新教材2024-2025学年高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征第2课时离散型随机变量的方差分层作业新人教B版选择性必修第二册

第四章其次课时离散型随机变量的方差A级必备学问基础练1.[探究点二]设随机变量X听从二项分布,且期望E(X)=3,p=15,则方差D(X)等于(A.35 B.45 C.2.[探究点一]已知随机变量X的分布列为X012P111设Y=2X+3,则D(Y)等于()A.83 B.53 C.23.[探究点一]已知离散型随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=23,P(X=3)=16,若X的数学期望E(X)=54,则D(4X-3)=A.19 B.16 C.194 D.4.[探究点二]设随机变量X,Y满意Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=716,则D(Y)=(A.325.[探究点一·2024吉林长春高二阶段练习](多选题)设0<p<1,已知随机变量ξ的分布列如下表,则下列结论正确的是()ξ012Pp-p2p21-pA.P(ξ=0)<P(ξ=2)B.P(ξ=2)的值最大C.E(ξ)随着p的增大而增大D.当p=12时,D(ξ)=6.[探究点一]已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=.(结果用数字表示)

7.[探究点二]若随机事务A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示事务A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为;2D(XB级关键实力提升练8.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则()A.X~B4,23 B.P(X=2)=881C.X的期望E(X)=83 D.X的方差D(X)=9.将3个完全相同的小球放入3个盒子中,盒子的容量不限,且每个小球落入盒子的概率相等.记X为安排后所剩空盒的个数,Y为安排后不空盒子的个数,则()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)10.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,又已知E(X)=43,D(X)=29,则|x1-x2A.53 B.211.某人共有三发子弹,他射击一次命中目标的概率是23,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则方差D(X)=12.已知袋中装有大小相同质地匀称的5个球,其中3个黑球和2个白球,从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E(X)=,D(X)=.

13.某财经杂志发起一项调查,旨在预料某地经济前景,随机访问了100位业内人士,依据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布状况如下:经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),依据阅历,这100位人士的看法即可代表业内人士看法,且他们预料各等级的频率可估计将来经济各等级发生的可能性.(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士,试估计至少有一人预料该地经济前景为“乐观”的概率;(2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两种投资项目的年回报率都与该地经济前景等级有关,依据阅历,大致关系如下(正数表示赢利,负数表示亏损):经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率/%124-4人工智能项目年回报率/%75-2依据以上信息,请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差,并用统计学学问给出投资建议.C级学科素养创新练14.已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表:X012Pmnm则下列结论肯定成立的是()A.P(X=1)<P(X≠1)B.E(X)=1C.mn≤1D.D(X+1)<115.某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据依据[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只供应整箱批发:大箱每箱50瓶,批发成本85元;小箱每箱30瓶,批发成本65元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,确定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶).(1)设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量Y,求X和Y的分布列;(2)从早餐店的收益角度和利用所学的学问作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?(必需作出一种合理的选择)

参考答案其次课时离散型随机变量的方差1.C由于二项分布的数学期望E(X)=np=3,所以二项分布的方差D(X)=np(1-p)=3×1-15=125,故选C.2.A由X的分布列得E(X)=0×13+1×13+2×13=1,D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×13+(2-1)2×13=23,因为Y=2X+3,则D(Y)=43.A由题知P(X=0)=13,设P(X=1)=a,则P(X=2)=12-a,因此E(X)=0×13+1×a+2×12-a+3×16=54,解得X0123P1111则D(X)=13×0-542+14×1-542+14×2-542+16×3-542=1916,因此D(4X-3)=16D(X)=19.故选A4.C由题意得,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=716,解得p=14,∴D(X)=2×p×(1-p∴D(Y)=42D(X)=16×38=6.故选C5.ADP(ξ=0)=p-p2=p(1-p)<1-p,所以A正确;令p=34,则P(ξ=2)=14,P(ξ=1)=342=916>14,所以B错误;由题意得E(ξ)=p2+2(1-p)=(p-1)2+1,因为0<p<1,所以E(ξ)随着p的增大而减小,所以C错误;当p=12时,E(ξ)=1×122+2×12=54,D(ξ)=0-542×14+1-542×14+2-56.32625∵D(Y)=4D(X)=3.2,∴D(X)=0.8又X~B(n,p),∴np解得p=0.8,n=5.故P(X=2)=C52p2(1-p)3=7.142-22随机变量X的全部可能取值为0,1,由题意,得XX01P1-pp,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.D(X)=p-p2=-p2-p+14+14=-p-1222D(X)-1E(X)=2p-2p2故2D(X)-18.ACD由于每次取球互不影响,故全部结果有4类:①4次全是白球,X=0,其概率为P(X=0)=134=181.②4次只有1次是黑球,X=1,其概率为P(X=1)=C41×23×13③4次只有2次是黑球,X=2,其概率为P(X=2)=C42×232×132=2481④4次只有3次是黑球,X=3,其概率为P(X=3)=C43×233×1⑤4次全是黑球,X=4,其概率为P(X=4)=234=1681.故X~B4,23,故A正确,B错误;因为X~B4,23,所以X的期望E(X)=4×23=因为X~B4,23,所以X的方差D(X)=4×23×1故选ACD.9.C因为一共有3个盒子,所以X+Y=3,因此E(X)=E(3-Y)=3-E(Y),D(X)=D(3-Y)=(-1)2D(Y)=D(Y),由题意可知X=0,1,2,P(X=0)=A333×3×3=627=29,P(X=2)=A313×3×3=327=19,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-29-19=23,10.D∵23+∴随机变量X的可能取值为x1,x2,∴2解得x1=53,x2=故选D.11.3881由题意知X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=23,P(X=2)=13×23=2∴X的分布列为X123P221∴E(X)=1×23+2×29+3×E(X2)=1×23+4×29+9×∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=388112.95925P(X=1)=C31C53=310P(X=3)=C3所以X的分布列为X123P331所以E(X)=310×1+35×2+110×3D(X)=310×1-952+35×2-952+110×3-952=92513.解(1)由题意可知100名被访问者中,预料某地经济前景为“乐观”的人数为9+7+4=20人,概率为0.2,若又随机访问了两名业内人士,至少有一个预料该地经济前景为“乐观”的概率为P=0.22+C21·0.2·(1-0.2)=0.(2)由题意可知,预料该地经济前景为“乐观”的概率为20100=0.预料该地经济前景为“尚可”的概率为10+19+24+17100=0.预料该地经济前景为“悲观”的概率为2+3+5100=0.1设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为E(X1),E(X2),方差分别为D(X1),D(X2),则E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001856,D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000561.∵E(X1)>E(X2),∴投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高,但二者相差不大.∵D(X1)>D(X2),∴投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高,风险要小,∴建议投资人工智能项目.14.BCD由分布列的性质得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m,当m=14,n=12时,P(X=1)=P(X≠1),故选项A错误;因为E(X)=n+2m=1,故选项B正确;因为m,n均为正数,所以1=n+2m≥22mn,即mn≤18,当且仅当n=2m=12时,等号成立,故选项C正确;由n=1-2m>0,得0<m<12.又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=m+m=15.解(1)若早餐店批发一大箱,批发成本为85元,依题意,销量有20,30,40,50四种状况.当销量为20瓶时,利润为5×20-85=15元,当销量为30瓶时,利润为5×30-85=65元,当销量为40瓶时,利润为5×40-85=115元,当销量为50瓶时,利润为5×50-85=165元.随机变量X的分布列为X1565115165P0.30.40.20.1若早餐店批发一小箱,批发成本为65元,依题意,销量有20,30两种状况.当销量为20瓶时,利润为5×20-65=35元,当销量为30瓶时,利润为5×30-65