2025年中考数学大题与几何压轴题：四边形压轴（原卷版）

专题11四边形压轴

目录

题型特训-精准提分

型

题

01与四边形有关的多结论问题（选/填）

型

题

02与四边形有关的平移问题

型

题

03与四边形有关的翻折问题

型

题

04与四边形有关的旋转问题

题型

05与四边形有关的最值问题

题型

06与四边形有关的动点问题

题型

07与四边形有关的新定义问题

题型

与四边形有关的存在性问题

题型08

题型09四边形与圆综合

10四边形与函数综合

中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

题型特训-精准提分

题型01与四边形有关的多结论问题（选/填）

I.（2023•江苏盐城•一模）如图，在正方形4BCD中，点£,尸分别是48,BC上的动点，且4F1DE,垂足

为G,将aABF沿4F翻折，得到△AMF,4M交DE于点尸，对角线BD交4F于点X,连接HM,CM,DM,

BM,下列结论：®AF=DE；②BMIIDE；③若CM1FM；,则四边形BHMF是菱形；④当点£运动到AB

的中点，tan乙BHF=2&；⑤EP•DH=2AG•BH.正确的是（）

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

2.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，四边形4BCD为菱形，BF\\AC,DF交4C的延长线于点E,交BF于点F,

且CE:4C=l:2.则下列结论：①aABE三△4DE；②乙CBE=MDF；③DE=FE；④S^BCE：S四边形ABFD

=1:10.其中正确结论是（）

A.①③B,①②④C.②③④D.①②③④

3.（2022・安徽滁州•二模）如图，在平行四边形4BCD中，E是BD的中点，点M在4D上，连接ME并延长交BC

于点N,连接ON交MC于点F.则下列四个结论：①AM=CN；②若MD=AM,NA=90。，则BM=CM；③

若MD=22M,则^MNC=S^BME；④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等.其中正确结论的个数为

AMD

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.(2023•山东聊城•二模)如图，以△ABC的三边为边在8c上方分别作等边△AC。、△ABE、△BCF,且

点4在ABCF内部.给出以下结论：

①四边形力DFE是平行四边形；

②当482。=130。时，四边形力DFE是矩形；

③当4B=4C时，四边形4DFE是菱形；

④当=且N84C=150。时，四边形4DFE是正方形.

其中正确结论有(填上所有正确结论的序号).

题型02与四边形有关的平移问题

5.(2024•河北石家庄•一模)如图1,四边形2BCD中，AB||CD,zSCD=90°,Z.BDC=60°,

AB=CD=2,连接BD.将△4BD沿着射线OC的方向平移得到△EFG,继续平移使点G始终在DC边上，当

点G到达点C后，△EFG立刻绕点C顺时针旋转，如图2,直到边EG与CD边共线时停止.

C(G)

图1图2图3

(1)求证：AD=BC-

(2)从AFFG绕点C旋转开始到最终结束，求边FG扫过的面积;

(3)如图3,在绕点C旋转过程中，当GE,GF分别交线段8。于点P,Q时，设BQ=x.

①当DP=4—2遮时，求NPCB的度数；

②直接写出DP的长（用含x的式子表示）.

6.（2023・四川成都•模拟预测）综合与实践

问题情境：

在数学活动课上，老师给出这样一个问题：如图①，矩形纸片4BCD的边力8=6cm,BC=8cm,沿对角线AC

剪开，得到两个直角三角形纸片，分另IJ为和RtaADC.将△力BC固定不动，平移△4DC.

操作探究：

（1）如图②，把△4DC沿射线CB平移得到△400,当2/=。。，请直接写出平移的距离；

探究发现：

（2）如图③，把△力DC射线C4平移点cm得到△4DC,连接4。,80,判断四边形ZBCD的形状，并证明;

（3）记△47。为△4。。，将其拼接到如图④的位置，并使C'与/重合，4与C重合，然后把△4。。沿射

线CA方向平移，平移的距离是«0<1<10）,使点4,D,O中的某一点与点8和C构成的三角形是等腰三

角形，在图⑤中补全图形，求出你探究的等腰三角形和平移的距离/（写出一种即可）

C(A')

7.（2024•河南驻马店•一模）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以，两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形4BCD

与矩形EFGH相似，其中甯=黑=匕AD>EH,点、E、尸在直线力B上，且点C、D、G、〃在直线A8的同

AUc,n

侧，矩形EFG”沿直线2B左右平移，。为EF的中点，直线。口与直线2D相交于点P（点尸、。不重合），直

线。G与直线BC相交于点。（点。、C不重合），试探究DP与CQ之间的数量关系.

p

Q

【操作判断】

(1)如图1,平移矩形EFGH,当k=2,点/、£重合时,线段0P与CQ之间的数量关系是二

【迁移探究】

(2)继续平移矩形EFGH,对任意正数公(1)中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由;

【拓展应用】

(3)如图3,若k=l,AD=8,EH=4,平移矩形EFG”，连接PQ交CD于点当△OPQ是直角三角形

时，请直接写出3的长.

8.(2023・江苏宿迁•三模)综合与实践

问题情境：如图L在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将矩形48CD绕点4顺时针旋转得到矩形ABO.使

得点。落在的延长线上，分别交AC,CD于点E和点F.

初步探究：(1)△4E。的形状是.

深入探究：(2)如图2,延长CE交BC于点G,延长4方交BC于点H,请判断GH与CN的数量关系，并说明理

由.

拓展延伸：(3)如图3,将矩形沿射线4。方向平移得到矩形ABC7Z,当点所落在AC上时，延长尸。

交4。于点N,请直接写出四边形C:DN。的面积.

题型03与四边形有关的翻折问题

9.(2024•安徽•一模)在正方形力BCD中，E、F分别为4B、BC上两点，连接DE、AF,将AABF沿力F翻折,

得至IJWGF,连接BG,5.BG||DE.

(1)如图1,求证：AE=BF；

(2)如图2,对角线BD交4F于点H,连接AC、GH,若点G落在AC上，求证：四边形GH8F为菱形;

(3)如图3,若点E为4B的中点，连接BD交4F于点口，连接CG、GH,求tan/HBG.

10.(2024•山西晋城•二模)综合与实践

问题情境:

在矩形纸片4BCD中，E是BC边上一动点，厂是40边上一动点，将矩形纸片沿EF所在直线翻折，点/的对

应点为点H,点、B的对应点为点G.

猜想证明:

(1)当£是BC边的中点时.

①如图1,连接CG,试猜想EF与CG的位置关系，并加以证明；

②如图2,连接BD.若点3的对应点G恰好落在对角线BD上，延长HG与C。边交于点尸.求证：P是CD边

的中点.

问题解决：

(2)如图3,当点2的对应点G落在CD边上时，"G与4。边交于点。，连接BG.若力B=3,BC=9,

CG=1,请直接写出DQ的长.

HH

B，EE°EE°E°

图1图2图3

11.(2024•福建漳州•一模)在数学活动课中，老师组织学生开展“如何通过折纸的方法，确定矩形纸片长边

上的一个三等分点,，的探究活动.

【操作探究】

“求知”小组经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作，如图1.

第1步：先将矩形纸片4BCD沿对角线BD对折，展开铺平，折痕为BD；

第2步：将边4D以某一合适长度向右翻折3次，折痕〃与BD交于点K；

第3步：过点K折叠矩形纸片，使折痕LMII4B,LM交EF于点N；

第4步：延长DN交边AB于点尸，则点P为边4B的三等分点.

证明过程如下：

由题意，得LN4K.

■■LMWAB,...乙DLN=4A,乙DNL=4DPA.

.••①一

DLLN闩汨DLLK

词=而向理，得加=茄.

②一

.・黑=9=右则点尸为边力B的三等分点.

/iDLt\o

“励志”小组的操作如下，如图2.

第1步：先将矩形纸片4BCD沿对角线BD对折，展开铺平，折痕为BD；

第2步：再将矩形纸片对折，使点/和点2重合，展开铺平，折痕为EF；

第3步：沿CE折叠矩形纸片，折痕CE交BD于点G；

第4步：过点G折叠矩形纸片，使折痕MNIIAD.

【过程思考】

(1)补全“求知”小组证明过程中①②所缺的内容；

(2)“励志”小组经过上述操作，认为点〃为边4B的三等分点.请你判断，励志”小组的结论是否正确，并说

明理由.

【拓展应用】

(3)如图3,将矩形纸片4BCD对折，使点工和点8重合，展开铺平，折痕为EF,将边BC沿CE翻折到GC

的位置，过点G折叠矩形纸片，使折痕MNII4D,若点M为边48的三等分点，求桨的值.

EMB

DFJFNCDNF

图1图2图3

12.(2023•宁夏•二模)问题提出

(1)如图①，在矩形力BCD的边BC上找一点E,将矩形沿直线DE折叠，点C的对应点为。，再在4B上找一

点F,将矩形沿直线。尸折叠，使点4的对应点4落在。。上，贝此EDF=.

图①

问题探究

(2)如图②在矩形力BCD中，点P是矩形力B边上一点，连接DP,PC,将△力DP、aBPC分别沿DP,PC

翻折，得到△4DP、AB'PC,当尸、4、三点共线时，则称P为边力B上“优叠点”，当4D=4,AB=10,

求此时力P的长度.

图②

问题解决

(3)如图③，矩形力BCD位于平面直角坐标系中，AD=4,4。＜4B,点/在坐标原点，B,。分别在x轴

与y轴上，点£和点尸分别是CD和BC边上的动点，运动过程中始终保持BF+DE=4.当点P是AB边上唯

一的“优叠点”时，连接PE,PF,形成△石?「，是否存在着面积的最小值？如果存在，请求出此时点

£和点尸的坐标及最小面积；若不存在，请说明理由.

图③备用图

题型04与四边形有关的旋转问题

13.（2024・辽宁大连•模拟预测）【问题呈现】

如图1,NMPN的顶点在正方形4BCD两条对角线的交点处，*MPN=90。,将4MPN绕点P旋转，旋转过程

中，NMPN的两边分别与正方形ABCD的边力D和CD交于点E、F（点尸与点C,。不重合）.探索线段DE、DF、

力。之间的数量关系.

图1图2图3

【问题初探】

（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论.请你写出线段DE、DF、4D之间的

数量关系，并说明理由；

【问题引申】

（2）如图2,将图1中的正方形ABCD改为"DC=120。的菱形，Z.EPF=60°,其他条件不变，请你帮小悦

得出此时线段DE、DF、2D之间的数量关系是二

【问题解决】

（3）如图3,在（2）的条件下，当菱形的边长为8,点尸运动至与/点距离恰好为7的位置，且NEPF旋

转至。尸=1时，DE的长度为一.

14.（2023•云南昆明•模拟预测）综合与实践：

【问题情境】

在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动.阳光小组准备了两张矩形纸片4BCD和

EFGH,其中AB=6,710=8,将它们按如图所示的方式放置，当点4与点£重合，点R〃分别落在AB,

4D边上时，点尸，H恰好为边AB,4D的中点，然后将矩形纸片EFGH绕点/按逆时针方向旋转，旋转角为

a,连接BF与

【观察发现】

DpO

如图当。=。时，小组成员发现。易得前=&

2,90484F“2\4//,Un4DH1BF.

【探索猜想】

(1)如图3,当90。＜戊＜180。时，【观察发现】中发现的结论第=[,是否仍然成立？请说明理

Un4

由.

【拓展延伸】

(2)在矩形EFGH旋转过程中，当C,A,尸三点共线时,请求出线段D”的长.

CD

图1图2图3备用图

15.(2024•江西九江•一模)【特例感知】如图1,点Ci是正方形/BCD对角线NC上一点，CiBilAB于点

Bi，CWilAD于点£>1

(1)求证：四边形48停1。1是正方形.

(2)BB]：CCi：DD]=_；

【规律探究】将正方形4瓦。山1绕点/旋转得到图2,连接BBi，CQ,DD1

(3)BBiRDDi的比值是否会发生变化？请说明理由.

【拓展应用】

如图3,在图2的基础上，B2,C2,。2分别是BBI，CJ,的中点.

(4)求证：四边形.2B2c2。2是正方形.

题型05与四边形有关的最值问题

16.(2023•贵州贵阳•模拟预测)如图，有一张矩形纸条4BCD,AB=11cm,BC=4cm,点N分别在边

AB,CD上，CN=3cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，点、B,C的对应点分别为点反，C.

(2)在图②中，点M从点/向点8运动的过程中，若线段M/与边CD交于点E,在此运动过程中，求DE的

最大值；

(3)在(2)的条件下，若。为MN的中点，猜想点。的运动路径并求出它的长度.

17.(2024•湖南怀化•一模)已知正方形A8CD和正方形EFGH按图1所示叠放在一起，其中48=4,EF=2,

点。为4B和EF的中点.

⑴图2中正方形EFUU为图1中正方形EFGH关于直线A8的轴对称图形，求点。和点。的连结线段DU的长

度;

(2)将图1中的正方形EFGH绕点O旋转，如图3所示，求运动过程中点D和点G之间距离的最大值和最小

值.

【操作一】：如图①，已知矩形纸片aBCDG4B>4£>),点E和点F分别是CD和4B上的点，将矩形力BCD沿EF

折叠，使点8与点。重合，点C的对应点是点求证：人ADF三4CDE；

【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片ABC。沿。尸继续折叠，点4的对应点是点A.我们发现，当矩形

48CD的邻边长度比值不同时，点4的位置也不同.如图(2),当点4恰好落在折痕EF上时，喘=_；

【拓展工如图(3),在【操作二】中点A恰好落在折痕EF上时，点N为4D上任意一点，连接EN、C'N.若

AB=6,则EN+C'N的最小值为一

19.(2024•山东济南・一模)【问题情境工

(1)如图1,四边形力BCD是正方形，点E是力。边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连

接DG、BE,则DG与BE的数量关系是.

【类比探究】：

(2)如图2,四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=6,点E是4D边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩

形CEFG,且CG:CE=2:3,连接DG、BE.

判断线段DG与BE有怎样的数量关系：,并说明理由:

【拓展提升】：

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BG,求|BG+BE的最小值.

图1图2图3

题型06与四边形有关的动点问题

20.(2024•山东枣庄•一模)【问题提出】

在等腰△ABC中，AB=AC,ABAC=a,点P为C4延长线上一动点，连接PB,将线段PB绕点尸逆时针旋

转，旋转角为a,得到线段PD,连接DB、DC.判断P2与DC的数量关系；NPCD与a的关系.

【问题特殊化】

(1)如图1所示，当a=60。时，P4与。C的数量关系为；乙PCD=<

(2)如图2所示，当a=120。时，请问(1)中的结论还成立吗？请说明理由；

【拓展应用】

(3)当a=90。时，若4B=6,BP=3瓜请求出线段4D的长.

21.(2023•吉林白山•一模)如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=12,DE=，D.现有两个动点尸、。分

别从点A和点C同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿2。向终点D运动，点。以每秒1个单位长

度的速度沿CD向终点。运动，过点。作QFII4D交CE于点尸，设点尸的运动时间为t(s).

(1)DE=_

(2)求线段PE的长(用含f的代数式表示)：

(3)以点尸、E、。、尸为顶点的四边形与△CDE重叠部分的面积为S,求S与f之间的关系式；

(4)当aPEF为直角三角形时，直接写出/的值.

22.(2024•河北张家口•一模)如图，在RtaABC中，AABC=90°,AB=6,tan^CAB=1,动点M以每秒2

个单位的速度从点4出发，沿着A-B-C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止.点N是点M关于点B的对

称点，过点M作MQ14C于点Q,以MN,MQ为邻边作平行四边形MNPQ,设点M的运动时间为t秒.

(1)求BC的长；

(2)当t=2时，求证：QP=4M；

(3)是否存在这样的t值，使得平行四边形MNPQ为菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.

23.(2023•湖北襄阳•一模)在矩形力BCD中，—=k"为常数)，点尸是对角线BD上一动点(不与B,D

重合)，，将射线P力绕点尸逆时针旋转90。与射线CB交于点£,连接AE.

⑴特例发现：如图1,当k=l时，将点尸移动到对角线交点处，则匠=,^AEP=；当点P

移动到其它位置时，N4EP的大小(填“改变”或“不变”)；

(2)类比探究：如图2,若k41时，当左的值确定时，请探究N4EP的大小是否会随着点P的移动而发生变化,

并说明理由；

(3)拓展应用：当k71时，如图2,^PC.PC1BD,AEIIPC,PC=2,求4P的长.

题型07与四边形有关的新定义问题

24.12024・江西宜春•一模)定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形”.如图1,四边形2BCD

中，AD^CD,乙4+NC=180。，则四边形4BCD叫作“等补四边形”.

D

图1图2图3

(1)概念理解

①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是()

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

②等补四边形ABCD中，若NB:NCZD=2:3:4,则乙4=_。；

③如图1,在四边形力BCD中，BD平分NABC,AD=CD,BOBA.求证：四边形ZBCD是等补四边形.

(2)探究发现

如图2,在等补四边形2BCD中，AB=AD,连接力C,AC是否平分NBCD?请说明理由.

(3)拓展应用

如图3,在等补四边形48CD中，AB^AD,其外角/瓦4。的平分线交CD的延长线于点F,CD=10,AF=5,

求DF的长.

25.(2024・浙江•一模)定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的

等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形.例如图1,AAMB=^CMD=90°,MA=MB,

MC=MD,则四边形力BCD为蝴蝶四边形.

(1)【概念理解】如图2,正方形48CD中，对角线AC与BD相交于。求证：正方形ABCD为蝴蝶四边形;

(2)【性质探究】如图3,在蝴蝶四边形4BCD中，AAMB=ACMD=90°.求证：AC=BD；

(3)【拓展应用】如图3,在蝴蝶四边形4BCD中，AAMB=ACMD=90°,MA=MB=V2,

MC=MD=1.当△ACD是等腰三角形时，求此时以BD为边的正方形的面积.

26.(2024•湖南长沙•一模)定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”.

①矩形；②菱形；③正方形

⑵如图1,已知。。的半径为凡四边形2BCD是。。的“奇妙四边形”.求证：AB2+CD2=4R2；

（3）如图2,四边形4BCD是“奇妙四边形”，尸为圆内一点，ZXPD=ZBPC=9O°,4ADP=4PBC,BD=4,

且4B=gDC.当DC的长度最小时，求器的值.

27.（2022•湖南长沙•一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作完美四边形.如图1,四边形4BCD

中，AB=BC,AB+AD=180°（或乙4+NC=180。），则四边形4BCD叫作完美四边形.

⑴概念理解：在以下四种图形中：①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是，完美四边形”的是

;（填写序号）

（2）性质探究：如图2,完美四边形4BCD中，AB=AD,ABAD=90°,请用等式表示线段AC,BC,CD之间

的数量关系，并证明，

⑶拓展应用：如图3,已知四边形力BCD是完美四边形，AADC=60°,AB+BC=6,AB^BC,BC丰CD,

当1WBCW3时，求四边形4BCD面积的最大值.

28.（2023•陕西西安•模拟预测）定义：由〃条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做"边形.相邻两边组

成的角叫做它的内角，一边和它邻边的延长线组成的角叫做它的外角.为了探究〃边形的外角和与内角和

的度数，小华做了以下实验：取若干张纸片，分别在纸片上画出三角形、四边形、五边形等，顺次延长各

边得到各个外角，然后沿着多边形的边和延长线将它剪开，将外角拼在一起，观察图形，并进行推理.

（1）实验操作.

②

③

（2）归纳猜想.

多边形三角形四边形五边形“边形

外角和

内角和—

（3）理解应用.

一个多边形的内角和是外角和的1008倍，它是多少边形?

题型08与四边形有关的存在性问题

29.（2024•山东东营•二模）在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正

方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5

部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：

【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形48CD的对角线相交于点。，点。又是正方形4再也1。的一

个顶点，。公交ZB于点E,。射交BC于点F,则4E与8F的数量关系为；

【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线小、几经过正方形2BCD的对称中心0,

直线小分别与力。、BC交于点E、F,直线几分别与AB、CD交于点G、H,且mln,若正方形力BCD边长为

10,求四边形。瓦4G的面积；

【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形2BCD的边CD

上，顶点E在BC的延长线上，且BC=12,CF=4.在直线BE上是否存在点P,使△4PF为直角三角形？若

存在，请直接写出BP的长度；若不存在，说明理由.

30.2024•江苏无锡•一模)如图，矩形ABC。中，71B=4,AD=t.G为4。边上的一个动点，沿BG翻折△4BG,

点2落在点尸处.

(G)(G)

FF

图1备用图

(1)如图1,若2。=8,且点G与点。重合时，DF交BC于点、E.

①求BE的长；

②若点M在射线84上，且求tan/BMF的值.

(2)连接CF,在4。边上存在两个不同位置的点G,使得S^BCF/S&WC，则t的取值范围是.

31.(2024•河南商丘•模拟预测)某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：

问题提出

如图，在正方形4BCD中，AD=4,E为BC的中点，将BC绕点B逆时针旋转，得到BF,旋转角的度数为a,

交2C于点G,连接EF.

备用图

(1)当EF过4C的中点时，a的值为

操作发现

(2)当Z71CF=a时，求证：CG=CF；

数学思考

(3)在旋转的过程中，是否存在ACEF为等腰三角形的情况？如果存在，直接写出此时EF的长；如果不存

在，说明理由.

32.(2024•陕西西安•一模)【问题提出】

(1)如图1,点。为△力8c的边BC上一点，连接=黑=|,若△ABD的面积为4,则△4CD

AD3

的面积为;

【问题探究】

⑵如图2,在矩形力BCD中，AB=6,BC=5,在射线BC和射线CD上分别取点E、F,使得普=今连接

Cr3

AE、BF相交于点P,连接CP,求CP的最小值；

【问题解决】

(3)如图3,菱形4BCD是某社区的一块空地，经测量，AB=120米，乙4BC=60°.社区管委会计划对该

空地进行重新规划利用，在射线力。上取一点E,沿BE、CE修两条小路，并在小路BE上取点H,将CH段铺设

成某种具有较高观赏价值的休闲通道(通道宽度忽略不计)，根据设计要求，/-BHC=ABCE,为了节省铺设

成本，要求休闲通道C”的长度尽可能小，问C"的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；

若不存在，请说明理由.

图1图2图3

33.(2023•山东青岛•一模)如图，在四边形力BCD中，AB||CD,AABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,

4。=CD,点P从点/出发沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点。从点C出发沿CD方向匀速运动,

速度为lcm/s,连接PB、PQ、BQ.若设运动时间为f(s)(0<t<2).

(1)当PQII4D时，求t的值；

⑵设△PBQ的面积为S,求S关于，的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻f,使得点3在线段PQ的垂直平分线上？若存在，请求才的值；若不存在，说明理

由.

题型09四边形与圆综合

34.(2024•河南洛阳•一模)如图，。。的直径48=4,BC切O。于点8,连接2C交O。于点。，连接

OD.

(1)若乙。=30。，求CD的长；

(2)取BC的中点E,连接。E.

①当乙4=_时，四边形ODCE为平行四边形；

②在①的条件下，以5为圆心，以r为半径作圆，使得点。，点£在OB内部，同时点。在OB外部，

则厂的取值范围是

35.(2024•广东珠海•一模)如图1,尸为正方形2BCD边BC上一点，连接AF,在4F上取一点0,以。4为半

图1图2

(1)若正方形的边长为4时，求。。的半径；

⑵如图2,将4F绕点力逆时针旋转45。后，其所在直线与。。交于点G,与边CD交于点H,连接DG,BG.

①求乙4DG的度数；

②求证：AB-BF+AG-FG=BG2.

36.(2023•山东青岛•二模)如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BDIAC^D,且BD=8cm,点M从点力

出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿84方向匀速运动，速度为lcm/s,运

动过程中始终保持PQIIAC,直线PQ交力B于P,交BC于Q,连接PM,设运动时间为t(s),0<t<5.

⑴当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；

(2)设四边形PQCM的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在时刻3使以PM为直径的圆与△ABC的边相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理

由.

37.(2023•浙江杭州•模拟预测)如图，在矩形4BCD中，AB=6,4。=9,点E是边4。上一点，且4E=3,

点F在边48上，过点B、F、E作圆0,交边BC或其延长线于G,连接BE,GE,GF,设BF=x(0<久<6).

备用图1备用图2备用图3

⑴求tandGE的值;

(2)若BG=EG,求x的值；

(3)若x=2,求弧EF的长；

(4)若圆。经过矩形的两个顶点时，直接写出久的值.(注：sinl9。/,cos75o=ptan27°=|)

38.(2023・广东广州•模拟预测)“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究.已知

矩形力BCD,点E、尸分别是48、CD边上的动点.

(1)若四边形ABC。是正方形，如图①，将四边形BCFE沿EF翻折，点B,C的对应点分别为M、N.点M恰好

是力。的中点.

①若4。=8,求4E的长度；

②若MN与CD的交点为G,连接EG,试说明4E+DG=EG；

(2)若4B=2g,AD=2,如图②，且4E=CF,将四边形8CFE沿E尸翻折，点B、C的对应点分别为所、

C.当点E从点4运动至点B的过程中，点夕的运动路径长为；

(3)若四边形4BCD是正方形，AD=8,如图③，连接0E交4C于点M,以DE为直径作圆，该圆与4C交于点4

和点N,将△EMN沿EN翻折，若点M的对应点M'刚好落在BC边上，求此时4E的长度.

题型10四边形与函数综合

39.(2024•山东济南,一■模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=mx+九与反比例函数y=嚏的图象在

第一象限内交于4(a,4)和8(4,2)两点，直线2B与x轴相交于点C,连接。4.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)当%＞。时，请结合函数图象，直接写出关于光的不等式mx+n的解集;

(3)过点B作BO平行于x轴，交04于点。，在x轴上是否存在点P,使以点0、B、D、P为顶点的四边形是平

行四边形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由.

40.（2023・四川成都・模拟预测）如图1,一次函数丫=的刀+6与反比例函数丫=等在第一象限交于“（1,6）、

N（3即）两点，点尸是x轴负半轴上一动点，连接PM,PN.

（1）求反比例函数及一次函数的表达式；

（2）若△PMN的面积为12,求点尸的坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下，若点£为直线PM上一点，点尸为y轴上一点，是否存在这样的点E和点尸,

使得以点£、尸、M.N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明

理由.

41.（2024•辽宁大连•模拟预测）综合与探究

如图1,在平面直角坐标系中.抛物线'=一暴2+|•久+4与X轴交于4,3两点（点/在点2的左侧）.与y

轴交于点C,。是y轴负半轴上一点，。4=30。,直线4。与抛物线交于点E.

图1图2图3

（1）求直线4D的函数表达式;

（2）如图2.在线段上有一条2个单位长度的动线段MN（点M在点N的左侧）,过点M作x轴的垂线,

交抛物线于点尸，交直线4。于点P；过点N作x轴的垂线，交抛物线于点G.交直线4。于点。，连接FG,

MQ.设点M的横坐标为加，请解答下列问题:

①线段FM的长为;（用含〃，的代数式表示）

②当加=—：时，判断四边形MFGN的形状，并说明理由；

③求当加为何值时，MQ||FG.

（3）如图3,在（2）的条件下，当点"在抛物线的对称轴上时.连接4C,试探究；此时在第一象限内是否

存在点T.使以7,G,。为顶点的三角形与△力CD相似？若存在.请直接写出点T的坐标；若不存在，请

说明理由.

42.（2023•四川成者B•模拟预测）如图1,平面直角坐标系中，点2的坐标是（5,4）,过2作BClx轴于C,

轴于/，点尸从点/出发，以每秒1个单位长度的速度沿4TB运动，在点尸运动过程中，函数y

（kH0）的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P,且与线段BC交于M点，连接PM、AC,设运动时间为

t（0<t<5）秒.

（2）判断PM与4C的位置关系，并证明；

⑶已知点。的坐标是（0,8）,点£的坐标为（一2,0）,动点0从点。出发，与点尸同时出发，以每秒2

个单位长度的速度沿D-O-E方向运动，在点尸、点0的运动过程中，坐标轴上是否存在点N,使得以尸、

。、M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

I.（2023•浙江宁波•模拟预测）如图所示，矩形纸片力BCD被分割成六个小矩形，其中矩形矩形

GKLI,若已知△BDK的面积，则一定能求出（）

B.矩形AEKG的面积

C.矩形L/CF的面积D.矩形〃FD的面积

2.（2024九年级下•江苏•专题练习）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较

大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为与i,它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙

娜丽莎.如图2,点E是正方形4BCD的4B边上的黄金分割点，且AE>EB,以AE为边作正方形延长

EH交CD于点J,连结交E/于点G,连结B/,贝口海”：S^GH为（）

3.（2023・安徽・模拟预测）在四边形4BCD中，AD||BC（XD<BC）,点P从点B出发，沿8一4一。运动，点Q同

时以相同的速度从点B出发，沿B-C运动，结果同时到达点D,C,△8PQ的面积y与点P运动的路程x满足的

函数关系如图所示，其中。M为抛物线的一部分.根据图象得出下列结论：①NB=90。；②S四边形4BCO

=6；③以）2=4£）.%；④当x=2时，四边形CDPQ是菱形.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023•海南三亚•二模）如图，点力（1,0）,B（0,2）,以4B为边作正方形4BCD,点E是边4D上一点，且

DE^AD,则点£的坐标为（）

5.（2023•江苏连云港•二模）小明遇到这样一道试题：如图1,在平行四边形4BCD中，点E是BC的中点，

请利用无刻度直尺作图.

（1）在图1中，请过点£作力B的平行线交4D于点?

（2）在图1中，请过点E作力C的平行线交于点G.

小明第（1）问的做法是：如图2,①连接交2C于点O；②连接E。并延长，交4。于点尸，贝恬F即为所

求.

小明第（2）问的做法是：如图3,①连接BD交AC于点。；②连接E。并延长，交2。于点M；③连接

交于点N；④连接ON并延长，交4B于点G,连接EG,贝l]EG即为所求.对小明的解答，下列说法正确的是

（）

A.两问都正确B.两问都不正确

C.第（1）问正确，第（2）问错误D.第（1）问错误，第（2）问正确

6.（2023・吉林长春•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点4是抛物线y=/+b久的对称轴直线x=1右

侧的一点，过点4作y轴的垂线，交抛物线于另一点B,以4B为边向其上方作正方形48CD,边CD所在的直

线交该抛物线于点E、F.若点E的纵坐标为1,设点4横坐标为小，则a的值为.

7.（2023・重庆•模拟预测）如图，四边形4BCD是菱形，乙2=60。，尸为BC边上一点，。为CD边上的一动

点.将aPCQ沿PQ翻折，点C的对应点C'在菱形的对角线BD上.若CQ=2DQ=6,贝。PC的长度

8.（2023・四川成都•三模）如图，已知四边形4BCD是矩形，AB=8,AD=12,点E是线段DC上一个动点,

分另IJ以DE、EC为边向线段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEH/,连接G/,过点B作直线G/的垂线，垂足

是J,连接句，求点E运动过程中，线段4/的最大值是.

9.（2023•辽宁盘锦•一模）如图所示，将边长为1cm的正方形纸片4BCD折叠，使点。落在BC上，对应点为

£,点/对应点为尸，EF交4B于G点，折痕为MN,连接DE、NG,则下列结论正确的是：

①乙MNE=KNMB；②4DEC=4DEG；③MN=DE；④△BEG的周长为定值.其中正确的是.

10.（2023•山东烟台•模拟预测）【问题背景】

如图，四边形4BCD是矩形，AB=2,=4,点P是对角线AC上的动点（不与点4c重合），连接P。，作

PE1PD交射线BC于点E,以线段PD,PE为邻边作矩形PEFD,连接CF、PF.

图1图2图3

【操作发现】

(1)①如图2,当点E与点C重合时，不难求出线段P。、DF的长度，从而得到葛=,同时发现aFCP

是直角三角形;

②如图3,当点P是4C中点时，请直接写出葛=,4FCP的形状是

【深入探究】

(2)在图1中，当