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文档简介
北京市北方交大附中2025届高考数学一模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数的最大值为()A.7 B.15 C.31 D.632.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.3.已知为等差数列,若,,则()A.1 B.2 C.3 D.64.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.5.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi|=().A. B. C. D.56.已知函数,若所有点,所构成的平面区域面积为,则()A. B. C.1 D.7.己知,,,则()A. B. C. D.8.设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知变量x,y间存在线性相关关系,其数据如下表,回归直线方程为,则表中数据m的值为()变量x0123变量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.510.已知为实数集,,,则()A. B. C. D.11.如图,正四面体的体积为,底面积为,是高的中点,过的平面与棱、、分别交于、、,设三棱锥的体积为,截面三角形的面积为,则()A., B.,C., D.,12.已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时,,则函数在区间上零点的个数为()A.9 B.10 C.18 D.20二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线的对称轴与准线的交点为,直线与交于,两点,若,则实数__________.14.已知实数x,y满足,则的最大值为____________.15.已知双曲线的左右焦点为,过作轴的垂线与相交于两点,与轴相交于.若,则双曲线的离心率为_________.16.已知,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.18.(12分)如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.(1)求证:;(2)设平面与交于点,求证:为的中点.19.(12分)已知矩阵的逆矩阵.若曲线:在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线,求曲线的方程.20.(12分)如图,在正四棱柱中,,,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).(1)求证:四边形是平行四边形;(2)求证:与不垂直;(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.21.(12分)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小.22.(10分)心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名,在极坐标系中,方程()表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在的直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与相交于、、三点,求线段的长.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析:由程序框图可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后输出,此时,则的最大值为15,故选B.考点:程序框图.2、A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.3、B【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出.【详解】∵{an}为等差数列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故选:B.【点睛】本题考查等差数列通项公式求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4、D【解析】
根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.5、C【解析】试题分析:由已知,-2a+i=1-bi,根据复数相等的充要条件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,选C考点:复数的代数运算,复数相等的充要条件,复数的模6、D【解析】
依题意,可得,在上单调递增,于是可得在上的值域为,继而可得,解之即可.【详解】解:,因为,,所以,在上单调递增,则在上的值域为,因为所有点所构成的平面区域面积为,所以,解得,故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,理解题意,得到是关键,考查运算能力,属于中档题.7、B【解析】
先将三个数通过指数,对数运算变形,再判断.【详解】因为,,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.8、C【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可.【详解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b⇒logab<1,logab<1⇒a>b,∴a>b是logab<1的充分必要条件,故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键.9、A【解析】
计算,代入回归方程可得.【详解】由题意,,∴,解得.故选:A.【点睛】本题考查线性回归直线方程,解题关键是掌握性质:线性回归直线一定过中心点.10、C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【详解】为实数集,,,或,.故选:.【点睛】本题考查交集、补集的求法,考查交集、补集的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11、A【解析】
设,取与重合时的情况,计算出以及的值,利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示,利用排除法,取与重合时的情况.不妨设,延长到,使得.,,,,则,由余弦定理得,,,又,,当平面平面时,,,排除B、D选项;因为,,此时,,当平面平面时,,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.12、B【解析】
由已知可得函数f(x)的周期与对称轴,函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,作出函数f(x)与g(x)的图象如图,数形结合即可得到答案.【详解】函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,由f(x)=f(2﹣x),得函数f(x)图象关于x=1对称,∵f(x)为偶函数,取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函数周期为2.又∵当x∈[0,1]时,f(x)=x,且f(x)为偶函数,∴当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,g(x),作出函数f(x)与g(x)的图象如图:由图可知,两函数图象共10个交点,即函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数为10.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由于直线过抛物线的焦点,因此过,分别作的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义及平行线性质可得,从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦,再求得正切即为直线斜率.注意对称性,问题应该有两解.【详解】直线过抛物线的焦点,,过,分别作的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义知,.因为,所以.因为,所以,从而.设直线的倾斜角为,不妨设,如图,则,,同理,则,解得,,由对称性还有满足题意.,综上,.【点睛】本题考查抛物线的性质,考查抛物线的焦点弦问题,掌握抛物线的定义,把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键.14、1【解析】
直接用表示出,然后由不等式性质得出结论.【详解】由题意,又,∴,即,∴的最大值为1.故答案为:1.【点睛】本题考查不等式的性质,掌握不等式的性质是解题关键.15、【解析】
由已知可得,结合双曲线的定义可知,结合,从而可求出离心率.【详解】解:,,又,则.,,,即解得,即.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系,分析出.关于圆锥曲线的问题,一般如果能结合几何性质,可大大减少计算量.16、【解析】解:由题意可知:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】
(1)由条件得出方程组,可求得的通项,当时,,可得,当时,,得出是以1为首项,2为公比的等比数列,可求得的通项;(2)由(1)可知,,分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】(1)由条件知,,,当时,,即,当时,,是以1为首项,2为公比的等比数列,;(2)由(1)可知,,当n为偶数时,当n为奇数时,综上,【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得,以及其前n项和,注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和,属于中档题.18、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1)要做证明,只需证明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用线面平行的性质定理即可得到∥,从而获得证明【详解】证明:(1)因为平面,平面,所以.因为,所以.又因为,平面,平面,所以平面.又因为平面,所以.(2)因为平面与交于点,所以平面.因为分别为的中点,所以∥.又因为平面,平面,所以∥平面.又因为平面,平面平面,所以∥,又因为是的中点,所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理,考查学生的逻辑推理能力,是一道容易题.19、【解析】
根据,可解得,设为曲线任一点,在矩阵对应的变换作用下得到点,则点在曲线上,根据变换的定义写出相应的矩阵等式,再用表示出,代入曲线的方程中,即得.【详解】,,即.,解得,.设为曲线任一点,则,又设在矩阵A变换作用得到点,则,即,所以即代入,得,所以曲线的方程为.【点睛】本题考查逆矩阵,矩阵与变换等,是基础题.20、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】
(1)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(2)由四边形是平行四边形,且,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)先证,可得为的中点,从而得出是的中点,可得.【详解】(1)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(2)因为,两点不在棱的端点处,所以,又四边形是平行四边形,,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)如图,延长交的延长线于点,若四边形为菱形,则,易证,所以,即为的中点,因此,且,所以是的中位线,则是的中点,所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题,和线段长的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,属中档题.21、(1)见详解;(2).【解析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形,和菱形内部的夹角,所以,依然成立,又因和粘在一起,所以得证.因为是平面垂线,所以易证.(2)在图中找到对应的平面角,再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线,发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.【详解】(1)证:,,又因为和粘在一起.,A,C,G,D四点共面.又.平面BCGE,平面ABC,平面ABC平面BCGE,得证.(2)过B作延长线于H,连结AH,因为AB平面BCGE,所以而又,故平面,所以.又因为所以是二面角的平面角,而在中,又因为故,所以.而在中,,即
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