2025年新高考数学复习压轴题讲义：高等背景下概率论的新定义（七大题型）（学生版）

专题08高等背景下概率论的新定义

【题型归纳目录】

题型一：切比雪夫不等式

题型二：马尔科夫链

题型三：卡特兰数

题型四：概率密度函数

题型五：二维离散型随机变量

题型六：多项式拟合函数

题型七：最大似然估算

【典型例题】

题型一：切比雪夫不等式

【典例1-1】（2024・浙江•二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格

品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：

测试指标[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件数（件）121836304

（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；

（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

若随机变量X具有数学期望E（X）=〃，方差D（X）=*,则对任意正数£,均有尸成立.

⑴若X〜3100,£|,证明：P（0<X<25）<^;

（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工

厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合

格率是否可信？（注：当随机事件/发生的概率小于0.05时，可称事件N为小概率事件）

【典例1-2]（2024・吉林长春・模拟预测）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数

学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式.马尔科夫不

等式的形式如下：

设X为一个非负随机变量，其数学期望为£（X）,则对任意£>0,均有型

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期

望间的关系.当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设X的分布列为P(X=毛)=p,,i=1,2,…,”，其中2e(0,+oo),Xje[0,+co)(i=1,2,…，〃这2=1,则对任意

Z=1

£>0,P(X2£)=EP,YE土口=XiPi<殳毛P,=受色，其中符号24表示对所有满足X,>£的指

Xj>£Xj>£g£X声£i=1£Xi~£

标i所对应的4求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

设随机变量X的期望为E(x),方差为。(x),则对任意£>0,均有尸(门-£(幻|泊卜3^

(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立.

(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该

药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.

【变式1-1](2024・高三・湖北•阶段练习)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡

使用的.切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散

型切比雪夫不等式：设X为离散型随机变量，则上g,其中2为任意大于。的实数.

切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件卢-力▼的概率作出估计.

(1)证明离散型切比雪夫不等式；

(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数在一次抽奖游戏中，有“个不透明的箱子依次编号为

1,2,…,〃，编号为，(1缶方)的箱子中装有编号为0,1,…，，的7+1个大小、质地均相同的小球.主持人邀请，位嘉

宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为£,并记X=»>.对任意的〃，

是否总能保证尸(假设嘉宾和箱子数能任意多)？并证明你的结论.

附：可能用到的公式(数学期望的线性性质)：对于离散型随机变量x，x，Xz，£满足x=则有

1=1

E(X)=£E(X).

Z=1

题型二：马尔科夫链

【典例2-1】（2024・高三•全国•专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智

能的基石,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质:

下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装

有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行〃（〃eN*）次这样

的操作，记口袋甲中黑球的个数为X,，恰有1个黑球的概率为口.

（1）求P”P2的值;

⑵求巳的值（用”表示）；

⑶求证：X,的数学期望E（X"）为定值.

【典例2-2】（2024・高三・贵州黔西•阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德

烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第”+1次状态的概率分布只跟第〃次的状态有关，与第

〃-1,〃-2,〃-3,…次状态无关，即尸（X,,/…,冗_2/,1/0）=尸（工用户“）.已知甲盒子中装有2个黑球

和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复〃

次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为X”，恰有2个黑球的概率为%，恰有1个黑球的概率为

⑴求。1，仇和。2，瓦;

（2）证明：+，-■!?为等比数列（〃22且〃eN*）；

（3）求X,的期望（用〃表示，”22且〃eN*）.

【变式2-1]（2024•浙江杭州•二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基

石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假

设我们的序列状态是…，X-2，XT，X,,X,+1,那么X用时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X,,

即尸（X」…网X/X）.

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元，每

一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束

赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的3元，赌徒停止赌博.记赌徒的

本金为/(/CN'MVB),赌博过程如下图的数轴所示.

0.50.5

r\c\

A-lAA+1

IAV~1——1——1——L

0B

0.50.5

当赌徒手中有〃元(0W“48,〃eN)时，最终输光的概率为p(〃)，请回答下列问题：

(1)请直接写出尸(0)与P⑻的数值.

(2)证明｛尸(〃)｝是一个等差数列，并写出公差d.

(3)当N=100时，分别计算8=200,8=1000时，尸(⑷的数值，并结合实际，解释当8—oo时，尸(⑷的

统计含义.

题型三：卡特兰数

【典例3-1】(2024・湖北•二模)五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动

以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨

道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前

行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.

(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列和期望;

(2)记p,«eN*)为设定机器人一共行走万步时游戏胜利的概率，求目，并判断当i为何值时，游戏胜利的概

率最大；

(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小

明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥

告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将〃个0和〃个1排成一排，若对任意的14上W2〃，在前

后个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有CM-C二种，其中，的结果

被称为卡特兰数.若记£为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对(2)中的有

【典例3-2](2024・全国•模拟预测)卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的

数学家欧仁•查理•卡特兰(1814-1894)命名.历史上，清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷

法》最早用至U“卡特兰数”，远远早于卡塔兰.有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰

数”.卡特兰数是符合以下公式的一个数列：。“=%。1+%。"-2+~+。,1%且&=1.如果能把公式化成上面

这种形式的数，就是卡特兰数.卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡

特兰数.比如：在一个无穷网格上，你最开始在(0,0)上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一

格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到(〃,〃)，0S〃有多少种不同的合法

路径.记合法路径的总数为4

(1)证明6,是卡特兰数；

(2)求6“的通项公式.

题型四：概率密度函数

【典例4-1】(2024•高二•湖南•课后作业)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车

和骑自行车所花的时间(样本数据)，经数据分析得到如下结果：

坐公交车：平均用时30min,方差为36

骑自行车：平均用时34min,方差为4

(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.

(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和/的概率密度曲线如图(a)所示，如果某天

有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.

(提示：(2)中X和/的概率密度曲线分别反映的是X和/的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图

(6)中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.)

【典例4-2】(2024・高二・安徽•期末)设随机变量X的概率密度函数为/■(>)="+则

尸(a<X-#)=J：/(x)右，若对X的进行三次独立的观测，事件/=|丫总:至少发生一次的概率为1；

(1)对X做"次独立重复的观测，若使得事件/至少发生一次的概率超过95%,求〃的最小

值.(In0.05®-2.9958,In0.75=-0.2877)

(2)为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别

为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种.由于某些

原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响.记“甲区选择3号疫苗”为事件瓦且

①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率；

②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K,求K的分布列.

题型五：二维离散型随机变量

【典例5-1】(2024•高三・湖北•阶段练习)设(XJ)的所有可能取值为(专乂)，称

%=尸(》3了=乂)(，=1,2广.,〃,/=1,2「、〃7)为二维离散随机变量(、1)的联合分布列，用表格表示为:

YX必%ykymPi.

APHPnPMPimP\.

)21P22P2kP2mPl.

XkPklPk2PkkPkmPk.

4P〃1Pn2PnkPmnPn.

p,iPlPlPkPm1

仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义尸"=%)=%-=才。"，对于固定的),若

i=\

P.j>°,则称=p（x=X,.|y=%）=红0=1,2,…为给定Y=无条件下的X条件分布列.

Pi

/=1

离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：E[X\Y=y）=（X=x^=y].

（1）设二维离散随机变量（X；）的联合分布列为

YX123Pi.

10.10.30.20.6

20.050.20.150.4

P-J0.150.50.351

求给定X=1条件下的¥条件分布列；

（2）设（X,y）为二维离散随机变量，且£（X）存在，证明：E（X）=YjE（X\Y=yj）-p..

m

（3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通

一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处.假定

此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫.

【典例5-2】（2024•山东潍坊•一模）若鼻〃是样本空间。上的两个离散型随机变量，则称（4〃）是。上的二

维离散型随机变量或二维随机向量.设修〃）的一切可能取值为®,%）,=…，记为表示®也）在O

中出现的概率，其中=p也=%,口=4）=尸=4）n（〃=%）].

（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为九2号盒子

中的小球个数为〃，贝是一个二维随机变量.

①写出该二维离散型随机变量值〃）的所有可能取值；

②若（皿〃）是①中的值，求尸（4=见〃=〃）（结果用加，”表示）；

+8

（2）p«=%）称为二维离散型随机变量（,〃）关于j的边缘分布律或边际分布律，求证：p（&=%）=»「

7=1

【变式5-1]（2024•江苏常州•一模）设（工丫）是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为（如勺）,

其中，"eN*,令p,j=P(X=%,Y=b),称为G，/eN*)是二维离散型随机变量(XJ)的联合分布列，与一

维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；

*b2b3

PHPnP13

a2AIP22P23

a3AiP32P33

现有〃(〃eN*)个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X,落入第

2号盒子中的球的个数为¥.

(1)当〃=2时，求(X,y)的联合分布列，并写成分布表的形式；

(2)设74=回尸(万=左y=且左4〃，求£1kpk的值.

m=0k=0

(参考公式：若X〜以"M),则，斤C,R(1-0片=70

左=0

题型六：多项式拟合函数

【典例6-1】(2024•甘肃・一模)下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表:

年份序号X12345

人数7(万人)263273286314334

(1)现用模型/=g(x+3+。作为回归方程对变量x与y的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该

模型所表示的回归方程(0与5精确到0.01)；

(2)已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的

频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均

可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人

数，求X的分布列及数学期望.

参考公式及数据：对于回归方程

f（匕-可（其-5）

ZV八'Z\ZX；_1__M__222,7+12+1

y=mx+n,m=--------------------n=y-mx,l+2+---+n=»（）（»）y

一〃2；=1470.

-26普

一nx

i=\i=\

【典例6-2】（2024・安徽•一模）碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气

体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.

碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政

府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化

碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出

一份力.某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：

①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；

②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10。

到90。间，建模实验中选取5个代表性数据：18。，36°,54°,72°,90°.

某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表:

项目

开始烧水时燃气表计数/dn?水烧开时燃气表计数/dn?

旋转角度

18°90809210

36°89589080

54°88198958

72°86708819

90°84988670

以x表示旋转角度，y表示燃气用量.

（1）用列表法整理数据（x,y）；

x（旋转角度：度）1836547290

y（燃气用量:dm3）

（2）假定x,y线性相关，试求回归直线方程，=的+£（注：计算结果精确到小数点后三位）

⑶有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为5=1.903义10-2尤2一1.472X+150.33.求在该模型中，烧开

一壶水燃气用量最少时的旋转角度.请用相关指数改分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更

好？(注：计算结果精确到小数点后一位)

参考数据：£%=712,E(x,.-x)(z-v)=1998,^(x,.-；)2=3240,£(%-工丫=1501.2,

Z=1z=lZ=1Z=1

线性回归模型£(%-iJB269.1,二次函数模型t(%-ijJ196.5.

2

参考公式：6=口————，3-威，R--

t(y.-y)2

i=\i=l

题型七：最大似然估算

【典例7-1](2024・河南•模拟预测)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督

管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部

门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请

的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门

的邀请后，专家如约参加会议.

(1)用1,2,3,4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，

将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格.

(2)最大似然估计即最大概率估计，即当X=左时，概率取得最大值，则X的估计值为网左=乂，N2,N3,.„,

NR,其中乂,为X所有可能取值的最大值.请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数.

【典例7-2](2024・湖北孝感•模拟预测)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生

监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个

部门将首先征求相关专家的意见和建议，己知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请

的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门

的邀请后，专家如约参加会议.

(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.

(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取

部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀

请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了加®©N*,2<〃?<100)名代表，卫

生监督管理部门邀请了〃(〃€^,2<〃<100)名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门

的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且加+“>100,请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人

数.(备注:最大似然估计即最大概率估计，即当尸倭与取值最大时，X的估计值为目

【变式7-1](2024・高三・湖南长沙•阶段练习)统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现

象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中/种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼用J表示其中/种

鱼的条数，请写出4的分布列，并求4的数学期望£仔)；

(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20

条鱼，发现有记号的有5条.

(i)请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.

(ii)统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法一最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高

概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最

大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

【过关测试】

1.(2024・河南・模拟预测)甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:

当球在甲手中时，若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时,

若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大

于3,则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.

(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望；

⑵投掷〃次骰子后(〃eN*),记球在乙手中的概率为4,求数列｛4｝的通项公式；

、72_n\d,d.乙〃/z*\

(3)设4,="^TT-2,求证：—<-(«eN).

317

|A,-!23d2d3dn+x2'

2.(2024・高三・云南保山・期末)现有甲、乙两名篮球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为。，乙

每次投篮命中的概率为

(1)为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若

甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜；若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜；其它情况认定为平局，

获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得

游戏的胜利.求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率.

(2)投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则对方投篮，第一次

投篮由甲完成，设々为第〃次投篮由甲完成的概率.

⑴求4，6,6的值;

(ii)求月与qT的关系式，并求出门.

甲、乙均不得分的概率是1-2-2=?，

甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分是3：0或4：1,

当比分是3：0时，甲获胜的概率为c；x仕丫

当比分是4：1时，甲获胜的概率为c；x(n4x，=,，

3(6)31296

所以甲恰在第五局结束后取得游戏胜利的概率为工+3=2.

1296144648

(2)(i)由题意知：月=1，6=。=；，\

(ii)由题意知：当“22时，勺="T+:(1-£T)="T+!，

2363

所以q又4T=1

56V5)55

所以［匕-］］是以3为公比，3为首项的等比数列；

5J65

3.(2024・高三・浙江・开学考试)一般地，〃元有序实数对(%,电，…当)称为"维向量对于两个"维向量

3=(%,")3=(4也,…，幻，定义：两点间距离d=_q)2+(%_。2)2+…+("_%)2，利用力维向

量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点

的距离力，与哪个标准点的距离《，最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务

能力分值(％)、管理能力分值(出)、计算机能力分值(%)、沟通能力分值(%)(分值%eN*,屹｛1,2,3,4｝代表要

求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：

业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分

冈LLJ位

(%)(%)(«3)(«4)值

会计⑴215412

业务员

523515

(2)

后勤(3)235313

管理员

454417

(4)

对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量

£=(%,02，。3，。4)的四个坐标.

(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；

(2)小刚与小