八年级初二数学《勾股定理》测试题（含答案）

八年级初二数学勾股定理测试试题含答案

一、选择题

1.如图，已知.ABC中，AB=AC=4,BC=6,在BC边上取一点P（点P不与点

B、C重合），使得ZkABP成为等腰三角形，则这样的点P共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，.A4C中，有一点尸在AC上移动.若AX=AC=5,BC=6,则

4P+3尸+CP的最小值为（）

A.8B.8.8C.9.8D.10

3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离

为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端

距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）

0.7米

A.0.8米B.2米C.2.2米D.2.7米

4.如图，已知NMON=45，点在边。N上，Q4=3,点C是边31上一个动点,

若AABC周长的最小值是6,则A5的长是（）

M

5.如果正整数a、b、c满足等式/+^=02,那么正整数。、b、c叫做勾股数.某同学将

自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知％+y的值为（）

b

34

8610

15817

241026

A.47B.62C.79D.98

6.“赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的

"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角

形较长直角边长为。，较短直角边长为b,若（a+6）2=21,大正方形的面积为13,则小

正方形的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

7.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.9,7,12B.2,3,4C.1,2,73D.5,11,12

8.如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4,以直角三角形的两直边为直径作半圆,

则阴影部分的面积是（）

.一..3、..、一

A.6B.-7TC.2nD.12

2

9.已知一个三角形的两边长分别是5和13,要使这个三角形是直角三角形，则这个三角

形的第三条边可以是（）

A.6B.8C.10D.12

10.我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两

对全等的三角形，如图所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,设正方形ADOF的边长为

X,贝晨2+10x=（）

二、填空题

11.将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD,发现只要知道其中一边的长就可以求出

其它各边的长，若已知AD=3也，则AB的长为.

12.如图，在凡A5C中，NACB=90。，AC=4,BC=2,以A3为边向外作等腰

直角三角形加，则CD的长可以是.

13.如图，RT一ABC,NACB=90°,AC=6,BC=8,将边AC沿CE翻折，使点

A落在A3上的点。处；再将边沿b翻折，使点3落在CD的延长线上的点5'

处，两条折痕与斜边AB分别交于点石、F,则AB'尸C的面积为.

14.如图，等腰梯形A3CD中，ADUBC,AB=DC=l,平分NABC,

BD1CD,则AD+BC等于.

15.在AABC中，NB4c=90°,以BC为斜边作等腰直角ABCD,连接ZM,若

AB=2&，AC=4后，则DA的长为•

16.如图是“赵爽弦图"，AABH、ABCG、ACOF和ADAE是四个全等的直角三角形，四边形

488和EFG”都是正方形.如果AB=13,EF=7,那么AH等于.

17.如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，AC的垂直平分线交BC于F,交AC于E,

交BA的延长线于G,若EG=3,则BF的长是.

18.已知。、b、C是AABC三边的长，且满足关系式（。2—片―〃>+卜―4=0,则

AABC的形状为

19.如图，在矩形ABCD中，AD>AB,将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合,折痕为

MN2

MN,连接CN.若4CDN的面积与小CMN的面积比为1：3,则——的值为

BM-

20.如图所示，四边形ABCD是长方形，把4ACD沿AC折叠到,ADJ与BC交于点

E,若AD=4,DC=3,求BE的长.

三、解答题

21.如图，ZViBC和AEDC都是等边三角形，AD=S,BD=6,CD=2^:（1）AE

长；（2）/BDC的度数：（3）AC的长.

22.如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米.

（1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米?

23.如图，AABC是等边三角形，。,后为AC上两点，且AE=CD,延长至点产，

使CF=CD,连接.

图1图2图3

（1）如图1,当两点重合时，求证：BD=DF；

（2）延长与政交于点G.

①如图2,求证：ZBGE=60°；

②如图3,连接3E,CG,若NEBD=30。,BG=4,则ABCG的面积为

24.(1)如图1,在RtAABC中，NACB=90°,NA=60°,CD平分NACB.

求证：CA+AD^BC.

图1

小明为解决上面的问题作了如下思考：

作AA0C关于直线CD的对称图形AA'OC,：CD平分Z4CB,4点落在CB上，且

CA'=CA,A'O=A£>.因此，要证的问题转化为只要证出AO=A5即可.

请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.

图2

（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：

如图3,在四边形ABCD中，AC平分NS4D,BC=CD=10,AC=17,AD=9,

求A3的长.

25.如图，在AABC中，ZC=90",把AABC沿直线DE折叠，使AADE与ABDE重合.

⑴若/A=35。，则/CBD的度数为；

（2）若AC=8,BC=6,求AD的长；

⑶当AB=m（m>0）,AABC的面积为m+1时，求ABCD的周长.（用含m的代数式表示）

26.如图1,△ABC中，CO_LAB于。，且3。：AD:C0=2:3:4,

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S》Bc=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A

运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终

点时整个运动都停止.设点M运动的时间为t（秒），

①若△D/WN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能,

求出t的值；若不能，请说明理由.

图1图2备用图

27.如图1,在平面直角坐标系中，直线AB经过点C(a,a),且交x轴于点A(m,

0),交y轴于点B(0,n),且m,n满足J〃z-6+(n-12)占0.

(1)求直线AB的解析式及C点坐标；

(2)过点C作CD,AB交x轴于点。，请在图1中画出图形，并求。点的坐标；

(3)如图2,点E(0,-2),点P为射线AB上一点，且/CEP=45。，求点P的坐标.

已知在平面内有两点片(须，％)、鸟(9，%)，其两点间的距离

々什=J(X—々J+Gl—，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|石-々I或I%-%L

(1)已知4(2,4)、5(—3,-8),试求4B两点间的距离.

已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4,点N的纵坐标为-1,试求M、N

两点的距离为;

(2)己知一个三角形各顶点坐标为。(1,6)、E(-3,3)、F(4,2),你能判定此三角

形的形状吗?说明理由.

(3)在(2)的条件下，平面直角坐标系中，在X轴上找一点P,使？D+?少的长度最

短，求出点p的坐标及？D+29的最短长度.

・D

Ox

29.如图1,点E是正方形ABC。边CD上任意一点，以OE为边作正方形。跳G,连

接3F，点般是线段8尸中点，射线石N与BC交于点H,连接CM.

(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系.

(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点口恰好落在线段CDh,

如图2,其他条件不变，(1)中的结论是否成立，请说明理由.

(3)把图1中的正方形。EFG绕点。顺时针旋转90。，此时点E、G恰好分别落在线段

AD.CD±,连接CE,如图3,其他条件不变，若DG=2,AB=6,直接写出CM

的长度.

30.如图，在AABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点，连结DE,过点D作DF^DE交边

BC于点F(点F与点B、C不重合)，延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知

AB=10,BC=6,AC=8.

⑴求证:AADG0ZSBDF；

(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；

⑶设AE=x,cF=y,求y关于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；

⑷求线段EF长度的最小值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得AWP成为等腰三角形，分三种情况

分析：AP=BP，AB=BP、AB=AP；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个

分析，即可得到答案.

【详解】

根据题意，使得△ABP成为等腰三角形，分AP=BP、AB=BP、AB=AP三种情况

分析：

当AP=5P时，点P位置再分两种情况分析：

第1种：点P在点。右侧，于点。

设OP=x

AP=yjACP+OP2=A/7+X2

VAB=AC=4

B0=-BC=3

2

:.BP=BO+OP=3+x

J'7+%2=3+x

x=-2,不符合题意；

第2种：点P在点0左侧，A0J_5C于点。

A

AP=YJACP+OP2=A/7+X2

BP=BO—OP=3—x

，7+尤2=3—x

，尤=2,点P存在，即5。=1；

当=时，班=45=4，点P存在；

当AB=AP时，AP=AB=4,即点P和点C重合，不符合题意；

符合题意的点P共有：2个

故选：B.

【点睛】

本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三

角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解.

2.C

解析：c

【分析】

由AP+CP=AC得至IJAP+3P+CP=BP+AC,即计算当BP最小时即可，止匕时BP_LAC,根据三

角形面积公式求出BP即可得到答案.

【详解】

AP+CP=AC,

AP+BP+CP=BP+AC,

,BP_LAC时，”+BP+CP有最小值，

设AH_LBC,

VAB=AC=5,BC=6

：.BH=3,

AH=^AB2-BH-=4，

S.=~BCAH=~ACBP,

ABnCc22

—x6x4=—x5BP,

22

・'•BP=4.8,

AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8,

故选：C.

此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解

AP+3P+CP时点P的位置是解题的关键.

3.D

解析：D

【分析】

先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.

【详解】

解：如图，由题意可得：

0.7米

AD2=0.72+2.42=6.25,

在RtAABC中，

VZABC=90°,BC=1.5米，BC2+AB2=AC2,AD=AC,

.•.AB2+1.52=6.25,

；.AB=±2,

VAB>0,

；.AB=2米，

...小巷的宽度为:0.7+2=2.7（米）.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是

解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意

图.

4.D

解析：D

【分析】

作点A关于OM的对称点E,AE交OM于点D,连接BE、OE,BE交OM于点C,此时

△ABC周长最小，根据题意及作图可得出AOAD是等腰直角三角形，OA=OE=3,,所以

ZOAE=ZOEA=45°,从而证明△BOE是直角三角形，然后设AB=x,则OB=3+x,根据周长最

小值可表示出BE=6-X,最后在RtaOBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.

【详解】

解：作点A关于0M的对称点E,AE交0M于点D,连接BE、OE,BE交0M于点C,

此时4ABC周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE,

「△ABC周长的最小值是6,

；.AB+BE=6,

VZMON=45°,AD±OM,

.♦.△OAD是等腰直角三角形，ZOAD=45°,

由作图可知0M垂直平分AE,

/.OA=OE=3,

.•.ZOAE=ZOEA=45",

.•.ZAOE=90°,

.,.△BOE是直角三角形，

设AB=x，则OB=3+x,BE=6-x,

在RtAOBE中，3?+(3+X)2=(6—,

解得：x=l,

.•.AB=1.

故选D.

【点睛】

本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图

技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.

5.C

解析：c

【分析】

依据每列数的规律，即可得到。="2—1]=",。=/+1,进而得出x+y的值.

【详解】

解：由题可得：3=2?—1,4=2?,5=2?+1……

4="2—1,b="2,C=+]

当。="2+1=65时，n=8

x=63,y=16

:.x+y=19

故选c

【点睛】

本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.

6.C

解析：C

【详解】

如图所示，(a+b)2=21

a2+2ab+b2=21,

.•,大正方形的面积为13,2ab=21-13=8,

，小正方形的面积为13-8=5.

故选C.

考点：勾股定理的证明.

7.C

解析：C

【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形

就是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.

【详解】

解：A、因为92+72x122,所以三条线段不能组成直角三角形；

B、因为22+32"2,所以三条线段不能组成直角三角形；

C、因为售+62=22,所以三条线段能组成直角三角形；

D、因为52+112*122,所以三条线段不能组成直角三角形.

故选C.

【点睛】

此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算.

8.A

解析:A

【分析】

分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及AABC的面积，再根据S阴影=SI+S2+SAABC&即可得

出结论.

【详解】

解：如图所示：

CR

VZBAC=90°,AB=4cm,AC=3cm,BC=5cm,

...以AB为直径的半圆的面积Si=2"（cm?）；

9

以AC为直径的半圆的面积S2=—n(cm2)；

8

以BC为直径的半圆的面积S3=—口(cm2)；

8

2

SAABC=6(cm)；

•'•S阴影=SI+SZ+SAABC-S3=6(cm2)；

故选A.

【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等

于斜边长的平方是解答此题的关键.

9.D

解析：D

【分析】

此题要分两种情况：当5和13都是直角边时；当13是斜边长时；分别利用勾股定理计算

出第三边长即可求解.

【详解】

当5和13都是直角边时，第三边长为：752+132=7194；

当13是斜边长时，第三边长为：^/132-52=12；

故这个三角形的第三条边可以是12.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往

往忽略这一点，造成丢解.

10.D

解析：D

【分析】

设正方形AOOF的边长为X,在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，

整理方程即可.

【详解】

解：设正方形ADOF的边长为X,

由题意得：BE=BD=4,CE=CF=6,

：.BC=BE+CE=BD+CF=1O,

在RtZ\ABC中,AC2+AB2=BC2,

即(6+x)2+(x+4)2=1。2,

整理得，x2+10x-24=0,

.■.x2+10x=24,

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性

质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

二、填空题

11.4A/3

【分析】

利用勾股定理求出AC=6,在RtZ^ABC中，ZBAC=30°,得到再利用勾股定理

2

得到=A§2,即可求出AB.

【详解】

在RtZ\ACD中，CD=AD=3后，

•■•AC=7A£)2+CD2=6-

在RtZ\ABC中，ZBAC=30°,

/.BC=-AB,

2

•/AC-+BC~^AB-，

：.62+(|AB)2=AB2,

解得AB=4g，负值舍去，

故答案为：473.

【点睛】

此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理

的三边的数量关系是解题的关键.

12.2师或2店或3行

【分析】

在，A3C中计算AB,情况一：作AELCE于E,计算AE,DE,CE,可得CD；情况二：

作BELCE于E,计算BE,CE,DE,可得CD；情况三：作£＞石'，C£,计算

DF,DE',CE',可得CD.

【详解】

：ZAC5=90°，AC=4,BC=2,

•••AB=25

情况一：当AD=A3=2逐时，作AELCE于E

A-BCAC=-ABAE,即AE=逑，DE=^^-

2255

•••CE=dAC?-AE?=罕

CD=y/CE2+DE2=2^13

情况二：当3。=AB=2行时，作BELCE于E,

：.-BCAC=-ABBE,即§E=延，。后=曳1

CE=^BC2-BE2=芈

；•CD=y/CE2+DE2=2710

情况三：当AD=5D时，作QE'LCE',作班，CE于E

：.-BCAC=-ABBE,

36

1/AABD为等腰直角三角形

BF=DF=-AB=sf5

2

9J5

DE'=DF+E'F=DF+BE=-^

CE'=EE'-CE=BF-CE=45--—=^-

55

故答案为：2回或2岳或36

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键.

【分析】

将△B'CF的面积转化为求4BCF的面积，由折叠的性质可得CD=AC=6,NACE=/DCE,

NBCF=NB'CF,CE_LAB,可证得^ECF是等腰直角三角形，EF=CE,NEFC=45。，由等面

积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解.

【详解】

根据折叠的性质可知，CD=AC=6,NACE=NDCE,NBCF=/B'CF,CE±AB,

.,.ZDCE+ZB，CF=ZACE+ZBCF,

VZACB=90°,

；./ECF=45。，且CE_LAB,

/.△ECF是等腰直角三角形，

；.EF=CE,/EFC=45",

11

'.'SAABC=—AC・BC=—AB-CE,

22

，AC・BC=AB・CE,

:根据勾股定理求得AB=10,

18248

，BF=AB-AE-EF=10-一一一=-

555

,1182496

••SACBF=—XBFXCE=—X-X—=—

225525

,96

•»SACB'F——，

25

“96

故填：—•

25

【点睛】

此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠

的性质求得相等的角是解决本题的关键.

14.3

【分析】

由3。平分NABC,易证得AABD是等腰三角形，即可求得AD=A3=1,

又由四边形ABC。是等腰梯形，易证得NC=2NDBC,然后由班)，CD,根据直角三

角形的两锐角互余，即可求得NDfiC=30。，则可求得5C的值，继而求得AO+6C的

值.

【详解】

解：•：ADHBC,AB=DC,

：.ZC=ZABC,ZADB=ZDBC,

,：BD平分/ABC,

/.ZABC=2ZDBC,ZABD=NDBC,

・•・ZABD=ZADB,

・•・AD=AB=1,

：.ZC=2ZDBC,

•；BDLCD,

：."DC=90。，

:三角形内角和为180°,

ZDBC+ZC=90°,

：.ZC=2ZDBC=60°,

BC=2CZ)=2xl=2,

AD+BC=l+2=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的

性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此

题的关键.

15.6或2.

【分析】

由于已知没有图形，当RtaABC固定后，根据"以BC为斜边作等腰直角ABCD”可知分两种

情况讨论：

①当D点在BC上方时，如图1,把4ABD绕点D逆时针旋转90。得到△DCE,证明A、C、

E三点共线，在等腰RtZVXDE中，利用勾股定理可求AD长；

②当D点在BC下方时，如图2,把4BAD绕点D顺时针旋转90。得到ACED,证明过程类

似于①求解.

【详解】

解：分两种情况讨论：

①当D点在BC上方时，如图1所示，

把4ABD绕点D逆时针旋转90°,得到^DCE,

贝U/ABD=/ECD,CE=AB=2&,AD=DE,且/ADE=90°

在四边形ACDB中，ZBAC+ZBDC=900+90°=180°,

ZABD+ZACD=360°-180°=180°,

.•.ZACD+ZECD=180°,

:.A、C、E三点共线.

AE=AC+CE=4夜+20=60

在等腰RtZiADE中,AD2+DE2=AE2,

即2AD2=(672)2,解得AD=6

②当D点在BC下方时，如图2所示，

把ABAD绕点D顺时针旋转90。得到ACED,

贝UCE=AB=2后，ZBAD=ZCED,AD=AE且/ADE=90。,

所以/EAD=NAED=45°,

ZBAD=90°+45°=135°,即ZCED=135°,

.•.ZCED+ZAED=180°,即A、E、C三点共线.

AE=AC-CE=472-272=2^/2

在等腰RtZiADE中,2AD2=AE2=8,解得AD=2.

B

图2

故答案为：6或2.

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边(或共边)的两个三角形问题，一

般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解.

16.【分析】

根据面积的差得出a+b的值，再利用a-b=7,解得a,b的值代入即可.

【详解】

■，->48=13,EF=7,

•••大正方形的面积是169,小正方形的面积是49,

二四个直角三角形面积和为169-49=120,设AE为a,DE为b,即4义一=120,

2

2afa=120,a2+fa2=169,

(a+b)2=a2+b2+2ab=169+120=289,

a+b—17,

a-b=7,

解得：a=12,b=5,

AE=12,DE=5,

AH=12-7=5.

故答案为：5.

【点睛】

此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值.

17.4

【分析】

根据线段垂直平分线得出AE=EC,ZAEG=ZAEF=90°,求出NB=/C=NG=30。，根据勾股定

理和含30。角的直角三角形性质求出AE和EF,即可求出FG,再求出BF=FG即可

【详解】

VAC的垂直平分线FG,

；.AE=EC,ZAEG=ZAEF=90°,

VZBAC=120°,

ZG=ZBAC-ZAEG=120°-90°=30°,

VZBAC=120°,AB=AC,

.\ZB=ZC=—（180°-ZBAC）=30°,

2

，/B=NG,

，BF=FG,

:在RtAAEG中，ZG=30°,EG=3,

；.AG=2AE,

即（2AE）2=AE2+32,

.".AE=y/3（负值舍去）

即CE=后,

同理在RtZkCEF中，ZC=30°,CF=2EF,

（2EF）2=EF2+（6）2,

.•.EF=1（负值舍去），

/.BF=GF=EF+CE=l+3=4,

故答案为4.

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30。角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，

能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

18.等腰直角三角形

【解析】

根据非负数的意义，由卜2—4—尸）2+,一4=0,可知c2=4+b2,a=b,可知此三角

形是等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角三角形.

点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后

结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，

关键是利用非负数的性质得到关系式.

19.12

【解析】

如图，过点N作NGLBC于点G,连接CN,根据轴对称的性质有：

MA=MC,NA=NC,ZAMN=ZCMN.

因为四边形ABCD是矩形，所以ADIIBC,所以NANM=NCMN.

所以NAMN=NANM,所以AM=AN.

所以AM=AN=CM=CN.

因为△CDN的面积与小CMN的面积比为1：3,所以DN:CM=1:3.

设DN=x,贝！］CG=x,AM=AN=CM=CN=3x,

由勾股定理可得NG=^(3x)2-%2=2A/2X，

所以MN1(2岳『+(3x—=12必，BM2=(3x)2—(2缶『=/.

枚本题应填12.

点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和

角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形

"平行线+角平分线f等腰三角形")，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.

7

20.一

8

【解析】

试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6,BC=AD=8,AD/7BC,ZB=90°,再根据折叠性质得

NDAC=ND，AC,而NDAC=NACB,则ND，AC=NACB,所以AE=EC,设BE=x,则EC=4-

x,AE=4-x,然后在RtAABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可.

试题解析：•••四边形ABCD为矩形，

；.AB=DC=3,BC=AD=4,AD〃BC,ZB=90°,

「△ACD沿AC折叠到AACD',AD'与BC交于点E,

.,.ZDAC=ZD/AC,

：AD〃BC,.\ZDAC=ZACB,

.•.ND'AC=ZACB,.\AE=EC,

设BE=x,则EC=4-x,AE=4-x,

在RtAABE中,•.*AB2+BE2=AE2,

7

32+X"=(4-x)2,解得x=一,

8

7

即BE的长为..

三、解答题

21.(1)出；(2)150°；(3)岳.

【分析】

(1)根据等边三角形的性质可利用SAS证明△BCD/^ACE,再根据全等三角形的性质即

得结果；

(2)在中，根据勾股定理的逆定理可得/AED=90。，进而可求出/AEC的度数，再

根据全等三角形的性质即得答案；

(3)过C作CPLOE于点P,设AC与DE交于G,如图，根据等边三角形的性质和勾股定

理可得PE与CP的长，进而可得AE=CP,然后即可根据AAS证明AAEG之ZXCPG,于是可

得AG=CG,PG=EG,根据勾股定理可求出4G的长，进一步即可求出结果.

【详解】

解：(1)ZX/iBC和△££)£?都是等边三角形，

；.BC=AC,CD=CE=DE=2,NACB=NDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE,

在△BC。与△ACE中，

：BC=AC,ZBCD=ZACE,CD=CE,

；.ABC哈LACE,

:.AE=BD=6；

(2)在中，:AD=币,AE=M,DE=2,

2222

.1.DEME=2+(V3)=(b『=AC>2,

ZAED=90°,

VZDEC=60°,

ZAEC^150°,

"：ABCD^AACE,

：.ZBDC=ZAEC=150°；

(3)过C作CP_LDE于点P,设AC与DE交于G,如图，

'/ACD£是等边二角形，

；・PE=WDE=LCP=也2―心=也,

：.AE=CP,

在△AEG与ACPG中，

VZAEG=ZCPG=90°,NAGE=NCGP,AE=CP,

：.AAEGmACPG,

1

：.AG=CG,PG=EG=—,

2

•MG=VAE2+EG1=J(可=孚，

：.AC=2AG=-J13■

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识,

熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键.

22.(1)梯子顶端离地面24米(2)梯子底端将向左滑动了8米

【解析】

试题分析：(1)构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；

(2)构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.

试题解析:(1)如图,AB=25米，BE=7米,

梯子距离地面的高度AE=7252-72=24米.

答：此时梯子顶端离地面24米；

(2)梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=(24-4)=20米，

BD+BE=DE=7CD2-CE2=A/252-202=15，

DE=15-7=8(米),即下端滑行了8米.

答：梯子底端将向左滑动了8米.

23.(1)见解析；(2)①见解析；②2.

【分析】

(1)当。、E两点重合时，贝！|AD=CD,然后由等边三角形的性质可得NCBD的度数，根据

等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得NF的度数，于是可得/C3。与NF的关系，进

而可得结论；

(2)①过点E作EM〃BC交AB于点连接BE,如图4,则易得AAHE是等边三角形，根

据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF,NBHE=/ECF=12O°,BH=EC,于是可根据SAS

证明ABHE丝△£%,可得/EBH=/FEC,易证可得NABE=NCBD,从而有

NFEC=NCBD,然后根据三角形的内角和定理可得/BGE=/BCD,进而可得结论；

②易得NBEG=90°,于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30。角的直角三角形的性质和等

腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作E/W_LBF于点F,过点C作CN_LEF于

点、N,如图5,则ABEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形

的性质和30。角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而

可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有NSCG=90°,故所求的小BCG的面积

=-BCCG,而BC和CG可得，问题即得解决.

2

【详解】

解：(1);△ABC是等边三角形，/.ZABC=ZACB=60°,

当。、E两点重合时，则AD=CD,：.ZDBC=-ZABC=30°,

2

,：CF=CD,:.NF=/CDF,

VZF+ZCDF^ZACB=60°,/.ZF=30°,

：.ZCBD=ZF,:.BD=DF;

(2)①:△ABC是等边三角形，/ABC=/ACB=60。，AB=AC,

过点E作E”〃8c交阳于点”，连接BE,如图4,则/AHE=NABC=60。,

ZAEH=ZACB=E>0°,

.,.△AHE是等边三角形，；.AH=AE=HE,：.BH=EC,

"：AE=CD,CD=CF,：.EH=CF,

又•：/BHE=/ECF=120°,：.ABHE^/\ECF(SAS),

:.NEBH=NFEC,EB=EF,

BA=BC,/A=/ACB=60°,AE=CD,

；.ABAE经ABCD(SAS),/.ZABE=ZCBD,：.ZFEC=ZCBD,

•；NEDG=NBDC,：.ZBGE=ZBCD=60°；

②；NBGE=60°,ZEBD=30°,：.ZBEG=90°,

；EB=EF,；./F=/EBF=45°,

：/EBG=30°,BG=4,：.EG=2,BE=2若，

:.BF=O_BE=2瓜，GF=26-2,

过点E作EM±BF于点F,过点C作CN±EF于点N,如图5,则^BEM、AEMF和4CFN

都是等腰直角三角形，

BM=ME=MF=&,

VZACB=G0°,：.ZMEC=30°,：.MC=0，

•••BC=V6+V2，CF=2瓜-瓜-亚=瓜-叵,

•••CN=FN=今义,娓_吟=0_\，

AGN=GF-FN=273-2-(73-1)=73-1=CN,

，ZGCN=ZCGN=45°,/.ZGCF=90°=ZGCB,

：■CG=CF=瓜—6，

.•.△BCG的面积=；3c-CG=g（C+后）（痛—四）=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角

三角形的判定与性质、30。角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难

度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用

等腰直角三角形的性质和30。角的直角三角形的性质解②题的关键.

24.（1）证明见解析；（2）21.

【分析】

（1）只需要证明NA'QB=N3=30。，再根据等角对等边即可证明45,再结合

小明的分析即可证明；

（2）作AADC关于AC的对称图形‘AD'C,过点C作CELAB于点E,则£TE=BE.设

D'£=BE=x.在RSCEB和RtACEA中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】

解：（1）证明：如下图，作AADC关于CD的对称图形AA，DC,

.*.A'D=AD,CA=CA,/CA'D=/A=60°,

VCD平分NACB,

.••A，点落在CB上

VZACB=90°,

.•.ZB=90°-ZA=30",

ZA,DB=ZCA,D-ZB=30°,即NA'DB=NB,

.•.A'D=A'B,

CA+AD=CA'+A'D=CA'+A'B=CB.

(2)如图，作AADC关于AC的对称图形AADC

.*.D'A=DA=9,D,C=DC=10,

：AC平分/BAD,

••Q点落在AB±,

VBC=10,

.•.D'C=BC,

过点C作CE_LAB于点E,贝ID，E=BE,

设D'E=BE=x,

在RtACEB中，CE2=CB2-BE2=102-X2,

在RtACEA中,CE2=AC2-AE2=172-(9+x)2.

.•.102-x2=172-(9+x)2,

解得：x=6,

.•.AB=AD'+D'E+EB=9+6+6=2L

【点睛】

本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.(1)中证明

NA，DB=NB不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点

困难，需要多注意；(2)中掌握方程思想是解题关键.

25.(1)ZCBD=20°；(2)AD=6-；(3)ABCD的周长为m+2

4

【分析】

(1)根据折叠可得/1=NA=35°,根据三角形内角和定理可以计算出NABC=55°,进而

得到/CBD=20°；

(2)根据折叠可得AD=DB,设CD=x,贝I」AD=BD=8-x,再在RdCDB中利用勾股定理

可得x?+62=(8-x)2,再解方程可得x的值，进而得到AD的长；

(3)根据三角形ACB的面积可得=+

2

进而得至UAC・BC=2m+2,再在RtZ\CAB中，CA2+CB2=BA2,再把左边配成完全平方可得

CA+CB的长，进而得到aBCD的周长.

【详解】

C

D

AF.B

:把AABC沿直线DE折叠，使4ADE与ABDE重合，

.•.N1=NA=35°,

VZC=90°,

.•.ZABC=180°-90°-35°=55°,

AZ2=55°-35°=20°,

即/CBD=20。；

(2)•.•把△ABC沿直线DE折叠，使AADE与ABDE重合，

；.AD=DB,

设CD=x,贝!|AD=BD=8-x,

在Rt^CDB中，CD2+CB2=BD2,

x2+62=(8-x)2,

,7

解得：x=—,

4

7/

AD=8—=6—；

44

(3);△ABC的面积为m+1,

1

■.—AC*BC=m+l,

2

...AOBC=2m+2,

:在RL^CAB中，CA2+CB2=BA2,

.•.CA2+CB2+2AC«BC=BA2+2AC-BC,

(CA+BC)2=m2+4m+4=(m+2)2,

CA+CB=m+2,

VAD=DB,

CD+DB+BC=m+2.

即ABCD的周长为m+2.

【点睛】

此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，

以及折叠后哪些是对应角和对应线段.

1049

26.(1)见详解；(2)①t值为：-s或6s；②t值为：4.5或5或一.

312

【分析】

(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,则AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得出结论；

(2)由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN〃BC时，AM=AN；当DN〃BC时,

AD=AN；得出方程，解方程即可；

②根据题意得出当点M在DA上，即2<tW5时，4MDE为等腰三角形，有3种可能：如

果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可.

【详解】

解：(1)证明：设BD=2x,AD=3x,CD=4x,则AB=5x,

在RtAACD中，AC=5x,

；.AB=AC,

/.△ABC是等腰三角形；

(2)解：由(1)知，AB=5x,CD=4x,

SABC=­x5xx4x=40cm2,而x>0,

A2

••x=2cm,

贝！］BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AB=AC=10cm.

由运动知，AM=10-2t,AN=t,

①当MN〃BC时，AM=AN,

即10-2t=t,

.10

,•t-----;

3

当DN〃BC时，AD=AN,

6=t,

得：t=6；

.。.若△DMN的边与BC平行时，t值为qs或6s.

3

②存在，理由：

I、当点M在BD上，即04t<2时，AMDE为钝角三角形，但DMwDE；

II、当t=2时，点M运动到点D,不构成三角形

IIL当点M在DA上，即2Vt45时，AMDE为等腰三角形，有3种可能.

:点E是边AC的中点，

1

；.DE=-AC=5

2

当DE=DM,则2t-4=5,

/.t=4.5s；

当ED=EM,则点M运动到点A,

.*.