2025年云南省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年云南省高考数学模拟试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)已知集合后收€21鼠|<2},N=1贝UMNN的真子集个数为()

I)

A.5B.6C.7D.8

2.(5分)已知i+2zi=-l+2z,则下列关于z-z说法中不正确的是()

A.z-z的实部为0B.z-z的模为1

C.z-z对应的点y轴上D.(z-Z)i=l

3.(盼)已知向量a=(sin90°,cos0°),b=(l,-l),若cos〈a+入b,a+ub〉=0,贝U()

A.2如=1B2而■；C.2X|i=2D,不确定

4.(5分)已知loga3=l,且函数f(x)=logax(t-x)在区间(0,1)上单调，则实数t的取值范围是()

A.(-0,0)U[2,+0]B.(-,0)U(2,+0)

C.(0,2)D.[2,+0]

5.(5分)已知点A(0,H3),B(2,0)在椭圆CI：捺+*1(a*叫|上，设椭圆G的离心率为由，

双曲线C2：高-俨=l(m：刈)的离心率为e2,若4e?+3eie2=e2,则111=()

A.A/3B、2心更□在

a2

6.(5分)把函数9(乃二4sm(2x-5)的图象向左平移彳个单位，再将横坐标伸长到原来的两倍，得到函数

f(x)的图象，则下列关于函数y=f(x),xe[0,的说法正确的是()

A.f(x)的最小正周期

B.f(x)在区间[0.苧]上有一个极大值点

C.f(x)的最小值为T

D.在为上单调递增，在点，学上单调递减

7.(5分)已知圆C的圆心为C(2,0),且经过点Q(0,l),过圆C上两点A、B分别作圆C的切钱，

若两切线的交点为P(0,-2),则PA・PB=()

A.lCQ-C.■?D.-

444

8.(5分)已知在平行四边形AVBC中,VA=VB=2且/AVB=60°,把三角形VAB沿对角线AB折叠,

使得VC=1,得到三棱锥V-ABC,如图所示，则下列说法中正确是()

A.点V到平面ABC的距离为号

B.直线AB与直线VC不垂直

C.直线VC与平面ABC所成角的正弦值等于造

A

60

D.三棱锥V-ABC外接球的表面积为不n

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)下列说法正确的是()

A.数据12,23,35,47,61的75百分位数为47

B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是

C.数据xl,x2,x3,x4,x5的均值为4,标准差为1,则这组数据中没有大于5的数

D.设数列｛an｝的公比为q,贝U“ai>0且0<q<l”是“｛an｝是递减数列”的必要不充分条件

(多选)10.(6分)已知函数f(x)的定义域为R,把函数f(x)的图象向左平移一个单位，再向下平移

两个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，且f(x)+4x=f(4-x)+8,则下列选项中正确的有()

A.f(2-2024x)+f(2024x)=4

B.f(3)=-2

C.f(x)+f(x+2)=4+4x

D.f(2025)=-4046

(多选)11.(6分)已知Fi(-c,0),F2(c,0)为平面直角坐标系内两定点，动点M(x,y)与点Fz

(c,0)的距离和它到定直线1:=琉勺距离的比是常收；其中a,b,c为AABC的三边长，且CA-CB=0,

ca

设点P为动点M的轨迹上一点，且点P不在坐标轴上，则下列结论中正确的是()

A.当PFiTF2=0时，|PFIIPF^b2

B.若点P在y轴右侧时,则△PFiFz内切圆的圆心在定直线x=a上

C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有4个

D.APFiFz的面积〃——T7W-

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知正项数列{an},满足2an+l-an=an+2（nEN*）,且2,a4+a5,8成等比数列，贝！JSg=

13.（5分）已知函数〃x）=cos竽sin竽-：，（w〉0）在区间［0,3m］上有且仅有两个零点，则实数w的

取值范围为____________________

14.（5分）已知圆F':（x+BM+y^ni2（3J2-3WmW3V2+3）与圆F:6-3尸+『=（6V2-m）2的

一个交点为P,动点P的轨迹是曲线C,点P是曲线C上一点，若则当AMPF的周长

最小时，其面积为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知△回©三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足2J2SAABC=（a斗b2）sinC.

⑴若2J2csin（A-C）=b,求

（2）设AB=5,求AABC周长的最大值.

16.（15分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=V5,PA=2V2,PB=1,PC=2,

PCLPA.

（1）若点E为线段PC的中点，则直线DE与平面PAB是否平行，请说明理由；

（2）求二面角P-AC-D的大小.

17.（15分）2023年中国航天交出了亮眼的成绩，2024年中国空间站工程将陆续实施神舟十八号、十九号

等更多的飞行任务，为增进人类对太空的认识、和平利用太空作出更多的贡献.为了激发学生对航天的

热情，培养出更多的航天英雄，某校在高一航天社团开展了航天知识竞赛，竞赛期间，小航、小天两位

同学轮流回答问题（每人各回答一次为一轮），小航先回答，每人回答一次，两人有1人答对，答对者

得1分，未答对者得T分；两人都命答对或都未答对，两人均得0分.设小航每次答对的概率为

a

小天每次答对的概率为p（o〈p〈l）,且各次回答问题互不影响.

(1)经过1轮答题，记小航的得分为X,若1E(X)=求P的值；

(2)在第(1)间的条件下，若经过n轮答题，用Pn表示经过第n轮答题后，小航的累计得分高于小

天的累计得分的概率，规定Po=0,假设Pn=入Pn+1+uPn-1,则求数列｛Pn｝的前n项和Sn.

18.(17分)在直角坐标系xOy中，直线my-x-m=0经过定点F,动点M位于x轴上方，且到直线丫=

-2的距离与到点F的距离之差为L

(1)求动点M的轨迹W的方程；

⑵设A,B是W上的两点，点F在以AB为直径的圆上，另一点P(t,5)W外，若FB=AP,求四

边形FAPB的面积.

19.(17分)设函切(x)-xt.(jteR).

(1)判断函数f(x)的单调性并证明.

(2)若h(x)=xf(x)且h(x)存在两个极值点xi,x2(xi<x2),求证：)+(^-)-(*-5)»1

2025年云南省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

l.（5分）已知集合M={xeZlx|W2},:1,1'则MNN的真子集个数为（）

【解答】解：因为M={xGZ|lxW2}={xGZ|-2WxW2}={-2,T,0,1,2},

所以MNN={-2,-l,2},则MNN的真子集个数为23-1=7.

婕：C.

2.（5分）已知i+2zi=-l+2z,则下列关于z-z说法中不正确的是（）

A.z-z的实部为0B.z-z的模为1

C.z-z对应的点y轴上D.(z-z)i=l

【解答】解：已知i+2zi=-l+2z,

L,J.z-\i.即z-z=i,则(z-Z)i=-1,所以ABC正确，D错.

故选：D.

3.(盼)已知向量a=(sin90°,COSQ°),b=(l,T),若cos<a+入b,a+ub>=0,则()

A.2X|i=lC.2%=2D.不确定

【解答】解：树髓t,nIWa=(sin900,cos00)=(1,1),b=(1,-1),

所以a+入kF(l+入，1-入),a+ukF(l+u,1-u),

因为cos<a+xb,a+pb>=0,即(a+Xb)l(a+pib),

所以(升入b),(a^ub)=(l+入)(1+口)+(1-入)(1-口)电

整理得入M=-1,所以2M=21；

腿：B.

4.(5分)已知loga3=l,且函数f(x)=logax(t-x)在区间（0,1）上单调，则实数t的取值范围是（）

A.(-0,0)U[2,+0]B.(-,0)U(2,+0)

C.(0,2)D.[2,+0]

【解答】解：由loga3=l,得a=3,则f(x)=log3x(t-x)在区间(0,1)上单调，

当tgO时，由x(t-x)>0,得tvx〈0,

与已知函数f(x)=logax(t-x)在区间(0,1)上单调矛盾，所以t>0,

又“=x(r-x>="jr+tr=—(x-%+〈则u=x(t-x)在区间(0,)上单调递增，

所以g21,解得G2.

故选：D.

5.(5分)已知点A(0「J3),B(2,0)在椭圆G：，+§=l(a>b>0)上，设椭圆C1的离心率为el,

双曲线C2：:……)的离心'率为e2,若好+3eiesFe2,贝1Jm)

AWB巾c."口立

a2

【解答】解：由点A(0,«3),B(2,0)在椭圆Ci：

可得椭圆Cl的焦点在X轴上，且a=2,b=d3,贝

由已知得I,1

电=｛】+常

-2

因为4e?+3eie2e=(4e!-e2)(ei+e2)=0,

所以4e1二e2,则,2=Jl+解得，m

趣：C.

6.(5分)把函和9(x)—4s”i(2x-5)的图象向左平移4单位，再将横坐标伸长到原来的两倍，得到函数

f(x)的图象，则下列关于函数y=f(x),xw[0,苧]的说法正确的是()

A.f(x)的最小正周期“巴

B.f(x)在区丛间[0,孚)上有一个极大值点

C.f(x)的最小值为T

D.在孙知上单调递增,在白，均上单调递减

【解答】解：对于A:由题意知f(x)=4sinx,则f(x)的最小正周期为2口，故A错误；

对于Bf(x)=4cosx,因为4>0,所以/i■!xe[0.?|上的单调性与y=COSX相同，

所以f(x)在区间［0,上有一个极小值点，故B错误;

对于C和D:因为4>0,所以函数f(x)=4sinx在xW［O,当上的单调性和正弦函数y二sinx的单调

性相同，所以函数在［0,即上单调递增，在由，引上单调递减，又岫=0,=_2V2

则gx)的最小值为=-26故C错误，D正确.

故选：D.

7.(5分)已知圆C的圆心为C(2,0),且经过点Q(0,l),过圆C上两点A、B分别作圆C的切钱,

若两切线的交点为P(0,-2),则PAPB=()

133

A.lB.-C.D.-

A4A

【解答】解：由已知可得，圆C的半径r=V(2-0)2+(0-1)2=V5,

由已知及两点间距离公式知|PCH为2户2立

由题意知CALPA且CA45,所以［PAlHlPCF-if,

Q6

故有皿PC.总才

1

?

则co$，XP8・co$2^APC・2COS2£APC-1■2X

由圆的切线性质可得|PB=|PA|=V3,

所以PA•PBM\PA\■\PB\COSLAPB=(V3)2x(-5)«-,.

W：c.

8.(5分)已知在平行四边形AVBC中，VA=VB=2且NAVB=60。，把三角形VAB沿对角线AB折叠,

使得VC=1,得到三棱锥V-ABC,如图所示，则下列说法中正确是()

A.点V到平面ABC的距离注”

B.直线AB与直线VC不垂直

C.直线VC与平面ABC所成角的正弦值等于

D.三棱锥V-ABC外接球的表面积为」竺7r

【解答】解：由题意知四边形AVBC为菱形，AVAB,ACAB为正三角形，如图所示,

取AB的中点M,连接CM,则CMLAB①，过M点做Mz,平面ABC,

建立如图所示的空间直角坐标系，连接VM,贝UA(T,O,O),B(1,O,O),C(O,J3,0),

在直角△VHM中,MH=WMZ-m寿，二V(0.真幸).

贝IJAB=⑵0,0),vc=(0,八，-？:，・••AB•vc-0,则ABLvc,即ABIVC,故B错；

：VA=VB=2,；.VM_LAB②，由勾股定理得CM=VM=d3,

则A(-l,0,0),B(l,0,0),C(0N3,0),

在平面VCM内，过V点做VH_LMC,由①②知AB_L平面VCM,；.VH_LAB,

又ABNCM=M,则VH上平面ABC,即VH为点V到平面ABC的距离,取VC的中点E,连接ME,

1•,AVMC为等腰三角形，,ME=VMC?-CE2=J3-(5)2=孚

M-MCVH=-VCME，VH--缗故A错；

22MLb

元=(o,冬-%),n=(o,o,l)为平面ABC的一个法向量，设直线VC与平面ABC所成角为o,

贝Usin0=|cos〈n,・孚故C错；

VA(-l,0,0),B(l,0,0),C(0^3,0),v(。,曾物

设三棱锥V-ABC外接球的球心为O(x,y,z),则IOAI=IOB|,

由空间两点间距离公式可得

«x+l)2+(y-0)2+(z-0F=«x-l)2+(y-0)2+(z-0)2,整理得x2+2x+lf2_2x+l,

解得x=0,则0(0,y,z),

又：10Al=10g,Vl2+y2+z2=>Ov-V3）2+z2,

解得-W则0（0.卓•Z）,

又T|OA|=|OM，Jl+（妥0）2+N2=Jo+点-¥）?+（.缪）2

解得,■噌则0（0.%累），

设三棱锥V-ABC外接球的半径为R,则炉=|Q曲好+得尸+（辱）2=15

故三棱锥V-ABC外接球的表面积为4"肥=黑九故D对.

履：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)下列说法正确的是()

A.数据12,23,35,47,61的75百分位数为47

B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是

C.数据XI,X2,X3,X4,X5的均值为4,标准差为1,则这组数据中没有大于5的数

D.设数列｛an｝的公比为q,则“ai>0且0<q<l”是“｛an｝是递减数列”的必要不充分条件

【解答】解：5义75%=3.75,故这组数据的75百分位数为47,故A正确；

两位男生和两位女生随机排成一列共有A牛=24种排法，

两位女生不相邻的排法有A2A3=12种，

故两位女生不相邻的概率是点.1,故B正确；

不妨设xi=4-2x,x2=4-x,x3=4,x4=4+x,x5=4+2x,x>0,

Jj((4-2x-4)2+(4-x-4)2+(4-4)2+(4+x-4)2+(4+2x-4)2]-1.

即4x2+x2+x2+4x2=5,解得=必

此时X5=4+d2>5,即这组数据中有大于5的数，故C错误；

由等比数列的通项公式可得，玛-小

当ai>0且(X^<1时，则工0.且丫=4”单调递减，贝IJ,乳-q是递减数列，故充分性满足；

QQ

当％=堤嫩微列，可将故^要性不满足；

所以“ai〉O且0<q<r,是“{an}是递减数列”的充分不必要条件，故D错误.

故选：AB.

(多选)10.(6分)已知函数f(x)的定义域为R,把函数f(x)的图象向左平移一个单位，再向下平移

两个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，且f(x)+4rf(4-x)+8,则下列选项中正确的有()

A.f(2-2024x)+f(2024x)=4

B.f(3)=-2

C.f(x)+f(x+2尸4+4x

D.f(2025>-4046

【解答】解：由函数*x)的图象向左平移一个单位，再向下平移两个单位，所得到的图象对应的函数

为奇函数，

得函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称,

则f(2-x)+f(x尸4,有f(2-2024x)+f(2024x)=4,故A正确;

由“x)+4x=f(4-x)+8,得“x)74-x尸8-4x,

则f(2_x)_f(2+x)=4x,取x=l,得f(l)g=4,

在f(2-x)+f(x)=4中,取x=l,得琪尸2,则氏3)=-2,故B正确;

由*2-x)-f[2+x)=4x,得4-f(x)-f(2+x)=4x,

；.f(x)+f(x+2)=4-4x①，故C错误;

f[x+2)+f(x+4)=-4-4x②,

②-①得f(x+4)-f(x)=-8,

V2025=1+4x506,/.f(2025)=f(l)-8x506=2-8x506=-4046,故D正确.

故选：ABD.

(多选)11.(6分)已知Fi(-c,0),F2(c,0)为平面直角坐标系内两定点，动点M(x,y)与点F2

(c,o)的距离和它到定直线1：*=相距离的比是常1虞中a,b,c为的三边长，且CA•CB=0,

「n

设点P为动点M的轨迹上一点，且点P不在坐标轴上，则下列结论中正确的是()

A.当PF1TF2=0时，|PFriPF4nZb2

B.若点P在y轴右侧时，则APFF2内切圆的圆心在定直线x=a上

C.使得△PFF2为等腰三角形的点P有且仅有4个

D.APF1F2的面积一了F

——公

【解答】解：由已知得"“一口『二=两边平方化简得(c2-a2)x2-(c2-a2)(*),

IX-7-I41

又CA-CB=O,所以^敝为直角三角形，则c2=b?+a2,即c2-a2=b2,

代入(*)式得b2x2-a2y2=a2b2,贝咛一\=1,

故动点M的轨迹是以F(C,0),F2(C,0)为焦点的双曲线，

对于A,根据双曲线的定义可得||PFiHPF2n=2a,

222

两边平方得[PF】I+lPF21-2lPF]llPF2I=4a,

又PFrPFz=O,所以IPFiP+iPFzlwiFiFzPuC2,

222

则2PI£11PF2I=4C-4a=4b,

2

即|PFJ­|PF2I=2b,故A正确；

对于B,设△PF1F2的内切圆与其三边PFi、HF2、PF2的切点分别为M、N、E,

则P1pil=lPMl+/MFil,lPF2l=lPEl+lEF2l,I,

由双曲线定义知2a=IPFiHPFz1=IPMI+1MFiI-1PEHEF2I,

根据圆的切线性质可知|PM=|PEJ,|FzE=|FzM,|MFJ=IFiM,

1

则2a=IPFi]-1PF21=IMF]-1EF21=|FiM-1NF2I,

又2c=|FM+|NF2I,

联立两式得IFiM=|FiO|+|OM=a+c,

又|FQ|=c,所以|OMF,

所以△PFF2内切圆的圆心在定直线x=a上，故B正确；

对于C,根据双曲线对称性分析：要使△PFE为等腰三角形，则BF2必为腰，

在第一象限双曲线上有且仅有一个点P使|PFiI=2c,|PF2I=2c-2a,

此时△PFE为等腰三角形，

也仅有一个点P'使P|'F2I=2c,|PT1|=2c+2a,此时△PEF2为等腰三角形，

同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共8个，所以C错误；

对于D,设IPFiI=m,\PF2I=n,由双曲线的定义可得hn-nl=2a,U!!l(m-n)2=m2+n2-2mn=4a2,(1)

由余弦定理PT^4c2=m2+n2-2mncos/F1PF2,②

②①得，2(l-cosNFiPFz)mn=4b2,

所以mn=■：------2I01r,

l-cos^FiPFi

2

1.JCC-b5g

所以％“=/M"a"=-城南=2瑟广=诏4所以口正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知正项数列｛an｝,满足2an+l-an=an+2(nEN*),且2,a4+a5,8成等比数列，则Sg=16

【解答】解：因为2an+l-an=an+2(nEN*),所以an+1-an=an+2-an+l(nEN*),

所以由等差数列的定义可知：数列｛an｝为等差数列，

又因为区+也)2=2X8=16,且an〉O,

所以a4+as=4,

所以$==竽=3

故答案为：16.

13.(5分)已知函数/(幻・皿等内亨-；,(w>0)在区间［0,3m］上有且仅有两个零点，则实数w的

取值范围为3.I」

【解答】解：由己知得“⑴=sr：,1Y-:.,(W>O),?/(.r)-vrn.Y.x；-U得sinox=l,

因为xe［0,3rr］,贝!I0WWXW3TT3,令wx=t,(Ovts3TT3),

则方程sint=l在［0,3n3］上有且仅有两个根，

s953

由正弦函数的性质知-万<--1?,解得

1~76-2

故答案为：Sat'11

14.(5分)已知圆F':(x+3)2+y2=n)2(3J2-3WmW3V2+3)与圆F:(x-3/+y2=(6J2-m)2的

一个交点为P,动点P的轨迹是曲线C,点P是曲线C上一点，若M(-2,-1),则当AMPF的周长

最小时，其面积为

【解答】解：由圆F:(x+3)2+y2=m2(3d2-3Wn£3d2+3)与圆F:(x-3)2+y2=(6d2-m)2

的一个交点为P,

可得P|F'|=m,|PF|=6V2-m,A|PF'|+|PF|=6J2>|F'F|=6,

...点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且2a=6d2,2c=6,即a=3也,c=3,；.b=3,

...曲线C的方程为一+二=1.VM(-2,-l),F(3,0),则MF|=A/26,

189

/.△MPF的周长为M|F|+|PM|+|PF|=V26+|PMl+2a-|PF)|=V26+6V2+1PM-1PF).

,.•-|MFZIWJPMHPF'IWIMF'I,又|MF'|二J2,IPMHPF'2一J2,

当且仅当P为射线1M与椭圆C的交点时，等号成立，

联立直线F，M的方程y=-x-3与椭圆C的方程用‘方」

y="x-3

消y得x2+4x=0,解得二-4(舍去)•即PQ-3),

S“FF，=jX6x3=G=2*6X1=3

AMPF^ffi^^jSAPFF,-SAMFF=9-3=6.

故答案为：6.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足2V2SAABc=(a^b2-c2)sinC.

⑴若2V2csin(A-C)=b,求山、口彳；)

(2)设AB=5,求4ABC周长的最大值.

【解答】解：⑴已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c国满足2V2Sz^ABc=(aW-c2)sinC,

由三角形的面积公式、“，代入2V2SAABc=(a2+b2-c2)sinC

得2axgabsfnC=(a2+b2-c2)stnC.Ce(0.n).

化简可得上=—'根据余弦定理得cusC=率,即。=:

22nh24

因为2V2csin(A-C)=b,根据正弦定理得(4-0)二smfi

即2sm(A-C)=smB=sm(A+C),

利用两角和与差的正弦公式，

.*.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

O3^/2

/.sinAcosC=3cosAsinC,.=~~COSA5-*-sinA=3cosA

22

即tanA=3,所以OOV；5,办=就=」偎COSA2jLs

利用两角和的余弦公式得:

cot(A+彳)=cosAcos^-slnAsin彳=而x-5------X五=一年

(2)由(1)如。二;设角A、B、C所对应的三边为a、b、c,又AB=5,

由・=---------即V2ab=a2+b2-25=(a+b)2-2ab-25,

所以ab=9：哈f.又(a+b)2%ab,则3+与224x铝心#,

整理得(2-V2)(a+b)2^100,所以a+bW5J4+2J2,

当且仅当id=b="4+2&时等号成立,则a+lY5+5d4+2d2,

则AABC周长的最大值为5+5V4+2V2.

16.(15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=J5,PA=2J2,PB=1,PC=2,

PC±PA.

(1)若点E为线段PC的中点，则直线DE与平面PAB是否平行，请说明理由;

(2)求二面角P-AC-D的大小.

【解答】解:⑴因为AB=BC=CD=DA=V5,所以四边形ABCD为菱形,

如图，连接AC,BD交于点O,贝。AC±BD,

以0为原点，0D所在直线为x轴，0A所在直线为y轴，建立空间直角坐标系.

因为PC=2,PA=2寸2,PCJ_PA,

22

^AC=W+PA=J^+M=2A即心。…

在RtZ\BOA中,OB=^AB2-OAM2,

所以A(0N3,0),B(H2,0,0),C(0,H3,0),DN2,0,0),

易知平面ACD的法向量m=(0,0,l).

/+(y-V3)2+a1=8®

(x+VZ)2+y2+?a»1②.

{x2+(y+V5)2+z2=4®

由OHD得：-4V3y=4,解汽v=-g

2

2=

3f(x+>/2)+3

珞),=_代入②式和③式得H_

r=-V2i7

解得I_g-所以P点坐标为（-J2,-

⑴因为巴-伍-：缴C（0,W3,0）,所以式§_绛塔

贝睡=（-孥,一孥，务

设平面APB的法向量）二（X"）,又AF＜他＜33,印=（0,-蔡埠

则DAP,vJ_BP,所41'=-缶_竽"第=°

＞8P=-

令y=L期2=争无=-乎所以1.当।

因痂力=（一峪X（邛）一等+柒辱=b#0.

则Dgv不垂直，所以当点E为线段PC中点时，直线DE与平面PAB不平行.

（2）设平面APC的法向量回做）,由己知AC=（0,-2q3,0）,AP=（H2,-433”

则m,AC,n21AP%g,*=-2®=o,

叼,AP——V2a——b+堂c—0

解得b=0,令a=l,则c=心,所以n2=（l,0,心）.

记二面角P-AC-D的大小为外（）＜8＜4

所以2磊i=9

又二面角P-AC-D为钝角，因此。=150°,

所以二面角P-AC-D的大小为150°

Az

Tx；-0二

y

17.(15分)2023年中国航天交出了亮眼的成绩，2024年中国空间站工程将陆续实施神舟十八号、十九号

等更多的飞行任务，为增进人类对太空的认识、和平利用太空作出更多的贡献.为了激发学生对航天的

热情，培养出更多的航天英雄，某校在高一航天社团开展了航天知识竞赛，竞赛期间，小航、小天两位

同学轮流回答问题(每人各回答一次为一轮)，小航先回答，每人回答一次，两人有1人答对，答对者

得1分，未答对者得T分；两人都命答对或都未答对，两人均得0分.设小航每次答对的概率为J

小天每次答对的概率为P(O<P<1),且各次回答问题互不影响.

(1)经过1轮答题，记小航的得分为X,若Edj——：求p的值；

(2)在第(1)间的条件下，若经过n轮答题，用Pn表示经过第n轮答题后，小航的累计得分高于小

天的累计得分的概率，规定Po=0,假设Pn=入Pn+1+口PnT,则求数列｛Pn｝的前n项和Sn.

【解答】解：(1)由题意得随机变量X的可能取值为-1,0,1,

P(X=-1)=(1-xp=华,P(X=0)=；xp+(1Y)X(1-P)=宇，

P(x=1)=；X(1-P)=早，

...随机变量X的分布列为：

X-101

2£2-P

P1-P

37.4

.*.F(X)=_1*华+0)(0+1*y=_；,

解得P=;

(2)经过n轮答题，用Pn表示经过第n轮答题后，小航的累计得分高于小天的累计得分的概率，规定

Po=0,假设PYI=^PYI+1+[iPn-1,

由(1)知JP]=?经过两轮投篮，小航的累计得分高的有两种情况：

，fl

一是小航两轮都得1分，

二是两轮小航一轮得0分，另一轮得1分，

经过两轮投篮，小航的累计得分高的概率为+

经过三轮投篮，小航累计得分高有四种情况：

1+1+1,1+1+0,1+0+0,1+1+(-1),

..•经过三轮投篮，小航累计得分高的概率为：

P37，+C”(»K；+GX；X(；)2+C*(»X；=^

*.*Pn=XPn+1+p,Pn-1,当n=l时，有Pl=AP2+pPo,

又Po=0,则弓=套入解得人=;

当n=2时，有|几=p+pp,［；.—=-x——+—.解得〃=；

‘7ar'I^3672166•

61

-%+-

77r即7Pn=6Pn+l+Pn-l,整理得p“.：-4=；、(4-P”J

ip】_%1数列｛Pn-Pn-1｝是以:为首项、:为公比的等比数列，

：・4."(”旧+岛-2+“+&-*).！-；*±,

M,=xx,,x

则&=Pi+P2+^3++^5~||+|-|^+'+|-|^r

YTd"•+/).等+备

18.(17分)在直角坐标系xOy中，直线my-x-m=0经过定点F,动点M位于x轴上方，且到直线丫=

-2的距离与到点F的距离之差为1.

(1)求动点M的轨迹W的方程;