第01讲 直线与圆的位置关系（12类题型）-2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）（解析版）

第01讲直线与圆的位置关系（12类题型）课程标准学习目标1.直线与圆的维护关系；2.切线的判定与性质；1.掌握直线与圆的位置关系；2.掌握切线的判定与性质；知识点01、直线和圆的位置关系1.设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点—直线名称割线切线—【即学即练1】1．（2023上·广东广州·九年级统考期中）已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．5【答案】D【分析】根据圆与直线的位置关系进行解答即可．【详解】解：的半径是5，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是5．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径．【即学即练2】2．（2022上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（

）A． B．1 C．或 D．1或3【答案】C【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解．【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时，P到y轴距离时，⊙P与y轴相切，∴移动时间（秒）；（2）当的圆心P在y轴右侧时，P到y轴距离时，与y轴相切，∴移动时间（秒）．故选C．【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径．知识点02.切线的判定与性质（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。拓展推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。【即学即练3】3．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）下列命题中正确的是（

）A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．【答案】D【分析】本题考查圆的基本知识，圆的切线的定义，确定圆的条件，三角形的外心等，根据相关定义或性质逐项判断即可．【详解】解：半圆是弧，故A选项命题不正确；B，经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，故B选项命题不正确；C，平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故C选项命题不正确；D，三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故D选项命题正确；故选D．【即学即练4】4．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，与相切于点，，，则长为(

)

A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：与相切于点，，，．，．故选：A．考查题型一判断直线和圆的位置关系1．（2023·浙江杭州·统考二模）已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】B【分析】根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．【详解】解：∵的直径为4，∴的半径为2，∵圆心O到直线l的距离为2，∴，∴直线l与的位置关系是相切，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．2．（2023下·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是．【答案】相离【分析】先解一元二次方程得到的半径，再根据圆与直线的位置关系与半径关系即可得到结论．【详解】解：解方程得：，（舍去），∴的半径为3，∵圆心O到直线l的距离，，∴直线l与的位置关系是相离，故答案为：相离．【点睛】本题考查解一元二次方程、圆与直线的位置关系，解答的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆半径为r，圆心与直线的距离为d，当时，相交；当时，相切；当时，相离．考查题型二已知直线和圆的位置关系求半径的取值1．（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．【详解】解：，∴，∵原点O在圆A的外部，∴，即，∵圆A与x轴相交，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键．2．（2023上·九年级课时练习）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，(1)当半径为何值时，与直线相切；(2)当半径为何值时，与直线相切；(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．【答案】(1)当半径为3时，与直线相切(2)当半径为2.4时，与直线相切(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，∴，，∵圆心到边的距离为，与直线相切，∴，则当半径为3时，与直线相切；（2）连接，过作，交于点，∵在中，，，∴，又∵，∴圆心到边的距离，又与直线相切，∴，则当半径为2.4时，与直线相切；（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，∴，又与直线相离，圆心到的距离为，∴，则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．考查题型三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离1．（2022上·九年级单元测试）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的直径可能为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，然后根据和直线相交，确定r和d的关系，然后再确定r的取值范围，进而确定直径的取值范围即可解答．【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，和直线相交，，又圆心到直线的距离为，，直径大于．故选A．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆的基本概念等知识点，根据和直线相交得到是解答本题的关键．2．（2021上·广东韶关·九年级校考期中）已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为个．【答案】3【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数．【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即，∴，在上截取，过点D作，交于A、B两点，∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C，故答案为：3．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键．考查题型四求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离1．（2023·全国·九年级专题练习）如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点,若以1cm为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为.【答案】3cm或5cm【详解】∵直线a⊥b,O为直线b上一动点,∴☉O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1cm.当点O在点H的左侧,☉O与直线a相切时,如图1所示,图1图2则OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧,☉O与直线a相切时,如图2所示,则OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴☉O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.2．（2022下·九年级单元测试）如图，半圆O的直径DE＝12cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm.半圆O以2cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为ts，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm.(1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________．(2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？【答案】（1）1，6cm；（2）当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切．【分析】（1）求出路程EC的长，即可以求时间t=1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6；（2）根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t=8÷2=4秒.【详解】(1)∵DE＝12cm，∴OE＝OD＝6cm.∵OC＝8cm，∴EC＝8－6＝2(cm)，∴t＝2÷2＝1(s)，故当t＝1时，半圆O与AC所在直线第一次相切．如图①，过点C作CF⊥AB于点F.在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴CF＝BC＝6cm.故答案为1，6cm.(2)如图②，当半圆O在直线AB的左侧，与直线AB相切时，过点O作OM⊥AB于点M，则OM＝6cm.∵∠ABC＝30°，∴OB＝2OM＝12cm.又∵BC＝12cm，∴当点O与点C重合，即当点O运动到点C时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8cm，运动时间t＝8÷2＝4.如图③，当半圆O所在的圆在直线AB的右侧与直线AB相切时，设切点为Q，则OQ⊥AB，OQ＝6cm.在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，则OB＝2OQ＝12cm，此时点O运动了12＋12＋8＝32(cm)，运动时间t＝32÷2＝16.综上所述，当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切．【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．考查题型五求直线平移到与圆相切时运动的距离1．（2022上·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．【详解】解：连接，∵，∴，∴，∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，∴，即直线在原有位置向下移动后与圆相切．故选：B．【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．2．（2022上·福建南平·九年级顺昌县第一中学校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为时，与直线相切．【答案】或【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间．【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接．∵与直线相切，∴，∵在中，，，∴，则，∵以的速度沿由A向B的方向移动，∴移动时与直线相切．当在射线上时，同理可求移动时与直线相切．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．考查题型六切线的应用1．（2022·四川乐山·统考模拟预测）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再判断一元二次方程解的情况即可求解．【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，∴x＝y或x＝﹣y，当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，∴方程有两个不相等的实数解；当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，∵Δ＝b2﹣4ac＝0，∴方程有两个相等的实数解；综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关键．2．（2020上·河北沧州·九年级校考期中）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是．【答案】0＜x≤2【分析】根据题意可知，直线和圆有公共点，则直线与圆相交或相切．如图，当直线与圆相切时，x值最大，设切点为C，连接OC，根据∠AOB＝45°，OA∥PC，可知为等腰直角三角形，进而求出斜边的长度，即可得到x的取值范围．【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝2，OC⊥PC，∵∠AOB＝45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°，∴PC＝OC＝2，∴OP＝，∵P在x正半轴上运动，∴x的取值范围是0＜x≤，故答案为：0＜x≤．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据题目已知条件，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．考查题型七有关切线的说法辨析1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）下列命题中正确的是（

）A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．【答案】D【分析】本题考查圆的基本知识，圆的切线的定义，确定圆的条件，三角形的外心等，根据相关定义或性质逐项判断即可．【详解】解：半圆是弧，故A选项命题不正确；B，经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，故B选项命题不正确；C，平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故C选项命题不正确；D，三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故D选项命题正确；故选D．2．（2023上·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；

B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；

D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．考查题型八判断或补全使直线为切线的条件1．（2020上·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是()A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)【答案】D【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．【详解】解：如图，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)．故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键.2．（2022上·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．考查题型九证明某直线是圆的切线1．（2022上·全国·九年级专题练习）如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（

）时，直线是的切线．A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线．【详解】解：当时，直线是的切线．证明：如图，连接OA．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴直线是的切线．故选：B．【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键．2．（2021下·九年级课时练习）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是．【答案】或【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可．【详解】解：若添加BD=CD，理由如下：如图，连接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切线；若添加AB=AC，理由如下：如图，连接AD，∵是的直径，∴∠ADB=90°，∴点D是BC的中点，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切线．故答案为：或【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键．考查题型十切线的性质定理1．（2023上·福建福州·九年级校考期中）如图，在中，与相切于点A，连接交于点C，点D为上的点，连接．若，则为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．【详解】解：∵与相切于点A，，，，，，，．故选：B．2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）如图，是的直径，点在延长线上，与相切点，连，若，则的度数等于．【答案】/125度【分析】连接，利用切线的性质定理和圆周角定理解答即可得出结论．本题主要考查了切线的性质定理，圆周角定理，连接是解此题的关键．【详解】解：连接如图，与相切于点故答案为：考查题型十一切线的性质和判定的综合应用1．（2021上·四川德阳·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（

）A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或【答案】D【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，依据勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求．【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，如图，切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN＝NF，又∵，∴设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，得：r2＝16＋（8−r）2，∴r＝5，∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又，即，∴AB＝；当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，同理，可得OH＝AN＝5，∴AE＝1，又，∴AB＝6，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．2．（2022上·江苏连云港·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为【答案】【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．【详解】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（-6，0）、B（0，6），∴OA=OB=6，∴AB=6，∴OP=AB=3，∵OQ=2，∴PQ=，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．考查题型十二过圆外一点作圆的切线（尺规作图）1．（2022上·福建龙岩·九年级校考阶段练习）（1）已知：如图，求作内切圆．（2）已知：如图，过点P求作的切线．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）圆心到各边的距离相等，所以要作各内角的角平分线的焦点，交点就是内切圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离．（2）利用直径上的圆周角是直角，构造直角，利用切线的定义判断即可．【详解】（1）解：作图如下：

步骤：第一步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为相同半径分别画弧使其相交于点P，连接；第二步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于长为相同半径分别画弧使其相交于点，连接；第三步：确定圆心．和的交点就是内切圆的圆心；第四步：确定半径．过点圆心作的垂线，垂足为点，以点为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，使其相交于点，连接，交于点，点就是垂直于的垂足．第五步：连接，以点为圆心，以的长为半径画圆，即为所求．（2）如图，直线即为所求作．

步骤：第一步：连接，作的垂直平分线l，交于点A；第二步：以A为圆心，为半径作圆，交于点M；第三步：作直线，则直线即为的切线．【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的尺规作图法，明确内切圆圆心是三角形各内角角平分线的交点是解决本题的关键．也考查了圆的切线判定，基本作图，切线的定义．2．（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）请按下列要求作图．

(1)如图1，在方格纸中，点A在圆上，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线；(2)如图2，已知，点Q在外，用尺规作上所有过点Q的切线．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了切线的性质，过圆外一点作圆的切线（尺规作图）以及方格作图：（1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可；（2）连接，再作线段的垂直平分线，交于一点，即为点，以点为圆心，为半径，相交于点A，点B，连接，，因为为直径，，即为切线，切线，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：如图，直线即为所求：

（2）解：所有过点Q的切线为切线，切线，如图所示：

A夯实基础1．（2023上·广东广州·九年级期末）已知,的半径,若,则直线与位置图形可能为（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本题考查直线与圆的位置关系．通过阅读本题半径可知,点E在圆上,圆心到点距离大于半径可知,点F在圆外．【详解】根据直线与圆的位置关系判断即可．解:∵的半径,,∴点E在圆上,点F在圆外,∴直线与位置图形可能为A选项,故选:A．2．（2023上·福建福州·九年级校考期中）已知的半径为10，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（

）A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交【答案】D【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系来完成．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离.分垂直于直线l,不垂直直线l两种情况讨论．【详解】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离,与l相切；当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离,与直线l相交．故直线l与的位置关系是相切或相交．故选：D．3．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是．【答案】相交【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键．【详解】解：根据题意，得圆心到直线的距离等于，圆的半径是，∴圆心到直线的距离小于半径，得直线和圆相交．故答案为：相交．4．（2023上·北京密云·九年级统考期中）的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是．【答案】相交【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与的位置关系为相交．【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是，的半径为，又∵，∴直线l与相交．故答案为：相交．【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．5（2022下·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，记的半径，求证：．【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解【分析】（1）如图所示（见详解），连接，是的直径，是的切线，即，根据，，可证，则有，由此即可求证；（2）是的直径，可知，由（1）可知，由此可求出，从而证明，且，由此即可求证．【详解】（1）证明：连接，是的切线，，，，，，，，，，，，是的半径，是的切线．（2）证明：是圆的切线，，是的直径，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基本知识，相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2021上·吉林·九年级统考期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数．【答案】65°．【分析】根据切线的性质得到∠OAC=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠B=25°，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AC为⊙O的切线，∴∠OAC=90°．∵OA=OB，∠B=25°，∴∠OAB=∠B=25°．∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°．【点睛】本题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．B能力提升1．（2023上·广东惠州·九年级校考期中）如图，切于，过圆心点，是弦，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了切线的性质及圆周角定理，利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，解题的关键是熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用．【详解】解：∵切于，∴，∵，∴，∴，故选：A．2．（2023上·河北廊坊·九年级统考期中）如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，先利用圆周角定理求出，再根据切线的性质可以得到．【详解】解：∵，∴，又∵为的切线，∴，∴，故选B．3．（2023上·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别是、、，已知，，则的度数是．【答案】/65度【分析】本题考查了切线的性质定理、三角形的内角和定理、圆周角定理，根据三角形的内角和定理求得，根据切线的性质定理和四边形的内角和定理求得，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得．【详解】解：，，，是的内切圆，切点分别是、、，，，．故答案为：．4．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，分别与相切于点A，B，为的直径，若，则的形状是．

【答案】等边三角形【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理即可得是等边三角形．【详解】解：如图，连接，

∵为的直径，∴，由圆周角定理得：，∵分别与相切于点A，B，∴，∴，∴为等边三角形．故答案为：等边三角形．5．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知为同心圆中大圆的弦，若，大圆半径为2，小圆半径为1．求证：为同心圆中小圆的切线．【答案】见解析【分析】本题主要考查了切线的判定定理，解题关键是先过点作，垂足为，根据垂径定理和的长，求出，再根据勾股定理求出的长，然后根据切线的判定定理进行判断即可．【详解】解：证明：如图所示：过点作，垂足为，，大圆半径为2，，，在中，由勾股定理得：，的长等于小圆的半径1，为同心圆中小圆的切线．6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC内接于☉O，CO的延长线交AB于点D，交☉O于点E，交☉O的切线AF于点F，且AFBC．(1)求证：AOBE；(2)求证：AO平分∠BAC．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】证明(1)∵AF是☉O的切线,∴AF⊥OA,即∠OAF=90°.∵CE是☉O的直径,∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE.∵AF∥BC,∴∠BAF=∠ABC,∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE,∴AO∥BE.(2)∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角,∴∠ABE=∠ACE.∵OA=OC,∴∠ACE=∠OAC,∴∠ABE=∠OAC.由(1)知,∠OAB=∠ABE,∴∠OAB=∠OAC,∴AO平分∠BAC.C综合素养1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是☉O的切线，B为切点，连接AO交☉O于点C，延长AO交☉O于点D，连接BD．若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是（

）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【详解】如图，连接OB，∵AB是☉O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴AB2=OA2-OB2．∵OB和OD是半径，∴∠D=∠OBD．∵∠A=∠D，∴∠A=∠D=∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB=BD，∴OD∶BD=BD∶AD