2025年中考数学专项突破：锐角三角函数解决实际问题（2易错7题型）（解析版）

通关秘籍07锐角三角函数解决实际问题（2易错7题型）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

■（中考预测

锐角三角形函数值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识

残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，运算和实际问题是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。

2.从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！

■（误区点拨

易错点一含锐角三角形值求值

【例1】（2024•广东深圳•一模）计算：（J-2cos45°+>/8-（K+2024）°.

【答案】V2+1

【分析】本题考查的是零次幕，负整数指数募的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次褰,

代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算零次幕，再合并即可.

【详解】解：-2cos45°+V8-（71+2024）°

=2-2x—+2^-1=2-V2+2>/2-l

2

=y/2+1-

易错点拨

本题考查的是零次基，负整数指数幕的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幕，代入特殊

角的三角函数值，化简二次根式，计算零次塞，再合并即可.

【例2】（2024•安徽蚌埠•一模）计算：+2sin6O°-Vi2+（l-A/3）0.

【答案】5-V3

【分析】根据负整数指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数塞运算法则求解即可.

【详解】］一+2sin6O°-V12+（l-V3）0

=4+痒2用1

=5-yf3-

【点睛】本题考查了负整数指数累、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数嘉，解题的关键是掌

握以上知识点.

【例3】（2024•安徽滁州•一模）计算（-2024）°-2tan45°+、2|+的

【答案】4

【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是先根据零指数幕、特殊角三角函数值、绝对值和算术平方根

将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可.

【详解】解：（-2024）°-2tan45°+1-2|+79

=l-2xl+2+3

=1-2+2+3

=4.

【例4】（2024•湖北襄阳•一模）计算：（V2）2+（3-^）°-|-3|+2COS60°.

【答案】1

【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行乘方，零指数幕，去绝对值和特殊角的三角函

数值的运算，再进行加减运算即可.

【详解】解：原式=2+l-3+2x==l.

2

易错点二实物情景抽象出几何图形

【例1】（2024•河南平顶山•一模）下图是某篮球架的侧而示意图，四边形/3CD为平行四边形.其中

BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在/,D,G处与立柱NH连接垂直于九W,垂足为〃），在8,

。处与篮板连接，旋转点尸处的螺栓可以调节防长度，使支架3E绕点/旋转，进而调节篮板的高度，B

知DH=209cm.

⑴如图1,当NGNE=60。时，测得点C离地面的高度为289cm,求的长度；

⑵如图2,调节伸缩臂斯，将/G4E由60。调节为54。时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？

并计算升（或降）的距离.（参考数据sin54。内0.8,cos54。仪0.6,tan54°»1.4）

【答案】⑴CD=160cm；

⑵点C离地面的高度升高了，升高了16cm.

【分析】本题考查的是平行四边形性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出

合适的辅助线是解本题的关键.

（1）如图，延长3c与底面交于点K,过。作制-〃于。，则四边形。印应为矩形，可得QK=DH=208,

根据四边形/BCD是平行四边形，可得当NGZE=60。时，则/OCD=/0A4=/G4E=60。，此

时NCDQ=30。，Cg=289-209=80,即可求得C£>=2CQ=160；

（2）当NG/E=54。时，则NQCD==/GNE=54。，解直角三角形得C。=C7>cos54。a160x0.6=96,

从而可得答案.

【详解】（1）解：如图，延长8C与底面交于点K,过。作以T”于。，则NDHK=4DQK=/HKQ=90°,

四边形ZV/KQ为矩形，

•.•四边形/BCD是平行四边形，

AB//CD,

当ZGAE=60°时，则NQCD=NQBA=ZGAE=60°,

此时NC£>°=30。，Cg=289-209=80cm,

CZ)=2C2=160(cm)；

(2)解：当/G/£=54。时，贝!|/QCD=&4=/GL4E=54。,

CQ=CD-cos54°«160x0.6=96cm,

而96>80,96-80=16cm,

.••点。离地面的高度升高了，升高了16cm.

易错点拨

本题考查的是平行四边形性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适

的辅助线是解本题的关键.

【例2】（2024•江西南昌•一模）图1是井冈山红旗雕塑的实物图，其正面可大致简化成图2,底座8C=20m,

/B=26。，红旗边4E=2Z8,EF=AC,AC//EF,NE=52。，点B,A,E在同一条直线上.

⑴连接CP,求证：ZBCF=90°.

⑵求雕塑顶端尸到地面3c的距离.

（参考数据：sin26°«0.44,cos26°«0.90,tan26°»0.49）

【答案】⑴证明见解析

⑵雕塑顶端F到地面BC的距离为19.6m.

【分析】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，证明AEFG0ANCG是解本题的关键;

（1）如图，记NE,CF的交点为G,证明/8=/C=/G,再利用等腰三角形的性质可得结论；

（2）利用锐角三角函数先求解CG=20x0.49=9.8,再结合全等三角形的性质可得答案.

【详解】（1）解：如图，记4E,CF的交点为G,

AC//EF,ZE=52°,

ZE=ZGAC=52°,ZEFG=ZACG,

EF=AC,

：.AEFG-ACG,

・・・AG=EG,

*.*AE=2AB,

：.AB=AG,

*.*/B=26°,

ZACB=ZGAC-AB=26°=/B,

・•・AB=AC=AG,

：./ACG=/AGC=1(18(F-52°)=64°,

・・・Z5CG=260+64°=90°,

即ZBCF=90°.

(2)•:/B=26。，ZBCG=90°,BC=20,

tanZB==tan26°«0.49,

BC

：.CG=20x0.49=9.8,

小EFG%ACG,

・•・FG=CF=9.8,

AFC=2x9.8=19.6(m).

?.雕塑顶端F到地面BC的距离为19.6m.

【例3】(23-24九年级下•浙江湖州•阶段练习)如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高

清摄像机和其下方固定的显示屏构成.图2是其结构示意图，摄像机长N8=20cm,点。为摄像机旋转轴

心，。为的中点，显示屏的上沿CD与平行，CZ)=15cm,与CD连接，杆OE_L48,OE=10cm,

CE=2E£),点C到地面的距离为60cm.若43与水平地面所成的角的度数为36。.

⑴求显示屏所在部分的宽度CN；

⑵求镜头/到地面的距离.

(参为数据：sin36°«0.588,cos36°»0.809,tan36°«0.727,结果保留一位小数)

【答案】⑴12.1cm

(2)68.1cm

【分析】

本题考查三角函数的实际应用，准确认清线段关系，作出合适的直角三角形是解题的关键.

(1)过点C作点。所在铅垂线的垂线，垂足为则NDCM=36。，由三角形边角关系即可求出答案；

(2)连接/C,作垂直反向延长线于点“，在RtA/CH中，由NC4H=36。，AC=10,即可求出C",

从而得出答案.

【详解】(1)­：CD//AB,N8与水平地面所成的角的度数为36。，

显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数为36。.

过点C作交点。所成铅垂线的垂线，垂足为则NDCM=36。，

CD=15cm,

CM=CDcosNDCM=15x0.809~12.1(cm)；

(2)如图，连接ZC,作垂直MC反向延长线于点H,

图2

VAB=20cmf。为ZB的中点，

/O=10cm,

*.*CD=15cm,CE=2ED,

CE=10cm,

・.・CD//AB.OELAB,

・•・四边形/CEO为矩形，AC=OE=Wcm,

・・・ZACE=90°f

：.ZACH+ZDCM=ZACH+ZCAH=90°,

・・・/CAH=/DCM=36。,

・，.AH=AC-cos36°=10x0.809=8.09(cm),

・•・镜头A到地面的距离为60+8.09«68.1cm.

抢分通关

题型一仰角俯角问题

典例精讲

【例1】（2024•安徽蚌埠•一模）如图，一居民楼底部8与山脚尸位于同一水平线上，小李在尸处测得居民楼

顶A的仰角为60。，然后他从P处沿坡角为45。的山坡向上走到。处，这时尸C=306m，点C与点A在同

⑴求居民楼48的高度；

⑵求点C、A之间的距离.（结果保留根号）

【答案】（1）居民楼的高度约为30m；

⑵C、A之间的距离为（10历+30）m

【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角

形，并结合图形利用三角函数求解.

（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在中，由sin45o=，|,得出EC的长度，进

而可求出答案；

AR

（2）在RtZ\CQ£中，tan60°=—,得出B尸的长，进而得出尸E的长，即可得出答案.

BP

【详解】（1）解：过点C作CEL8P于点E,

ZCPE=45°,

CF

sin45°=—,

PC

CE=PC-sin45°=30Gx正=30m，

2

•••点C与点A在同一水平线上,

AB=CE=30m,

答：居民楼Z3的高度约为30m；

（2）解：在RtA/B尸中，ZAPB=60°,

AB

/.tan60°

~BP

...BP=卡=lo7im

PE=CE=30m,

.•./C=3E=（10肉30）m,

答：C、A之间的距离为（10若+30）m.

通关指导

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

I____________________________________________________________________________________________

【例2】（2024・江苏南京•一模）如图，山顶有一塔AB,在塔的正下方沿直线。有一条穿山隧道造，从与

£点相距80羽的C处测得/,8的仰角分别为27。，22。.从与月点相距50m的。处测得/的仰角为45。.若

隧道E尸的长为323加，求塔NB的高.（参考数据：tan22°a0.40,tan27°~0.51.）

【分析】延长交CD于点则/"LCD,结合角的正切分析求解直角三角形.

【详解】解：如图，延长A8交。于点"，则/"LCD

在RtA/CH中，ZACH=27°,

「tan27。=券

:.CH=A"=胆

tan2700.51

在Rt^BCH中，ABCH=22°,

•:CH=U=%

tan22°0.40

在RMADH中,AD=45°,

3。嘏

HD=AH.

由题意可得CE=80加，EF—323m,DF=50m

：.CD=CE+EF+DF=453

：.CH+DH=CH+AH=453

又*：CH=旦

0.51

4H

/.°5]+AH=453,解得AH=153,

153

CH=——=300

0.51

:•黑=3。。，解得皿［12。

：.AB=AH-BH=33m

答：塔ZB的IWJ为33冽.

名校模拟

1.（2024♦江苏宿迁•一模）某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测

量天和塔的高度.如图，塔48前有一座高为的斜坡，已知CD=12m,NDCE=30。，点、E、C、/在同

一条水平直线上.某学习小组在斜坡C处测得塔顶部8的仰角为45。，在斜坡D处测得塔顶部3的仰角为

39°.

⑴求。E的长;

⑵求塔的高度.(tan39。取0.8,6取1.7,收取1.4,结果取整数)

【答案】⑴。E的长为6m；

⑵塔NB的高度约为71m.

【分析】本题考查解直角三角形的应用.

(1)根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；

⑵设AB=h,分别在RtVDCE和RM3C4中，利用锐角三角函数定义求得EC=6G,AB=hm,过点。

作。尸_LN8,垂足为尸.可证明四边形。瓦4尸是矩形，得到。尸=£/=(〃+6V^cm,FA=DE=6m.在

Rt△的尸中，利用锐角三角函数定义得到B尸=。尸-tanNAD尸，然后求解即可.

【详解】(1)解：在RtVOCE中，ZDCE=30°,CD=12m,

:.DE=—CD=6m.

2

即DE的长为6m；

(2)解：设/B=7zm,

EC

在RtVOCE中，cosZDCE=——，

CD

EC=CD-cosZDCE=12XCOS30°=6A/3.

在RGBG4中，由tan/5G4=——,AB=hm,ZBCA=45%

CA

Afi

贝(1a=-------=h.

tan45°

EA=CA+EC=(li+66).

如图，过点。作_L/8，垂足为尸.

B

根据题意，N4ED=ZFAE=ZDFA=90°,

...四边形。E4尸是矩形.

DF=EA=(//+6A/3),FA=DE=6.

可得3尸=—功=(小一6).

在RtABDF中，tanZBDF=——,ZBDF=39°,

DF

BF=DFtanZBDF.即//一6=（%+66）tan39。.

._6+6^xtan3906+6x1.7x0.8

••〃=-------------------x-----------------«71（m）.

1-tan3901-0.8

答：塔45的高度约为71m.

2.（2024•河南濮阳•一模）洛阳老君山风景区位于河南省洛阳市栾川县境内，在景区内有一座老子铜像（图

1）.某数学兴趣小组开展了测量老子铜像高度的实践活动，具体过程如下.

【制定方案】

如图2,在老子铜像左右两侧的地面上选取C,。两处，分别测量老子铜像的仰角.且点民在同一水平

直线上，图上所有点均在同一平面内.

【实地测量】

小颖同学用测角仪在点。处测量点A的仰角a为45。，小亮同学用测角仪在点D处测量点A的仰角P为53。,

测得C。两点间的距离约为63.7m.

【解决问题】

已知测角仪的高度为1.6m,求老子铜像高48的值.（结果精确到1m.参考数据：

434

sin53°«—,cos53°»—tan530®—）

553

图1图2

【答案】38m

【分析】

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

连接E尸交于点尸，根据题意可得：CE=DF=BP=l.6m,EF^CD~63Jm,EF_L48,然后设4P=am,

在RtZkNEP中，利用锐角三角函数的定义求出EP=4P=am,再在RMNEP中，利用锐角三角函数的定义

3

求出尸根据EP+FP=所列出方程，进行计算即可解.

【详解】解：由题意，得N4EG=45°,ZAFH=53°,CD«63.7m,CE=D尸=1.6m,

A

如图，连接E尸交于点尸，则四边形ECD尸为矩形，EF=CD63.7m.

4P

设/尸=am.在RtZX/EP中,tan45°=——.IPEP=AP=am

EP

Ap3

在Rt-4FP中，ZAFP=53°,/.tan53°=—,.

FP4

3

■：EP+FP=EF,即一。+。土63.7m,

4

解得a~36.4m,

AB=a+1,6=38m.

答：老子铜像的高48约为38m.

3.（2024•浙江嘉兴•一模）综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度.

【背景】如图1,某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度.

图1图2

【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2,从测量杆到校门所在位置DE在斜坡上有

15块地砖.

【素材2】在点/处测得仰角tanN1=；，俯角tanN2=安；在点B处直立一面镜子，光线BD反射至斜坡CE

的点N处，测得点2的仰角tan/3=g；测量杆上/8：BC=5:8,斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地砖

右边线.

【讨论】只需要在NLN2,N3中选择两个角，再通过计算，可得CE的坡度.

选择两个测量角的正切值：_和_.（填"/I","N2"或"/3"）

任务1分析规划

求NE:CN的值.

任务2推理计算求坡度tan/ECW的值.

【答案】任务1,N2和N3；NE:CN=2:3；任务2,tanZECM=—.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形.

任务1,选择N2和/3；由CE=15,CN=9,可求得=2:3；

任务2,过点£和N作/C的垂线，证明△CGNs^C/殂，推出竺="=丝=3,设CG=3X,CH=5X,

CHHECE5

39GN3

HG=x,BH=a,则BG=〃+2x,求得HE=—a+15x,GN=5a+10x,|艮据——=—,列式计算即可求

5HE5

解.

【详解】解：任务1,选择两个测量角的正切值：/2和/3；

VCE=15,CN=9,

・・・7VE=15-9=6,

JNE:CN=6:9=2:3；

任务2,过点E和N作力。的垂线，垂足分别为点8和G,

:,GN〃HE,

：.△CGNs/\CHE,

.CGGNCN_9

设CG=3x,CH=5x,HG=x,BH=a,则5G=Q+2X,

VAB:BC=5:8f即45:(〃+5x)=5:8,

AAB=-(a+5x),AH=AB+BH=—a+—x,

8V788

由题意得/3NG=/4=/3,ZAEH=Z2,tanZ2=—,tanZ3=-；

245

.AH_5BG_1

''HE-24'GN~5

HE=——aH-----x=—a+15x,GN=5BG=5a+lOx,

5I88)5

..ON3

•HE~5

5a+10x_3

・・・39”二1，

——a+ljx

5

整理得X='4Q2,

25

42

tanZECM=tanZHEC=—=—14

•,HE39=市——=—

—-6?+1JX39、l4255

5—a+15x—a

525

题型二方位角问题

典例精讲

【例1】（2024・重庆•一模）为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才本部的哥哥每周都

会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球.经勘测，大公馆公交站点C在育

才成功学校点A的正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向,

点。在点C的正东方，奥体公交站点£在点。的正北方，点£在点。的北偏东60。方向.（参考数据：

V2»1.414.gw1.732）

⑴求8。的长度；（结果精确到1米）

⑵周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点£汇合.小育的路线为/—。一£,他从点N

步行至点C再乘坐公交车前往点E,假设小育匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度

为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小育上车和下车时间忽略不计）.哥

哥的路线为3—。一£,全程步行，他从点3经过点。买水（买水时间忽略不计）再前往点E,假设哥哥匀速

步行且速度为100米每分钟.请问小育和哥哥谁先到达点E呢?说明理由.

【答案】⑴283米

⑵小育哥哥先到达点E

【分析】本题考查了方位，等腰直角三角形，含30。的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解题的关键

是熟练掌握特殊的直角三角形的性质，以及勾股定理，

(1)利用等腰直角三角形的性质即可求解；

(2)利用直角三角形的性质和勾股定理可求出。瓦。£,在根据时间=路程+速度，即可求解;

【详解】(1)解：依题意得：AC=200mfAB=600m,BFLCD于点F,

BF=AC=200m

/FBD=45°

FD=BF=200m,

:.BD=42BF=2Q0xlA14«283(米)

(2)解：小育哥哥先到达点及理由如下：

易知：CF=AB=600m

CD=CF+FD=600+200=800m,

•••点£在点C的北偏东60。方向，

ZECD=90°-60°=30°,

在RbEDC中，

CE=2.ED

由勾股定理可得：ED-+CD1^CE2

即：ED2+SOO2=(2ED)2,

解得：ED=80°^»462,

3

.•.C£=462x2=924,

〃c=200+80=2.5分，tCE=924^250+2^3.7+2=5.7分，

小育到达点E所花总时间为：〃c+tCE=2.5+5.7=8.2分，

小育哥哥到达点£所花总时间为：t=(283+462)+100。7.5分,

则小育哥哥先到达点E.

通关指导

本题考查了方位，等腰直角三角形，含30。的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解题的关：

键是熟练掌握特殊的直角三角形的性质，以及勾股定理。

L_______________________________________________________________________________________________J

【例2】（2024•湖北襄阳•一模）如图，港口/在观测站。的正东方向，CM=4km,某船从港口/出发，沿

北偏东15。方向航行一段距离后到达8处，此时从观测站。处测得该船位于北偏东60。的方向，求该船航行

的距离（即的长）.

北

西----东

南

OAC

【答案】该船航行的距离为26km

【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点A作/分别解RtZ\3O和RtAZDB,求出的

长即可.

【详解】解：过点A作

北

西十东R

南以/7

修/卬157

OAC

由题意，得：^AOD=90°-60°=30°,AOAB=90°+15°=105°,

ZB=180°-30°-105°=45°,

在Rtz\4DO中，ZAOD=30°,OA=4,

AD——OA—2,

2

在RtA4D3中，ZB=45°,AD=2,

AB=也AD=26；

答：该船航行的距离为2夜km.

名校模拟

1.（2024•重庆•一模）如图，车站/在车站3的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站3

的正东方向.现有一辆客车从车站5出发，沿北偏东45。方向行驶到达。处，已知。在N的北偏东60。方

向，。在C的北偏西30。方向.

⑴求车站8到目的地。的距离（结果保留根号）

⑵客车在。处准备返回时发生了故障，司机在。处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C

出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站/以60千米每小时的速度沿

方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到。处.（参考数据：

V2«1.41,73x1.73,指工2.45）

【答案】⑴（50后+500）千米

⑵能

【分析】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题：

（1）过点。作DE1/C于点£,得出BE=DE,BD=®E，设8E=O£=x千米，则BO=缶千米，在

口△/。£中，=®千米，根据/£=/2+5£列方程求出％=506+50，从而可求出AD；

（2）分别求出的长，再求出应急车和救援车从出发地到目的地行驶时间，再进行比较即可得出答

案

【详解】（1）解:过点。作于点E,如图，

北

西—

由题意知，BADE=60°,ZDBE=90°-45°=45°,

・・・△OBE是等腰直角三角形，

：.DE=BE,BD=yl2DE,

设千米，贝3=岳千米,

4EI-

在Rt△力中，tan/ADE=-----=tan60°=J3,

DE

：.AE=^3DE=/3x,

,:AB+BE=AE,

••100+x=百x>

解得：X=506+50,

：.BD=4ix=^（50^+50）=（50本+506）千米,

即车站8到目的地。的距离为（506+50C）千米;

（2）解：根据题意得，DCD£=30°,

r)p

又cosNEDC=—显

CD2

oo(1八八R

CD=-j=DE=-j=x(50A/3+50)=100+千米,

又：ZDAE=30°,

AD=2DE=2x(50^+50)=(100旨+100)千米，

救援车所用时间为：100+”瞥+35。4.5(时)；

\7

应急车所用时间为：(1006+100)+60々4.55(时)

4.5<4.55,

.♦•救援车能在应急车到达之前赶到D处.

2.（2024・重庆开州•二模）如图，货船在港口/装货，要运至其正北方向300海里处的港口3,由于环境因

素影响，其航行路线有两条：①由港口/出发，经港口C、。休整，最后驶向港口2；②由港口/出发，

经港口E休整，最后驶向港口2（休整时间忽略不计）.经勘测，港口C在港口/西北方向.港口。在港口C

正北方向60海里处，在港口8西南方向.港口E在港口3南偏东70。方向，在港口/北偏东20。方向.

⑴求港口/和港口。之间的距离（结果精确到个位）；

⑵由于时间关系，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②？（参考数据:

VI«1.414,sin20°«0.342,cos20°«0.940,tan20°«0.364）

【答案】⑴港口/和港口C之间的距离是170海里

⑵路线②路程更短

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用.

（1）作CP1AB,先求出/P=8。=。0=。=80海里，再根据三角函数求出答案；

（2）分别求出两种路线的路程，再进行比较即可得出答案.

【详解】（1）由题意得/DA4=/G4B=45。，ZEBA=70°,ZBAE=20°,DC=60,AB=300,

作CPVAB,

北

;

房r

£

，

：

，

。

.-H

T

c;

;

g

"A,1"

：.ZDQB=ZAPC=90°,四边形DC?。是矩形，

ZDBA=ZBDQ=/.PCA=ZACP=45°,DQ=CP,DC=PQ=60,

AP=BQ=DQ=CP,

■：AB=BQ+PQ+PA=300,

220+60=300,

AP=BQ=DQ=CP=120,

在Rt^/PC中，sin45°=—=—=—，

CA2CA

•,-C4=120V2«170(海里)；

答：港口/和港口C之间的距离是170海里.

(2)在。C=60中，sin45°=^=—=—,

BD2BD

•*-C4=120A/2;

DE1RFAT7Ap

在Rt/X/BEE中，sin20°=——=—«0.342,cos20°=—=—=0.940,

一BA300BA300

:.BEa103（海里），AE«282（海里），

路线①的路程为C4+。+。170+60+170它400（海里）;

路线②的路程为E4+BE。103+282名385（海里）；

385<400,

二路线②路程更短.

3.(2024•内蒙古乌海•一模)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到

指挥部通知，在他们东北方向距离6海里的8处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75。方向以每小时5海里的速

度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时7海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船.

⑴图中/ABC=_；

⑵求图中点A到捕鱼船航线3C的距离；

⑶求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.

【答案】⑴120。

(2)40=36海里

⑶巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时

【分析】

(1)由平行线的性质可得N/8尸=N8/£=45。，再利用角的和差运算可得答案；

(2)过点A作的延长线于点。，在Rt△物。中，求解/48。=60。，而/3=6,再利用锐角的余

弦可得答案；

(3)先求解5。=3,再利用勾股定理建立方程求解即可.

【详解】(1)解：如图，由题意可得：/区18=45。，ZFBC=75°,AE//BF,

：.ZABC=ZABF+ZFBC=45°+75°=120°；

(2)

解：过点A作于点。，由/48C=120。，得乙4BD=60。,AB=6

An

sinZABD=sin60°=---

AB

AD=6x^-=36(海里)；

2

设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为X小时；

由题意得：N/3C=45°+75°=120°,48=6,BC=5x,AC=7x,

在RtA/CD中，由勾股定理得：(7x)2=(5尤+3『+(36J,

解得：占=2,%不合题意舍去).

答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时.

题型三坡度坡比问题

典例精讲

【例1X2024•广东江门•一模)甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚5处出发，已知西面山坡的坡度

(坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即tan3=l：K).同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的

坡度3=3:4,坡面NC=1000米.

A

⑴求甲、乙两人出发时的水平距离6c.

⑵已知甲每分钟比乙多走10米.两人同时出发，并同时达到山顶/.求：甲、乙两人的登山速度.

【答案】⑴8C=(600S+800)米

⑵甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米;

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是

解题的关键.

(1)过点N作/。18C,根据坡度比设4D=3x,则CD=4x,利用勾股定理即可求解；

(2)设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为(v+10)分钟/米，列分式方程即可求解.

【详解】(1)解：过点/作4D/3C,如图，

।口h*/口八ADrrr-AD3

由就忌倚：tanB==1:V3,tanC==,

・・・设/£)=3%,则CZ)=4x,

**-AC=^AD2+CD2=5X=1000解得：x=200,

：.AD=600,CD=800

**•―1：A/3,解得：BD-600\/3，

BD

二BC=BD+CD=(600S+800)米；

(2)解：由(1)得：AD=600,BD=600>/31

AB=yjAD2+BD2=1200，

设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为。+10)分钟/米,

经检验：v=50是分式方程的解，

则50+10=60,

...甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米;

通关指导

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是

解题的关键.

【例2】（2024・四川达州•模拟预测）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即

将进入车库时，在车库入口的上方8C处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中8C高度为0.5m,AB

宽度为9m,坡面的坡角为30。.V3«1.73,结果精确到01米.

⑴根据图1求出入口处顶点。到坡面的铅直高度

⑵图2中，线段CE为顶点C到坡面的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该

车库停车？

【答案】⑴4.6m

⑵该车能进入该车库停车

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度〃和水平宽度/的

比是解题的关键.

（1）根据正切的定义求出8。，进而求出⑺;

（2）根据正弦的定义求出CE,根据题意解答即可.

【详解】（1）解：在RtA45D中，NBAD=30°,AB=9m,

BD=AB-tanZBAD=9xg=3®m)

;.CD=BD-BC=34i-Q5a4.6(m),

答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.6m；

(2)解：在Rt^CDE中，NCDE=60°,CD=(3百-0.5)m,

:.CE=CD-sinZCDE=(36-0.5且匕且4.1(m),

224

v4.1>3.9,

该车能进入该车库停车.

名校模拟

1.（2024•辽宁鞍山•三模）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的N8为从一楼到二楼的扶梯的侧

面示意图.小明站在扶梯起点/处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37。，此时他的眼睛。与地面的距

离/D=1.8m,之后他沿一楼扶梯到达顶端3后又沿AL{BL//MN）向正前方走了2m,发现日光灯C刚

好在他的正上方.已知自动扶梯的坡度为1:2.4,的长度是13m.

（参考数据：sin37°«0.6,cos37°~0.8,tan370-0.75）

地面

图⑴图⑵

⑴求图（2）中点3到一楼地面血W的距离；

⑵求日光灯C到一楼地面的距离.（结果保留整数）

【答案】⑴5m

（2）12m

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加合适的辅助线是解题的关键.

(1)过点2作于£,T^AE=xm,由48的坡度为1:2.4BE=』xm,在放A/2E中，由勾股定理

12

得一+((12=132,解得x=12,即可得到答案；

(2)过点C作CF_LMN于尸交班于G,过点。作OJLC尸于J交BE于“，可证得

四边形5EFG,四边形/“F是矩形，求出E/和C7的长度，即可得到答案.

【详解】(1)解：过点2作于E,如=夕=1.801图：

AB的坡度为1:2.4,

,BE1

"-Z4z

/.BE=—xm,

12

在及中，由勾股定理得：x2+^x^|=132,

解得：x=12,

AE=12m,BE=5m,

答：B到一楼地面MN的距离为5m；

(2)过点。作。b_L"N于/交取于G,过点。作D/_LC尸于/交属于4,

------------4—天花板

由题意知：8G=2m,ZCDJ=3T,

VZBEF=ZEFG=90°fZAEB=ZDAE=90°fAD//BE//GF

：.ZBEF=ZEFG=ZBGF=90°,AAEB=ZDAE=ZADH=90°

・•・四边形世尸G,四边形是矩形，

/.EF=BG=2m,AD=FJ=1.8m,AF=DJ,

由（1）可知，AF=AE+EF=12+2=14m,

/.DJ=14m,

在RtACDJ中，tanZCDJ==tan37°«0.75,

DJ

：.CJx0.75DJ=0.75X14=10.5(m),

CF=CJ+FJ=10.5+1.8=12.3®12(m),

答：日光灯。到一楼地面儿W的距离约为12m.

2.(2024・吉林•模拟预测)如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面8C平行于地面斜坡的

坡比为1=1:之，且/8=26米.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造.经地质人

员勘测，当坡角不超过53。时，可确保山体不滑坡.

(参考数据:sin53°~0.8,cos53°~0.6,tan53°~1.33,cot53°~0.75).

⑴求改造前坡顶与地面的距离BE的长.

⑵为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成/尸(如图所示)，那么B尸至少是多少米？(结果精确到1

米)

【答案】⑴改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；

(2)3尸至少是8米；

【分析】

本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度的含义是解本题的关键;

(1)根据坡度的概念得到8E:E/=12:5,根据勾股定理计算列式即可；

(2)作FHLAD于H,根据正切的概念求出结合图形计算即可.

【详解】(1)解：•••斜坡的坡比为i=

:.BE:EA=n-.5,

设8E=12x,则E/=5x,

由勾股定理得，BE2+EA2=AB2,

即(12x>+(5x)2=262,

解得，x=2,

贝lj8E=12x=24,ZE=5x=10,

答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；

FH

(2)作用_LM于则尸H=BE=24,tanZFA/f=—

AH

1.33

・•・砂=18—10=8,

答：虾至少是8米.

题型四实物情景中转动求距离问题

典例精讲j

【例1】(新考法，拓视野)(2024•辽宁沈阳•模拟预测)如图1,某款线上教学设备由底座，支撑臂连

杆8C,悬臂和安装在。处的摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂

ABLl,NB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定乙IBC=148。，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角

提高拍摄效果.

⑴当悬臂CD与桌面/平行时，ZBCD=°；

⑵问悬臂端点C到桌面/的距离约为多少？

(参考数据:sin58°»0.85,cos58°®0.53,tan58°*1.60)

【答案】⑴58

⑵悬臂端点C到桌面/的距离约为52cm.

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意，添加合适的辅助线是解题的关键.

(1)过点B作直线九W〃/,利用平行线的性质得到NA8N=90。，由儿CV〃/,得到肱V〃CD,再根据平

行线的性质即可得到答案；

(2)过点C作CF，/,垂足为尸，过点2作BNLCF,垂足为N,过点。作b，垂足为设DM

与3C交于点G,分别求出小、CN的长度，即可得到答案.

【详解】（1）解：过点5作直线MV〃/,

CD//1,ABU,

：.ZABN=90°,

,:MN〃l,

：.MN\\CDf

：./BCD=/CBN=/ABC-ZABN=148°-90°=58°.

故答案为：58.

（2）过点。作垂足为R过点5作BNLCF,垂足为N,过点。作。MLB,垂足为设。M

与5c交于点G,

则7W