-4=1fx=5

即有,「解得,，

[y-i=-5[7=-4

所以。(5,-4).

±UUUL1UUU

(2)因为。==(1,-5),b=BC=(4,1)-(2,-2)=(2,3),

所以焉J=左(1,-5)-(2,3)=(后-2,-5左-3),a+3^=(1,-5)+3(2,3)=(7,4),

解得上=T，

因为向量筋-石与£+3%平行，因此7（-5斤-3）-4伏-2）=0,

所以实数人的值为-1.

23.已知工友丁是同一平面内的三个向量，其中）=（1,-右）.

（1）若|c|=4,且々〃°,求°的坐标；

（2）若|昨1,且£+23与%—B垂直，求Z与5的夹角氏

【答案】⑴）=（2,-2⑹或工=卜2,26）⑵兀

【详解】⑴解：设己=（"）,因为同=4,

yjx2+y2=4,即x?+/=16,①

由a〃c,得y+43x=0,②

x=-2x=2

由①②，得＜或＜

y=2百y=-2A/3

故己=仅,-2月或工=卜2,26）；

（2）解：因为£+23与%—各垂直,

所以4+2力）.（2：/）=0,

即2a2+3)万一2庐=0,

|a|=2,㈤=1,

所以2x4+3展5一2x1=0，整理得）石=-2,

故=-1,

a-\b\

又ee[0,7i],

所以。=兀.

24.已知向量a=(cosa,sina),B=(cos,,sin/?),\a-b\=,求cos（a一尸）的值.

【答案】|3

【详解】•；a=(cosa,sina),b=(cos/?,sin0)，

a-b=(cosa-cos夕,sina-sin尸)，

^a-b\=y](cosa-cos2+(sina-sinJ3)2

=^/cos2«-2cos6zcosy0+cos2y0+sin2c»f-2sincrsiny0+sin2/3

=^/2-2cos(tz-/7)=,

.一4

2—2cos(6z—B)——f

3

/.cos(cr-/7).

25.设向量@=(2,0)石=(1网

(1)求与z+B垂直的单位向量；

(2)若向量位+B与向量1+后的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

【答案】⑴：或-5，三⑵卜6-2,-1)3卜13-2)

【详解】(1)由已知1+彼=(2,0)+(1,6)=(3,6)，设与&+B垂直的单位向量为E=(x,y)

叱*。解得，

J.叵

即与万+B垂直的单位向量为।或5；

2V7

（2）由已知小B=2,同=2同=2,

所以,0+可•（3+区）=笈?+（/+1）々-B+归2=2/+8/+2,

因为向量位+B与向量1+石的夹角为钝角，

所以（应+5加+区）<0,22+8+2<0,解得一-2</<6-2，

又因为向量位+B不与向量3+区反向共线，

—/—\,、2f+1=左（t+2）

设万+6=左（值+〃?）（左<0）,贝厂I-

、八[V3

从而「二:或I）]（舍去），所以解得辿-6-2,-1）口/1,百-21

26.已知非零向量］和［不共线.

(1)若45=%+电，BC=2ex+8e2,CD=3^-e2j,求证：A,B,。三点共线;

(2)若向量左q+4与向量,+ke2平行,求实数k的值.

【答案】⑴证明见解析(2)左=±1

—►—*—―►—►/—*■»\—*—*

【详解】(1)BD=BC+CD=2ex+8e2+3(，一％)=5q+5e2

又方=［+［,：,5AB=BD>A,B,。三点共线;

——►U.LIL

(2)Y向量左,+&与向量+左。2平行，

27.已知平面向量4=(1,2),3=(-3,-2).

(l)^cl(25+6),且同=追，求己的坐标；

(2)若3与)+彳］的夹角为锐角，求实数2的取值范围.

5

【答案】(1)(-2,-1)或(2,1)(2)(-OO,0)30,

【详解】(1)由3=(1,2)/=(一3,-2),

所以21+B=(2,4)+(-3,-2)=(-1,2),

设3=(x,y),

因为己_L(26+B),

所以己«2a+B)=-x+2y=0,

因为同=石，所以6r1=指，

fx=-2fx=2

解得或

h=-i[y=i

所以己的坐标为(-2,-1