2025年新高考数学复习压轴题讲义：初等数论与几何背景下的新定义（六大题型）（学生版）

专题09初等数论与几何背景下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：进位制

题型二：数对序列

题型三：群论

题型四：平面几何

题型五：置换

题型六：余数、约数

【典型例题】

题型一：进位制

【典例1-1】（湖南省衡水金卷2023-2024学年高三二调数学试题）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育

规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主

画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“

“是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码（0）11111100100,换算成十

【典例1-2】（安徽省合肥市2024届高三学期第二次教学质量检测理科数学试题）通信编码信号利用8EC信

道传输，如图1，若8EC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若2EC信道传输失

败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）.

信号U

图1图2

华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两个相互独立的5EC信

道传输信号为例)：如图3,信号4直接从信道2传输；信号K在传输前先与4“异或”运算得到信号X1，

再从信道1传输.接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号K或

U2.

图3

(注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算.两个相同数字“异或”得到0,两个不同数字“异或，，得到1,“异或”

运算用符号“㊉"表示：0©0=0,1©1=0,1©0=1,0㊉1=1.“异;运算性质：则Z=C㊉8).假

设每个信道传输成功的概率均为M0<P<1).46={0,1}.

(1)在传统传输方案中，设“信号5和6均被成功接收”为事件A,求尸(/):

(2)对于极化码技术：①求信号〃被成功解码(即根据BEC信道1与2传输的信号可确定Q的值)的概率；②

若对输入信号q赋值(如G=0)作为己知信号，接收端只解码信号。2,求信号4被成功解码的概率.

【变式1-1](上海市十校2024届高三学期3月联考(文理)数学试题)规定：对于任意实数A,若存在数列{%}

和实数X(XKO),使4=%+%尤+%产+…+%尤"7,则称A可以表示成x进制形式，简记为：

N=…如：^=2~(-1)(3)(-2)(1),表示A是一个2进制形式的数，且

^=-1+3X2+(-2)X22+1X23=5；

⑴已知机=(1-2x)(l+3f)(xR0),试将m表示成尤进制的简记形式；

1---------------------22

/?

(2)若数列{〃〃}满足q=2,ak+x=—,(EN*，6〃=2~…nwN*,求证：bn=-8--；

1—“左77

⑶若常数f满足，片0且"-1，Z="(C,)(C.6)..(C>)(Q"),求!吧}•

Un+\

题型二：数对序列

【典例2-1】(北京市西城区2024届高三学期期末数学试题)给定正整数NN3,已知项数为加且无重复项的

数对序列A：(%,%),(工2,必)，…,(X",”,)满足如下三个性质：①%,％e(l,2,­••,#},且X尸%(z=l,2,­••,»/)；

②%+1=%（，=1,2,…,〃L1）；③（0,q）与（q,0）不同时在数对序列A中.

（1）当N=3,加=3时，写出所有满足再=1的数对序列A；

⑵当N=6时，证明：＜13；

（3）当N为奇数时，记加的最大值为7（N）,求T（N）.

【典例2-2］（上海市杨浦高级中学2023-2024学年高一学期期中数学试题）对于四个正数根、小P、4,若满

足mq＜"P，则称有序数对（见〃）是（。,4）的"下位序列

⑴对于2、3、7、11,有序数对（3,11）是（2,7）的"下位序列"吗?请简单说明理由;

（2）设。、b、c、d均为正数，且（。*）是（G"）的“下位序列”，试判断：、三、*之间的大小关系；

bab+a

⑶设正整数”满足条件:对集合｛加0＜加＜2021,加eN｝内的每个加，总存在正整数上,使得（~2021）是（左,〃）

的“下位序列”，且伏,〃）是（加+1,2022）的“下位序列”，求正整数〃的最小值.

题型三：群论

【典例3-1】（安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）对称变换在对称数

学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在皿旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称

K具有对称性，并记a为K的一个对称变换.例如，正三角形R在/（绕中心。作120。的旋转）的作用下仍

然与R重合（如图1图2所示），所以叫是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，

（123、

记吗=312；又如，氏在气关于对称轴〃所在直线的反射）的作用下仍然与五重合（如图1图3所示％

（123、

所以4也是火的一个对称变换，类似地，记4=132•记正三角形尺的所有对称变换构成集合§•一个

非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：

I.\/a,bGG,aobEG；

II.X/a,b,cGG,（〃。/?）。。=。。伍。。）；

III.,\/awG,a^e=eoa=a；

IV.VtzGG,GG,a^a~x=a~x^a=e-

对于一个群G,称III中的e为群G的单位元，称W中的/为。在群G中的逆元.一个群G的一个非空子

集，叫做G的一个子群，假如〃对于G的代数运算。来说作成一个群.

图1图2

(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素);

(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如

123132213231312321

.对于集合S中的元素，定义

312321132123231213

bb/

dy“3h23%

一种新运算*,规则如下:*

Ab?4qC2C3

{q,g,%}=他也也}={cj,c2,c3}={1,2,3}.

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;

②己知〃是群G的一个子群，e,e'分别是G,〃的单位元，aeH,a-1"分别是。在群G,群H中的

逆元.猜想e,♦之间的关系以及/I〃'之间的关系，并给出证明;

③写出群S的所有子群.

【典例3-2】(江西省部分学校2023-2024学年高二学期3月联考数学试卷)将数列｛。"｝按照一定的规则，依

顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为｛%｝的一个分群数列，｛0｝称为这个分群数列的原数列.如

(%,电，…,％)，(%+1，4+2,…，4)，(%+1吗+2,…,4)…，是｛叫的一个分群数列，其中第左

个括号称为第左群.已知｛。“｝的通项公式为。“=2〃-1.

(1)若｛%｝的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第人群的中间一项为“，求数列抄“｝的通项公

式；

(2)若｛4｝的一个分群数列满足第人群含有后项，4为该分群数列的第后群所有项构成的数集，设

M=｛m\ameAk,am+1eAk+2],求集合M中所有元素的和.

【变式3-1]（2024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型））对于非空集合G,定义其在某一运算

（统称乘法）“x”下的代数结构称为“群”（G,x）,简记为G*.而判断6）<是否为一个群，需验证以下三点：

（封闭性）对于规定的“x”运算，对任意〃,6eG,都须满足axbeG；

（结合律）对于规定的“x”运算，对任意a,6,ceG,都须满足。x（bxc）=（axb）xc；

（恒等兀）存在eeG,使得对任意aeG,exa=a-

（逆的存在性）对任意aeG,都存在beG,使得ax6=6xa=e.

记群G*所含的元素个数为〃，则群G*也称作“〃阶群”.若群G*的“x”运算满足交换律，即对任意a,beG,

axb^bxa,我们称G'为一个阿贝尔群（或交换群）.

（1）证明：所有实数在普通加法运算下构成群R+;

（2）记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“x”运算使得C在该运算下构成一个群仁,

并说明理由；

（3）所有阶数小于等于四的群G，是否都是阿贝尔群？请说明理由.

题型四：平面几何

【典例4-1】（河南省郑州市名校教研联盟2024届高三学期模拟预测数学试卷）平面几何中有一个著名的塞尔

瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距

离的2倍.若点N,B,C都在圆E上，直线3c方程为》+>-2=0,且忸C|=2而，入花。的垂心G（2,2）

在△NBC内，点£在线段/G上，则圆£的标准方程.

【典例4-2】（江西省智慧上进2024届高三学期入学摸底考试数学试题）如图，直线/与“3C的边3c的延

长线及边/C,分别交于点D,E,F,则丝.隼.9=1,该结论称为门奈劳斯定理，若点C为8。的

DCEAFB

中点，点厂为48的中点，在AJBC中随机取一点尸，则点尸在内的概率为（）

12

AB.-cTD.

-I33

【变式4-1]（多选题）（宁夏银川市第二中学2023-2024学年高一学期月考一数学试卷）“圆幕定理”是平面几何

中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的

两条线段长的积相等.如图，已知圆。的半径为2,点P是圆。内的定点，且0P=力,弦/C,均过

点尸，则下列说法正确的是()

A.|祠•瓯的最大值为12B.方.反的取值范围是［-4,0］

C.PAPC^-2D.当NC/AD时，荔•丽为定值

题型五：置换

【典例5-1】(浙江省名校协作体2023-2024学年高三学期返校考试数学试卷)置换是代数的基本模型，定义

域和值域都是集合/=｛1,2,…㈤,〃eN+的函数称为"次置换.满足对任意ie4/(，)=，的置换称作恒等置换.

所有〃次置换组成的集合记作S”.对于，我们可用列表法表示此置换：

(12…〃］、

/⑴1(1)/⑵…/(")『记

/(0=/(0，/(/(。)=尸⑺，/(尸⑼=/(),…，/尸【))=/(),ie4先加..

(1)若/0€S4，［(，)=［421计算7%)；

(2)证明：对任意/(。仁邑，存在左©N+，使得/⑴为恒等置换；

(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张

变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，……，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原

来的牌型？请说明理由.

【典例5-2】(山东省青岛市2024届高三学期第一次适应性检测数学试题)记集合S=｛｛%｝|无穷数列｛%｝中

存在有限项不为零，”eN*｝,对任意｛叫eS,设变换/■(｛%｝)=q+%x+…+4婷+…，xeR.定义运

算区:若｛%｝,也｝eS,则｛%｝®也｝eS,/他滓同)=/(｛端＞/(｛4｝).

(1)若｛%｝③也｝=｛乙｝，用生,出,。3，。4,4也也也表示加4；

(2)证明：也｝)包七｝=｛叫区他｝®匕｝)；

(W+1)2+1z]x203-n

,l<«<100b„=h)'1*〃"叫｛4H%｝③出｝，证明：醺。

(3)若an=<+

0,77>1000,”〉500

【变式5-1](江苏省淮阴中学等四校2024届高三学期期初测试联考数学试卷)在平面直角坐标系xoy中，若

在曲线片的方程尸(xj)=0中，以(芥，力)(2为非零的正实数)代替(x,y)得到曲线E2的方程/(公办)=0,

则称曲线耳、当关于原点“伸缩”，变换(x/)f(而,右)称为“伸缩变换”，力称为伸缩比.

221

⑴已知曲线耳的方程为伸缩比2=3,求片关于原点“伸缩变换''后所得曲线外的方程；

Lv2

⑵射线I的方程了=缶(》20),如果椭圆用：3+V=1经“伸缩变换”后得到椭圆外,若射线/与椭圆月、

区分别交于两点48,且|N8|=在，求椭圆玛的方程；

(3)对抛物线及：，=2?小，作变换曲力"(力,右),得抛物线与：，=2P2八对反作变换

(x,y)f(4x,4y),得抛物线JX2=2/V；如此进行下去，对抛物线与：/=2%y作变换

(尤/)“伉x"j),得抛物线纥h幺=2%+以,....若”=1,1=2",求数列｛0,｝的通项公式P..

【变式5-2](江苏省徐州市2024届高三学期新高考适应性测试数学试卷)对于每项均是正整数的数列P-.

%,七,•••,%,定义变换工，Z将数列P变换成数列彳(0)：〃吗…qT.对于每项均是非负整数

的数列。：4也,…也，定义S(0”2(4+2\+…+mb„)+42+b；+…定义变换:,4将数列。各项从大到

小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列与(。).

(1)若数列勺为2,4,3,7,求S(4(q))的值；

(2)对于每项均是正整数的有穷数列片，令刈=%(4(A)),/ceN.

⑴探究S伍(月))与S(⑷的关系；

(ii)证明：s(%)〈s(4).

题型六：余数、约数

【典例6-1】约数，又称因数.它的定义如下：若整数。除以整数加(加/0)除得的商正好是整数而没有余数,

我们就称。为机的倍数，称加为。的约数.设正整数。共有左个正约数，即为％,电，…吗t，%(%＜出＜…＜。无).

(1)当人=4时，若正整数。的左个正约数构成等比数列，请写出一个。的值；

(2)当心4时,若电-…,%-构成等比数列，求正整数。；

(3)记4=%出+"2a3+…+/必，求证：A＜a2.

【典例6-2](河北省2024届高三学期大数据应用调研联合测评(V)数学试题)设a,b为非负整数，m为正整

数，若a和b被加除得的余数相同，则称。和b对模机同余，记为。三b(mod").

⑴求证：233+l=65(mod7)；

(2)若p是素数，〃为不能被p整除的正整数，贝U淤Tml(mod0),这个定理称之为费马小定理.应用费马小

定理解决下列问题：

①证明：对于任意整数x都有产-x三0(mod546)；

②求方程x9+x7-x3-x^0(mod35)的正整数解的个数.

【变式6-1](湖北省襄阳市第五中学2024届高三学期开学考试数学试题)“物不知数”是中国古代著名算题，

原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二.问

物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2,被5除余3,被7除余2,那么这个数是多少？若一个数x被

机除余厂，我们可以写作x三r(mod"7).它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍

求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大

依次排序.中国剩余定理：假设整数叫，吗，…，叫两两互质，则对任意的整数：V，%,…，4,方程组

x=rx(mod叫)

x三尸(modm)

"一定有解，并且通解为了=劫/+5”|+勺2川2+“-+，/”，，其中先为任意整数，

x=^(modm„)

M

M=加即2…加”，M=—，4为整数，且满足M4=1(mod吗).

(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第"个满足条件的正整数；

(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和.(提示：可以用首尾进行相加).

【过关测试】

1.(多选题)(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二学期期中联考数学试题)

圆幕定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理，经过圆内一点

引两条弦被这点所分成的两线段长的积相等，己知圆的半径为5,点尸是圆。内的一定点，且尸|=3,过

点尸引两条弦NC,BD,则下列说法正确的是()

A.莎•定为定值

B.无•丽的取值范围为卜25,-7]

C.当ZCIBO时，如图以。为原点，OP为x轴，则48中点M的轨迹方程为/+r-3&-8=0

D.当时，四边形/BCD面积的最大值为40

2.(重庆市南开中学高2023-2024学年高一学期第一次月考数学测试题)对于四个正数办小P、Q,若满足

mq<np,则称有序数对(见〃)是(p,q)的“下位序列”.

⑴对于2、3、7、11,有序数对(3,11)是(2,7)的“下位序歹广吗？请简单说明理由；

(2)设.、b、a、〃均为正数，且(。,6)是(c,d)的吓位序列”，试判断修之间的大小关系.

bab+a

3.(上海市12校2024届高三学期联考数学试题)我们规定:对于任意实数，，若存在数列｛g｝和实数x(xw0),

2

使得/=%+&尤+a3x+.•.+a/i,则称数/可以表示成x进制形式，简记为：

/=x~(%)(%)(%)…(q_J(q,).如：/=2~(-1)(3)(-2)⑴.则表示N是一个2进制形式的数，且

^=-1+3X2+(-2)X22+1X23=5.

(1)已知机=(1-2x)(l+3f)(其中xwO),试将加表示成x进制的简记形式.

(2)若数列｛%｝满足%=2,软-I/丘N*,〃=2~(%)㈤3)…(%1.2乂%乂%,)，(〃€尸),是否存在实

1Uk

常数。和心对于任意的〃eN*,”=p-8"+q总成立？若存在，求出。和乡；若不存在，说明理由.

⑶若常数,满足』且f>-l&=/~(C：)(W(C)…求独白.

4.(2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题)若〃、a、b均为正整数，且〃=a+b,P为一素数，〃、

SSS

a、6的2进制表示分别为"=2%。'，。=8/'0=24。\其中，04%、生、44p-l(，=0,L…,s).证明：

z=0z=0z=0

⑴若"=》p，(4m=0,1,…,s),且对整数/(04/45)均有>。'?(。-1)。'，则：=*小,

其中，卜］表示不超过实数尤的最大整数.

⑵"/ir!=，=|｛'1%+">"('=°1式.")｝卜其中，|/|表示集合A中元素的个数，

5.(湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的

正整数"都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：〃=说m2…左为〃的质因数个数，区为质数，

彳N1/=1,2,…,左)，例如：90=2x32x5,对应1=3,夕［=2,2=3,必=5,4=1,0=2,.=1.现对任意〃EN*,

1,72=1

定义莫比乌斯函数〃⑺=<(-球力一••=〃=1

0,存在々>1

⑴求〃(78)*(375)；

(2)若正整数x,y互质，证明：〃(中)=〃(x)〃5)；

⑶若">1且〃(〃)=1,记〃的所有真因数(除了1和〃以外的因数)依次为卬出，…，％,，证明：

〃(4)+〃(。2)+…+〃(5)=-2.

6.(2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题)离散对数在密码学中有重

要的应用.设P是素数，集合X={1,2,…4-1},若记为"V除以P的余数，〃"，®为十

除以P的余数；设aeX,l.Q®,…两两不同，若优，。=6(〃«0,1广.，。_2}),则称〃是以。为底6的

离散对数，记为〃=log(P)/.

⑴若。=11,。=2,求小埠

⑵对叫，叫仁{0,1,…,p-2},记叫㊉根2为加i+加2除以P-1的余数(当%+啊能被P-1整除时，

叫㊉刈2=0).证明：logS)a(6<8)c)=log(p)aZ^log(p)5,其中七ceX；

2

⑶已知"=bg())M.对xeX#e{l,2,…,p-2},令必=x0A®.证明：x=y20y"^^.

JT

(1)当c=H时，求四边形0/C3的周长；

(2)克罗狄斯・托勒密(“。/续v)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边

形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则

当线段OC的长取最大值时，求DNOC.

(3)问：8在什么位置时，四边形ONC3的面积最大，并求出面积的最大值.

如图，在凸四边形/BCD中,

图I图2~

⑴若43=五,3。=1,乙（图1）,求线段BD长度的最大值；

⑵若/8=2,8。=6,"=8=4（图2）,求四边形/BCD面积取得最大值时角/的大小，并求出四边形Z8CO

面积的最大值.

7.（江苏省南通市如东县等2地2023-2024学年高一学期4月期中联考数学试题）如图,半圆O的直径为2cm,

A为直径延长线上的点，OA^2cm,B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形A8C.设=

（1）当口为何值时，四边形CMCB的面积最大，并求出面积的最大值；

（2）克罗狄斯・托勒密（尸加/e叼）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四

边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，

则当线段OC的长取最大值时，求/ZOC.

8.（上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一学期期末数学试题）如果一个正多面体的所有面都是全等

的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面

体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体，现将它们的体积依次记为，匕，乂，匕，匕2,曝.

正六面体正二十面体

（正方体）

（1）利用金属板分别制作正多面体模型各一个，假设制作每个模型的外壳用料（即表面积）均等于24gcm2,分

别求出匕和匕的值；并猜想匕2与曝的大小关系（猜想不需证明）

（2）多面体的欧拉定理：简单多面体的面数尸、棱数E与顶点数/满足：厂+尸-£=2.已知正多面体都是简

单多面体，设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为加，每个面的边数为〃，求九耳£满足的关系式；并

尝试据此说明正多面体仅有五种.

9.（2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题）近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数

字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，

用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2%与多面体在该点的所有面角之和的差

（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均

为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每

个面角是g,所以正方体在各顶点的曲率为2万-3x1=W，故其总曲率为4%.

222

⑴求四棱锥的总曲率；

（2）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面

体的顶点数为。，棱数为面数为则有：Z+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是

常数.

10.（北京市海淀区中关村中学2024届高三学期12月月考数学试题）设数阵4=""的,其中

422J

an,a12,a2l,a22e{1,2,3,4,5,6}.设S=佃勺,…,q}1{1,2,3,4,5,6},其中q<e2cL<q,/eN*且/w6.定义变

换外为“对于数阵的每一行，若其中有左或-左，则将这一行中每个数都乘以T;若其中没有左且没有-左,

则这一行中所有数均保持不变”（左=弓勺,…,q）双（4）表示“将4经过%变换得到4，再将4经过线变换得

到4,…以此类推，最后将4T经过/变换得到4.记数阵4中四个数的和为4（4）•

⑴若4=1*,S={1,3},写出4经过外变换后得到的数阵4,并求的值;

⑵若4=[；^S={et,e2,e^,求刀（4）的所有可能取值的和；

（3）对任意确定的一个数阵4,证明：4（4）的所有可能取值的和不超过-4.

11.（北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题）如图，7是3行3列的数表，用羯亿/=1,2,3）

表示位于第i行第j列的数，且满足因e{0,1}.

an“2%3

出1。22%

“32。33

数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中对的相邻项仅有心和出一对于数表7，定义操作对为将

该数表中的附以及%的相邻项从x变为l-x,其他项不变，并将操作的结果记为玲（T）.己知数表4满足

a,=0,z,7-e（l,2,3}.记变换中为〃个连续的上述操作，即于:小，如丁…，为,，使得

7]=%（幻＜=期（外,…工=%.（&J,并记7；==（3

⑴给定变换中：件,外，933,直接写出4=%（7；）.

（2）若7,满足牝=%=/2=出3=1，其他项均为0.%是含〃次操作的变换且有7'=%（7；），求"的最小值.

（3）若变换空中每个操作％至多只出现一次，则称变换中是一个“优变换”，证明：任给一个数表

7:（他），他e{0,l}Zje{l,2,3},存在唯一的一个“优变换”中，使得7=乎（3.

12.（北京市东城区2023-2024学年高一学期期末统一检测数学试题）对于三维向量

。斤=6，%/，（4，%/斤©电左=0,1,2/一）,定义