2025年中考数学一轮复习：数与式（解析版）

专题01数与式

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）

知识模块一：实数的有关概念及计算

知识模块二：整式及因式分解

知识模块三：分式

知识模块四：二次根式

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点+1方法技巧）

考点一：实数的分类及正负数的意义

考点二：实数的相关概念及科学记数法

考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质

考点四：二次根式及其运算

考点五：实数的运算及大小比较（高频）

考点六：代数式及求值

考点七：整式的相关概念及运算（含幕的运算）

考点八：整式的化简及求值（高频）

考点九：因式分解（高频）

考点十：分式

考点十一：实数计算中的规律问题的解决方法（方法技巧）

04辨•易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点）

易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别（填空题必考）

易错点2：整式的化简求值

易错点3：分式的有关概念

易错点4：分式的化简求值

思维早襟

按定义分有理数、无理数

分类（

按大小分负实数、0正实数

相关概念正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数（熟记）

实数

加减法运算

乘除法运算

实数的运算平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质（理解）

乘方运算/--------------------------------------------------

-----------《科学记数法（掌握）与近似数

实数的大小比较（掌握）

概念单项式、多项式一代数式、代数式的值

加减运算

寨的运算

整式及因式分解整式的运算（贯穿整个代数部分）

乘法运算乘法公式（熟记）

除法运算

因式分解（掌握）

分式的概念与性质

约分最简分式

性质

分式通分最小公分母

分式的运算法则加减乘除运算法则（掌握）

概念最简、同类二次根式

二次根式的相关概念与性质

二次根式性质双重非负性（理解）

二次根式的运算（掌握）

知识模块一：实数的有关概念及计算

知识点一：实数的分类

1、按实数的定义分类：2、按大小分类：

［正整数ff正整数

正有理数1

整数＜0正实数［正分数数的相关概念:

1负整数知识点二：实

有理数＜|正无理数相反数、绝对

正负数、数轴、

实数＜八知f正分数

分数〈〃八皿实数0

负分数值、倒数（熟［f负整数记）

负有理数1

［正无理数负实数［负分数

无理数＜

知概补充与

负无理数负无理数

识点念拓展

大于。的数叫做正注意：负数前面的负号不能省略.0既不是正数，

数.正数前面加上符正负数的意义：表示具有相反意义的量.在一对具举

正负数号的数叫负数.常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

数轴上的点与实数具有一一对应的关系.

将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数启

规定了原点、正方大.

数轴向、单位长度的直在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.

线叫做数轴.数轴中点公式：数轴上有两点A、5分别表示的数

两点的中点，。所表示的数为则有：2c=x+y.

数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的1

-小数）.

若6互为相反数，则a+6=0（反之亦成立）.

互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点

只有符号不同的两原点的两侧.

个数称为互为相反正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；。的才1

相反数数.身的数是0.

（。+6）的相反数是-（。+6）,（a-b）的相反数是-

多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.

两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，

在数轴上表示数a正数的绝对值是它本身；0绝对值是0;负数的绝对

的点到原点的距离若⑷=〃（或⑷-Q=0）,贝U“X）,若|a|二-〃（或|Q|+Q=

叫做a的绝对值，若〃=/?或〃=-/?,则⑷=|"（反之亦成立）.

绝对值记为|a|.若⑷+四=0,贝！J〃=0且8=0（〃、匕可以是多项式）.

几何意义补充：|x|=|x-0|数轴上表示x的点到原点白

示尤的点与表示1的点之间的距离，|x+2|数轴上表方

之间的距离.

倒数1除以一个不等于0没有倒数.

零的实数所得的若6互为倒数，则漏=1

商，叫做这个数的

互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）

倒数.

倒数是本身的只有1和-L

n个相同的因数a

负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数

相乘记作其中

乘方a为底数，n为指正数的任何次累都是正数.

数，乘方的结果叫

做需规定：〃°二1（〃加）

知识点三：实数的运算

1、科学记数法（掌握）与近似数:

知识点概念补充与拓展

用科学记数法表示数时，确定a,W的值是关键.

当原数绝对值大于10时，写成0X10"的形式，其中lW|a|V10,w

等于原数的整数位数减1.

科学记数法的表示形式为

科学记数

（2X13的形式,其中1呼z|当原数绝对值小于1时，写成axl（y"的形式，其中130<10,“等

法于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面

<10,ri为整数.

的零）.

小技巧:1万=1031亿=1万X1万=108.

近似数与准确数的接近程近似数小数点后的末位数是。的，不能去掉。.

度通常用精确度来表示，

一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数

近似数一般由四舍五入取

近似数字都是这个数的有效数字.

得，四舍五入到哪一位，

就说这个近似数精确到哪一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字.

一位.

2、平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质（理解）

知识点概念补充与拓展

如果一个正数X的平方等于a,即x2=a,

算术那么这个正数X叫做〃的算术平方根.正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为

平方根0；负数没有算术平方根

记为。叫做被开方数.

平方根如果一个数的平方等于。，那么这个数正数有两个平方根，且它们互为相反数.

就叫做a的平方根或二次方根,即如果

0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.

2

x=af那么x叫做〃的平方根.

正数只有一个正的立方根；。的立方根是0；负数只有一

如果一个数的立方等于a,即无3=0那

立方根个负的立方根.

么x叫做a的立方根或一次方根.

互为相反数的两个数的立方根互为相反数

非负数有三种形式：

①任何一个实数。的绝对值是非负数，即|。巨0；

②任何一个实数a的平方是非负数，即a?出；

实数的在实数范围内，正数和零统称为非负③任何非负数的算术平方根是非负数，即伤出.

非负性数.非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

3、实数的运算法则及大小比较（掌握）

（一）常见的实数运算（常出现在选择题）

运算法则

乘方

a11=a-a-a-a（_°）"=卜""为偶数

〃不a'\-an几为奇数

零次累

=1(〃w0)

负整数指数幕a-n=^~(awO,〃为正整数)，特别地：a'=-(a^0).

aa

a-b,a>b

去绝对值符号

\a-b\=0,a=b

b-a,a<b

-1的奇偶次幕

1,"为偶数

-1,〃为奇数

三角函数30°45°60°

j_V2V3

sina

22~2~

V3

cosaV2

2~2

V3

tana

-3-1V3

（-）实数的四则运算法则（穿插在各个题型中）

（1）实数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为

相反数的两个数相加得0；

③一个数同0相加，仍得这个数.

(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.

(3)实数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；

②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数

的个数为偶数时，积是正数；

③几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.

(4)实数除法法则：

①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

(5)乘方的运算法则：正数的任何次暴都是正数；负数的奇次嘉是负数，负数的偶次塞是正数；0的任何正整

数次幕都是0.

4、实数比较大小的6种基础方法：

数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

作差比较法：若。，b是任意两个实数，则①②a-b=Q3a=b；③a-b<GOa<b.

平方比较法：①对任意正实数a,b,若AbgcOb；

②对任意负实数a,b,若点>吩淄a<b.

倒数比较法：若一>:，ab>0,则

ab

b

作商比较法：①任意实数a,b,-=]^a=b；

a

②任意正实数a,b,—>l<=>a>Z?；—<l<=>a<Z?；

bb

③任意负实数a,b,—>10a<b；—

bb

知识模块二：整式及因式分解

知识点一：代数式、代数式的值

1、代数式的概念

用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或者

一个字母也是代数式.

2、代数式的值

用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,代数;

第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.

知识点二：整式的有关概念（常出现在选择题、填空题）

1、整式：单项式与多项式统称为整式.

2、单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数

字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

3、多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常

数项.多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.多项式中单项式的个数，就是这个多项式

的项数.

4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.

5、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并

前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.

知识点三：整式的运算（贯穿整个代数部分）

1、整式的加减运算：

①概念：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.

②去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外

的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

③添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，

括到括号里的各项都改变符号.

2、幕的运算（多出选择题）：

正整数幕的运算性质:暧•优=暧+"；（相y=a"J（ab）m=am,bm.暧+屋=屋一"（"0,加＞〃）.其

中相、”都是正整数.

3、整式的乘除运算

整式的乘除运算步骤说明补充说明及注意事项

①将单项式系数相乘作为积的系数；

②相同字母的因式，利用同底数幕的乘法，1）实质:乘法的交换律和同底数累的乘法法

单项式乘单

作为积的一个因式；则的综合应用.

项式

③单独出现的字母，连同它的指数，作为积2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式.

的一个因式.

1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式

单项式乘多①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；乘以单项式.

项式②再把所得的积相加.2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的

项数与原多项式的项数相同.

运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不

①先用一个多项式的每一项与另一个多项重不漏；

多项式乘多

式的每一项相乘，②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都

项式

②再把所得的积相加.应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项

式，在合并同类项之前，积的项数应等于原

多项式的项数之积.

①将单项式系数相除作为商的系数；

单项式除单②相同字母的因式，利用同底数幕的除法，

项式作为商的一个因式；

③只在被除式里含有的字母连同指数不变.

①先把这个多项式的每一项除以这个单项

多项式除单

式；

项式

②再把所得的商相加

整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.

知识点四：乘法公式（熟记）

1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2（注意公式逆应用）.

2、完全平方公式：（。土bp=/±2"+〃（注意公式逆应用）.

知识点五：因式分解（掌握）

1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.

2、方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）；

（2）公式法：a2+2ab+b2=（a±Z?）2；a1—b~=（^a+b\a—b）■

（3）十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=（%+«）（%+/?）.

3、分解因式的基本步骤：

（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式；

（2）再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止.

简记为一“提”、二“套”、三“检查.

知识模块三：分式

知识点一：分式的概念与性质

1、分式的概念

A

形如石的式子叫做分式，其中A和3均为整式，B中含有字母，注意3的值不能为零.

2、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

AAxMAA-M

—=——.（其中M是不等于零的整式）

~B~BxMBB+M

知识点二：分式的运算法则（掌握）

/-X,a,ba±ba,cad±bcacac

①力口减法：一±—=-----一±—=-------；②乘法:

CCCbdbdb7bd

adad④乘方：M=—（"为正整数）.

③除法：---—•———

babcbe\b）bn

知识模块四：二次根式

知识点一：二次根式的相关概念与性质

1、二次根式的概念：形如血(介0)的式子叫做二次根式.

2、最简二次根式和同类二次根式的概念

最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数

或因式.

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.

3、二次根式的主要性质

(1)\/a>0(a>0)；(2)(&)=a(a20)；

fa(a>0)

⑶，/=|a-

[-a(a<0)

(4)积的算术平方根的性质：y[ab=y/a->0,/?>0)；

(5)商的算术平方根的性质：，|=苧(。2o,b>oy

知识点二：二次根式的运算(掌握)

1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.

2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.

©费考点者法

考点一：实数的分类及正负数的意义

【典例1】(2024•凉山州)下列各数中：5,-;，-3,0,-25.8,+2,负数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：。既不是负数也不是正数.

【解答】解：5>0,是正数；

-1<0,是负数；

-3<0,是负数；

0既不是正数，也不是负数；

-25.8<0,是负数；

+2>0,是正数；

，负数有-g一3，-25.8,共3个.

故选：C.

【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意。既不是正数也不是负数.

【典例2】（2024秋•吴中区校级月考）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回

之旅，月球表面的白天平均温度是零上126°C，记作+126℃,夜间平均温度是零下150℃,应记作（）

A.+150°CB.-150°CC.+276°CD.-276°C

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【解答】解：“正”和“负”相对，所以，2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回

之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃,记作+126℃,夜间平均温度是零下150℃，应记作-150℃.

故选：B.

【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意

义的量.

考点二：实数的相关概念及科学记数法

【典例1】（2024•雅安）2024的相反数是（）

A.2024B.-2024C.」一

20242024

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

【解答】解：2024的相反数是-2024,

故选：B.

【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

【典例2】（2024•成都）-5的绝对值是（）

A.5B.—5C.—D.—

55

【分析】根据绝对值的性质求解.

【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得1-51=5.

故选：A.

【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

【典例3】（2024•包头）若"7,"互为倒数，且满足〃Z+〃"2=3,则〃的值为（）

A.—B.—C.2D.4

42

【分析】根据倒数的定义可得加然后求出机的值，即可得出〃的值.

【解答】解：机与〃互为倒数，

:.mn=\,

m+mn=3,

..tn=2,

1

:.n=—.

2

故选：B.

【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键.

【典例4]（2023•鼓楼区校级三模）明朝地理学家徐霞客从小立志，朝碧海而暮苍梧，一生志在四方，踏

遍锦绣山河，编撰了60余万字的地理名著《徐霞客游记》，其中60万用科学记数法可表示为.

【分析】把一个大于10的数记成axlO”的形式，其中。是整数数位只有一位的数，，是正整数，这种记数

法叫做科学记数法，由此即可得到答案.

【解答】解：60万=600000=6*105.

故答案为：6xl05.

【点评】本题考查科学记数法一表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法.

【典例5】（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【分析】根据1-31=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,而3<2<1,可知1与原点距离最近.

【解答】解：1-31=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,

而3<2<1,

.•.1与原点距离最近，

故选：B.

【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键.

【典例6]（2024•科右前旗模拟）点。在数轴上的位置如图所示，试比较。、工、Ml大小关系正确的是（

a

）

a

]_______।；।_______I_______i»

-2-1012

A.a<—<\a\B.—<a<\a\C.a<\a\<—D.\a\<a<—

aaaa

【分析】根据图示，可得：-1<。<。，据此判定出。、‘、|4|大小关系即可.

a

【解答】解：­,-1<«<0,

A—<-1,0<|（2|<1,

a

1,,

一<a<|a|.

a

故选：B.

【点评】本题考查了数轴，有理数大小比较，理清。的取值范围是解答本题的关键.

【典例7】（2024秋•成华区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把

圆片沿数轴滚动1周，点A到达点A的位置，则点A，表示的数是；若起点A开始时是与-1重合

的，则滚动2周后点A，表示的数是—.

【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可.

【解答】解：.•圆的半径为1个单位长度，

此圆的周长=2万,

，当圆片向左滚动一周时，点A，表示的数是-2万；当圆片向右滚动一周时，点4表示的数是2万，

若起点A开始时是与-1重合的，圆片向左滚动2周时，则A表示的数是-1-4万；圆片向右滚动2周时，A

表示的数是-1+4乃,

故答案为：-2万或2万；-1-41或一1+4万.

【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键.

【典例8】（2024•河北）如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为T,2,

32,乙数轴上的三点。，E,尸所对应的数依次为0,x,12.

（1）计算A,B,C三点所对应的数的和，并求黑的值;

/iCz

（2）当点A与点。上下对齐时，点3,C恰好分别与点E,尸上下对齐，求x的值.

eAB

甲「一2C

-4232

DEF

乙飞一FY-------►

12

【分析】（1）计算Y+2+32即可，根据数轴上两点之间的距离公式先求出4?、AC的长，再计算比值即

可；

（2）先求出DE、止的长，根据题意列出普=经，然后计算即可.

ACDF

【解答】解：（1）点A,B,。所对应的数依次为T,2,32,

.-.A,B,。三点所对应的数的和为T+2+32=30,

AB=2-（-4）=6,AC=32—（T）=36,

.AB_6_1

,AC-36-6；

（2）由数轴得，DE=x—O=x,。户=12—0=12,

人口h*名曰ABDE

由意思俏'益=而'

l_x

•"一二,

612

..x=2.

【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键.

考点三：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质

【典例1］（2024•资阳）若（a-l）2+g-2|=0,则曲=

【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可.

【解答】解：•・•（”1）2+111=0,

二.a—1=0,—2=0,

=l,b=2,

..cib=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了非负数的性质.初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二

次根式（算术平方根）.当它们相加和为。时，必须满足其中的每一项都等于0.

【典例2】平方根”节是数学爱好者的节日，一个世纪只会出现9次，这一天的月份和日期的数字相同，

且恰好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2016年的4月4日，请你再写出一个本世纪的“平方

根”节，一年一月—日（题中示例除外）.

【分析】读懂题意按照题目的方式找一组年月日符合题意的即可.

【解答】解：例如1981年9月9日，

故答案为：1981,9,9.

【点评】本题考查了新定义，做题关键是认真读懂题意.

【典例3】（2024•成都）若切，〃为实数，且（m+4）?+J^二？=0,则（机+〃）2的值为.

【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到加与〃的值，代入原式计算即可得到结果.

【解答】解：m,〃为实数，且（加+4『+&-5=0,

二.“2+4=0,«­5=0,

解得〃z=T,n—5,

.•.（〃?+“）2=（T+5）2=F=1.

故答案为：L

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0.

【典例4】（2024春•西城区校级期中）【阅读材料】

善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程，找到了求较大数的立方根的一种方法：F=i，23=8,33=27,

43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729.

（1）小明是这样求出493039的立方根的.他先估计493039的立方根的个位上的数字，由上面各式他猜想

出这个立方根的个位上的数字为,又由7（）3<493039<8（）3；猜想出493039的立方根的十位上的数字

为,从而得到493039的立方根；

【解决问题】

（2）请你根据（1）中小明的探究方法，完成如下填空：

①V-238328=，②%.571787=.

【分析】（1）根据户=1，23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,7，=343,83=512,9:729的

个位数字所呈现的规律，得到493039立方根的个位数字是9,再根据703<493039<803,得到493039立方

根的十位数字是7,进而得出答案；

（2）①由238328的个位数字是8可知238328的立方根的个位数字是2,再由6。3=216000，703=343000>

而216000<238328<343000得至!J238328的立方根的十位数字是6即可；

②仿照①的方法求出衍南=83'再由=需二音求出答案即可.'

【解答】解：（1）由上面各式可得这个立方根的个位上的数字为9,又由703<493039<8。3；猜想出493039

的立方根的十位上的数字为7,从而得到493039的立方根是79,

故答案为：9,7；

(2)①由于238328的个位数字是8,由F=i，23=8.33=27.43=64.53=125,63=216.73=343,

83=512,93=729可知,

238328的立方根的个位数字是2,

-6O3=216000,703=343000，而216000<238328<343000,

.-.238328的立方根的十位数字是6,

•••4-238328=-62，

故答案为：-62；

②由于571787的个位数字是7,由F=1，2?=8,33=27，43=64,53=125，63=216,73=343，83=512,

93=729可知,

238328的立方根的个位数字是3,

803=512000.903=729000.而512000<571787<729000,

.•,571787的立方根的十位数字是8,

寻’571787=83,

571787*571787

W571787=3,

1000000一*1000000

故答案为：0.83.

【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义，掌握一个数立方根的个位数字所呈现的规律是正确解答的

关键》

考点四：二次根式及其运算

【典例1】（2024•北京）若而百在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.

【解答】解：根据题意得X-9..0,

解得：x.9.

故答案为：x.9.

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

【典例2】（2024•淮安）计算：&毛=.

【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果.

【解答】解：舟,

=2拒」也，

2

=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出正确答案是本

题的关键.

【典例3】（2023春•巨野县期末）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务.

计算：（血+1）?—^4—.

解:原式=2+20+1-*第一步

=3+272-272，.第二步

=3第三步

任务一：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是—.

任务二：请写出正确的计算过程.

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意

的事项给其他同学提一条建议.

【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案.

【解答】解：任务一：一，没有将带分数化为假分数再化简，

故答案为：一，没有将带分数化为假分数再化简，

任务二：原式=2+2啦+1

=3+2A/2--

2

任务三：二次根号内是带分数，需要先化为假分数，再化简.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

【典例4】(2024•广州模拟)我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长。，b,c求三角形面

积的“秦九韶公式"，即S.已知在AABC中，a=&，b=娓,c=«，贝同边

Y42

上的高为()

3264

【分析】根据题意把〃=6，b=瓜,0=近代入求得AABC的面积，再利用面积公式即可求解.

【解答】解：由题意得，々2=5,y=6,c*2*s=7,

22a+bC

^[ab-(2~

!J(30-4)

=—^/26,

2

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式计算方法是解题关键.

【典例5］如果一个三角形的三边的长分别为。，b,c,设p=；(a+6+c),则有下列面积公式:

s=dp(p-a)(p-b)(p-c)(海伦公式)；

$=必。出(秦九韶公式).

如果一个三角形的三边的长依次为5,6,7,利用两个公式分别求这个三角形的面积.

【分析】把。、6、。的值分别代入海伦公式和秦九韶公式，计算即可.

【解答】解：p=^±|±Z=9.

S=,9x(9_5)x(9_6)x(9-7)

=x4x3x2

=6A/6;

S心2"+厂)2]

=/x6一年产

47^

1436x24

2

=—x6x2n

2

=6^/^-

【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质是解决本题的关键.

考点五：实数的运算及大小比较

【典例1】（2024•吉林）若（-3）x口的运算结果为正数，贝I］口内的数字可以为（）

A.2B.1C.0D.-1

【分析】将选项代入，得出运算结果即可.

【解答】解：（-3）x2=-6,故A选项错误；

（-3）x1=-3,故3选项错误；

（-3）xO=O,故C选项错误；

（-3）x（-1）=3,故。选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键.

【典例2】（2024•重庆）估计如