2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】方程与不等式中的新定义问题（解析版）

方程与不等式中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

选择题(共6小题)

1.(2021秋•涡阳县期末)将关于x的一元二次方程f-px+q=O变形为f=px-q,就

可以将f表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如

x3=x-x2=x(px-q)=...,我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较

高的代数式.根据“降次法"，已知：且x>0,贝|/-2/+2》+1的值为()

A.1-V5B.1+V5C.3-V5D.3+75

【考点】解一元二次方程-公式法；高次方程；代数式求值

【分析】由题可知f=x+l,将所求式子变形为x(x+l)-2。+1)+2工+1再求解即可.

【解答】ft?：vx2-x-l=0,

/.X2=X+1,

-212+2x+1

=+1)—2(x+1)+2x+1

—+x—2x—2+2x+1

—+x—1

=(x+1)+x—1

=2x，

vx2-x-1=0的根为x=]+E或x=-,

22

,/x>0,

1+75

..x-,

2

-2尤~+2x+1=1+y/5,

故选：B.

【点评】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方

程的根是解题的关键.

2.(2021•罗湖区校级模拟)对于实数。和6,定义一种新运算"凶"为：a®b=-^,,

a-b

这里等式右边是实数运算.例如：1③3='=-1•则方程x③2=二一-1的解是()

1-328x-4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

【考点】解分式方程；实数的运算

【分析】根据新定义运算列出分式方程，计算即可求出解.

【解答】解：已知等式整理得：—=—--1,

x-4x-4

去分母得：l=2-x+4,

解得：x=5,

经检验x=5是分式方程的解.

故选：B.

【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键.

(a>b)

3.（2021秋•南皮县校级月考）定义一种新运算：。※方二0一"，若5Xx=2,

b7、

(za<b)

则x的值为（）

A10D5—10「5n5f15

A.一B.一或一C.—D.一或一

323222

【考点】有理数的混合运算；解分式方程

【分析】根据题意得出两种情况：x<5和x>5,得出分式方程，再求出方程的解即可.

【解答】解：5Xx=2,

当x<5时，原方程化为：工=2,

当x>5时，原方程化为:

-3x=-10,

经检验x=3是原方程的解，

2

故选：C.

【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

4.（2021•福田区一模）对于实数a,b,定义一种新运算"凶"为：a®b=-^,这

a-b2

里等式右边是通常的实数运算.例如：103=^=--,则方程（-1）=—&--1的解

1-324x-1

是（）

A.x=4C.x=6

【考点】实数的运算；解分式方程

【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解.

【解答】解：根据题中的新定义化简得：—=—-1,

X—1X—1

去分母得：2=6-x+l,

解得：x=5,

经检验x=5是分式方程的解.

故选：B.

【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

5.（2017•杜尔伯特县二模）定义：如果一元二次方程尔+6x+c=0（aw0）满足a+b+c=0,

那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程办2+乐+，=0（。40）满足

6+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方

程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）

A.方有两个相等的实数根B.方程有一根等于0

C.方程两根之和等于0D.方程两根之积等于0

【考点】根的判别式；根与系数的关系

【分析】根据已知得出方程ox?+bx+c=0（a20）有两个根x=l或x=-l,再判断即可.

【解答】解：,把x=1代入方程，+6x+c=0得出：a+b+c=Q,

把x=-1代入方程ax2+bx+c=O得出a-b+c=Q,

方程办2+bx+c=0（a片0）有两个根x=1或x=-1,

.•.1+（-1）=0,

即只有选项C正确；选项/、B、。都错误；

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学

生的理解能力和计算能力.

6.（2020秋•随县期末）规定一种新运算：=/一26,若2凶［1笆）（-刈=6,贝（lx的

值为（）

A.-1B.1C.2D.-2

【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程

【分析】首先根据题意，可得：10（-X）=12-2X（-X）=1+2X,所以2笆）（1+2x）=6,所以

22-2（1+2X）=6；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可.

【解答】解：•.•。名)6=/一26,

10(-X)=12-2X(-X)=1+2X,

v2®[l®(-x)]=6,

20(1+2x)=6,

:.22-2(1+2尤)=6,

去括号，可得：4-2-4x=6,

移项，可得：-4x=6-4+2,

合并同类项，可得：-4x=4,

系数化为1,可得：x=-l.

故选：A.

【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

二.填空题(共5小题)

7.(2021秋•建华区期末)对于非零的两个有理数a、b,我们给出一种新的运算③，规

定：a®b=---,若l®(x+l)=l,贝曦的值为―—L—.

ba2

【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程；解分式方程

【分析】先根据新运算得出方程」―-1=1,再方程两边都乘X+1得出2(x+l)=l,求出方

X+1

程的解，再进行检验即可.

【解答】解：+

.」-L1,

X+11

即，=2,

X+1

方程两边都乘x+1,得2(x+l)=l,

解得：X」，

2

检验：当％=-工时，x+lwO,所以％=-,是原方程的解，

22

故答案为：-工.

2

【点评】本题考查了有理数的混合运算和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此

题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验.

8.（2021秋•东莞市期末）新定义一种运算“☆”，规定.☆6=必+。-6.若2^x=x+

2,则x的值为2.

【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程

【分析】根据题意，可得：2x+2-x=2x+x-2,据此求出x的值为多少即可.

【解答】解：'：b=ab+a-b,2众x=x^2,

2x+2—x—2x+x—2,

整理，可得：2x=4,

解得x=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解

一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

9.（2020秋•福田区校级期末）对x,y定义一种新运算“※"，规定：x※/=机*+"了（其

中",“均为非零常数），若酷1=4,1X2=3.则2X1的值是9.

【考点】有理数的混合运算；解二元一次方程组

【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于根、〃的方程组，则可求得.、”的值，再

代入计算即可.

【解答】解：••・1X1=4,住2=3,

m+n=4

m+1n=3

m=5

解得:

M=-1

贝IxXy=5x-y

.12X1=2x5-1=9,

故答案为：9.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本

题的关键.

10.(2020春•思明区校级期末)新定义：对非负数X“四舍五入”到个位的值记为(X).即

当"为非负整数时，若+1■则(x)=〃.如(0.46)=0,(3.67)=4.给出下列关于(x)

的结论：

①(1.493)=1；

②(2x)=2。)；

③若(gx-1)=4,则x的取值范围是"<11；

④当x^O,m为非负整数时，有(m+2020x)=机+(2020x)；

其中正确的结论有①③④(填写所有正确的序号).

【考点】近似数和有效数字；解一元一次方程

【分析】对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等

式判断.

【解答】解：①(1.493)=1,故①符合题意；

②(2x)w2(x),例如当x=0.3时，(2x)=1,2(x)=0,故②不符合题意；

③若(gx-l)=4,则4-g4x-l<4+；,解得：三<11,故③符合题意；

④为非负整数，故(加+2020x)=加+(2020x),故④符合题意；

综上可得①③④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键

是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解.

11.(2020秋•奉贤区期末)已知°和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：a*b=U

a+b

(其中a+6#0),若加*(—)=—，则加

【考点】有理数的混合运算；解分式方程

【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出他的值.

3

冽5+35

【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得：-J=--,即义士=-2

机_332吁33

2

整理得：3(2加+3)=—5(2冽-3),

去括号得：6m+9=—10m+15>

移项合并得：16加=6,

3

解得：m=-,

8

经检验羽=3是分式方程的解，

8

则加=—.

8

故答案为：—.

8

【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键.

三.解答题(共14小题)

12.(2021秋•市中区期末)用定义一种新运算：对于任意有理数a和6,规定

b=ab2+lab+a.如：1^3=lx32+2x1x3+1=16.

(1)(-2)☆3=_-32_；

(2)若(一☆3)^(-2)=16,求a的值；

(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只

要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N；若M-N=0,则"=N；若M-N<Q,

则”<N.若2^x=〃z,(：x)+3=w(其中x为有理数)，试比较机，力的大小.

【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算；整式的混合运算

【分析】(1)利用规定的运算方法直接代入计算即可；

(2)利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；

(3)利用规定的运算方法得出他、n,再进一步作差即可比较大小.

【解答】解：(1)原式=-2X32+2X(-2)X3+(-2)

=-18-12-2

=-32；

故答案为：-32.

(2)根据题意得：：(〃+1)+3(。+1)+，

99「。a1

=一。+—+3。+3+—+—

2222

=8〃+8

(8a+8)x(-2)2+2x(8a+8)x(-2)+(8a+8)=16

整理得，8〃+8=16

解得：4=1；

•931

（3）已知等式整理得：m=1x~+4x+2,n=—x+—x+—x=4x,

424

m-n=2x*2+2>0,

m>n.

【点评】本题考查了新定义，涉及到了有理数的混合运算、一元一次方程.解题的关键是根

据新定义进行化简整理.

13.（2021秋•西城区期末）我们将数轴上点尸表示的数记为巧对于数轴上不同的三个点

M,N,T,若有赤-*=人（%-芍），其中后为有理数，则称点N是点M关于点7的''人

星点”.已知在数轴上，原点为。，点N,点8表示的数分别为福=-2,%=3.

（1）若点8是点/关于原点。的“后星点”，则左=_-士_；若点C是点/关于点台的

一2

“2星点”，则％=―；

（2）若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段N3的中点。.是

否存在某一时刻，使得点。是点N关于点。的“-2星点”？若存在，求出线段N3的运动

时间；若不存在，请说明理由；

（3）点0在数轴上运动（点。不与4,3两点重合），作点/关于点。的“3星点”，记

为4,作点2关于点。的“3星点”，记为B.当点。运动时，QH+。9是否存在最小值？

若存在，求出最小值及相应点。的位置；若不存在，请说明理由.

A0B

-7-6-5-4-3-2-101234567

【考点】数轴；一元一次方程的应用；规律型：数字的变化类

【分析】（1）由“左星点”的定义列出方程可求解；

（2）设点表示的数为0,点B表示的数a+5,则线段的中点。表示的数为次至，由

2

“左星点”的定义列出方程可求解；

（3）先求出H,2'表示的数，可求04+。Q=|-6-3y|+|9-3y],由绝对值的性质可求解.

【解答】解：（1）•••点8是点/关于原点。的“后星点”，

.•.3-0=©-2-0),

3

解得：k=~,

2

•.・点C是点A关于点B的“2星点”，

XQ—3=2x(—2—3),

/.=-7,

故答案为：—，-7;

2

(2)设点表示的数为0,点2表示的数a+5,则线段N3的中点。表示的数为^

2

;点D是点A关于点。的“-2星点”，

^y^-0=-2x(a-0),

5

..6Z-.....，

6

--+2

•.•I._—_6_—_7,

16

.•.当f=工，使得点D是点/关于点。的“-2星点”；

6

(3)当点。在线段A8(点。不与/,B两点重合)上时，存在最小值，理由如

下：

设点。表示的数为

:点、A'是点N关于点。的“3星点”，

二点4表示的数为-6-2y,

:点、B'是点3关于点0的“3星点”，

.•.点2'表示的数是9-2y,

:.QA'+QB'=\-6-2y-y\+\9-2y-y^\-6-?>y\+\9-2ly\,

当〉<一2时，QA'+QB'=3-9y>2\.

当一2<y<3时，QA'+QB'=\5,

当y>3时，QA'+QB'=6y-3>15,

.•.当点。在线段N3(点。不与N,3两点重合)上时，。4+。8’存在最小值，最小值为

15.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值，理解“左星点”的定义并运用是解题的

关键.

14.(2021秋•长沙期末)若关于x的方程ax+6=0(aW0)的解与关于y的方程

cy+d=0(cH0)的解满足|x-y|=1,则称方程ox+6=0(a*0)与方程qv+d=0(cH0)是"美

好方程”.例如：方程2x+l=5的解是x=2,方程＞-1=0的解是y=l,因为|x-y|=l,

方程2x+1=5与方程y-1=0是"美好方程".

(1)请判断方程5x-3=2与方程2(y+l)=3是不是“美好方程”，并说明理由；

(2)若关于x的方程白芋-x=2左+1与关于y的方程4y-1=3是“美好方程”，请求出左

的值；

(3)若无论俏取任何有理数，关于x的方程在变一|=机(°,b为常数)与关于y的方

程y+l=2y-5都是“美好方程”，求成的值.

【考点】绝对值；一元一次方程的解

【分析】(1)分别求出两个方程的解，再由定义进行验证即可；

(2)求出方程4了-1=3的解是y=l,再由定义可得再由x的值分别求发的值即

可；

(3)先求方程y+l=2y-5的解为y=6,再由定义可得|x-6|=l,再由x的值分别求加的

值即可.

【解答】解：⑴5尤-3=2的解是x=l,

2(y+1)=3的解是V=g，

,1,

•'-Ix-y|=Jw1，

二方程5无一3=2与方程2(y+1)=3不是“美好方程”；

(2)4y-l=3的解是y=l,

...方程史芋一%=2左+1与方程4y-1=3是“美好方程”，

%—11=1,

x=0或x=2,

当％=0时，k=--；

3

当％=2时，k=0；

(3)＞+1=2歹一5的解为》=6,

...方程在詈一，=机与方程＞+l=2y-5是“美好方程”，

x—61—1,

x=7或x=—5

14+mab

当x=7时,一=m,

32

28+2ma—3b=6m,

/.(2a-6)m=36-28，

•.•无论相取任何有理数都成立,

.'.2a—6=0936—28=0,

“3,b巨

3

二.ab=28；

-10+mab

当％=—5时,—=m

329

-20+Ima-36=6m,

/.(2a-6)m=20-36，

v无论m取任何有理数都成立,

2。-6=0,20—3b=0,

6=型

3

，ab=20；

综上所述：仍的值为20或28.

【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，熟练一元一次方程的解法，绝对值的性质

是解题的关键.

15.(2021秋•庆阳期末)若规定这样一种新运算法则：a^b=a2-2ab.如

3*(-2)=3*-2x3x(-2)=21.

(1)求5*(-3)的值;

(2)若(一4)*%=-6-2、，求工的值.

【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程

【分析】(1)先根据新运算得出5*(-3)=52-2x5x(-3),再根据有理数的运算法则进行计

算即可;

(2)先根据新运算得出(-4)2-2x(-4)，=6-2x,再根据有理数的运算法则进行计算，最

后根据等式的性质求出方程的解即可.

【解答】解：(1)5*(-3)

=52-2X5X(-3)

=25+30

=55；

(2)(-4)*x=-6-2x,

(-4)2-2X(-4)-X--6-2X,

16+8x=—6—2x,

8x+2x=—6—16,

10x=-22,

x——2.2•

【点评】不考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能正确根据有理数的运算法则

进行计算是解此题的关键.

16.(2021秋•任城区期末)用“X”定义一种新运算：对于任意有理数0和6,规定.※

b=a(a+b).

例如：1X2=1X(1+2)=1X3=3.

(1)求(一3)派5的值；

(2)若(-2)X(3x-2)=x+1,求x的值.

【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程

【分析】(1)由新运算的定义把式子转化为(-3)(-3+5),再进行运算；

(2)由新运算的定义把式子转化为(-2)[(-2)+(3工-2)]=》+1,然后解方程求x；

【解答】解：(1)由题意知，(-3)X5=(-3)x[(-3)+5]=(-3)x2=-6.

(2)由题意知,(-2)X(3x-2)=(-2)x[(-2)+(3x-2)]=(-2)x(3x-4)=-6x+8,

•.•(-2)X(3x-2)=x+l,

-6x+8—x+1.

移项得：

-lx=-7,

方程两边都除以-7得：

x=l.

...尤的值为1.

【点评】本题是阅读型题目，弄清题目中定义的含义是解题的关键.

17.（2021秋•锦江区校级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出

一个新定义：若%是关于x的一元一次方程ox+6=0（。w0）的解，为是关于y的方程的所

有解的其中一个解，且吃,为满足/+%=100,则称关于y的方程为关于x的一元一次方

程的“友好方程”.例如：一元一次方程3》-2关-99=0的解是％=99,方程/+1=2的

所有解是y=l或y=-l,当%=1时，x0+y0=100,所以/+1=2为一元一次方程

3x-2x-99=0的“友好方程”.

（1）已知关于y的方程：①2y-2=4,②|川=2,

以上哪个方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？

请直接写出正确的序号是②.

（2）若关于y的方程|2/-2|+3=5是关于x的一元一次方程x-与包=。+1的“友好方

程”，请求出a的值.

（3）如关于y的方程2%|y-49|=m+n是关于x的一元一次方程+45〃=54m

的“友好方程”，请直接写出的值.

n

【考点】一元一次方程的定义；含绝对值符号的一元一次方程；解一元二次方程-直接开平

方法

【分析】（1）先求出一元一次方程3x-2x-102=0的解，再解出2»-2=4和|川=2,根据

“友好方程”的定义判断即可；

（2）解出|2y一2|+3=5得解，再解出》一在券=q+1的解是。+3,分类讨论，令

X0+%=100，即可求出a的值；

（3）先解出一元一次方程加x+45几=54加的解，再根据与+盟=100表示出歹，将y代入到

方程2冽|y-49|+冽I；」=冽+〃中化简即可.

【解答】解：（1）3%-2%-102=0的解为/=102,

方程2>-2=4的解是»=3,%+为。100；故不是“友好方程”；

方程Iy|=2的解是y=2或y=-2,当%=-2时，/+盟=100,故是“友好方程”，

故答案是：②

(2)方程|2了-2|+3=5的解是y=2或y=0,一元一次方程x-与&=。+1的解是

X=Q+3，

若%=0,%+%=100,则4+3+0=100,解得0=97；

若%=2,%+%=100,贝iJa+3+2=100,解得a=95；

答:°的值为97或95.

/C、BLL1々刀乙曰54冽一45〃45〃

(3)TUX+45〃—54冽，角牛x=-------------=54--------,

mm

'：x0+y0=100，

45〃45〃

.\j；=100-x=100-(54-------)=46+——；

0mm

八Im(y-1)

•/2m|y-49|H----———=m+n

_45〃,45冽+45〃

2m46H---------49H---------------=m+n；

m45

_.45〃c.

2m|-------3|+m+n=m+n；

m

即2加|j—3|=0.

m

•・•分母m不能为0；

45〃r

-------3=0,即/*=15”；

m

m+nm,，/

-------=—+1=16；

nn

答：%*的值为16.

n

【点评】本题考查解一元一次方程，理解题目定义中的“友好方程”是解题的关键，再通过

解一元一次方程的方法求解.

18.(2020•丽水模拟)新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周

长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形.

(1)已知矩形ABCD的长12、宽2,矩形EFGH的长4、宽3，试说明矩形EFGH是矩形ABCD

的“减半”矩形.

(2)矩形的长和宽分别为2,1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由.

【考点】一元二次方程的应用

【分析】(1)分别计算出矩形/BCD是矩形所GH周长和面积即可说明矩形MG"是矩形

4BCD的“减半”矩形.

(2)假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y,根据如果存在另一个矩形，

它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解.

【解答】解：(1)由题意可知：矩形/BCD的周长=(12+2)x2=28,面积=12x2=24,

矩形EFG8的周长=(4+3)xl4,面积=3x4=12,

所以矩形所G"是矩形的“减半”矩形；

(2)不存在.理由如下：

假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y,

,3

则《x+，y=—2，

xy=\

由①得：y=--x

2

把③代入②得：x2--x+l=0,

2

,2A9.7

b-4ac=--4=——<0,

44

所以不存在.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系.

19.(2020秋•江北区期末)在平面直角坐标系中，已知点/(-3,0),5(3,0),若在坐标轴

上存在点C,使得NC+BC=k,则称点C为点A,8的“人的和谐点”.例如C坐标为(0,0)

时，AC+BC=6,则称C(0,0)为点/,3的“6的和谐点”.

(1)若点C为点/,3的“人的和谐点”，且A43C为等腰直角三角形，求后的值；

(2)A,3的“10的和谐点”有几个，请分别求出坐标；

(3)直接指出/,8的“人的和谐点”的个数情况和相应的左取值条件.

【考点】三角形综合题

【分析】(1)先由/、8两点的坐标求出N5=6,再根据等腰直角三角形的定义得到

AO=BO=OC=3,然后根据“左的和谐点”的定义即可求解；

(2)设点C是点/,8的“10的和谐点”，分类讨论：①如果点C在x轴上，设C点坐标

为(x,0),#|x+3|+|x-3|=10,结合x取值范围解方程即可；②如果点C在y轴上，设C点

坐标为(0/).根据勾股定理求得。C,即可求解；

(3)由=6,可知点A,8的“左的和谐点”的个数情况分三种情况进行讨论：①当左<6

时，根据两点之间线段最短可知N,8的“人的和谐点”没有；②当加=6时，x轴上-3与

3之间的任意一个数所对应的点都是/,B的“左的和谐点”，所以有无数个；③当〃?>6时,

A,8的“左的和谐点”x轴上有2个，y轴上也有2个，一共有4个.

【解答】解：(1)•.•点/(一2,0),5(2,0),

/B=3-(-3)=6,

vA48C为等腰直角三角形，

AC=BC=3叵,

AC+BC=642,

即左=6&；

(2)设点C是点/,3的“10的和谐点”，分类讨论：

①如果点C在x轴上，设C点坐标为(x,0).

AC+BC=10,

.".|x+3|+|x-3|=10,

当23时，-(x+3)-(x-3)=10,

解得x=-5,

所以C点坐标为(-5,0)；

当一3＜9时，(x+3)-(x-3)=10,x无解；

当x＞3时，(x+3)+(x-3)=10,

解得x=5,

所以C点坐标为(5,0)；

②如果点C在y轴上，设C点坐标为(0,y).

AC+BC=10.

AC=BC=5，

.•.尸±4，

所以C点坐标为(0,4),(0,-4)；

综上所述，A,3的“10的和谐点”有4个，坐标为(-5,0),(5,0),(0,4),(0,-4)；

⑶AB=6,

.•.点/,8的“左的和谐点”的个数情况分三种情况：

①当左＜6时，根据两点之间线段最短，A,8的“人的和谐点”没有；

②当左=6时，x轴上-3与3之间的任意一个数所对应的点都是4,3的“左的和谐点”，

A,8的“后的和谐点”有无数个；

③当后＞6时，A,B的“后的和谐点”x轴上有2个，＞轴上也有2个，A,5的”后的

和谐点”有4个.

【点评】本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，同时考查学生的阅读理解能力和知识的

迁移能力.正确理解N,8的”人的和谐点”的定义是解题的前提，运用方程思想、分类讨

论是解题的关键.

20.(2020秋•九龙坡区期末)若在一个两位正整数/的个位数与十位数字之间添上数字6,

组成一个新的三位数，我们称这个三位数为/的“至善数”，如13的“至善数”为163；

若将一个两位正整数3加6后得到一个新数，我们称这个新数为8的“明德数”，如13的

“明德数”为19.

(1)38的“至善数”是368,“明德数”是—；

(2)若个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和

的一半，求出满足条件的所有两位正整数”的值.

【考点】一元一次方程的应用

【分析】(1)根据“至善数”和“明德数”的定义计算即可得答案；

(2)设M的十位数字为0,个位数字为6,分别写出河的“至善数”和“明德数”的各个

数位上的数字之和，“明德数”的个位可能存在进位，故分两类计算即可.

【解答】解：(1)38的“至善数”是368；“明德数”是38+6=44.

故答案为：368；44；

(2)设M的十位数字为a,个位数字为6,则M的至善数的各位数字之和是a+6+6.

M的明德数各位数字之和是a+6+6(当曰<4时)或。+1+(6+6-10)(当4小避时).

由题意得：0~^<4时，a+6+6=；(a+6+6).

:.a+b=-6,不符合题意；

或者：当4^^时，a+l+(6+6-10)=；(a+6+6).

a+b=12.

a=3,6=9或a=4,6=8或。=5,6=7或。=6,6=6或a=7,6=5或。=8,6=4.

，满足条件的所有两位正整数M的值是：39或48或57或66或75或84.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，此题属于新定义在数字问题中的应用，读懂定义

并正确列式是解题的关键.

21.(2020秋•凤凰县期末)阅读下列材料，然后回答问题：

对于实数x、y我们定义一种新运算Z(x,y)=ax+力，(其中a、6均为非零常数)，等式

右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中x、y

叫做线性数的一个数对，若实数X、V都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这

时的X、y叫做正格线性数的正格数对.

(1)若Z(x,y)=x+3y,则〃2.D=5,Z(|,1)=；

(2)已知Z(x,y)=3x+6y,Z(1,1)=2,若正格线性数£(x,fcc)=18(其中后为整数)，

问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由.

【考点】实数的运算；一元一次方程的解

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)根据题中的新定义化简已知等式，由x,y都为正整数，左为整数，确定出所求即可.

【解答】解：⑴根据题中的新定义得：〃2,l)=2+lx3=2+3=5,|)=|+3X|=3；

故答案为：5；3；

(2)根据题中的新定义化简£(L1)=2,得：3x-+-b=2,

3232

解得：b=2,

化简工(x,fcr)=18,得：3x+2kx=18,

依题意，x,y都为正整数，左是整数，

二.3+2先是奇数，

3+2左=1,3,9,

解得：k=-l,0,3,

当人=-1时，x=18,fcr=—18,舍去；

当左=0时，x=6,kx=0舍去；

当左=3时，x=2,kx=6,

综上，后=3时，存在正格数对x=2,y=6满足条件.

【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

22.(2020秋•新宾县期末)用“*”定义一种新运算：对于任意有理数。和6,规定

a*b=ab2+2ab-b.如：1*3=1x32+2xlx3-3=12.

(1)求(-2)*4的值；

(2)若(x-l)*3=12,求x的值.

【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程

【分析】(1)按规定的运算程序运算求值即可；

（2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值.

【解答】解：（1）（-2）*4

=-2x4?+2x（-2）x4-4

=-32-16-4

=-52；

(2)由题可知，(x-l)*3=12,

贝！］(I*+2(x-1)x3-3=12,

整理得：15x=30,

解得：x=2.

【点评】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，掌握新定义运算的运算过程是解决本题

的关键.

2,

----,a>b

ab

23.（2020秋•中山区期末）当a片6时，定义一种新运算：F（a,b）=,-，例如:

2b7

----,a<b

、b-a

尸（3,D=六=1，％-1，旬=片=|

（1）直接写出尸2；

(2)若F(m,2)-F(2,m)=l,求出用的值.

【考点】有理数的混合运算；解分式方程

【分析】（1）根据题中的新运算计算即可;

（2）已知等式利用题中的新运算化简，计算即可求出〃7的值.

【解答】解：（1）根据题中的新运算得：F（a+l,a）=---=2；

a+1-a

故答案为：2；

（2）当冽>2时，F（m,2）-F（2,冽）=1化简得：—------=1,

m-2m-2

4

解得：m=—<2f不合题意，舍去；

3

4?

当冽<2时，尸（加，2）-F（2,加）=1化简得：------=1,

2-m2-m

角毕得：m=0<2f

综上，m=0.

【点评】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键.

24.（2020春•万州区期末）阅读下列材料解答问题:

新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即：当力为非负整数时，如果

1、