2025年中考数学大题与几何压轴题：圆压轴（原卷版）

专题12圆压轴

目录

题型特训-精准提分

型

题

01与圆有关的多结论问题（选/填）

型

题

02与圆有关的平移问题

型

题

03与圆有关的翻折问题

型

题

04与圆有关的旋转问题

型

题

05与圆有关的最值问题

型

题

06与圆有关的动点问题

型

题

07与圆有关的新定义问题

型

题

08阿氏圆

型

题

09圆、几何图形、锐角三角函数综合

型

题

型与圆有关的阅读理解问题

题10

型

题11与圆有关的存在性问题

12与圆有关的定值问题.

中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

题型特训-精准提分

题型01与圆有关的多结论问题（选/填）

I.（2023•河北保定•模拟预测）如图，在aaBC中，BC=10,点。为48上一点，以5为半径作。。分别与

BC,4;相切于D,E两点，OB与。。交于点M,连接。C交。。于点F,连接ME,FE,若点D为BC的中点,

给出下列结论：①CO平分乙4CB；②点E为4C的中点；@^AME=22.5°；④标的长度为京.其中正确结

论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2024•山东济宁•一模）如图，在扇形04B中，^AOB=90°,半径。4=2.将扇形0aB沿过点B的直线折

叠，点。恰好落在而上点。处，折痕交。4于点C,点E为0B的中点，点P为线段CB上一个动点，连接。P,

PE,DP,过点。作DF1BC于点尸，下列说法：①当点P运动到C8的中点时，四边形COPD为菱形，②辑f

=g,③OP+PE的最小值为遥，④阴影部分面积为p—竽，正确的是（填序号）.

3.（2023・广东广州•二模）如图，四边形ZBCD内接于。。，AC为。。的直径，乙4CD+ABCD=180。，连

接。D,过点。作DEL4C,DFLBC,垂足分别为点E、点F,则下列结论正确的

是.①4A0D=24BAD；（2）ADAC=Z.BAC；③DF与。。相切；④若4E=4,EC=1,则BC=3.

D

题型02与圆有关的平移问题

4.（2023•广东深圳•一模）如图1,平行四边形48CD中，AD=2V3,DC=4通,/。=60。，点M在BC延

长线上且CM=CD,EF为半圆。的直径且FE1BM,FE=6,如图2,点£从点M处沿MB方向运动，带动

半圆。向左平移，每秒遥个单位长度，当点尸与点。重合时停止平移，如图3,停止平移后半圆。立即绕

点E逆时针旋转，每秒转动5。，点厂落在直线BC上时，停止运动，运动时间为/秒.

（1）如图1,BF=；

（2）如图2,当半圆。与。C边相切于点尸，求EM的长；

⑶如图3,当半圆。过点C,EF与DC边交于点Q,

①求EF平移和旋转过程中扫过的面积；

②求CQ的长；

（4）直接写出半圆O与平行四边形ABCD的边相切时，的值.（参考数据：5也35。=苧，tan35°^^）

5.（2023•江苏南京•二模）在平面内，将小棒4B经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的小棒不一定在

同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？

已知小棒长度为4,宽度不计.

方案1：将小棒绕AB中点。旋转180。到B7T,设小棒扫过区域的面积为Si（即图中灰色区域的面积，下同）；

方案2：将小棒先绕/逆时针旋转60。到4C,再绕C逆时针旋转60。到CB,最后绕2逆时针旋转60。到房4,

设小棒扫过区域的面积为S2.

cc

/⑼n於/N

A，---------------------

方案1方案2方案3(未完成)

(1)①S1=，$2=;(结果保留兀)

②比较S1与S2的大小.(参考数据：7T«3.14,V3«1.73.)

(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三

次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形.

①补全方案3的示意图；

②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3,求S3.

(3)设计方案4,使小棒扫过区域的面积S,小于S3,画出示意图并说明理由.

6.(2023・福建厦门•一模)点。是直线MN上的定点，等边△4BC的边长为遮，顶点力在直线MALL,AABC

从。点出发沿着射线。M方向平移，BC的延长线与射线ON交于点D,且在平移过程中始终有NBD。=30。，连

接。B,OC,OB交AC于点、P,如图所示.

(1)以。为圆心，。。为半径作圆，交射线OM于点E.

①当点B在。。上时，求丽的长；

②。。的半径为r,当△力8C平移距离为2r时，判断点C与的位置关系，并说明理由；

(2)在平移过程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，请求出此时点。到直线BC的距离；若不存在，请说明

理由.

题型03与圆有关的翻折问题

7.(2023•安徽淮南•一模)如图，已知，4B是O。的直径，点C为圆上一点.

(1)如图①，将前沿弦力C翻折，交力B于。，若点。与圆心。重合，AC=2V3,则。。的半径为'

(2)如图②，将前沿弦BC翻折，交AB于D,把丽沿直径翻折，交BC于点E.

(I)若点E恰好是翻折后的血的中点，贝的度数为

(II)如图③，连接DE,若4B=10,OD=1,求线段DE的长.

4

8.(2022•河北保定•一模)RtAABC,z_C=90。，BC=6,tanB=E,尸分别在AC,BC边上，且£T=5,

将△EFC沿EF翻折至△EF。位置.以EF为直经作半。0；

(1)CF=3时，CC'=,。至IJAB的距离=；

(2)若以RC,£为顶点的三角形与aABC相似，求CF的长；

⑶在(2)的条件下，求点。至的距离；

(4)△EFC的面积最大是.

(5)直接写出半圆。过△4BC的外心时，CF的值.

9.(2021•贵州黔西•模拟预测)如图，已知4B为O。的直径，CD为弦.CD=4®2B与CD交于点E,将丽

沿CD翻折后，点/与圆心O重合，延长84至P,使4P=Q4,连接PC.

⑴求。。的半径；

(2)求证：PC是O。的切线；

(3)点N为乖的中点，在PC延长线上有一动点连接MN交力B于点G.交前于点尸(尸与2、C不重

合).求NG-NF的值.

题型04与圆有关的旋转问题

10.(2023•江苏常州•一模)如图1,将一个三角形纸板△力BC绕点4逆时针旋转。到达△ABC的位置，那么

可以得到：AB=AB',AC=AC,BC=B'C,ABAC=AB'AC,乙ABC=^AB'C,AACB=/.AC

B'.()图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图

形旋转的关键.故数学就是一门哲学.

(1)上述问题情境中“()”处应填理由：；

(2)如图2,将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板力BC绕点。逆时针旋转90。到达扇形纸板48c的位

置.

①请在图中作出点。；

②如果BB=6cm,则在旋转过程中，点B经过的路径长为cm；

(3)如果将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置.另一个在弧

的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止.此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图

3)?

11.(2023•广东云浮•二模)如图，A,B,C是O。上的三点，且=BC=8,点。为优弧BDC上的

,4

动点，5.COSZ.ABC=

图1图2图3

(1)如图1,若乙BCD=LACB,延长DC到尸，使得CF=C4连接2F,求证：4F是。。的切线；

(2)如图2,若NBCD的角平分线与4。相交于£,求O。的半径与4E的长；

(3)如图3,将△ABC的BC边所在的直线八绕点/旋转得到以直线与。。相交于跖N,连接AM,AN.12

在运动的过程中，2MSN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律.

12.如图1,已知448。=60。，点。在射线3。上，且0B=4.以点。为圆心，＞0)为半径作O。，交

直线BC于点D,E.

(1)当O。与N4BC只有两个交点时，r的取值范围是.

(2)当r=2鱼时，将射线B2绕点B按顺时针方向旋转a(0。＜a＜180°).

①若比4与。。相切，求a的度数为多少；

②如图2,射线B力与。。交于M,N两点，若MN=OB,求阴影部分的面积.

题型05与圆有关的最值问题

13.(23-24九年级上•浙江宁波•期中)如图1,E点为x轴正半轴上一点，OE交x轴于/、3两点，P点为

(1)BC的度数为一。；

(2)如图2,连结PC,取PC中点G,则。G的最大值为一

(3)如图3,连接ZC、AP,CP、CB.若CQ平分NPCD交P4于Q点，求2Q的长;

（4）如图4,连接P4PD,当P点运动时（不与8、C两点重合），求证：二彳为定值，并求出这个定值.

14.（2024・湖南怀化•一模）已知正方形A8CD和正方形EFGH按图1所示叠放在一起，其中48=4,EF=2,

点。为4B和EF的中点.

⑴图2中正方形EFUO为图1中正方形EFGH关于直线4B的轴对称图形，求点。和点。的连结线段DU的长

度；

（2）将图1中的正方形EFG”绕点O旋转，如图3所示，求运动过程中点D和点G之间距离的最大值和最小

值.

15.Q023•云南昭通•二模）如图1,在四边形4BCD中，AD=CD=6^3,乙B=60。,以4B为直径所作的O。

经过点c,且与2。相切于a点，连接力c.

⑵OE是△4CD的外接圆，不与力、D重合的点尸在OE的劣弧4D上运动（如图2所示）.若点P、Q分别为

线段AC、CD上的动点（不与端点重合），当点尸运动到每一个确定的位置时，△FPQ的周长有最小值税，随

着点尸的运动，小的值也随之变化，求小的最大值.

16.（2024•陕西西安•二模）（1）如图1,在aAOB中，。4=。8,AAOB=120°,AB=12,若。。的半径

为2,点P在。。上，M是线段48上一动点，连接PM,求线段PM的最小值，并说明理由.

新定义：在平面直角坐标系中，已知点M为定点，对点/给出如下定义，在射线上，若MN=k-MA

（fc>0,且人为整数），则称N是点/是关于点/的“左倍点”.

（2）如图2,点/是半径为1的。。上一点，且M（3,l）,N是点/关于点M的“二倍点”，P为直线丁=四

久上一点，是否存在点尸，使得线段PN最小；若存在，请求出PN的最小值，并直接写出此时N点的坐标;

若不存在，请说明理由.

图1

题型06与圆有关的动点问题

17.（2024•辽宁大连•一模）如图1,在RtaABC中，ABAC=90°,点。为BC边中点，点E为线段DC上一动

点，过点D,E作。。分别交力B,AC于点凡G,连接FG,DG.

⑴求证：ZB=Z.DGF；

（2）已知：BC=24,ZB=30°,当四边形BOGF为平行四边形时，请补全图2,并求出DE的长.

18.（2024•云南昭通•模拟预测）如图，在。。中，4B是。。的直径，点M是直径力B上的一个动点，过点M

的弦CD148,交。。于点C、D,连接BC,点尸为BC的中点，连接DF并延长，交于点E,交。。于点

G.

图1图2备用图

(1)如图1,连接CG,过点G的直线交DC的延长线于点尸.当点〃与圆心。重合时，若乙PGC=4MDE,求

证：PG是。。的切线；

⑵在点〃运动的过程中，DE=kDF"为常数)，求左的值；

(3)如图2,连接BG、OF、MF,当△M。尸是等腰三角形时，求ABGD的正切值.

19.(2023•山东烟台・模拟预测)直角三角板4BC的斜边AB的两个端点在。。上，已知484。=30。，直角边

4C与。。相交于点D,且点D是劣弧的中点.

⑴如图1,判断直角边BC所在直线与。。的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,点P是斜边4B上的一个动点(与4、B不重合)，DP的延长线交。。于点Q,连接Q4QB.

@AD=3,PD=1,贝!MB=；PQ=；

②当点P在斜边力B上运动时，求证：QA+QB=^QD.

题型07与圆有关的新定义问题

20.(2024•上海杨浦•一模)定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点

与己知直线的点切圆.如图1,已知直线/外有一点〃，圆0经过点X且与直线/相切，则称圆。是点X

与直线/的点切圆.阅读以上材料，解决问题：

己知直线。4外有一点P,PALOA,OA=4,AP=2,圆〃是点尸与直线02的点切圆.

图1图2

⑴如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是(直接写出答案).

(2)如图2,以。为坐标原点、。力为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,点尸在第一象限，设圆心M的

坐标是(x,y).

①求y关于尤的函数解析式；

②点8是①中所求函数图象上的一点，连接BP并延长交此函数图象于另一点C.如果CP:BP=1:4,求点3

的坐标.

21.(2024・湖南长沙•一模)定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”.

⑴若CJABCD是圆的“奇妙四边形”，则口/lBCD是(填序号)：

①矩形；②菱形；③正方形

⑵如图1,已知O。的半径为R,四边形力BCD是O。的“奇妙四边形”.求证：AB2+CD2^4R2；

(3)如图2,四边形4BCD是“奇妙四边形”，尸为圆内一点，〃PD=NBPC=90。，AADP=APBC,BD=4,

且48=技兀.当DC的长度最小时，求器的值.

22.(2024•江苏淮安•一模)在平面直角坐标系久Oy中，。。的半径为1.对于O。的弦48和点C给出如下定

义：若直线C4CB都是。。的切线，则称点C是弦2B的“关联点”.

G%

|---「一力----1

i___i..~2_____」______I

(1)如图，点4(—1,0),Bi、&分别为过4。点的线段与O。的交点.

①在点的(—1,1),C2(-l,2),C3(0,2)中，弦的“关联点”是「

②若点C是弦的“关联点”，贝以。的长为」

(2)已知点M在y正半轴上，N在x正半轴上，若对于线段MN上任一点S,都存在。。的弦PQ,使得点S是弦PQ

的“关联点”.记PQ的长为t,当点S在线段MN上运动时，t的取值范围为遮WtW苧，求出此时MN所在直

线表达式.

23.(2024・北京•模拟预测)在平面直角坐标系％0y中，。。的半径为1,对于直线/和线段4B,给出如下定

义：若将线段4B关于直线/对称，可以得到。。的弦4/(4,用分别为/,8的对应点)，则称线段4B是。。

的关于直线/对称的“关联线段”.例如：在图1中，线段是。。的关于直线/对称的“关联线段”.

⑴如图2,点阳Bi，A2,B2,A3,。的横、纵坐标都是整数.

①在线段4/1，A2B2,A3B3中，。。的关于直线丫=工+2对称的“关联线段”是；

②若线段4/1，A2B2,小氏中，存在。。的关于直线y=—x+爪对称的“关联线段”，则爪=

(2)已知y=—遮％+6(b〉0)交x轴于点C,在△•ABC中，AC—3,AB=V2.若线段4B是。。的关于直线

y=—b％+6(6＞0)对称的“关联线段”，直接写出6的最大值和最小值，以及相应的BC长.

题型08阿氏圆

24.(2023•山东济南•一模)抛物线y=—32+(。—1)久+2a与x轴交于2色0),B(4,0)两点，与y轴交于点

C(0,c),点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧.

(2)如图1,连接BC、AP,交点为M,连接PB,若衿邈=；,求点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线交工轴于点E,将线段0E绕点。逆时针旋转得到。E',旋转

角为矶0。＜。＜90。),连接E'B,E'C,求EE+.C的最小值.

123

-

-2

25.（2024•浙江•模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y-X4-X一4与久轴父于/、8两点,

与y轴交于点C.

y

图1图2

（1）求点/、B、C的坐标;

⑵如图2,若点尸在以点O为圆心，。2长为半径作的圆上，连接BP、CP,请你直接写出戈P+BP的最小

值.

（•广东珠海•一模）如图,抛物线片与2—枭—2遍分别交》轴于点4B（点4在点B的左侧）,

26.20244Z

交y轴于点C.

y八

Q,

D

图1图2图3

（I）求点4和点8的坐标；

（2）以B为圆心，3为半径作圆.

①如图1,连接AC,P是线段4C上的动点，过点P作OB的一条切线PM（点M为切点），求线段PM的最

小值；

②如图2,点。为抛物线的顶点，点Q在圆B上，连接CQ,DQ,求。Q—的最大值.

（・浙江•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线久+的对称轴是直线％=

27.2023y=24+b32,

与X轴相交于4B两点（点力在点B的左侧），与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MNlx轴于点N,交BC于点D,连接CM,当线段CM=CD

时，求点M的坐标；

(3)以原点。为圆心，4。长为半径作O。，点P为。。上的一点，连接BP,CP,求2PC+3PB的最小值.

题型09圆、几何图形、锐角三角函数综合

28.(2024・湖南长沙•一模)如图1,点AB,C在圆。上运动，满足AB?=+4;2,过点4的切线交BC延长

图2

⑵记△/^^△^2△48。的面积为51525若遮=2店一店，求tan。；

(3)如图2,点Q是线段BC上一动点(Q不与B,C重合)，QPLAD^P,交AC于点M.若tan。=VL设器=久,

且丫二。。.J康+康，试求V关于”的函数解析式’并写出自变量》的取值范围.

29.(2023•浙江杭州•模拟预测)如图，在矩形4BCD中，48=6,AD=9,点E是边4。上一点，且4E=3,

点F在边上，过点B、F、E作圆0,交边BC或其延长线于G,连接BE,GE,GF,设BF=x(0＜久＜6).

AD

BC

备用图1备用图3

⑴求tanzlFGE的值；

(2)若BG=EG,求久的值;

(3)若％=2,求弧EF的长;

111

(4)若圆。经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值.(注：5皿19。=§,cos75°=-,tan27°=-)

30.(2023•广东深圳•模拟预测)(1)如图1,已知点4(2,4),B是y轴上的动点,过点4作2B14C交支轴

于点&M是BC中点，求证4M=0M.

图1

(2)在(1)的条件下，可知M在线段的垂直平分线上，若点P(1,0),贝IJPM是否有最小值？最小值为

多少？

(3)如图2,在RtaABC中，NaC8=90o/C=6,BC=8,D为48中点，圆。过C、D,两点且分别交4C,BC于

点E,F,连接CO,EF,当圆。从过点力变化到过B时，。点的运动轨迹为多长?

图2

题型10与圆有关的阅读理解问题

31.（2023•江苏徐州•模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务.

我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而'利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之

后被数学家证明是不可能完成的，在'三等分角”整个充满艰辛的探索道路上，许多人获得了意外的发现，如:

用其他辅助工具三等分角和尺规作图三等分90。和45。角.任务:

（1）如图①，在Rt^ABC中，^ACB=90°,zB=60°,在图中作出乙4cB的三等分线CD,CE；

（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）

⑵由（1）知，我们可以用尺规作出直角的三等分线，但是仅仅使用尺规却不能把任意一个角分成三等分,

为此，人们发明了许多等分角的机械器具，如图②是用三张硬纸片自制的一个最简单的三分角器，与半圆。

相接的48带的长度与半圆的半径相等；BD带的长度任意，它的一边与直线AC形成一个直角，且与半圆相切

于点2;假设需要将NKSM三等分，如图③，首先将角的顶点S置于BD上，角的一边SK经过点另一边SM

与半圆相切，连接S。，贝USB,S。为NKSM的三等分线，请你证明.

图①图②

32.（2024•山西晋中•一模）阅读与思考

在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题:

已知。。外一点P（图1）,你能用尺规过点P作O。的切线吗？你有几种方法?

小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并

完成相应的任务:

p'o

图1

【题目分析】

先画草图，发现若PE是。。的切线，贝比PEO=90。，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在。。上

找一点E使NPE。=90°.

【作法展示】

①连接P。并延长，交。。于4B两点，（如图2）

②以点P为圆心，PO长为半径画弧，再以点。为圆心，力B长为半径画弧，两弧交于点C.

③连接OC,交。。于点E.

④作直线PE.直线PE就是所求作的O。的切线.

证明：如图2,连接PC,

由作法可得，PO=PC,CO=AB,

.•.△OPC为等腰三角形，

又•.•OE=CM=3B,

：.OE=^CO.

■.PE1CO（_）（填写依据）

又••・点E在。。上，.直线PE是。。的切线.

【总结反思】

对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决：

①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法,

画出正确图形；④写出结论.

我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么.并且从不同的知识出发可

以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法.

任务：

（1）上述材料【原理说明】中的依据是;

（2）如图3,在图2的基础上，在。。上取一点M（不与点4E重合），连接力M,EM,若NCPE=35。，求“ME

的度数；

（3）请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点P作出。。的一条切线.（要求：不写作法,

保留作图痕迹）

33.（2023•山西吕梁•模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务.

阿基米德（Arehimedes,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、

高斯并称为三大数学王子.

阿基米德折弦定理：如图1,4B和BC是。。的两条弦（即折线2BC是圆的一条折弦），BOAB.M是ABC

的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足。是折弦ABC的中点，即=+

图1图2图3

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.

证明：如图2,过点M作射线垂足为点〃，连接M2,MB,MC.

•■M是ABC的中点，

.-.MA=MC.

任务：

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)如图3,已知等边三角形ABC内接于。0,。为4C上一点，Z.ABD=15°.。石，8。于点£,CE=3,连接

AD,求△D4B的周长.

34.(2023•河南新乡•三模)阅读下列材料，并完成相应学习任务：

我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过

探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.下面是学习小组的证明过程：

已知：在四边形2BCD中，Z/1+ZC=180°

求证：过点4B、C、。可作一个圆.

证明：假设过点4、B、C、。四点不能作一个圆，设过点4、B、。三点作出的圆为。。.分两种情况讨

论.

①如图(1),若点C在O。内.延长DC交。。于点E,连接BE.

•••NBCD是△BCE的夕卜角，

•••/.BCD>Z.E.

■：Z71+NE=180°,ZX+^BCD=180°,

Z.E=/.BCD,与/BCD>矛盾，

②如图(2),若点C在O。外.设CD交。。于点E,连接BE.

•••NBED是aBCE的外角,

乙BED>Z.C.

■：乙4+“=180°,ZX+ZBED=180°,

•••/.BED=Z.C,与NBED>NC矛盾.

综上可知，假设不成立，故过点4B、C、。可作一个圆.

D

C

B

图1图2图3

学习任务:

(1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是.

(2)应用上述结论，解决以下问题：

如图(3),在四边形ABCD中，乙+180。，对角线AC,8。交于点E.

①若乙4cB=25。，求乙4DB的度数；

②若BE=5,AD=CD^6,求DE的长.

题型11与圆有关的存在性问题

35.(2024•山东淄博•一模)如图1,在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,点。在边BC上，以。为圆心B。为

半径作。。，。。与射线BD的另一个交点为E,直线CE与射线4D交于点尸.

(1)设BO=x,BE=y,求〉与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

(2)如图2,连接40,当40IICE时，请求出。。的半径；

(3)如果射线EC与。。的另一个交点为。，连接OQ,问是否存在aCOQ为直角三角形，若存在，请直接写

出RtZkCOQ的面积；若不存在，请说明理由.

36.(2023•四川达州•模拟预测)如图,抛物线y=(x+l)(x—a)(其中a>1)与久轴交于43两点,交y轴

于点C.

⑴直接写出线段4B的长(用a表示);

⑵若。。为△ABC的外接圆，且△BCD与△4C。的面积之比为5:8,求此抛物线的解析式，并求出点。的坐

标;

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)O：—a)上是否存在一点P,使得NC4P=NDBa?若存在，求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

37.(2023•浙江绍兴•模拟预测)已知平面上有两个定点/、B,则平面上满足M=k"是不为1的常数)

的动点尸形成一个圆，我们把这样的圆叫做定比圆，如图点4(—2,0)、8(6,0),且满足S=，设动点P形

成的定比圆为圆

(1)求圆M的圆心坐标和半径；

(2)圆M上是否存在P,使△P4B为直角三角形，若存在求出点P坐标；

⑶若点。的坐标为(2,3),求3PQ+PB的最小值.

38.(2024•陕西西安•二模)(1)如图1,在aAOB中，。4=。8,^AOB=120°,AB=12,若。。的半径

为2,点P在O。上，M是线段2B上一动点，连接PM,求线段PM的最小值，并说明理由.

图1

新定义：在平面直角坐标系中，已知点M为定点，对点4给出如下定义，在射线力M上，若MN=k-MA

（fc>o,且k为整数），则称N是点力的“倍点”.

（2）如图2,点4是半径为1的。。上一点，且M（3,l）,N是点4的“二倍点”，点P为直线y=上一点,

是否存在点P,使得线段PN最小；若存在，请求出PN的最小值，并直接写出此时N点的坐标；若不存在，

请说明理由.

题型12与圆有关的定值问题.

39.（2023•浙江杭州•二模）如图，AB,CD是。。的两条直径，ABLCD,点£是丽上一动点（点£不与

B,。重合），CE,分别交。D,G,连接4C.设O。的半径为r,〃MF=a.

DE

（1）ZOCG=_（用含a的代数式表示）；

（2）当a=30。时，求证：AF=2F£；

⑶判断AG-CF是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

40.（2023•四川达州•模拟预测）在平面直角坐标系，抛物线y=a/+6%+c与x轴分别交于N,8两点（A

在8左侧），与y轴交于点C（0,3）,已知顶点加■的坐标为（1,4）.

(1)求抛物线的解析式并求出点4,2的坐标；

(2)如图1,P,。是抛物线对称轴上两点(点P在点。上方)，且PQ=1,当4Q+QP+PC取最小值时，求

点P的坐标；

⑶如图2,点。是第四象限内抛物线上一动点，过点。作DF1x轴于尸，△4BD的外接圆与DF相交于点

£.问：线段£尸的长是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由.

41.Q023•江苏盐城三模)已知OC的圆心C(0,3),半径为2,一次函数y=依+b经过点4(—1,0)且与OC

交于P、Q两点，M是PQ的中点，且直线PQ与直线zn:y=—白一2相交于点N.

(1)当直线PQ经过点C时，求点N的坐标；

(2)当PQ=2通时，求一次函数的表达式；

(3)4M-4V是定值吗，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.

中考逆袭-高效集训

(时间：60分钟)

一、单选题

1.(2023•江苏镇江•模拟预测)如图，O。的半径为1,48是。。的直径，CD是弦，E是劣弧CD上一点,

将。。沿CD折叠，使得点E的对应点是点厅，且弧CE7）与AB相切于点尻，设线段的长度为％,弦CD的长

A.(x—I)2+y?=3B.(x-1)2+(y—2⑨2=3

C.(x-l)2+(y-y)=gD.久2+(y—竽)2=9

2.（2023・广东深圳•二模）如图，直线/：y=—3+4分别与X轴、了轴交于点/、B.点尸为直线/在第一

象限的点.作aPOB的外接圆OC,延长。C交于点。，当△P。。的面积最小时，则。。的半径长为

A.V5B.2C.V3D.3

3.（2023・河北保定•二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：

如图，RtAABCdp,48=60,AC=45,^BAC=90°.D,E分别是AC,AB边上的动点，DE=52,以DE

为直径的。。交BC于点P,。两点，求线段PQ的最大值.

嘉嘉：当点。，E分别在AC,4B上移动时，点。到点/的距离为定值;

淇淇：当PQ为圆。的直径时，线段PQ的长最大.

关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（）

A.两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52

B.嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48

C.淇淇的说法有问题，当DEIIBC时，线段PQ的长度最大

D.这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值

4.（2023•河北衡水•二模）如图1,某校学生礼堂的平面示意图为矩形4BCD,其宽48=20米，长8c=24

米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求

能观测到礼堂前端墙面48区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角N4MB=45。.甲、

乙二人给出了找点M的思路，以及MC的值，下面判断正确的是（）

甲：如图2,在矩形48CD中取一点0,使得04=08=0M,M即为所求，此时CM=10米；

乙：如图3,在矩形4BCD中取一点。，使得。A=OB,且NAOB=90。，以。为圆心，。力长为半径画弧，交CD

于点Mi，M2,则MI，M2均满足题意，此时MC=8或12.

A.甲的思路不对，但是MC的值对B.乙的思路对，MC的值都对且完整

C.甲、乙求出的MC的值合在一起才完整D.甲的思路对，但是MC的值不对

二、填空题

5.（2023•浙江温州・三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人.该建筑底部是由24片全

等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展

开.小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态.穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶

点21，正八边形顶点当与圆心。共线，正二十四边形顶点Ai，Ai。与正八边形顶点“1，M3共线，则缺的

值为;穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点Mi，M2,用8逆时针同速旋转.圆

心。绕孙旋转后的对应点为。1，以此类推，当。1落在Mig上时，若。41=67.5米，则。1。5的值为

米.

（图①）

（图②）

6.（2023•河北保定•二模）定义：P,Q分别为两个图形GI,G2上任意一点，当线段PQ的长度存在最小值时，就

称该最小值为图形Gi和G2的，近距离”；当线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为图形Gi和GZKT'远距

离”.请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题：

如图，在平面直角坐标系尤Oy中，点4（一2,3）同一2,—4）,。（2,—4）刀（2,3）.

（1）线段2B与线段CD的“近距离”为.

（2）的圆心在x轴正半轴上，半径为1,若OM与CD相切于点E,则OM与线段A8的“近距离”

为，此时OM与四边形力BCD的“远距离”为.

7.（2023・福建厦门•模拟预测）早在10世纪，阿拉伯著名数学家阿尔・库希（al—Kuhi）设计出一种方案，

通过两个观测者异地同时观测同一颗流星来测定其发射点的高度.如图，假设有两名观测者在43两地观

察同一颗流星S（流星与地球中心。，A,2在同一个平面内），AC,BC均为当地地平线（与圆。相切），两

人观测的仰角分别为15。，30。.若地球半径为尺，脸号R,则装=.

8.（2023・江苏无锡・三模）如图，在直角坐标系中，4（—4,0）,。是04上一点，8是y正半轴上一点，且

OB=AD,DELAB,垂足为£,

（1）当。是。力的中点时，DE=；

9.（2023•福建三明・二模）如图，为。。的直径，点〃为。。内一个定点，AMAB=30°,OM=\OA,

经过点M的弦PQ交2B于点C,连接24,PB,QA,QB.在下列结论中:

①4AOM为直角三角形；

②△MOC与△BPC相似；

③若4M平分NP48,则四边形4P8Q为矩形；

④若4BPQ=2乙APQ,则4Q=2OM.

其中正确的是（填写所有正确结论的序号）.

p

A

三、解答题

10.（2023•云南昆明•模拟预测）【问题引入】

如图1,在Rt△力中，Z.C=90°,过点B作直线MN,过点4作2E1MN于点E,判断：点E一定_RtZi2BC

外接圆。。上（填“在”或“不在”）.

【问题探索】

如图2,以线段48上一点。为圆心，。8为半径画圆，交2B于点C,点。是异于点B,C的。。上一点，E为BD

的延长线上一点.当2E有最小值/时，止匕时DE=9，且乙D4E=NB.

（1）求证：4。是O。的切线；

（2）若f=8；以4为圆心，4D为半径画弧交射线BD于点F（与D不重合），G为BD的中点，判断点40,

G,尸是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的面积；如果不在，请说明理由.

11.（2023•江苏淮安•二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1,点力是一只探照灯，距离地面

高度=照射角度NM4V=a,在地平线/上的照射范围是线段MN,此灯的光照区域△AMN的面积最

小值是多少？