2025年中考数学思想方法复习【转化思想】函数中的转化思想（原卷版）

函数中的转化思想

知识方法精讲

1.转化思想

转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思

维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过

变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题;

将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换转化为已解决的问

题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成

简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以

及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使

问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静,

由抽象到具体等转化思想。

2.一次函数综合题

(1)一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

(2)一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前

面范围内的前提下求出最值.

(3)用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

3.二次函数的图象

(1)二次函数夕二办2(aWO)的图象的画法：

①列表：先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点.

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点.

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在

顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序

用平滑的曲线连接起来.画抛物线》=仆2QW0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用

描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧.

(2)二次函数yMqf+bx+c(aWO)的图象

二次函数^="2+及+。(QWO)的图象看作由二次函数>=办2的图象向右或向左平移|互|

2a

个单位，再向上或向下平移।超」3个单位得到的.

4.二次函数的性质

2

二次函数V=ax2+bx+c(QWO)的顶点坐标是(-一，b),对称轴直线'=-q_,

2a4a2a

二次函数歹=Qf+bx+c(aWO)的图象具有如下性质：

①当Q>0时，抛物线v=Q/+bx+c(QWO)的开口向上，XV--L时，y随X的增大而减小;

2a

2

X>--L时，y随X的增大而增大；x=--L时，y取得最小值纥0一,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当a<0时，抛物线y=a/+6x+c(a¥O)的开口向下，x<-时，/随x的增大而增大;

2a

2

x>-旦时，V随X的增大而减小；x=-_k_时，4取得最大值要0一，即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线yuaf+fcr+cCaWO)的图象可由抛物线>=办2的图象向右或向左平移|--L|个单

一2a

位，再向上或向下平移|个单位得到的.

5.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

6.待定系数法求二次函数解析式

(1)二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y—ax2+bx+c(a,b,c是常数，aWO)；②顶点式：y—a(x-/z)~+k(a,h,

左是常数，aWO),其中(h,k)为顶点坐标；③交点式：y=a(x-xi)(x-X2)Ca,b,c

是常数，aWO)；

(2)用待定系数法求二次函数的解析式.

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系

式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列

三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

7.抛物线与x轴的交点

求二次函数y=af+6x+c（°,6,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标，令y=O,即^^+加什。

=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数y=ox2+6x+c（a,b,c是常数，aWO）的交点与一元二次方程ax2+6x+c=0

根之间的关系.

△=启-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=y-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=房-4℃=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=庐-4℃<0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常数，aWO）,可直接得到抛

物线与x轴的交点坐标（XI,0）,（X2,0）.

8.图象法求一元二次方程的近似根

利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：

（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；

（2）由图象与夕=〃的交点位置确定交点横坐标的范围；

（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）.

9.二次函数与不等式（组）

二次函数y=ax2+6x+c（a、b、c是常数，aWO）与不等式的关系

①函数值〉与某个数值加之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得

自变量x的取值范围.

②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交

点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.

10.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

选择题（共12小题）

1.（2021秋•余杭区月考）某二次函数的图象与函数>=；/-4》+3的图象形状相同、开口

方向一致，且顶点坐标为（-2,1）,则该二次函数表达式为（）

A.y=-（x-2）2+1B.y=-（x-2）2-1

11,

C.y=-（x+2）2+1D.y=--（x+2）2+1

2.（2021•市中区三模）抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方

程/+（6+2江+3-=0（/为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，则/的取值范围是（）

A.3-#<19B.2C.6</<11D.2-#<6

3.（2021•榆阳区模拟）抛物线y=f+bx+2的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方

程/+酗+2-=0”为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，则/的取值范围是（）

A.1~^<5B.C.5<Z<10D.1~#<10

4.（2020秋•郑城县期末）抛物线了=尤2+法+2的对称轴为直线x=l.若关于x的一元二

次方程+2-=0（l为实数）在T<x<5的范围内有实数根，贝I"的取值范围是（）

A.t^=QB.<17C.<17D.<19

5.（2021•寻乌县模拟）抛物线y=f+亦+3的对称轴为直线x=l.若关于x的方程

/+如+3-=0。为实数）在-2Vx<3的范围内有实数根，贝h的取值范围是（）

A.6<Z<11B.心里C.2~#<11D.2~#<6

6.（2021•启东市模拟）抛物线了=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-l,若关于尤的一元二次

方程*+8+3-=0（/为实数）在_2<x<3的范围内有实数根，贝!k的取值范围是（）

A.-12<TB.-12<Z<4C.-12<pD.-12<;<3

7.二次函数>=/+反的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程/+区-/=0（/为

实数）在-l<x<4的范围内有解，贝卜的取值范围是（）

A.0</<5B.-4-^<5C.—<0D.4

8.二次函数>=X2+版一方的对称轴为％=2.若关于x的一元二次方程X2+乐—=0在

-1<x<3的范围内有实数解，贝Ik的取值范围是（）

A.—■4'^^<5B.—4^-^<—3C.I、、—4D.—3<，<5

9.二次函数了=/+云-1的图象如图，对称轴为直线x=l,若关于x的一元二次方程

丁-2》-1-/=0«为实数）在-l<x<4的范围内有实数解，贝心的取值范围是（）

A.B.—<7C.—2-^f<2D.2</<7

10.（2020•日照二模）抛物线了=苫2+法+3的对称轴为直线工=2.若关于X的一元二次方

程尤?+6尤+3-=0”为实数）在l<x<5的范围内只有一个实数根，贝心的取值范围是（

）

A.（M<8或f=-lB.t^QC.0<?<8D.

11.（2020春•越秀区校级月考）抛物线了=/+及+3的对称轴为直线x=2.若关于x的一

元二次方程x2+bx+3-=0（，为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，则/的取值范围是（

）

A.-1-#<3B.3</<8C.-1-#<8D.—1<Z<4

12.（2020•泉州模拟）二次函数y=Y+bx的对称轴为直线x=l,若关于x的一元二次方程

尤2+法一=0（，为实数）在-3<x<4的范围内有解，则/的取值范围是（）

A.0<Z<8B.—<15C.—<8D.8</<15

二.填空题（共6小题）

13.如图是，二次函数了=-/+4x的图象，若关于x的一元二次方程-尤2+4尤T=0（/为实

数）在l<x<5的范围内有解，贝！U的取值范围是

14.（2021•南关区校级二模）如图，二次函数夕=-/+机x的图象与x轴交于坐标原点和（4,0）,

若关于x的方程--如+/=0（/为实数）在l<x<4的范围内有解，贝卜的取值范围是—.

15.（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线了=/+乐+5的对称轴为直线

x=1.若关于x的一元二次方程/+加+5-/=0。为实数）在-1<工<4的范围内有实数根,

则I的取值范围为一.

16.（2020•立山区二模）抛物线了=Y+6x+3的对称轴为直线x=l,若关于x的一元二次

方程尤2+乐+3-/=0。为实数）在-l<x<4的范围内有实数根，则/的取值范围是.

17.（2020•浙江自主招生）已知了=》2+必-6,当时，><0恒成立，那么实数x的

取值范围是.

18.二次函数夕=/+云的图象如图，对称轴为直线x=l.若关于x的一元二次方程

f+bx-=0(，为实数)在-1<X<4的范围内有解，贝1"的取值范围是

19.(2021秋•槐荫区期末)请阅读下列解题过程：

解一元二次不等式：X2-5X>0.

解：设/_5x=0,解得：西=0,%=5,则抛物线y=--5x与x轴的交点坐标为(0,0)和

(5,0).画出二次函数y=f-5x的大致图象(如图所示).由图象可知：当x<0,或当x>5

时函数图象位于x轴上方，止匕时y>0,即--5x>0.

所以一元二次不等式x?-5x>0的解集为：x<0,或x>5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的—和—.(只填序号)

①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想.

(2)用类似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3<0.

20.(2020秋•历下区期末)如图，直线乙：y=fcc+6与y轴交于点8(0,3),直线:y=-2x-l

交y轴于点N,交直线4于点尸(-1,。.

(1)求左、b和t的值;

(2)求A4Ap的面积；

(3)过动点D(a,O)作x轴的垂线与直线4、12,分别交于“、N两点，且血W<4.

①求°的取值范围；

②当A4Mp的面积是的面积的！时，求的长度.

2

21.(2021秋•惠民县月考)小刚在用描点法画抛物线了="+8+c时，列出了下面的表格:

X-2-101234

y-3023320

(1)请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质:

(2)求抛物线的解析式；

(3)抛物线与x轴的交点分别为/、B(/在2的左侧)与y轴的交点为C,其对称轴与x轴

的交点为。，在抛物线的对称轴上存在点尸，使APCD是以CD为腰的等腰三角形，求出尸

点的坐标；

(4)在(3)的条件下，抛物线上有一点。，使ASC。的内心在x轴上，直接写出点0的坐

标.