山东诗营市广饶县2024-2025学年高一数学下学期开学考试试题含解析

山东省东营市广饶县2024-2025学年高一数学下学期开学考试试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，进而求出.【详解】，故故选：B2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，进而可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：B.【点睛】本题考查详细函数定义域的求解，考查计算实力，属于基础题.3.已知命题，，那么命题p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】命题是特称命题，其否定为全称命题，需修改量词，否定原命题的结论，即可得到命题的否定.【详解】解：命题，的否定是：，.故选：C4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据指对数函数的性质推断a、b、c的大小.【详解】由，所以.故选：A5.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标记着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算实力，属于中等题.6.高斯是世界闻名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将函数的零点问题转化为的图象与函数的图象有且仅有个交点的问题，依据高斯函数的定义，求出的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．【详解】函数有且仅有3个零点，即的图象与函数的图象有且仅有个交点．而，画出函数的图象，易知当时，与图象最多有1个交点，故，作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，所以实数的取值范围是，故选：D．7.已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可知函数在区间R上为增函数，则f(x)在x＝1左右两侧均为增函数，且左侧在x＝1出函数值小于或等于右侧在x＝1出函数值.【详解】由题可知函数在区间R上为增函数，则，解可得.故选：D.8.函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发觉可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，则的对称中心为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意设函数的对称中心为点，进而结合为奇函数得，再解方程即可得答案.【详解】解：由题设函数的对称中心为点，则，所以，即，因为，所以，，所以恒成立，所以，解得，所以函数的对称中心为点故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根式的运算及根式与指数互化推断A、B；应用对数的运算性质推断C、D.【详解】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.故选：BC.10.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，下列选项互为互斥事务的是（）A.至少有一个白球和全是白球 B.至少有一个白球和全是红球C.恰有一个白球和恰有2个白球 D.至少有一个白球和至少有一个红球【答案】BC【解析】【分析】须要区分互斥事务与对立事务的区分，再结合发生事务的特点逐一推断即可．【详解】互斥事务不肯定是对立事务，可类比为集合中互无交集的几个子集，而对立事务肯定是互斥事务且满足两事务概率之和为1；对A：至少有一个白球包括：一个红球一个白球和两个白球两种状况，全是白球指的是：两个白球，明显两个事务不是互斥事务，不符合题意；对B：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，明显至少有1个白球和全是红球是互斥事务和对立事务，符合题意；对C：恰有1个白球和恰有两个白球明显是互斥事务，但不是对立事务，事务还包括：恰有两个红球，符合题意；对D：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，至少一个红球包括：一红一白和两个红球，两事务不互斥，不符合题意；故选：BC11.下列说法中，正确的有（）A.若，则B.若，则C.若对，恒成立，则实数m的最大值为2D.若，，，则的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】依据不等式的性质可以说明A正确；利用中间值验证B错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C正确；巧用“”可以说明D正确.【详解】，，左右两边同时乘以得，故A正确；，故B错误；，，要使恒成立，则，故实数m的最大值为2，故C正确；，，，故的最小值为4，故D正确.故选：ACD12.中国传统文化中许多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图呈现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（）A.对于圆O，其“太极函数”有1个B.函数是圆O的一个“太极函数”C.函数不是圆O的“太极函数”D.函数是圆O的一个“太极函数”【答案】BD【解析】【分析】依据题意，只需推断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故依据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；对于D选项，函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．【答案】【解析】【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.【详解】令，则，，所以函数图象恒过定点为.故答案为：14.求方程的解所在区间是________.【答案】【解析】【分析】令，利用零点存在定理即得.【详解】构造函数，函数在上单调递增，∵,∴函数在存在零点.故答案为：.15.某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．【答案】2【解析】【分析】先由数据的平均数公式求得，再依据方差的公式计算．【详解】解：由题可知样本的平均值为1，，解得，样本的方差为．故答案为2.【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．16.已知函数，若存在实数a，，使在上的值域为，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题设，将问题转化为与在上有两个交点，进而构造，探讨其在上有两个零点的状况下的取值范围即可.【详解】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为，∴，易知：，∴与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成马上，∴对于，有，可得，故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）当时，求集合B与；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式求集合B，再由集合的交运算求.（2）由题设可知，结合已知列不等式求参数a的范围.【小问1详解】由，则或，得．当时，集合，所以；【小问2详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，又，所以，解得，即实数a的取值范围是．18.已知函数．（1）求函数的定义域，并推断函数的奇偶性；（2）解关于x的不等式．【答案】（1），奇函数（2）【解析】【分析】（1）依据对数函数的性质可求得定义域；依据函数奇偶性的定义可推断函数的奇偶性；（2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案.【小问1详解】由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，又,所以函数奇函数；【小问2详解】因为，所以不等式可化为，因为在是增函数，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集为．19.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知在上单调递增，求的取值范围；（3）求在上的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；（3）依据二次函数的图象与性质，分、和，三种状况探讨，即可求解.【小问1详解】解：当时，函数，不等式，即，解得或，即不等式的解集为.【小问2详解】解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为.【小问3详解】解：由函数，可得图象开口向上，且对称轴为，当时，函数在上单调递增，所以最小值为；当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为；当时，函数在上单调递减，所以最小值为，综上可得，在上的最小值为.20.某公司为了解用户对其产品的满足度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满足度评分如下：A地区：

62

73

81

92

95

85

74

64

53

76

78

86

95

66

97

78

88

82

76

89

B地区：

73

83

62

51

91

46

53

73

64

82

93

48

95

81

74

56

54

76

65

79

（Ⅰ）依据两组数据完成两地区用户满足度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满足度的平均值及分散程度（不要求算出详细值，给出结论即可）：（Ⅱ）依据用户满足度评分，将用户的满足度从低到高分为三个等级：满足度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满足度等级

不满足

满足

特别满足

记事务C：“A地区用户的满足度等级高于B地区用户的满足度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，依据所给数据，以事务发生的频率作为相应事务发生的概率，求C的概率．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）0.44【解析】【分析】（Ⅰ）依据调查数据和茎叶图的定义，可做出茎叶图，通过图中的数据的分散程度，可得结论；（Ⅱ）事务C：“A地区用户的满足度等级高于B地区用户的满足度等级”，分为两种状况：第一种状况是：“A地区用户满足度等级为满足或特别满足”，同时“B地区用户满足度等级为不满足”；其次种状况是“A地区用户满足度等级为特别满足”，同时“B地区用户满足度等级为满足”，分别求出其概率，再运用概率的加法公式可得值；【详解】（Ⅰ）两地区用户满足度评分的如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满足度评分的平均值高于B地区用户满足度评分的平均值；A地区用户满足度评分比较集中，B地区用户满足度评分比较分散．（Ⅱ）记表示事务：“A地区用户满足度等级为满足或特别满足”；表示事务：“A地区用户满足度等级特别满足”；表示事务：“B地区用户满足度等级为不满足”；表示事务：“B地区用户满足度等级为满足”．则与独立，与独立，与互斥，．．由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．故，，，故．【点睛】本题考查茎叶图和特征数，求互斥事务和独立事务的概率，关键在于将事务分成相互独立互斥事务，分别求其概率，再运用概率的加法公式，属于中档题．21.已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．（1）求b的值；（2）若函数有零点，求a的取值范围；（3）当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依据f（x）为偶函数，由f（－x）＝－f（x），即对恒成立求解；（2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点求解；（3）依据，使得成立，由求解.【小问1详解】解：因为f（x）为偶函数，所以，都有f（－x）＝－f（x），即对恒成立，对恒成立，对恒成立，所以．【小问2详解】因为有零点即有解，即有解．令，则函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点，当0＜a＜1时，无解；当a＞1时，在上单调递减，且，所以在上单调递减，值域为．由有解，可得a＞0，此时a＞1，综上可知，a的取值范围是；【小问3详解】，当时，，由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1，因为，使得成立，全部，即对随意的恒成立，设，所以当t＞1时，恒成立，即，对t＞1恒成立，设函数在单调递减，所以，所以m≥0，即实数m的取值范围为．22.“春节”期间，某商场进行如下的实惠促销活动：实惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；实惠方案2：在实惠1之后，再每满400元立减4