广东署山市2025届高三数学上学期期末试题含解析

Page19广东省佛山市2024届高三数学上学期期末试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别解二次不等式，一次不等式得集合，再由集合交集运算得.【详解】，，，故选：A.2.已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】依据给定条件，求出a值，即可求出复数对应点的坐标作答.【详解】依题意，，即，又，因此，解得，则有，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据函数奇偶性以及函数值的正负可得答案．【详解】因为，，所以为奇函数，得的图象关于原点对称，当时，，解除AD，当时，，解除C.故选：B．4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若，则，但当时，有，此时不肯定成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.某数学爱好小组的学生为了了解会议用水的饮用状况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用状况进行调查，会议前每人发一瓶500ml的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用状况主要有四种：A．全部喝完；B．喝剩约；C．喝剩约一半；D．其他状况．该数学爱好小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．依据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A.40 B.30 C.22 D.14【答案】C【解析】【分析】由两幅统计图可得喝剩约的人有40人，所占可得参与该会议人数，再由喝剩约一半的百分比、其他状况的人数可得答案.【详解】由两幅统计图可得喝剩约的人有40人，所以该会议共有人，所以喝剩约一半的有人，而其他状况共有8人，所以本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是人.故选：C.6.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线角的余弦作答.【详解】在四棱锥中，平面，四边形正方形，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，而分别是棱的中点，则，由得：，则，,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A7.当光线入射玻璃时，表现有反射、汲取和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（）（参考数据：，）A.30块 B.31块 C.32块 D.33块【答案】B【解析】【分析】依据给定条件，列出不等式，再利用对数函数的性质解不等式作答.【详解】令光线原有强度为1，经过n块玻璃后光线强度变为原来的，依题意，，两边取对数得：，即有，而，则，所以至少要通过这样的玻璃的数量是31块.故选：B8.已知函数，则（）A.的最小正周期是 B.的图象关于直线对称C.在上有4个极值点 D.在上单调递减【答案】D【解析】【分析】依据给定条件，利用函数周期性、对称性定义推断A，B；求导并探讨导数在上的正负状况推断C；探讨函数在上单调性推断D作答.【详解】函数，对于A，，即不是的周期，A不正确；对于B，因为，而，明显函数图象上的点关于直线的对称点不在的图象上，B不正确；对于C，当或时，，，此时或，当或，即或时，函数取得最值，因此在或取极值，当时，，，此时，当或，即或时，函数取得最值，因此在或取极值，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又函数是定义域R上的连续函数，则是函数的一个微小值点，所以函数在上的极值点至少有5个，C不正确；对于D，因为，则是函数的一个周期，当时，，由选项C知函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点、、、，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用平面对量共线的坐标表示可推断A选项；利用平面对量的模长公式可推断B选项；利用平面对量垂直的坐标表示可推断CD选项.【详解】对于A选项，，，则，故，A对；对于B选项，，所以，，B对；对于C选项，，所以，，C对；对于D选项，，则，D错.故选：ABC.10.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性质可推断B的正确，利用对数函数的性质可推断D的正误，利用反例可推断BC的正误.【详解】因为，且，由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故A成立.,当且仅当时等号成立，故C正确.对于B，取，则，故B错误.对于D，因为，故，而，故，故，故D成立，故选：ACD.11.数学中有很多形态美丽，寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，全部的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面围着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，则（）A.十面体的上、下底面之间的距离是B.十面体的表面积是C.十面体外接球球心到平面ABE的距离是D.十面体外接球的表面积是【答案】ABD【解析】【分析】利用勾股定理求得的长即可推断选项A；由几何体的结构特征将侧面积和底面积加起来即可得出其表面积推断B；易知长方体的外接球就是十面体的外接球可求得外接球半径，计算可得外接球表面积从而推断D；依据十面体外接球球心与外接圆圆心之间的位置关系，利用勾股定理即可求得其距离，进而推断选项C.【详解】由图2可知，上底面的平面图如下所示：连接交于点，易知，由勾股定理可得，又因为长方体中，平面，平面，所以，所以，解得，即，所以十面体的上、下底面之间的距离是，即A正确；由，可知的面积为，下底面面积，所以十面体的表面积是，故B正确；因为十面体是将长方体的上底面围着其中心旋转45°得到的，所以长方体的外接球就是十面体的外接球；设十面体的外接球半径为，则即，所以十面体外接球的表面积是，故D正确；由于，所以；设的外接圆半径为，则，即，由外接球与平面外接圆之间的关系可知，十面体外接球球心到平面ABE的距离是，即C错误；故选：ABD12.已知函数的定义域均为R，且.若的图像关于直线对称，且，则（）A. B.的图像关于点对称C.是周期函数，且最小正周期为8 D.【答案】ABD【解析】【分析】结合函数性质得最小正周期为4，且图像关于点对称，再结合选项理解辨析.【详解】令，则，又，故，故A正确；因为则，即①又，②①+②得：，则的图像关于点对称，且故B正确；的图像关于直线对称，则，则，则，又，两式相减得，故，故最小正周期为4，故C错误；最小正周期为4，且图像关于点对称，，，因为，故，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知抛物线焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是，则_______.【答案】【解析】【分析】设，计算可得，从而可求的值.【详解】由抛物线的方程可得，设，则，则,故，故，故答案为：4.14.写出一个同时满意下列条件①②的双曲线的标准方程：_______.①焦点在轴上；②离心率为.【答案】(答案不唯一).【解析】【分析】利用双曲线的离心率公式及焦点在轴上即可求解.【详解】由于双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.因为双曲线的离心率为，所以，解得.所以写出一个同时满意下列条件①②双曲线的标准方程可以为.故答案为：(答案不唯一).15.某班派甲、乙等五人参与跳高、跳远、米短跑这三个项目，要求每人只参与一个项目，且每个项目都要有人参与，则甲、乙参与同一个项目的概率是______．【答案】##【解析】【分析】计算出将三个项目都有人参与的支配方法种数，以及甲、乙参与同一个项目的安排方法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事务的概率.【详解】将甲、乙等五人参与跳高、跳远、米短跑这三个项目，每人只参与一个项目，且每个项目都要有人参与，可将这五人分为组，每组人数分别为、、或、、，则不同的支配方法种数为种；若甲、乙支配在同一个项目，分以下两种状况探讨：①甲、乙所支配的项目只有人参与，此时，不同的支配方法种数为；②甲、乙所支配的项目有人参与，此时，不同的支配方法种数为.综上所述，甲、乙参与同一个项目的概率是.故答案为：.16.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，.若，则不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】构造函数，运用条件求出的单调性，再依据函数的奇偶性求解.【详解】设，则，在时是单调递增的，，时，时，，，；设，则，是偶函数，时，的解是；故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.公差不为的等差数列的前项和为，且满意，、、成等比数列．（1）求的前项和；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，则，依据题意可得出关于的方程，求出的值，可求得数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，，，，由题意可得，即，解得，所以，，所以，.【小问2详解】解：，所以，.18.某商场在周年庆实行了一场抽奖活动，抽奖箱中全部乒乓球都是质地匀称，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖状况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分的概率；（2）某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折（如该顾客积分为，商场就给该顾客的全部购物打折），记该顾客最终购物打X折，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）估计积分为3分的概率为，积分为2分的概率为（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）由样本数据分别计算积分为3分和2分的频率，由此估计概率即可；（2）先确定X的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列，由数学期望公式求解即可．【小问1详解】由题意可知某顾客抽奖一次，积分为3分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为3分的概率为．某顾客抽奖一次，积分为2分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为2分的概率为．【小问2详解】由题意可知的可能取值为4，5，6，7，8..则的分布列为87654故．19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且.（1）求A的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据二倍角公式将化简可得即可求得A的大小；（2）分别在和中利用余弦定理联立方程组可解得即可求得的面积.【小问1详解】由得，即，解得或（舍去）因为，所以，则.所以A大小.【小问2详解】设，则，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知；即联立解得；所以故的面积为.20.如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）依据法向量垂直，即可求证，（2）依据平面法向量的夹角即可求解面面角.【小问1详解】设，分别是，的中点，连接，，，则，是等边三角形，，又依据题意可得：平面平面，且交线为，又平面，平面，又平面，．又依据正三棱柱的性质可知：平面，平面，，平面，，，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，设平面，平面的法向量分别为，所以取，则，取，则，所以，故，所以平面平面．【小问2详解】设平面的法向量分别为,则，取，则，设平面与平面所成的锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为21.已知椭圆的离心率是，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程．（2）已知，直线与椭圆交于、两点，若直线、的斜率之和为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）的面积是否存在最大值，且最大值为【解析】【分析】（1）依据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，依据求出的值，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值.【小问1详解】解：由已知可得，解得，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，，