2025年新高考数学一轮复习：函数性质的灵活运用【八大题型】（解析版）

函数性质的灵活运用【八大题型】

►题型归纳

【题型1函数的单调性的综合应用】............................................................3

【题型2函数的最值问题】.....................................................................5

【题型3函数的奇偶性的综合应用】............................................................8

【题型4函数的对称性及其应用】..............................................................11

【题型5对称性与周期性的综合应用】.........................................................13

【题型6类周期函数1.............................................................................................................17

【题型7抽象函数的性质及其应用】...........................................................20

【题型8函数性质的综合应用】...............................................................24

►命题规律

1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点、热点内容,

函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函

数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对

于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及

求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，复

习时要加强训练.

►方法技巧总结

【知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数产回㈤)的单调性应根据外层函数产近)和内层函数/=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若是增函数，贝U-〃x)为减函数；若"X)是减函数，贝为增函数；

②若/'(X)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(X)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函

数；

③若〃x)>0且“X)为增函数，则函数乂而为增函数，,为减函数；

④若〃x)>0且〃x)为减函数，则函数口分为减函数，,为增函数.

'“X)

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【知识点2函数的奇偶性及其应用】

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断")与｛-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式O)M-x)=0(奇函数)或次.十子)=0(偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，f(x)+g(x),/(x)-g(x),f(x)Xg(x),/(x)-g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶土偶=偶；奇士偶=非奇非偶；奇、(一)奇=偶；奇*(十)偶=奇;

偶x(+)偶=偶.

(4)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.

(5)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(x)=〃?(：+l)(xwo)或函数/(x)=m(3r.

a-1a+1

②函数/(x)=±S-「).

③函数/(x)=log"叶'=10gli(1+2)或函数/(%)=10g“二”=10gli(1-4)

x—mx—mx+mx+m

④函数f(x)=log,(&+1+x)或函数/(x)=log”(Jx?+1-x).

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【知识点3函数的周期性与对称性的常用结论】

1.函数的周期性常用结论(。是不为0的常数)

(1)若兀r+a)=/(x),贝T=a；

(2)若兀r+a)=y(x-a),贝!]T=2a；

(3)若兀什.)=兆)，贝U7=2。；

(4)若於+)/已)，则7=2°；

(5)若fix+a)=-f,则T=2a；

(6)若兀r+a)=/(x+6),贝！JT=\a-b\(a^b);

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数加)满足/(a+x)=/S-x),则夕或¥)的图象关于直线x=对称.

(2)若函数加)满足八0+升)=次6-工)，则月⑴的图象关于点。对称.

(3)若函数加)满足/(a+xH/(6-x)=c,则p或¥)的图象关于点(日出,!■卜寸称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

⑴若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且T=2(b-a)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b),则函数y=/(x)是周期函数，且T=2(b-a);

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(6,0)(a<6),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=4(b-a).

【知识点4抽象函数的解题策略】

1.抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=/(x)表示，抽

象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于

一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

►举一反三

【题型1函数的单调性的综合应用】

[例1](2024•河北沧州•模拟预测)已知函数/(%)定义域为R,且函数/(%)与1)均为偶函数，当％e[0,1]

时，/(%)是减函数，设Q=/(|),b=/(JC=/(logi6)则Q,b,C的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【解题思路】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得b=(G),。=/(；),

【解答过程】因为函数f(x)是偶函数，则f(—x)=/(X),

又函数+1)为偶函数，fflf(-x)=f(2+x),

即f(x)=f(2+x)，所以函数f(x)是周期为2的函数，

则b=/(|)=c—/(log160=f(logi62)=/Q)，

且当％E[0,1]时，f(%)是减函数，

由那<轲得府)>虑)>熊)，即c>a>b.

故选：C.

【变式1-1](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有

f(x+y)=/(%)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(2)=5,则关于x的不等式/(x)+/(4-3x)<6的

解集为()

A.(1,+oo)B.(2,+8)C.(-8,1)D.(-8,2)

【解题思路】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.

【解答过程】任取打<外，

从而/'(犯)一/(X1)=/(%2-%1+5)一/(%1)

=/(久2—xl)—1,

因为％2—％1>。，所以/(%2—%1)>1，

所以/(%2)—/(%1)>0，

则/(%)在R上单调递增.

不等式/(%)+/(4-3%)<6等价于不等式

f(x)+f(4—3x)—1V5,

即/(%+4—3%)Vf(2).

因为在R上单调递增，

所以4—2x<2,解得x>1.

故选：A.

【变式1-2](2024・山东・二模)已知函数/■(久)=2%2-mx+i在区间[一1,+8)上单调递增，则/'(1)的取值

范围是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—oo,7]D.(—oo,7)

【解题思路】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得mW—4,再由f(l)=3—6，进而求得/(I)的取

值范围.

【解答过程】由函数/(x)=2%2-mx+1的对称轴是x=

因为函数在区间[—1,+8)上是增函数，所以3W—1,解得mW—4,

又因为f(1)=3—巾，因此3—m27,所以/'(1)的取值范围是[7,+8).

故选：A.

【变式1-3](2024•江苏苏州•模拟预测)己知定义在区间>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①

当0<x<zn时，/(x)>0；②对于定义域内任意的实数°、6均满足：/(a+6)=，*；；；；器.贝!1()

A./(0)=1

B.Vxi,%2,—m<x1<x2<rn.f(x-O>/(x2)

C.函数/'(x)在区间(0,zn)上单调递减

D.函数f(久)在区间(—上单调递增

【解题思路】赋值：令a=6=0代入可得-0)=0,令。=x,b=—x代入可得函数为奇函数，再根据函数单

调性定义可以证明函数在(一m,m)的单调性.

【解答过程】对A,令a=b=0,则-0)=三端,

/(0)-/3(0)=2/(0),即/(0)炉(0)+1]=0,

故f(0)=0,所以A不正确；

/•(a)+f(b)_/•(£)+/'(一/

对B,取a=x,b=—%代入:

1(0)=l-/(a)/(b)_

即/(%)=—/(一%)，即/(%)在(一瓶即)上为奇函数,

设<Xi<%2<

所以f(%2-Xi)>0,且/'(%2)>0/(X1)>0,

故：/'(%2)一/'(X。=/。2)=f[X2+(-%1)][1-/(X2)/(X1)]

=f(x2-X1)[1+/(X2)/(X1)]>0

即：f(%2)>f(%l)，故B错误;

对C,由B知函数在(0,m)上单调递增，故C错误；

对D,由C结合函数为奇函数且-0)=0,

所以/■(>)在(一小M)上单调递增，故D正确.

故选：D.

【题型2函数的最值问题】

【例2】(2024•安徽淮北•二模)当实数t变化时，函数/(%)=|川+力,％e[—4,4]最大值的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【解题思路】先对内函数y=/+t对应的方程的根的情况分类讨论，得出120时，结果为16,对于t<0

时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.

2

【解答过程】若△=—4tW0,即t20时，/(x)=x+t,其对称轴为x=0,/(%)max=t+16,

此时，因t>0,故g(t)=t+16的最小值为16；

若t<0,由y=x2+t=。可得x=+V—t,

图1

(I)如图1,当「FW4时，gp-16<t<OHt,/(x)=|炉+"在［一4,一二?］上递减，

在［-H,0］上递增，

在［0，H上递减，在［口4］上递增，又/(±4)=|t+16|=t+16/(0)=|t|=-t,

①当一16<t<-8时，t+16<-t,故/'(x)max=-3而g(t)=—t在［—16,—8］上单调递

减，则此时，g(t)min=9(-8)=8;

（2）当一8<t<0时，t+16>—t,故/'（X）max=t+16,而/l（t）=t+16在（—8,0）上单调

递增,则此时，g（t）>奴-8）=8.

(n)如图2,当仁7>4,即t<—16时，/(%)=|/+t|在［-4,0］上单调递增,在［0,4］上单调递减,

则此时f(X)max=f(。)=|t|=—而0(t)=—1在(—8,—16)上单调递减，则<j0(t)>0(-16)=16.

综上，函数/(x)=I%2+t\,xG［—4,4］最大值的最小值为8.

故选：D.

【变式2-1］(2024•全国•模拟预测)已知％>0,y>0且x+y=l,则+言7的最小值为()

A.-B.-C.-D.—

【解题思路】由基本不等式和x+y=l可得化简可得++七=2-；，令t=3—2xy,

T,J.T-X,-1->_/4高人那y

利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.

【解答过程】因为x+y=l,所以％+丫=122行，当且仅当x=y=：时等号成立，

1

所以0<*

田内1,1_(l+/)+(l+y2)_2+/+y2_________2+(1+y)2-2」y_3-2町

口力1+久21+y2~(l+x2)(l+y2)-l+x2+y2+x2y2~l+(x+y)2—2xy+x2y2~2—2xy+x2y2f

令1=3—2町,则tw［|,3),xy=

11______________4t4

所以芳+许=2-(3-(:)+亭=t2-2t+5=t-2+令

由对勾函数y=x+：在区3)上单调递增，则当X=：时函数取到最小值，

4

所以当t=|时，高+高w声!=5，

2

%2y2_(%2+1)-1(y2+l)-l2

2"=

1+x+l+y2―_l+%2l+y2-5

故选：B.

【变式2-2](2024•江西鹰潭•三模)若/(久)=|x+2|+|3x—a|的最小值是4,则实数a的值为()

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.一6或一18

【解题思路】分a>—6,a<-6,a=—6三种情况，得出每种情况下f(x)的最小值，令其为4,解出a的值.

'4%+2—a,x>-

【解答过程】当a>—6时，/(x)=-a+2—2x,—2<x<^,

、a—2—4x,x4—2

・••/Wmix==2+|=4,解得a=6,符合题意；

'4%+2—a,x>—2

当a<—6时，/(%)=-2x-a-2,|<%<-2,

ci—2—4x,x4—

V3

'(x)mix=f(?=—W—2=4,解得a=—18,符合题意；

当a=-6时，/(x)=4|x+2|,••­/(x)raix=/(-2)=0*4,舍掉.

故选：A.

【变式2-3](2024•全国•三模)已知函数/(幻=6乂一(6+3)好在[一1,1]上的最小值为一3,则实数6的取值

范围是()

A.(—co,—4]B.[9,+oo)C.[—4,9]D.[—1,9]

【解题思路】由已知可得当一1Wx<l时，可得+*)2—3(/+乂+1)恒成立，通过分离变量，结合

函数性质可求b的取值范围

【解答过程】

因为/'(1)=-3,函数f(x)=bx-(b+3)炉在[一1,1]上的最小值为-3,

所以对f(x)2-3恒成立，

所以bx-(b+3)x3>一3恒成立，即bx(l—d)>-3(1—=)恒成立,

当久=1时，bER,

当一1Wx<l时，可得1(1+%)>一3(/+%+1)恒成立.

当x=0或尤=—1时，不等式显然成立；

当时，1)(+力，

0<x<lb2=雷=_3]2

XQ1+XJ\x+x/

因为/+xe(o,2),所以去eQ,+8),i+*e(|,+8)，-3(1+^)e(-co,-|),

Q

所以6>--；

当一l<x<0时，b<-3(1

因为M+xe(-；,o),所以^^e(—8,-4),1+^^e(—8,一3),一3(i+^；)e(9,+8),

所以6W9.

综上可得，实数6的取值范围是［—，见

故选：D.

【题型3函数的奇偶性的综合应用】

【例3】(2024•安徽亳州・模拟预测)已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，函数g(x)是定义在R上的奇函数,

且/(久)，以久)在［0,+8)上单调递减，则()

A.f(f(2))>f(f⑶)B.f(g(2))<f(g(3))

C-g(g(2))>g(g(3))D.g(f(2))<5(7(3))

【解题思路】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.

【解答过程】因为/(%),gQ)在［0,+8)上单调递减，/乃是偶函数，g(x)是奇函数，

所以g(x)在R上单调递减，f(x)在(-8,0］上单调递增，

对于A中，由f(2)>f(3),但无法判断f(2)/(3)的正负，所以A不正确；

对于B中，因为g(x)是定义在R上的奇函数，可得g(0)=0,

又因为9(%)在［0,+8)上单调递减，可得0>g(2)>g(3),

因为/(X)在［0,+8)上单调递减，且/(%)为偶函数，所以/(%)在(一8,0)上为增函数，

所以f(g(2))>/(g(3)),所以B不正确；

对于C中，由g(2)>g(3),g(x)在R上单调递减，所以g(g(2))<g(g(3)),所以C不正确；

对于D中,由f(2)>f(3),g(x)在R上单调递减,9(/(2))<g(/(3)),所以D正确.

故选：D.

【变式3-1］(2024•浙江绍兴•三模)已知函数/(久)满足：对任意实数无，y,都有f(f(x+y))=/(久)+f(y)

成立，且/(0)=1,贝ij()

A.f(x+l)为奇函数B.f(x)+1为奇函数

C.|/Q+1)|为偶函数D.|/(x)—1|为偶函数

【解题思路】由题意令％=y=0,可得f(l)=2,令昆=-X,可得2=/(%)+/(-%),可得y=f(x)关于(0,1)

对称，据此逐项判断可得结论.

【解答过程】令x=y=0,则/(/(0))=/(0)+/(0),/(0)=1,所以f(l)=2,

令y=-x,则/'(/(0))=/(x)+/(-%),

即/⑴=/(久)+/(-x)，又2=/(x)+/(T),

所以y=fO)关于OU)对称，

所以f(x+l)关于(一1,1)对称，故A不正确；

f(x)+1关于(0,2)对称，故B不正确；

由A可知，(x+1)|关于久=一1对称，故C不正确；

由A可知/(*)-1关于(0,0)对称，故/(*)-1为奇函数，

所以，(x)-1|为偶数，故D正确.

故选：D.

【变式3-2](2024•辽宁沈阳•三模)已知/(X)是定义在R上的函数，且/(2久一1)为偶函数，/(比一2)是奇函

数，当xe[0,1]时，/(%)=2X-1,则/(7)等于()

11

A.-1B.--C.-D.1

【解题思路】根据偶函数的性质得到/(%)=/(—%—2),再由奇函数的性质得到/(%)=—/(%—2),从而推

导出/(%+4)=/(%),再由所给解析式及周期性计算可得.

【解答过程】因为/(2%—1)为偶函数，所以〃一2%—1)=/(2%—1),

BP/(x—1)=/(_%_1),

所以/(%)=/(—%—2),

又/(%—2)是奇函数，所以/(—%—2)=—/(%—2),

即/(%)=—/(%—2)，所以/(%+2)=—/(%)，

则+4)=—/(%+2)=/(x),

所以/(%)是以4为周期的周期函数，

又当无€[0,1]时，/(%)=2%-1,所以/(1)=21—1=1,

则f(—1)=-f(^)=-1,

所以/⑺=/(—1)=~f(1)=一L

故选：A.

【变式3-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且对任意的瓶＜九＜0,都有

(m-n)(/(m)-/(n))<0,且f(—2)=0,则不等式20的解集为()

A.[—3,—1]U[0,1]B.[—2,2]

C.(—8,—3)U(—2,0)U(2,+8)D.[—3,—1]U(0,1]

【解题思路】由对任意的m<n<0,都有⑺一九乂/⑺)一f(?i))<0,得/'(X)在(一8,0)上单调递减，由函

数/(X)是定义在R上的奇函数得/(—2)=—/(2)=0,/(0)=0,/(x)在(0,+8)上单调递减，画出f/+l)

的简图，即可求解.

【解答过程】对任意的m<n<0,都有(m—n)•(/(a)—/(①)<0,

所以/'(x)在(一8,0)上单调递减，

因为函数/(%)是定义在R上的奇函数，f(—2)=-f(2)=0,/(0)=0,

所以f(X)在(0,+8)上单调递减，则可画出，。+1)的简图，如图所示,

所以四里^^二攵①？。，

XX

则｛3二『。或｛9二)。口或

即｛"一举三—或厂三好二或n1

解得久e[—3,—1]u(0,1].

故选：D.

【题型4函数的对称性及其应用】

【例4】(2024・四川・三模)定义在R上的函数y=/(x)与y=g(x)的图象关于直线％=1对称，且函数

y=g(2x—1)+1为奇函数，则函数y=/(尤)图象的对称中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

【解题思路】先根据条件得到g(x)的对称中心，再根据对称得到y=f(x)的对称中心.

【解答过程】因为y=g(2x—1)+1为奇函数，所以g(—2x—1)+1=—g(2x—1)—1,

即g(—2%—1)+g(2x-1)=-2,

故g(x)的对称中心为(-2A)AI,—1),BP(-1)-1),

由于函数y=/(%)与y=g(x)的图象关于直线％=1对称，

且(一1,—1)关于久=1的对称点为(3,—1),

故y=f(x)的对称中心为(3,-1).

故选：D.

【变式4-1](2024•宁夏银川•三模)已知函数/(久)=言p则下列说法不正确的是()

A.函数/(久)单调递增B.函数f(x)值域为(0,2)

C.函数f(x)的图象关于(0,1)对称D.函数/(%)的图象关于(1,1)对称

【解题思路】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指

数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，f(2—x)与f(x)的关系，即可判断CD.

【解答过程】外吗=—=爵仔=2—高，

函数y=2一”t=2X-14-1,贝

又内层函数t=2，T+1在R上单调递增，外层函数y=2—彳在(1,+8)上单调递增，

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；

因为2，T+1>1,所以o〈声币<2,贝|0<2—声币<2,

ZxA+1x+i

所以函数/(%)的值域为(0,2),故B正确；

22T42

f(2-X)=217+1=2+2=^=2*-1+1，/(2-X)+/(乃2,

所以函数/(%)关于点(1,1)对称，故C错误，D正确.

故选：C.

【变式4-2](2024・四川南充•三模)已知函数/(%)、g(x)的定义域均为R,函数f(2x—1)+1的图象关于

原点对称，函数9。+1)的图象关于y轴对称，/(x+2)+g(x+l)=—1/(—4)=0,贝|

7(2030)-5(2017)=()

A.-4B.-3C.3D.4

【解题思路】利用题设得到f(x)+/(-2-x)=一2①和g(_%+1)=g(x+1)②，又由

f(%+2)+g(x+l)=—1,结合①式，推得g(x)的周期为12,利用f(-4)=0求得f(2)=-2和g(式=1,

最后利用g(x)的周期性即可求得.

【解答过程】由函数人2%—1)+1的图象关于原点对称，/(-2%-1)+1=-/(2%-1)-1,

即/(-x-1)-即/(x)+/(—2—x)=—2①，

由函数g(%+1)的图象关于y轴对称，可得g(—x+1)=g(%+1)②，

由/'(尤+2)+g(x+1)=—1可得/(x)+g(x—1)=—1,又得/(—2—x)+g(—x—3)=-1,

两式相加，f(x)+/(—2—X)+g(x—1)+g(—x—3)——2,将。)式代入，得g(x—1)+g(—x—3)—0,

则得g(x—5)+g(—x+i)=0,将②式代入得，5(%+1)=-g(x-5),则g(x+6)=-g(x),

于是g(x+12)=-g(x+6)=g(x),即g(x)的周期为12.

又/'(-4)=0,由①可得f(2)+f(—4)=-2,得/'(2)=—2,

又由/'(x+2)+g(x+1)=-1可得/(2)+g(l)=-1,即得g(l)=1.

因/1(2030)+g(2029)=-1,可得，/(2030)=-1-5(2029),

于是,f(2030)-5(2017)=-l-g(2029)-g(2017)=-1-g⑴—。⑴=-1—2g⑴=-3.

故选：B.

【变式4-3](2024・重庆•模拟预测)已知函数y=/(x)的定义域是(一8,0)u(0,+8),对任意的打，x2G

(0,+8),都有吟学3>0,若函数y=f(x+l)的图象关于点(一1,0)成中心对称，且f(l)

x2X1

=4,则不等式f(%)>g的解集为()

A.(―1,0)U(0,1)B.(―l,0)U(l,+8)

C.(—oo,—1)U(0,1)D.(—8,—1)U(1,+8)

【解题思路】由题意，构造函数g(W=x/(W，判断函数g(x)的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调

性解不等式即可.

【解答过程】由函数y=f(x+1)图象关于点(一1,0)中心对称，知函数/(%)图象关于点(0,0)中心对称，

所以八%)为奇函数.

令g(x)=xf(x),则g(-x)=-4(一%)=W(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，

对于Vxi/2G(0,+8),有匹?>0(巧4%2)>所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以9(%)在(-8,0)上单调递减.

由/⑴=4,得g(l)=4,g(-l)=4,

当x>0时，f(x)>《变形为疗(%)>4,即g(x)>9(1),解得x>1；

当x<0时，/(X)>：变形为xf(x)<4,即g(x)<g(-1),解得一1<乂<0,

综上，不等式外切>：的解集为(―l,0)U(l,+8).

故选：B.

【题型5对称性与周期性的综合应用】

【例51(2024•全国•模拟预测)若定义在R上的函数/(%)满足=/(x),且/(2+x)+/(2—x)=6/(3)

=6,则下列结论错误的是()

A./(8+x)=f(x)B./(x)的图象关于直线x=4对称

C./(201)=3D.y=/(久+2)-3是奇函数

【解题思路】本题考查抽象函数的图象与性质内容，根据已有条件/(|x|)=f(x)和/(2+x)+/(2—x)=6,7

(3)=6,以及x的任意性结合函数奇偶性和周期性概念、对称性的判定知识去进行转化推理即可.

【解答过程】—x)=f(x),所以f(2—x)=/(x—2)

Xf(2+x)+f(2—x)=6,所以/'(4+x)+f(x)=6,且/'(8+x)+f(4+%)=6,

所以f(8+x)=f(x),故A正确

由A可得，f(8+x)=/(-x),所以/'(x)的图象关于直线x=4对称，故B正确

由A可得，/(x)是周期为8的函数,/(201)=/(1),

又由/'(2+x)+/(2—x)=6/(3)=6,得/'(3)+/(1)=6,所以f(201)=/(I)=0,故C错误

对于D,由f(2+x)+/(2—久)=6今/(尤)的图象关于点(2,3)对称，

所以旷=/0+2)—3的图象关于原点对称，故D正确，

故选：C.

【变式5-1](2024・四川绵阳•模拟预测)定义在R上的函数f(K)满足/1(2-％)=/(%),/(I)=2,f(3x+2)

为奇函数，有下列结论：

①直线久=1为曲线y=f(x)的对称轴；②点(|,。)为曲线y=/(x)的对称中心；③函数/O)是周期函数；

^-12004

④〉/①=°；⑤函数/(无)是偶函数一

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据/(2-x)=f(x)可得函数对称轴，可判断①；根据/(t+2)=-/(2—t)=—/«)可得函数

周期，可判断③；根据/(—3x+2)=—/(3%+2),结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期

2004

f(i)判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性

Z1=1

判断⑤.

【解答过程】由/'(2—x)=f(x)知直线x=1为曲线y=/'(>)的对称轴，①正确；

因为f(t+2)=—f(2—t)=—f(t),所以/(t)=-f(t+2)=/(t+4)

所以f(x)是周期为4的周期函数，③正确；

由f(3x+2)为奇函数有/(-3x+2)=-f(3x+2),令七=3x得/(-t+2)=-f(t+2),则/⑺的图象关于

点(2,0)对称，

又直线x=1为曲线y=f(x)的对称轴，以f(x)是周期为4的周期函数

则/(>)的对称中心为(2k,0),keZ,②错误；

令t=0,则f(2)=—f(2),所以f(2)=0,在f(2—x)=f(x)中，令x=0,则f(2)=/(0)=0.

于是f(l)=2,/(2)=0,/(3)=-f⑴=-2,/(4)=/(0)=0,则/(I)+/(2)+/(3)4-/(4)=0,所以

2004

/。)=0,④正确；

Z1=1

因为/'(>)的图象关于点(2,0)对称nfO)=-f(4-x),因为周期为4,

所以f(x)=—/(―吟，所以/(乃为奇函数，⑤错误.

故选：C.

【变式5-2](2024•湖南邵阳•三模)已知函数久久)及其导函数r(x)的定义域均为R,记9(久)=(。)，函数

/(2久+3)的图象关于点(一1,1)对称.若对任意XCR,有/(久+3)=x+/(3—%),则下列说法正确的是

()

A.g(x)不为周期函数B./(%)的图象不关于点(1,1)对称

C.9(211)=|D./(985)=1

【解题思路】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，

从而就可以来判断各选项.

【解答过程】因为函数f(2%+3)的图象关于点(一1,1)对称，

所以九2(尤-1)+3]+/[2(-x-l)+3]=2,即f(2x+1)+/(-2x4-1)=2,

则/(%)的图象关于点(1,1)对称，B选项错误.

由/'(x+3)=x+/(3-x),得/'(x+3)—*x+3)=/(3-x)-|(3-x).

11

令h(x)=/(x)--x,则/(%)=h(x)+-x,

由ft(x+3)=fi(3—%)，得人(久)的图象关于直线％=3对称.

又/(%)的图象关于点(1,1)对称，则f(%+1)+/(l-x)=2,

所以仅久+1)+1(x+1)+/i(l-x)+1(l-x)=2,gp/i(x+1)+/i(l-x)=1,

则可得h(x)的图象关于点(1,3对称，

故仅久)为周期函数，且周期为8,/i(x)=h(x+8),

所以，/(985)=叔985)+誓=以1)+等=^+等=493,D选项错误.

又f(%)=ft(x)+1x=h(x+8)+|x=f(x+8)—~(x+8)+|x,则f(x+8)=f(x)+4,

所以r(x)=尸0+8),由g(x)=/'(x)得：g(x)=g(久+8),故g(x)为周期函数，A选项错误.

由/'(x+3)=x+/(3—x),两边求导得：/'(x+3)=1—尸(3—％),

由g(x)=f'(x)得：g(x+3)+g(3-x)=1，令x=0得：g(3)=：,

1

利用g(x)的周期为8,则g(211)=g(8x26+3)=g⑶=],C选项正确.

故选：C.

【变式5-31(2024・陕西榆林•一模)定义在R上的函数/(%),g(%)满足f(0)<0,/(3-x)=/(1+x),

g(2—久)+g(x)=2,5(x+|)=f(2x)+1,则下列说法中错误的是()

A.x=6是函数f(x)图象的一条对称轴

B.2是g(x)的一个周期

C.函数/(久)图象的一个对称中心为(3,0)

D.若neN*且九<2023,/(n)+f(n+1)+-+/(2023)=0,则"的最小值为2

【解题思路】由已知可推得g(x)关于直线x=|对称，g(2—%)—1=g(x+1)—1.又有g(l—%)—1=—g

(1+x)+1.进而得出g(l—x)=-g(2—x),即有g(-x)=g(—％+2),即可得出B项；根据g(x)的周期可

得出f(x)的周期为4,结合/(x)的对称性，即可得出A项；由g(x)的对称中心，即可得出/⑺关于点(1,0)对

称，结合了(久)的性质，即可得出C项；根据/(%)的周期性以及对称性可得/(0)+/(1)+-2)+/(3)=0,

/(2023)=/(3),然后分n=1,2,3讨论求解，即可判断D项.

【解答过程】由f(3—x)=/(1+尤)可得-2—%)=/(2+幻，所以/(%)关于直线久=2对称，

所以f(2久)关于直线x=1对称，即g(x+1)-1关于直线x=1对称，

所以g(x+9关于直线％=1对称，所以g(x)关于直线％=|对称，

所以有g(3—x)=g(x),所以有g(2—x)=g(x+1),所以g(2—x)—1=g(x+1)—1.

又由g(2—x)+g(x)=2可得，g(l—x)+g(l+x)=2,所以g(x)关于点(1,1)对称,

所以g(l-%)-1=-5(1+%)+1.

对于B项，因为g(2—x)—1=g(x+l)—Lg(l—x)—1=—g(l+无)+1,

所以，g(l—%)=-g(2—%),所以g(—%)=—g(l—%)=g(—%+2),

所以，9(%)的周期为7=2,故B项正确；

对于A项，由已知f(2x)=g(x+3—1周期为2,所以f(x)的周期为4.

因为f(x)关于直线％=2对称，所以x=6是函数f(x)图象的一条对称轴，故A项正确；

对于C项，g(x)关于点(1,1)对称，所以f(2x)=g(%+9—1关于点6,0)对称，

所以f(x)关于点(1,0)对称，所以f(2—x)=-/(-%).

又八支)关于直线x=2对称，所以f(4+x)=/(-%),

所以/'(4+x)=—/(2—,所以有f(3+x)=—/(3—x),

所以函数/(久)图象的一个对称中心为(3,0),故C项正确；

对于D项，由C知，/(x)关于点(1,0)对称，/(x)关于点(3,0)对称，

所以，/(0)+/(2)=0,/(I)=/(3)=0,所以f(0)+/(I)+f(2)+f(3)=0.

又7(%)的周期为4,所以对keZ,f(4k)+f(4k+l)+f(4k+2)+f(4k+3)=0.

因为/'(2023)=/(4X505+3)=/⑶,

则当n=2时,有f(n)+f(n+1)+-+f(2023)=f⑵+/⑶=f(2).

因为/'(0)+/(2)=0,所以/(2)=—f(0)>0,不满足题意；

当n=l时，f(n)+/(n+1)+,,,+/(2023)=/(I)+/(2)+/(3)=/(2)>不满足题意；

当71=3时，/(n)+f(n+1)+-+/(2023)=f(3)=0,满足题意.

故〃的最小值为3,D错误.

故选：D.

【题型6类周期函数】

【例6】(2024•山东青岛•模拟预测)函数/(为的定义域为R,满足/(久)=2/Q—1),且当x€(0,l]时，/0)

=K(1—%).若对任意xe(—8,河，都有则机的最大值是()

.11c14-32-41

A-TB-TC.君D.-

【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.

【解答过程】因f(x)=2f(x—1),又当(0,1]时，f(x)=-(x-|)2+Je[oi],

当工£(化/c+1],keN*,时，x-ke(0,1],

则/(%)=2/(%—1)=22/(%—2)=•••=2吁(x—k),

/(%)=2fc(x-/c)(l-x+/c)=-2k(X—差)2+*e[0,2k-2],

当xe(—/c,-k+1],keN*,时，x+ke(0,1],

则/(X)=2-1/(久+1)=2-2/(%+2)=♦••=2~kf(x+k),

/(X)=2-fe(x+k)(l—x—k)=-2-fe(x+夕)2+短e[0,2-fc-2],

作出函数/(%)的大致图象，

对任意xe(-oo,m],都有f(x)＜云，

设力的最大值为3

则/(£)=£且2Vm〈|

所以_22(〜()2+1=堤解得”日

所以加的最大值为号.

故选：A.

【变式6-1](2024•云南昆明•二模)定义“函数y=/(x)是。上的a级类周期函数”如下：函数y=/(%),比e

D,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数x都有好(久)=/(久+0恒成立,

此时T为f0)的周期.若y=f(吗是[1,+8)上的a级类周期函数，且T=1,当久e[1,2)时，/(%)=2x+1,且

y=/(久)是[1,+8)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()

A.t,+8)B.[2,+oo)C.t,+8)D.[10,+oo)

【解题思路】由题可得/(X)=a"T-(2x—2n+3),nCN*,%G[n,n+l),然后利用函数的单调性即得.

【解答过程】一€口,2)时J(x)=2x+l,

二当xG[2,3)时,/(x)=af(久-1)=a(2x—1)；

当xe[n,n+1)时/(X)—af(x-1)=a2/(x-2)="••=an-1/(x—n+1)=an-1-(2x-2n+3),

即％G[n,n+1)时,f(x)=a”】­(2x-2n+3),neN*,

"(%)在[1,+8)上单调递增，

.,.a>0且。九―i-(2n—2n+3)>an-2•(2n—2n+5),

解得a>I，

・•・实数a的取值范围是［|,+8).

故选：C.

【变式6-2］(2024•河南新乡•三模)设函数/(*)的定义域为R,满足/(x—2)=2/Q),且当xe(0,2］时,

/(%)=x(2-x).若对任意久e［a,+8),都有〃久)<1成立，贝必的取值范围是()

A.||,+8)B.[|,+°°)

【解题思路】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出小的取值范围.

【解答过程】因为当x6(0,2］时,/(x)=x(2-x)；/(x-2)=2/(x),

11

所以=—2)，即若/⑺在(。，2］上的点的横坐标增加2,则对应y