2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】四边形中的新定义问题（解析版）

四边形中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.多边形

(1)多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

(2)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

(3)正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

(4)多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一

边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180。，通常所

说的多边形指凸多边形.

（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳

状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边

中线的交点（4）任意多边形.

填空题（共3小题）

1.（2021•梓潼县模拟）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知

在对余四边形N8CD中，AB=\0,BC=\2,CD=5,tanB=-,那么边的长为

4

9.

【考点】解直角三角形

【分析】如图，过点/作于过点C作CELAD于E,连接/C.解直角三角

形求出NE,即可解决问题

【解答】解：如图，过点/作于X,过点C作于E,连接NC.

4H3

在RtAABH中，tan5=——

BH4

.•.可以假设4"=3左，BH=4k,则48=5左=10,

k=2，

:.AH=6,BH=8,

BC=12,

:.CH=BC—BH=\2—8=4,

:.AC=ylAH2+CH2=A/62+42=2V13,

/B+ND=90°，ND+ZECD=90°,

/./ECD=AB,

3DF

在RtACED中，tanZECD=-=——,

4EC

•・•CZ)=5,

/.DE—3,CE—4f

AE=\IAC2-CE2=7(2V13)2-42=6,

AD=AE+DE=9.

故答案为：9.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决

问题，属于中考常考题型.

2.（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四

边形ABC。中，AB=BC,AD=275,CD=5,ZABC=60°,则线段8。=_3石

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质

【分析】对余四边形的定义得出/4DC=30。，将A3CD绕点2逆时针旋转60。，得到AS/尸，

连接/。，则ASCDMAS/歹，ZFBD=60°,得出BF=BD,AF=CD,NBDC=NBFA,

则ASFD是等边三角形，得出BF=BD=DF,易证/3E4+乙4。3=30°,由

NFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180°,得出ZAFD+ZADF=90°,贝UZFAD=90°,

由勾股定理即可得出结果.

【解答】解：•.•对余四边形/BCD中，ZABC=60°,

ZADC=30°,

AB=BC,

.•.将ASCD绕点8逆时针旋转60。，得到A54F,连接FD,如图所示，

KBCD=\BAF,"50=60°

BF=BD,AF=CD,ZBDC=NBFA,

.•.A5FD是等边三角形,

/.BF=BD=DF,

vZADC=30°,

AADB+ZBDC=30°,

NBFA+ZADB=30°,

•・•/FBD+ABFA+NADB+NAFD+ZADF=180。，

60°+30°+ZAFD+ZADF=180。，

ZAFD+ZADF=90°,

ZFAD=90°,

/.AD2+AF2=DF2,

/.AD2+CD2=BD2,

22

BD=(2后+5=45,

•・•BD＞。,

BD=3y/~59

【点评】本题考查了对余四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内

角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键.

3.（2020•奉化区校级模拟）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.如图，

在RtAABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=l,将AA8C沿N45。的平分线的方向平

移，得到连接/C,CC,若四边形是等邻边四边形，则平移距离的

长度是1或2一.

2-

c

【考点】勾股定理；平移的性质

【分析】由平移的性质得到A8'=CV,A'B'//AB,A'B'=AB=2,B'C'=BC=\,

A'C'=AC=45,①如图，当CC=3C时，BB'=CC=BC=\；②如图，当/。=/3=2时,

③如图2,当/。=CC时，则/。=8夕，延长CE交48于H,设BH=B，H=x,根据

勾股定理即可得到结论.

【解答】解：•将RtAABC平移得到

BB'=CC,A'B'IIAB,A'B'=AB=2,B'C=BC=\,AC'=AC=E

①如图1,SCC=BC时，BB'=CC'=BC=1；

②如图1,当/。=48=2时，

NABC=90°,BB'是ZABC的角平分线，

ZB'BA=45°,

延长Cb交48于〃，

A'B'//AB,ZA'B'C=90°,

ZAHC=ZA'B'C=90°,

ZBHB'=90°,

设BH=B'H=x,

BB'=y[?.x,AH=2-x,CH=1+x,

vAC'2=AH2+C'H2,

22-(2-JC)2+(1+JC)2,

整理方程为：2x2-2x+l=0,

•••△=4-8=-4<0,

此方程无实数根，故这种情况不存在；

③如图2,当/。=CC时，则/。=39，

延长C6交48于〃，

A'B'//AB,ZA,B,C,=90°,

:.NAHC=N4BC=90。,

/BHB，=90°,

没BH=B'H=x,

BB'=AC=yplx,AH=2—xfCH=1+x,

-：AC2=AH2+CH2,

(A/2X)2=(2-x)2+(1+x)2,

解得：尤=*,

2

:.BB'=-42,

2

综上所述，若四边形N3CC'是等邻边四边形，则平移距离B2'的长度是1或*四,

2

【点评】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解“等邻边四边形”的定义是解本题的关

键.

二.解答题（共18小题）

4.（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形A4BC,△AB'C,若4B=4B',

AC=AC,S.ZBAC+ZB'AC'=ISO°,我们称AASC与△N3C'互为"顶补三角形”.

（1）如图2,A4BC是等腰三角形，AABE,ZUCD是等腰直角三角形，连接DE；求证:

△ABC与AADE互为顶补三角形.

（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点、F,连接/尸并延长交BC于点G.判断DE与NG

的数量关系，并证明你的结论.

(3)如图3,四边形/8CA中，Z5=40°,ZC=50°.在平面内是否存在点尸，使AP4D

与AP3C互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由.

【考点】三角形综合题

【分析】(1)等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得/£>=N3=/C=N£,

ADAC=ABAE=90°,可证/A4C+/CUE=180。，可得结论；

(2)先证/G是8C的垂直平分线，再由“44S”可证=可得NG=D”,

即可得结论；

(3)延长。交A4延长线于点。，作CD的垂直平分线£尸交48的垂直平分线于点尸，

连接CP,DP,AP,BP,由线段垂直平分线的性质可得PC=尸。，PA=PB,PELCD,

PFVAB,由等腰三角形的性质可得ZDPE=NCPE,AAPF=ABPF,可证

ZAPD+ZBPC=180°,即可证APAD与APSC互为“顶补三角形”.

【解答】(1)证明：•••A48C是等腰三角形，AABE,A4CD是等腰直角三角形，

AD=AB=AC=AE,ADAC=/BAE=90°,

NDAB+ZBAC+NBAE=180°,

:.ZBAC+ZDAE=180°,

NABC与AADE互为顶补三角形；

(2)DE=2AD,理由如下：

如图2,设/G与。E的交点为〃，48与CD交于点。，AC与BE交于点,N,

图2

・•・A45C是等腰三角形，KABE,A4CQ是等腰直角三角形，

AB=AC=AD=AE,/ABE=NACD=45。,ADAC=ZBAE=90°,

ABAD=/CAE,

•;NABE=/ACD,AB=AC,ABAC=ABAC,

,AABN=AACQ(ASA),

AQ=AN,

BQ=CN,

又/ABF=/ACF,ABFQ=ZCFN,

NBFQtACFN(AAS),

BF=CF,

又「AB二AC,

AF是BC的垂直平分线，

又「AB=AC,

/BAG=/CAG,

ADAH=NEAH,

又AD=AE,

DH=HE,AH1DE,

\'AGIBC,

/ABG+/BAG=90°=ADAH+ZCAG,

ZABG=ZDAH,

又•・•AB=AD,ZAHD=AAGB=90°,

:.^ADH=ABAG(AAS),

DH=AG,

:.DE=2AG.

(3)证明：如图，延长CD交助延长线于点。，作CD的垂直平分线£尸交45的垂直平分

线于点尸，连接C尸，DP,AP,BP,

...EP垂直平分CD,尸尸垂直平分48,

PC=PD,PA=PB,PELCD,PFVAB,

NDPE=ACPE,ZAPF=ZBPF,

NABC+NDCB=40°+50°=90°,

ZQ=90°,

y.-.-PELCD,PFVAB,

NEPF=90°,

ZAPD+NDPE+ZAPF=90°,

•••ZAPD+ZBPC=ZAPD+ZEPF+ZCPE+ZBPF=ZAPD+ZDPE+NAPF+90°,

:.ZAPD+ZBPC=1?,O°,SLPC=PD,PA=PB,

:.AP4D与NPBC互为“顶补三角形”.

【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形

的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

5.(2021•任城区校级三模)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

(1)概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；

(2)问题探究；

如图1,在等邻角四边形N8C。中，2DAB=NABC,AD,8C的中垂线恰好交于边上

一点P,连结NC,BD,试探究/C与AD的数量关系，并说明理由；

(3)应用拓展；

如图2,在RtAABC与RtAABD中，ZC=ZD=90°,BC=BD=3,AB=5,将RtAABD绕

着点N顺时针旋转角a(0°<Ne<NA4C)得到此△/夕。'(如图3),当凸四边形/7YBC为

等邻角四边形时，求出它的面积.

【考点】四边形综合题

【分析】(1)矩形或正方形邻角相等，满足”等邻角四边形”条件;

(2)结论：AC=BD,ffiHlAAPC=ADPB(SAS)；

(3)分两种情况考虑：I、当=时，延长CB交于点、E,如图1,由

SmACBD.=S^c£_SgED，,求出四边形/C8O面积;

II、当ZD'BC=ZACB=90°时，过点。作。E_L/C于点E,如图2,由

S四边陷CBO=%印+S矩形ECBD—求出四边形面积即可，

【解答】解：(1)矩形或正方形是一个等邻角四边形.

故答案为：矩形，正方形；

(2)结论：AC=BD,

理由：连接尸D,PC,如图1所示:

•.•PE是/。的垂直平分线，是BC的垂直平分线，

PA=PD,PC=PB,

ZPAD=ZPDA,NPBC=ZPCB,

ZDPB=2ZPAD,ZAPC=24PBe,即ZPAD=ZPBC,

ZAPC=ZDPB,

\APC=NDPB(SAS),

AC=BD；

（3）分两种情况考虑：

⑶当4=时，延长CB交于点、E,

如图3（，）所示，

EB=ED',

设EB=ED'=x,

由勾股定理得：42+(3+X)2=(4+X)2,

解得：x=4.5,

过点D'作D'FLCE于F,

D'F//AC,

:./\ED'F^\EAC,

D'FED'nnD'F4.5

ACAE44+4.5

解得：D'F=—,

17

二5初虚=；/CxEC=gx4x(3+4.5)=15；S^ED.=gxBExD'F=gxx4.5="，

SS15

贝US四边形4CBO=MCE_^BED'=~=~~；

O'z)当ZD'BC=ZACB=90°时，过点。作。£_L/C于点E,

如图3(万)所示,

A

四边形EC8O是矩形,

ED'=BC=3,

在RtAAED中，根据勾股定理得：AE=W-3?=5，

11Q//7—

SUED=-x^x^=-xV7x3=-j-,S矩形Ecm=CExCB=（4一⑺义3=12-3巾,

则S四边形=Sf^EIX+S矩形ECBO=~~+12-3a=12-

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内

角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解''等

邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题.

6.（2020秋•崇川区期末）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得

线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”.

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是②

（只要填序号）;

①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线.

（2）如图1,在四边形/BCD中，NB=NC=45。,P为3c的中点，ZAPD=90°.取4D

中点0,连接尸。.求证：尸。是A4尸口的“周长平分线”.

（3）在（2）的基础上，分别取/尸，0P的中点N,如图2.请在3c上找点E,F,

使W为A4PE的“周长平分线”，/W为AD尸尸的“周长平分线”.

①用无刻度直尺确定点E,下的位置（保留画图痕迹）；

②若AB二四,CD=272,直接写出昉的长.

【分析】（1）由等腰三角形的底边上的中线平分底边可求解；

（2）由等腰直角三角形的性质可得3尸=PC=M3ZB=NPHC=ZC=45。，ZBPH=90°,

由“ASA”可证NBPA=NHPD,可得4P=PD,可得结论；

（3）①由加是4P的中垂线，QN是尸。的中垂线可求解；

②如图2,过点/作于过点。作DG_L3C于G,连接/E,DF,由“44S”

可证=APDG,可得/8=PG=1,PH=DG=2,由勾股定理可求尸E,PF的长,

即可求解.

【解答】(1)解：一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是底边上的中线，

故答案为：②；

(2)证明：如图1,延长24,CD交于点、H,连接印\

ZBHC=90°,BH=CH,

・•・P为3c的中点，

BP=PC=HP,ZB=ZPHC=ZC=45°,ZBPH=90°,

ZBPH=ZAPD,

ZBPA=ZHPD,

NBPA=\HPD{ASA),

AP=PD,

•.•点。是4D的中点，

AQ=DQ,

:.AQ+AP=PD+DQ,

二尸。是A4P。的“周长平分线”；

(3)①如图2,连接加并延长交8c于点E,连接0N并延长交于点尸，则点£,点

尸为所求，

D

图2

②如图2,过点4作于X,过点。作。G_L5C于G,连接ZE,DF,

图2

•・•/B=/C=45。，

ZBAH=ZB=45°,ZC=ZCDG=45°,

AH=BH,DG=CG,

,CD=2V2,

AH=BH=1fDG=CG=2,

•・•NAPD=90°,

NAPH+NDPG=90°=ZAPH+/PAH,

ZPAH=ZDPG,

又・・,AP=DP,ZAHP=ZDGP=90°,

\APH=APDG⑷S),

.•.AH=PG=T,PH=DG=2,

■：AP=PQ,//PD=90。，点。是/D的中点,

AQ=PQ=QD,PQ1AD,

•.•点”，点N分别是4P,。尸的中点，

二便是4P的中垂线，Q尸是DP的中垂线，

AE=PE,DF=PF,

AE~=AH2+HE-,

1

PE=1+（2-尸£）2,

PE=~,

4

同理可求尸尸=』，

2

:.EF=PE+PF=—.

4

【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理等知识，理解三角形的“周长平分线”的定义并运用是解题的关键.

7.（2021秋•诸暨市期中）【了解概念】

在凸四边形中（内角度数都小于180。），若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称

该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边.

【理解应用】

（1）邻等四边形/8CD中，NN=30。，Z5=70°,则NC的度数=130。:

（2）如图，四边形45CD为邻等四边形，为邻等边，且乙4=求证：AADP^ABPC;

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，为邻等四边形的邻等边，且43边与x轴重合，己知

N（2,0）,C（W,2A/3）,。（5,3人），若在边上使NDPC=NA4。的点尸有且只有1个，求

【分析】（1）分三种情况考虑：①由8C为邻等边，②由ND为邻等边，③由C〃为邻等边,

根据邻等四边形的定义即可求解；

（2）根据相似三角形的判定解答即可；

（3）分两种情况：①若点2在点/右侧，如图1,过点。作轴于点G,过点C作

CH_Lx轴于点〃，由为邻等边，贝I］有ND48=N/8C=NDPC,可证A4D尸s^pc,

可得生=把，设点尸（%0）,由三角函数可求ZB/D=60。，可求3、C横坐标之差为2,

BCBP

3(机+2,0),将4P,BP,AD,BC,代入得：M2-(m+4)«+2(m+14)=0,由于在边

上使/。尸C=的点尸有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，运用根的判别

式即可求得答案；

②若点5在点4左侧，如图2,过点。作。轴于点G,过点。作3，工轴于点〃，

根据A4尸。sMc尸，可得理=迎，同①方法即可求得答案.

BCBP

【解答】解：（1）①若BC为邻等边，贝!]/。=/8=70。，

/。二360。一//一/8-/。=190。

不为凸四边形，所以舍去；

②若4D为邻等边，则/。=44=30。，

/C=360。—NZ—25—NC=230。（舍）；

③若CQ为邻等边，则/C=/D,

.•./C=/Q=（360。—/4-/5）+2=130。，

...ZC=130°.

故答案为：130；

（2）证明：・・•四边形Z5CD为邻等四边形，45为邻等边，

NA=/B,

•・•NZ=ZDPC,

NA=NB=ZDPC,

+ZADP+ZAPD=180°,ZAPD+ZDPC+ZBPC=180°,

ZADP=ZBPC,

AADP^ABPC；

（3）①若点B在点4右侧，如图1,过点。作。轴于点G,过点。作C〃J_x轴于点

H,

•・•AB为邻等边，

ABAD=AABC,

•・•ZDPC=/BAD,

/BAD=/ABC=ZDPC,

•・•ABAD+NADP+ZAPD=180。，ZAPD+ZDPC+ABPC=180。，

ZADP=ZBPC,

\ADPS\BPC,

.AP_AD

"拓一而‘

设点尸(凡0),

•••4(2,0),D(5,3折,

...G(5,0),

:.DG=30AG=3,

/…厂DG3百

「.tanNDAG=-----=------

AG3

NDAG=60°,

ZDPC=/BAD=60°,

:.AD=*巫=6,

sinZDAGsin60°

由(2)知，KADP^KBPC,

ACBP=/PAD=60°,

C(m,2框),

CH=243,

CHBC-⑵一2君一

BH=

tanZCBP~tan60°sinZCBPsin60°

BP=m+2—n,AP=n-2,

AP_AD

~BC~BP'

n-2_6

—,

4m+2-n

n2—(m+4)n+2(m+14)=0,

•.■在边48上使=的点尸有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根,

.-.△=[-(/«+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4y[6,

•.•点B在点/右侧，

m=4A/6；

②若点8在点4左侧，如图2,过点。作。G，x轴于点G,过点C作C/f轴于点〃,

4(2,0),。(5,3百),

...ZDAG=60°，

NDAB=ACBA=ZCPD=120°，

NDAB+ZAPD+NADP=180。，ZAPD+ZCPD+ZCPB=180。，

ZADP=ZCPB,

z.AAPD^ABCP,

.AP_AD

由①得：8(冽+2,0),。(冽,2百)，尸(巩0),

AP=2-nJBP=n-m-2,AD=6,BC=4,

2-n_6

4n-m-2

n2—(rn+4)n+2(m+14)=0,

・・・在边45上使ZD尸。的点尸有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根,

/.△=[-(m+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4^6,

•・•点5在点4左侧，

m=—4^/6；

综上所述，m=±4^/6.

图2

【点评】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证

新定义图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数,一元二次方程根的判别式，利用相

似三角形的性质构造关于n的一元二次方程是解题关键.

8.(2021秋•驻马店期中)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形.

(1)矩形是垂等四边形(填“是”或“不是”)；

(2)如图1,在正方形/BCD中，点£,F,G分别在ND,AB,5c边上.若四边形DEbG

是垂等四边形，且NEFG=90。，AF=CG,求证：EG=DG;

ATi-

(3)如图2,在RtAABC中，ZACB=9Q°,—=2,AB=2<5,以48为对角线，作垂

BC

等四边形/C8。，过点。作C8的延长线的垂线，垂足为£,且A45c与ASDE相似，求四

边形的面积.

图1图2

【考点】相似形综合题

【分析】(1)根据“垂等四边形”的定义进行分析;

(2)通过A4D尸三ACDG的性质推知=；然后根据四边形。访G是垂等四边形的性

质知EG=DF；最后由等量代换证得结论；

(3)如图2,过点。作_LNC,垂足为尸，构造矩形CEZ中.在RtAABC中，利用勾股

定理求得NC=2,BC=\.再由垂等四边形四边形NC3D的性质知48=CD=2行.

分两种情况：当ZUCBSAB即时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线

段的长度，由SmACBD=SMCD+S"B求得结果；

当A4C8SAT)历时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由

S四边形4CB£>=^AACD+SADCB求侍结果，

【解答】(1)解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形.

故答案为：是；

(2)证明：•.•四边形4BC。为正方形，

AD=CD,ZA=ZC.

XvAF=CG,

KADF=ACDG(&4S),

DF=DG.

•.•四边形。跖G是垂等四边形，

EG=DF,

/.EG=DG；

(3)解：如图2,过点。作垂足为尸，

CBE

图2

，四边形CED尸为矩形.

••噎•

:.AC=2BC.

在RtAABC中，AB=2卮

根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2,BP(25C)2+SC2=5,

:.AC=4,BC=2.

••・四边形ZC2。为垂等四边形,

AB=CD=2A/5.

第一种情况：

AT

当A4C5sA5切时，——里=2,

BCDE

设D£=x,贝l|3£=2x,

CE=2+2x.

在RtACDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2=CD2,

即(2+2X)2+X2=20,

—4+4痴-4-476

解得再=（舍去）,

55

...£>£=4指-4,CE=DF=2+2X=

55

8#+2+12x4#一4

・二S四边形zcBQ=^\ACD+^M)CB='义4义

525

第二种情况:

图2

ACDEc

当A4CgsAZ)"时,------=2,

BCBE

设贝！JOE=2y,

/.CE=2+y,

在RtACDE中，根据勾股定理得，CE1+DE2=CD2,

即(2+y)2+(2y)2=20,

2V21-2-2-2V21

解得必=>%=（舍去）,

55

2>/21+84721-4

/.CE=DF=2+y=,DE=2y=

55

^^+lx2x44-4_84+12

•e,S四边形ZC3Z)=^\ACD+S0cB=5X4X

5255

综上所述，四边形/C2。的面积为4指或包包土丝.

5

故答案为：4/或8亚+12.

5

【点评】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形

的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义,

另外解题过程中，注意方程思想的应用.难度较大.

9.(2021秋•市北区期中)阅读理解：

如图1,在四边形48CD的边上任取一点E(点E不与点/、点3重合)，分别连接助，

EC,可以把四边形N8CD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把£叫做

四边形/BCD的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形

ABCD的边N8上的强相似点.

解决问题：

(1)如图1,NA=NB=NDEC=55。,试判断点£是否是四边形N8CD的边上的相似

点，并说明理由；

(2)如图2,在矩形48CD中，45=5,BC=2,A,B,C,。四点均在正方形网格(网

格中每个最小正方形的边长为1)的格点(即每个最小正方形的顶点)上，若图2中，矩形

ABCD的边AB上存在强相似点E,则NE:欧=_1:4或4:1_；

拓展探究：

(3)如图3,将矩形N8C。沿CM折叠，使点。落在N3边上的点E处.若点£恰好是四

边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系.

图1图2图3

【考点】相似形综合题

【分析】(1)两］用三角形外角的性质可得乙=则可证明；

(2)根据强相似点的定义，可找出符合条件的点E,即可得出答案；

(3)由题意知ACME'SA5ECsA£l/C,则Z8CE=NECM=NDCAf=LNBCD=30。，可说

3

明点E为48的中点，从而解决问题.

【解答】解：(1)是，理由如下：

/A=/DEC,ZA+ZADE=ZDEC+ZCEB,

NADE=ZCEB,

又•・•NA=NB,

KADEs曲EC,

.•.点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点;

(2)如图，

DC

、、、J/

------------axr-sr------+------

X/、、/

①「、J

AEE]B

故/E:=1:4或4:1.

故答案为：1:4或4:1；

(3)•・•点E恰好是四边形48CM的边45上的一个强相似点,

\AMEs\BECs\EMC,

ABCE=ZECM=ZDCM=-ABCD=30°,

3

:.BE=-EC=-CD=-AB,

222

RF”

tanNBCE=tan300=—=—,

BC3

AB2BE2A/3

即AB=—BC.

3

【点评】本题是四边形中的新定义题，主要考查了对新定义的理解，相似三角形的判定与性

质等知识，读懂题意，熟悉基本模型是解题的关键.

10.(2021秋•苏家屯区期中)我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

如图点E是四边形4BCD内一点，已知BE=EC,AE=ED,ZBEC=ZAED=90°,对角

线/C与8。交于。点，BD与EC交于点、F,NC与即交于点G.

(1)求证：四边形48CD是垂美四边形;

(2)猜想四边形/3CD两组对边N8、CD与BC、之间的数量关系并说明理由;

(3)若3E=3,AE=4,AB=6,贝！ICD的长为V14

【考点】四边形综合题

【分析】（1）先ABED=ACEA（SAS）,得/BDE=NCAE,根据三角形内角和定理可得

ZAOD=ZAEG=90°,最后根据垂美四边形的定义可得结论；

（2）根据勾股定理解答即可；

（3）根据等腰直角三角形和勾股定理可得3c和4D的长，代入（2）中的结论可得CD的

长.

【解答】（1）证明：•.♦/2£。=乙4即=90。，

NBEC+ZCED=ZCED+NAED,

即ABED=ACEA,

•••BE=EC,AE=ED,

ABED=ACEA（SAS）,

NBDE=NCAE,

/AGE=ZDGO,

ZAOD=ZAEG=90°,

AC±BD,

，四边形ABCD是垂美四边形；

（2）解：猜想：AB2+CD2=AD2+BC2；理由如下：

■：ACVBD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO-+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)•.・ASCE和zUEZ)是等腰直角三角形，且2E=3,AE=4,

BC=342,AD=4y/2,

■：AD2+BC2=AB2+CD2,

(4V2)2+(3A/2)2=62+CD2,

：.cr>=Vu.

故答案为：V14.

【点评】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾

股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.

11.我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形

问题转化为三角形问题的重要思想.除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形.我

们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形;

有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题.

(1)概念理解

如图(1),在A43C中，CHA.4B于H，点D、E、歹分别是N3、BC、NC的中点，连

接DF、EF、EH、DE、FH,写一个图形中的“等邻角四边形”：四边形"AM(不

再添加除图形以外的字母)；

(2)解决问题

如图(2),四边形4SCD是“等邻角四边形"，MZDAB=ZABC,延长/8、DC交于点尸.

求证：ADPC=BCPD-,

(3)探索研究

如图(3),RtAABC中，ABAC=90°,AB=8,AC=4,AD=3,点E是BC边上的一个

动点，当四边形NOEC成为''等邻角四边形”时，求四边形/DEC的面积.

【考点】相似形综合题

【分析】(1)根据三角形中位线定理得。尸//8C,所以乙4DF=/B,由直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半可知EH=EB,所以NEHB=NB,得到NEHB=ZADF,进一步推

理即可得到四边形。即为“等邻角四边形”；

AriPD

(2)过点。作。户///。交48于点尸，可证A4PZ>SAFPC,CF=CB,得——=——，进

CFPC

一步变形即可得出结论；

(3)分三种情况考虑：®ZCAB=ZEDB=9Q°,四边形C/DE为直角梯形，根据梯形面积

公式求出即可，②N4DE=/DEC时，SmcADE=S.CAB-S^DB,求出和S皿即可，③

/C=NCED时，S四边形CADE=SAQB—S居DB，求出和邑£08即可•

【解答】(1)解：•.■点。、尸分别是N3、NC的中点，

二。下是A4BC的中位线，

DF//BC,

ZADF=NB,

;CH工AB于H,点£是BC的中点，

：.HE=EB=-BC,

2

ZEHB=NB,

NEHB=ZADF,

ZADF+2FDH=AEHD+ADHE=180°,

ZFDH=NDHE,

•.•四边形。〃跖为凸四边形，

二.四边形D的'为"等邻角四边形”，

故答案为：四边形一

图⑵

(2)证明：过点C作C户/交于点/，

N4=ZCFP,

■,­//=NABC,

/ABC=ZCFP，

CF=CB,

•••NP=NP,

,\APD^\FPC,

.AD_PD

,~CF~Tc'

AD_PD

一~CB~TC9

AD,PC=BC•PD；

(3)解：分三种情：

①当/C45=N£QB=90。时，如图:

ACABs\EDB,

DE_BD

…~AC~14B，

•/AB=8,AC=4,AD=3,

，5Q=8—3=5,

DE_5

-----—,

4---8

...DE=-,

2

ii<5A30

S梯形C3=2,(DE+^C)-+4j-3=—

②当N/OE=NO£C时，如图：

过点E作跖'，/台于点X,

ZCAB=ZEDB=90°，

/B=/B,

\CAB^NEHB,

.EH_BE

…就一就‘

RtAABC中，ABAC=90°,AB=8,AC=4fAD=3,

BC=^AC2+AB2=V42+82=475,

•・•NADE=/DEC,

ZBDE=/DEB,

/.BD=BE=5,

EH_5

EH=卮

1义#=

一S四边形C4DE=S^CAB-S庄DB=­X4x8--x5

22

③当/C=NC£。时，如图:

过点/作4P//OE交BC于点尸，过点E作于点〃，过点产作7W_L45于点N,

过点方作9_L4C于点过点4作4G_L5C于点G,

ZAFC=ZCED,

•・•ZC=ZCED,

AF=AC=4,

vAGLBC,

AF=2CG,ZCGA=ZCAB=90°,

•rZC=ZC,

ACAGSACBA,

.CG_CA

'~CA~^B'

CG_4

，丁=砺'

3拽

5

二.CF*

5

•・•FM1ACf

，ZCMF=NCAB=90°,

•・・zc=zc,

\CMF^\CAB,

8x/5

CMCF日口CMM

CACB44A/5

Q

5

...AM=FN=—,

5

•・•AF/IDE

\BEDS\BFA,

•・•FN.LAB,EHVAB,

EHBDEH5

...——=——，即Rn=-=一，

FNBA128

5

3

:.EH=一，

2

11349

一S四边形C4DE=，kCAB-S庄DB=9

综上所述，四边形/DEC的面积为处或16-2回或丝.

424

【点评】本题是相似综合题，理解新定义的条件，正确作出辅助线，找到相似三角形是解决

问题的关键，分类讨论是难点.

12.(2021•郸州区模拟)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形.

(1)写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是矩形；

(2)如图1,在正方形/BCD中，点E,F,G分别在ND,AB,8c上，四边形。跖G

是垂等四边形，且NEFG=90。，AF=CG.

①求证：EG=DG；

②若BC=n-BG,求"的值;

(3)如图2,在RtAABC中，-一=2,AB=45,以N3为对角线，作垂等四边形NC3D.过

BC

点。作C2的延长线的垂线，垂足为E,且A4cB与AZ)3E相似，求四边形/CB。的面积.

图1图2

【考点】相似形综合题

【分析】(1)根据“垂等四边形”的定义进行分析；

(2)①通过歹三ACDG的性质推知。尸=OG；然后根据四边形DEFG是垂等四边形的

性质知EG=DF；最后由等量代换证得结论；

②如图1,过点G作垂足为〃，首先证明A5/G为等腰直角三角形，则

ZGFB=45°;然后证得A4EF为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已

知条件得到：BC=3AE,BG=2AE.代入求值即可；

(3)解：如图2,过点D作。P_L/C,垂足为尸，构造矩形CEDF.在RtAABC中，利用

勾股定理求得/C=2,BC=\.再由垂等四边形四边形/CAD的性质知/8=CD=石.

分两种情况：当A4C8SA5即时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线

段的长度，由S四边物ICB0=+SADCB求得结果；

当A4cBs9即时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由

S四边