2025年新高考数学复习压轴题讲义：线性代数背景下的新定义（三大题型）（学生版）

专题07线性代数背景下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：行列式背景

题型二：矩阵背景

题型三：向量组背景

【典型例题】

题型一：行列式背景

【典例1-1】（2024.高三.云南曲靖.阶段练习）定义行列式运算：%士=%匕一尤/3,若函数

X

尤34

sin（a＞x+＜p）cos6yx、、兀n

〃尤）=0］（。＞0,冏＜£）的最小正周期是万，将其图象向右平移!■个单位后得到的图象

关于原点对称.

（1）求函数/（无）的单调增区间；

（2）数列｛4｝的前“项和S"=4/,^A=fA,求证：数列［一一］的前〃项和（＜L

12l«A+iJ

【典例1-2］（2024・高一.北京・期末）对于任意实数a,b,c,d,表达式次7-历称为二阶行列式

b

(determinant),t己作

Cd

⑴求下列行列式的值：

_10_13_-25

①；②；③；

012610-25

（2）求证：向量万=（。,6）与向量］=（G〃）共线的充要条件是;）=0；

\a,x+b,y=G

（3）讨论关于尤，y的二元一次方程组'（«1a力也W0）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行

［a2x+b2y=c2

列式的记号表示）.

【变式1-1]（2024.高二.全国・单元测试）我们用劭1W/W、i、j、〃「逝*）表示矩阵4*,的第1

行第j列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且0n=1,al2=a2i=2,a22=4.

⑴求为4；

⑵求与关于i,7的关系式；

23。24〃25

(3)设行列式/344%=D,求证：对任意j<n-2,i,j、〃eN*时，都有

。43。44。45

a4（）+2）

ij4(j+l)

a=D

（/+l）（7-+2）-

a(i+l)j”(i+l)(j+l)

a.八.a-、%+2）（j+2）

题型二：矩阵背景

【典例2・1】（2024.广东.一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象

包括向量和矩阵.对于平面向量1=（无,y）,其模定义为+,.类似地,对于〃行〃列的矩阵

/、

aa

41012\3…\n]_

4=%%为…%,其模可由向量模拓展为4」寸寸/丫（其中因为矩阵中第i行第7列的数,

a

〃31。32〃33…3n\\"

...."1片17

：：：

\•）

X为求和符号），记作4,我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵

「许的）/24、（nn^2-----------------------------------

42='，其矩阵模=历不存77=3痣・弗罗贝尼乌斯范数在机器学

aii）Un（占M\

习等前沿领域有重要的应用.

'100

0V200

（DWzeN*,n>3,矩阵纥”00730,求使厚>3石的”的最小值.

、oooG,

(2)VMeN*,n>3,,矩阵C,“=

’1cos。cos。cos6••cos。cos6、

0一sin8-sin。cos。-sinSeos。•--sin。cos。一sin。cos。

00sin26>sin26cos6••sin28cos8sin28cos6

求G

0000..(-I)-2sin"-2g(-1)7sin〃一2。cos。

000.•0(-l)〃Tsin"Te,

i〃+2

In--0-0----0

n+1

也立

"ln|2

In—O-O

nn

n

(3)矩阵。.，证明：£N*,n>3,DF>

A/^1'3n+9

"Fin4Fin

In-…0

3j.3)

品4n

3Fin333|n

InFin「'•・In

2222

【典例2-2】(2024•高三•海南省直辖县级单位•开学考试)由nxn个数排列成〃行n列的数表称为〃行〃列的

〃12013,

a21〃22^^23°・a2n

矩阵，简称"X"矩阵，也称为“阶方阵，记作：A(n,n)=

。31。32“33••。3n其中

4an2an3-,ann)

%(ieN*,jeN*,i,j<n)表示矩阵A中第i行第，列的数.已知三个〃阶方阵分别为

b<c

a*qJ，1213•­•GcC

n413,nn13.,

b

〃21〃22a23,•a2n“21822“23°■■2nC2\C22C23,,C2n

，32“33,

A(n,ri)-〃“32〃33,・a,B{n,ri)=••b31tCCC

313n,C(/J,n)=31。3233，,3n,其

bn2bq••.b

U〃1an2an3.•ann,也1n3nn/1%Cn253.,Cnn,

中旬,如今(仃小*工”〃)分别表示4〃,〃),3(九,初。5,“)中第1行第1/列的数.若

%=(1-〃)％+叫(〃eR),则称C(n,n)是A(n,ri),B(n,〃)生成的线性矩阵.

(24、--1

⑴已知42,2)=I1向2,2)=4,若C(2,2)是A(2,2),3(2,2)生成的线性矩阵，且@=3,求

112)

。(2,2)；

/pn

42,,,b1n'

3323〃12…n

(2)已知V〃wN*,〃23,矩阵A(〃,〃)=...,B(n,n)=...,矩阵。(小九)是

annJ14〃b2n…2〃/

。2n

A(〃.),3(〃〃)生成的线性矩阵,且4=2.

⑴求。23，。2/人£N*,左<〃)；

(ii)已知数歹1也｝满足％="，数列｛4｝满足％=丁丁，数列｛4｝的前〃项和记为1,是否存在正整数

“2〃~n

b

肛"，使T,,=蜡成立?若存在，求出所有的正整数对(九〃)；若不存在，请说明理由.

4

a21

【变式2-1](2024・高二・北京丰台・期末)已知数表"〃,")=〃31

anlan2an3…%

4142"13…"1〃'

CnC12C13…Cln

b?lb?2b23…b2nCCC

212223…C2rl

B(n,n)=Al”3243…b3nn)=,其中a,.,i,j<n)

,C(n,C3\032。33…。3n%,c..(z,jeN*,

〃

也ib〃2…bn〃)C2Cfin>

分别表示人(〃,"),B(凡n),C(n,")中第i行第/列的数.若Cy=%幻+ai2b2j+•••+ainbnj,则称C(n,n)是

A(n,n),8(〃,〃)的生成数表.

o

(81]5~20

(1)若数表A(2,2)=(43)8(2,2)=,且C(2,2)是A(2,2),8(2,2)的生成数表，求C(2,2)

26

U5j

(2)对Vn£N*,n>3,

z1

A4'-142-143-1•.4〃-1、“12

3

23〃

2]222]_

b

21+222+223+22〃+2"210222n

数表A(〃,w)=,B(n,n)=5

a

〃32〃33,.3nb

〃31“31032匕33，''3„

aaaa

knln2n3-.nn)bn223•…b

也1nn/

3(〃-满足第力行第j列的数对应相同(i,jeN*,i,j至是4(〃,〃),8(〃,〃)的生成数表,

且％=2用_”2.

(i)求怎，43(左€可\上4〃)；

(ii)若C23V4恒成立，求2的最小值.

&b、Cjd〕

【变式2-2](2024•高二.北京・学业考试)已知%=(4,%,%,⑷和数表A=/&c2d2,其中

、“3。3。34,

区,如如4eN*(i=0,l,2,3).若数表A满足如下两个性质，则称数表A由g生成.

①任意)e{0,l,2},q+i-4，%-%G+「C”4+I—4中有三个-1,一个3；

②存在此{1,2,3},使％也/4中恰有三个数相等.

’5666、

(1)判断数表4=4559是否由4=(6,7,7,3)生成；(结论无需证明)

、3848,

⑵是否存在数表A由4=(6,7,7,4)生成？说明理由；

(3)若存在数表A由4=(7,12,3,d°)生成，写出d0所有可能的值.

题型三：向量组背景

【典例3-1】(2024.高一.上海.阶段练习)对于一组向量■，石，工，…,可，OeN且"23),令

r=]+Z+Z…如果存在小(pe{1,2,3,…，叫,使得同上瓦一可,那么称可是该向量组的“长向

里.

(1)设4=(〃,x+2〃)，〃EN且〃>0,若％是向量组I，7,瓦的“长向量”，求实数％的取值范围；

⑵若用=1in拳cos修],且〃>0,向量组言,%是否存在“长向量”?给出你的结论

并说明理由；

(3)已知，，%,乙均是向量组1，Z，工的“长向量"，其中％=(sin%,cos%),a2=(2cosx,2sinx).设

在平面直角坐标系中有一点列4，6，A，…，A满足，《为坐标原点，g为2的位置向量的终点，且

与多关于点A对称，P2k+2与2皿（％eN且人＞0）关于点尸2对称，求|耳濡词的最小值.

【典例3-2］（2024.高一.上海奉贤.期末）对于一个向量组4，%%…，a”（心3,nwN"）,令

£=%+2+•••+%,如果存在矶rwN*）,使得同25-胃，那么称这是该向量组的“好向量”

⑴若力是向量组Z，Z，Z的“好向量”，且a“=（w,x+n）,求实数X的取值范围；

⑵已知I，%,乙均是向量组吊2,%的“好向量”，试探究不4的等量关系并加以证明.

【变式3-1］（2024.高三.上海宝山・期末）对于一组向量4，a2,兀（〃eN*,心3）,令

同=，+石+,+…+点,,如果存在＞（pe{l,2,3…，叫,使得同平那么称可是该向量组的“向量

⑴设点=小"+小卜蚱"），若%是向量组4，42，4的向量”，求实数》的取值范围；

⑵若Z=,（T）［（〃eN*,在3）,向量组4,a2,«3,力是否存在“向量”？给出你的结论并说明

理由；

⑶已知4、2、4均是向量组4，«2＞G的"//向量”，其中可=（sinx,cosx）,Z=（2cosx,2sinx）.设在平面直角

坐标系中有一点列0］，。2，&…。“满足：01为坐标原点，2为Z的位置向量的终点，且。2口与&K关于

点。1对称，。2&+2与处+1（旌”）关于点&对称，求®21Q2022］的最小值.

【过关测试】

./TC、

xxsin（@x---）c（

1.（2024・高一・四川成都・期中）定义行列式运算：20=玉匕一无2%，若函数/（》）=3，

X30］

（刃＞0）的最小正周期是万.

⑴求函数/⑺的单调增区间;

S7T2

（2）数列｛%｝的前〃项和S“=A",且4=求证：数列的前〃项和1<L

44+1

2.（2024・高二・上海宝山•阶段练习）已知数列｛%｝和｛，｝满足：4=4=1,且％,22,4%成等比数列，

他,2&也成等差数列.

-234

⑴行列式4+2«„+14=_2M|+3叫2+4陷3（〃eN*）,且加“=根3,求证：数列｛%｝是等差数列；

111

（2）在（1）的条件下，若｛%｝不是常数列，｛"｝是等比数列，

①求｛%｝和｛，｝的通项公式；

②设私〃是正整数，若存在正整数仃水品</<朽，使得%,%，%,•%•〃，氏。成等差数列，求m+〃的最小

值.

3.（2024・高一・吉林延边・期中）已知定义在（-8,。）口（。,+«0上的奇函数/（x）满足/（2）=0,且在（3,0）上是

增函数;又定义行列式％的函数g（e）=sm"3一个"（其中ov”g）

（1）证明：函数/（X）在（0,+8）上也是增函数；

⑵若函数g（。）的最大值为4,求机的值；

⑶若记集合M=｛同恒有g⑻>0｝,N=侧恒有/[g⑻]<0｝,求满足MCN的垃的取值范围.

4.（2024・湖北孝感・模拟预测）定义矩阵运算：已知数列｛%｝，色｝满足%=1，且

（n1Y（"+2”、

uR匕厂[〃（2"+1厂

⑴证明：｛%｝,也J分别为等差数列，等比数列.

(2)求数列｛%+3伪z+1｝的前n项和S„.

/、

4142…

_、0)［…CL

5.(2024・高二.陕西西安•期中)有力2(z〃24)个正数，排成"X〃矩阵(〃行”列的数表)：；'「.:0：

4%”…ami>

劭表示位于第i行，第/列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都

13

相等"，已知。24—1，“42=77，。43=1力.

816

⑴求公比.

(2)用左表示％我.

(3)求知+。22+…+4〃的值.

\ab\

6.(2024.高二.江苏苏州•期中)设2阶方矩阵加=4，则矩阵A所对应的矩阵变换为：

a)

［；［=［；H'其中X=+y=cx'+dy',其意义是把点P(x,y)变换为点如［y),矩阵M叫做

变换矩阵.

⑴当变换矩阵/=［；"时，点3(-1/)，C(-3,1)经矩阵变换后得到点分别是C,求经过。的

直线的方程；

(2)当变换矩阵M=［；；］,点以孙〃)经矩阵加的作用变换后得到点。(1,2),求实数加〃的值.

7.(2024.上海.模拟预测)设A是由2x〃(〃eN*)个实数组成的2行“列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大

于1,且所有数的和为零.记5(”)为所有这样的矩阵构成的集合.记4(A)为A的第一行各数之和，4(A)

为A的第二行各数之和，q(A)为A的第i列各数之和(W。).记依A)为|石(凰、忸(阖、付⑷/

|C2(A)|....除⑷|中的最小值.

⑴若矩阵A=([1°2,13—/0.9、，求破；

⑵对所有的矩阵Ae5(3),求MA)的最大值；

(3)给定/N*,对所有的矩阵AeS(2r+l),求人(A)的最大值.

8.(2024・高三・河南・期末)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下:

axa2a3ijk

4b2瓦=2c3+a2b3%+。3ble2—。3b2S—02ble3—3c2•若2义B=%%4，则称ZxB为空间向量Z与石

qc2c3x2y2z2

的叉乘，其中a=%i+y"+Z]网占,％,Z]eR),a=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2eR),f，7,可为单位正交基底.

以0为坐标原点、分别以7，7.无的方向为关轴、,轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知

A,3是空间直角坐标系中异于。的不同两点

⑴①若A(l,2,l),3(0,-1,1),求况x漏；

②证明函x砺+砺=

(2)记”108的面积为Se，证明：S^AOB=^\dAxO^

(3)证明：(函x而『的几何意义表示以“03为底面、|砺x西为高的三棱锥体积的6倍.

9.(2024・高一・贵州・期末)如图一，在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，人(外,乂)，/超,%),请根

据以下信息，处理问题⑴和(2).信息一：。为坐标原点，砺=(%,%)，若将丽顺时针旋转90°得到向量

0B'，则两=(%，f)，且|丽|=|西；信息二：屈=(%，％)与况=&，%)的夹角记为，，

访=(%,-%)与砺=(为,%)的夹角记为a,贝人也夕=「0$/；信息三：入0.)，砺卜in。；信息

XV,

四：二%%—%%,叫二阶行列式.

%2%一一

y

⑴求证一.q;夕卜层“II”表示取绝对值）；

⑵如图二，已知三点M（2,l）,N（3,4）,2（1,6）,试用⑴中的结论求△MN。的面积.

10.（2024・高二・上海浦东新•期中）对于一组向量Z，…N*）,令£=7+Z+Z+…如果存

在用（pe{1,2,3,…，叫,使得同2瓦-肃,那么称蓝是该向量组的“〃向量”；

⑴设4=（","+力（〃eN*）,若可是向量组7