广东省2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

2024—2024学年高一数学上学期期中考试一､单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.下列关系式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行推断即可.【详解】，所以A错误；集合是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B错误；是有理数集，，所以C错误；空集是任何集合的子集，所以D正确.故选：D.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的定义即可求解【详解】因为，，所以，故选：B3.已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解出集合A，依据，分类探讨求出实数.【详解】.因为，所以，，.当时，关于x的方程无解，所以；当时，是关于x的方程的根，所以；当时，是关于x的方程的根，所以.故实数的取值构成的集合为.故选：D4.函数的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.2【答案】B【解析】【分析】结合基本不等式求得最小值.【详解】，，当且仅当时等号成立.故选：B5.函数，，则（）A.函数有最小值，最大值 B.函数有最小值，最大值C.函数有最小值，最大值 D.函数有最小值，最大值【答案】A【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，推断在区间上的单调性，进而可得最值.【详解】对称轴为，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以函数有最小值，最大值，故选：A.6.不等式的解集为，则的解集为（）A. B.或C.或 D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的解集得到对应方程的根，结合韦达定理，求出，再代入所求的一元二次不等式，即可求解.【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程两根，则，解得，所以不等式即化为，所以，解得.故选：A7.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是上的减函数列不等式，求解实数的取值范围即可.【详解】由题意得，解得；解得；当时解得.综上得实数的取值范围为.故选：D.8.下列说法正确的是（）A.不等式的解集为B.若实数满意，则C.若，则函数的最小值为2D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是【答案】B【解析】【分析】干脆解一元二次不等式即可推断A；依据不等式的性质推断B；依据基本不等式求最值即可推断C；依据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可推断D.【详解】对A，由解得或，故A错误；对B，由于，对两边同除，得到，故B正确；对C，由于，利用基本不等式知，故C错误；对D，①当时，不等式为，恒成立；②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，故D错误；故选：B二､多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（）A.B.若在上有最小值－1，则在上有最大值1C.若在上为增函数，则在上为减函数D.，使【答案】AB【解析】【分析】利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理推断．【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使D不正确；令，则，即A正确；若在上有最小值－1，即对，，使得当时，，即在上有最大值1B正确；依据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确；故选：AB．10.下列命题中，真命题的是（）A.a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件B.“”是“”的充要条件C.命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”D.命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”【答案】ACD【解析】【分析】利用充分性与必要性推断AB的正确性，依据全称命题与存在命题的关系推断CD的正确性.【详解】对于A，当，时，，但是当时，得到，不肯定成立，故，是的充分不必要条件，故A正确；对于B，“”是“”的充要条件，故B错误；对于C,命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”,故C正确；对于D，命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”，故D正确.故选：ACD11.已知幂函数，则（）A. B.定义域为C. D.【答案】AC【解析】【分析】依据为幂函数得可推断A；依据幂函数的解析式可推断B；利用单调性可推断C；计算可推断D.【详解】为幂函数，，得，A对；函数的定义域为，B错误；由于在上为增函数，，C对；，，D错误，故选：AC.12.已知集合，，则使成立的实数m的取值范围可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先依据题意得出A，然后对集合B是空集和不是空集两种状况进行探讨，进而得到答案.【详解】，A.若B不为空集，则，解得，，，且，解得．此时．若B为空集，则，解得，符合题意．综上，实数m满意或．故选：AC.三､填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】依据题意列关于的不等式组即可求解.【详解】由题要使得有意义，则，故且，从而的定义域为，故答案为：.14.设，，则_______．【答案】105【解析】【分析】先求，再求【详解】解：因为，所以，所以，故答案为：15.已知正实数x，y满意，则最小值为______．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式的性质干脆求解即可.【详解】正数，满意：，，当且仅当，即，时“”成立，故答案为：.16.关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】分和探讨，时依据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可【详解】若,得,符合题意若,由题知,解得综上实数的取值范围是故答案为：四､解答题（共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.设全集为R，集合或，，（1）求，.（2）求【答案】（1）或，；（2）【解析】【分析】按定义进行交集、并集、补集运算即可【小问1详解】或，；【小问2详解】，18.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）由题意可得，再将函数变形为，然后利用基本不等式求出其最大值，（2）利用基本不等式结合题意可得结果.【详解】（1）∵，∴，因此；当且仅当，即，y有最大值；（2）∵，且，∴；当且仅当，即，时，有最小值4．19.已知函数（1）推断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；（2）若，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）减函数，证明见解析（2），【解析】【分析】（1）依据定义法证明函数单调性即可求解；（2）依据（1）中的单调性求解最值即可.小问1详解】任取，，且则-因为，所以，所以，即，所以在区间上是减函数．【小问2详解】因为函数在区间上是减函数，所以，.20.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）当时，求的解析式；（2）若，求的值．【答案】（1）当时，；（2）或.【解析】【分析】（1）设时，，则，再依据偶函数性质即可得时，求的解析式；（2）分和两类，分别解不等式即可得答案.小问1详解】解：（1）当时，，所以，又是偶函数，∴，∴，所以当时，；【小问2详解】解：当时，当时，，即，解得（舍去），当时，，∴.（舍去），综上，或21.第24届冬季奥林匹克运动会，即2024年北京冬奥会于2024年2月4日开幕.冬奥会祥瑞物“冰墩墩”早在2024年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出许多不同品类的祥瑞物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.【答案】（1）；（2）产量为70万盒，最大利润为1200万元.【解析】【分析】（1）依据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.【小问1详解】依题意，当时，，当时，，所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为：.【小问2详解】当时，单调递增，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，而，因此当时，，所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.22.定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对随意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值.【答案】（1）和3（2）（3）【解析】【分析】（1）依据不动点的定义计算即可；（2）方程有两个不等