阿氏圆模型（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

阿氏圆模型

一、知识导航

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等

于定值(不为1)的点的集合叫做圆.

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k(k手1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.

下给出证明

法一：首先了解两个定理

在中，是的角平分线，则丝=型

(1)角平分线定理：如图,aABCADNBAC

ACDC

5

■j正明.ABD_BPSABDABxDEAB即丝=阚

,SACDCD'SACDACxDFAC'ACDC

(2)外角平分线定理：如图，在4ABC中，夕卜角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则丝=亚

ACDC

B

CD

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则4ACD义ZkAED(SAS),CD=EDJLAD

,DBABABDB

平分NBDE,贝n”——=一，a——=——

DEAEACDC

接下来开始证明步骤:

如图，PA:PB=k,作NAPB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，——=——=k,故M点为定

MBPB

点，即ZAPB的角平分线交AB于定点；

NAPA

作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，—=-=k,故N点为定点，即NAPB

NBPB

外角平分线交直线AB于定点；

又NMPN=90°,定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.

法二：建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m,0),则B(m,0),设P(x,y),PA=kPB,

即：

J(x+mJ+J=-m)-+J

(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2

(k1—l)(x2+)—(2m+2k2mjx+^k2—1)m2=0

,,2m+11cm7八

x+y---------；--------x+m=0

E-1

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线.

除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:

-PA=-M-4=-2V-A=k7.

PBMBNB

应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心0.

(2)AOBP^AOPA,Fp—=—,变形为。尸2=0^03

OPOA

应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置.

⑶”=2=以".

OAOPPB

应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值.

二、典例精析

1.如图，在AABC中，AB=4,AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，4ACD△ABC.

AT)

解：若△ACDs/\ABC则有——=—即AC2=AB.AD

ABAC

•；AB=4,AC=2

"=%=1

故答案为1.

2.如图，点P是半径为2的：)。上一动点，点A、B为Q)0外的定点，连接PA、PB,点B与圆心O的

距离为4.要使+的值最小，如何确定点P,并说明理由.

【思路分析】构造相似三甭形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求.

【详解】连接OB,OP,在0B上截取OCm，连接AC交。于点P',连接PC.

—=—=-,ZPOC=ZBOP

OBOP2根据阿氏圆可得0P°=OBOC即

POCBOP

“OP222,

.•.P£C^=-1L,gp1-LpB=pc(JC=-----=—=1

PB22OB4

PA+-PB=PA+PC>AC

2

当点A、P、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+gp8的

值最小.

2

3.如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3),点E在以原点O为圆心，2为半径的圆上运动，求+

的最小值.

【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条

线段的长，即为最小值.

44

【详解】如图，在y轴上取一点MIO3),连接OE,EM,AM,贝“OE=2,OB=3,OM=y

.OE0M2

OBOE3

又,:ZEOM=ZBOE

:.一EOMjBOE

，空=也=2,即EM=2BE

BEOE33

/.AE+-BE=AE+EM>AM

3

当A、E、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长.

在凡AQW中，AM=VOM2+OA2=

3

24710

•••当E为线段AM与;。的交点时，+有最小值为

33

39

4.如图，已知抛物线y=--X?+—x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,

44

点E的坐标为(2,0),将线段OE绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为a(0°Vtz<90°),连接3E'、

CE',求BE'+gc?的最小值.

y

【思路分析】由旋转可知£点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧,

在y轴上找一点，构造相似三甭形，再结合各点坐标求解即可.

3Q

【详解】解：..,抛物线的解析式为y=--x2+—x+3

44

3(4,0),C(0,3)

•.•点E的坐标为(2,0)

.••点的运动轨迹为以原点。为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧.

44

如图在y轴上取一点,连接OE'EMIM,则OE'=2,OC=3,OM=-

3

.E,MOM2

OC~~OE'~3

又,:ZE'OM=ZCOE

：.E'OM^COE'

E'M22

=YPE'M=_CE'

CE,33

/.BE'+-CE'=BE'+E'M>BM

3

当B、E\M三点共线时，的值最小，最小值为BM的长.

,/BM=y/OM2+OB2=J]]+42=

24J1O

•二当石''为BM与圆弧的交点时，有最小值为—--

三、中考真题演练

1.(2022•广东惠州•一模)如图1,抛物线>=依2+次-4与x轴交于AI两点，与y轴交于点C,其中点A

的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴是直线％=

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是直线3c下方的抛物线上一个动点，是否存在点?使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出

点P的坐标若不存在，请说明理由；

(3)如图2,过点8作3尸，3c交抛物线的对称轴于点以点C为圆心，2为半径作(C,点Q为C上的

一个动点，求立8。+尸。的最小值.

4

2.如图1,抛物线y="+(a+3)x+3(aW0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在无轴上有一动点醺机。)

(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线48于点N,交抛物线于点P,过点P作尸于点

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：

C.6

(2)设APMN的周长为G，AAEN的周长为C。，若才=二求相的值.

(3汝口图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为。(0°<«<90°),连接以4、

2

E'B，求E'A+jE'B的最小值.

3.(2019・山东・中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两

点，抛物线y=x?+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

(1)