新教材2024-2025学年高中数学第1章预备知识测评北师大版必修第一册

第一章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“∀x∈N+,a≤x”的否定是()A.∀x∈N+,a>x B.∀x∉N+,a>xC.∃x∈N+,a>x D.∃x∉N+,a>x2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()A.t>s B.t≥sC.t<s D.t≤s3.设集合M={x|x2-3x≤0},N=x12<x<4,则M∩N=()A.x0≤x≤12 B.x12C.{x|3≤x<4} D.{x|0≤x<4}4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x的集合为()A.{x|0<x<3} B.{x|x<0,或x>3}C.{x|x>3} D.{x|-2<x<1}5.命题“∀x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥9 B.a≥8C.a≥10 D.a≤106.若x>0,y>0且x+y=1,则下列结论正确的是 ()A.x+yB.xy的最小值是1C.x2+y2的最小值是2D.2x+7.已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是()A.[2,4] B.(0,2]∪[4,+∞)C.[4,16] D.(0,4]∪[16,+∞)8.已知非空集合A,B满意以下两个条件:(1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=⌀;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为()A.10 B.12 C.14 D.16二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于随意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中为真命题的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac2>bc2,则a>bC.若a>b,则1D.若a>b,c>d,则a-d>b-c10.下列结论正确的是()A.“xy>0”是“xy>B.x2C.命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x≤1,x2-x≤0”D.“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件11.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是()A.-8 B.-5 C.1 D.412.当一个非空数集G满意“随意a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,ab∈G”时,我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法,其中正确的是(A.0是任何数域的元素B.若数域G有非零元素,则2022∈GC.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域D.任何一个数域的元素个数必为奇数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为.

14.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},则r=,p+q=.

15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24000元,为了减小耕地损失,确定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可削减52t万亩,为了既削减耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元,t变动的范围是16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x+4y甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4乙:z=(x+2y)2x+4y≥22xy·28①你认为甲、乙两人解法正确的是.

②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:

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四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|a<x≤a+2,a∈R},B={x|-1<x<3}.(1)若a=1,求(∁UA)∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.19.(12分)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知集合A={x|x2-4x-12≤0},B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.若x∈A是x∈B成立的,推断实数m是否存在?若实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(12分)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值;(2)若b=2a,求该不等式的解集.21.(12分)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创建利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资削减了x(x>0)万元,且每万元创建的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创建的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数yx(x>(2)对于随意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,试求a的取值范围.

参考答案第一章测评1.C2.Dt-s=4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s.3.B因为M={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3},N={x12<x<所以M∩N={x12<x≤3}4.B∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},∴-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a<0,∴-ba=-1+2=1,ca∴b=-a,c=-2a,由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,得ax2-3ax<0,∵a<0,∴x2-3x>0,∴x<0或x>3,∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0,或x>3}.5.C当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥(x因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,所以a≥9.因为a≥9推不出a≥10,a≥10⇒a≥9,所以C符合要求.A为充要条件,B为必要不充分条件,D为既不充分也不必要的条件.6.A由基本不等式得xy≤(x+y2)2=14,当且仅当x=y=12∵(x+y)2=x+y+2xy=1+2xy≤1+2×14=2,∴x∵x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy≥1-2×14∴x2+y2有最小值12∵2x+1y=(2x+1y)(x+y)=3+2yx+xy≥3+2∴2x+1y有最小值3+7.D因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8≤ab-6ab+8,当且仅当a=b时,等号成立,即(ab-2)(ab-4)≥0,所以0<ab≤2或ab≥4,所以0<ab≤4或ab≥16,故ab的取值范围是(0,4]∪[16,+∞).故选D.8.A依据条件,A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.可知(1)当集合A只有1个元素时,集合B中有5个元素,1∉A且5∉B,此时仅有一种结果A={5},B={1,2,3,4,6};(2)当集合A有2个元素时,集合B中有4个元素,2∉A且4∉B,此时集合A中必有1个元素为4,集合B中必有1个元素为2,故有如下可能结果:①A={1,4},B={2,3,5,6};②A={3,4},B={1,2,5,6};③A={5,4},B={1,2,3,6};④A={6,4},B={1,2,3,5}.共计4种可能;(3)当集合A中有3个元素时,集合B中有3个元素,3∉A,3∉B,不符合条件;(4)当集合A中有4个元素时,集合B中有2个元素,此状况与状况(2)相同,只需A,B互换即可,共计4种可能;(5)当集合A中有5个元素时,集合B中有1个元素,此状况与状况(1)相同,只需A,B互换即可,共计1种可能.综上所述,有序集合对(A,B)的个数为10.9.BDA选项:-3>-5,1>-4,但是-3×1<-5×(-4),A不正确;B选项:因为ac2>bc2成立,则c2>0,那么a>b,B正确;C选项:2>-3,但是12>-1D选项:因为c>d,所以-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,D正确.10.ADxy>0⇔xy>y=x2+9+1则y=t+1t,且在区间[3,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大,最小值为3+1命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x>1,x2-x≤0”,故C错误;一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)明显有a+b+c=0,反之亦可,故D正确.11.ACD由x2+3x-4<0,解得-4<x<1,令A={x|-4<x<1}.x2-(2k+3)x+k2+3k>0即(x-k)[x-(k+3)]>0,解得x<k,或x>k+3,令B={x|x<k,或x>k+3}.由题意知A⫋B,所以k≥1或k+3≤-4,即k∈(-∞,-7]∪[1,+∞).12.ABD当a=b时,由数域的定义可知,若a,b∈G,则有a-b∈G,即0∈G,故A正确;当a=b≠0时,由数域的定义可知,a,b∈G,则有ab∈G,即1∈G,若1∈G,则1+1=2∈G,则1+2=3∈G,…,则1+2024=2024∈G当a=2,b=4时,ab=1由0∈G,当b∈G且b≠0时,则-b∈G,因此只要这个数不为0,就肯定成对出现,所以数域的元素个数必为奇数,所以D正确.13.3A={-1,1},B={0,2},∵x∈A,y∈B,∴x=1或x=-1,y=0或y=2.则z=x+y的值可能是-1,1,3.故答案为3.14.-23由A∩B={-1},知-1∈B,∴(-1)2-(-1)+r=0,解得r=-2,∴B={x|x2-x-2=0}={-1,2},又A∪B={-1,2},A∩B={-1},∴A={x|x2+px+q=0}={-1},即方程x2+px+q=0有两个相同的实数根-1,∴Δ=p2-4q=0,且(-1)2+p(-1)+q=0,解得p=2,q=1.所以p+q=3.15.[3,5]由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20-52t)万亩,则税收收入为(20-52t)×24000×t由题意(20-52t)×24000×t整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5.∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可削减耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.∴t的范围是[3,5].16.①甲②答案不唯一,合理即可.如:已知a>0,b>0,求z=(a+b)(1a+甲:z=(a+b)(1a+1b)=1乙:z=(a+b)(1a+1b)≥2ab·217.证明∵bc-ad≥0,bd>0,∴bc≥ad,1bd>∴bc·1bd≥ad·1bd,即∴cd+1≥ab∴c+dd18.解(1)当a=1时,集合A={x|1<x≤3},B={x|-1<x<3}.∴∁UA={x|x≤1或x>3},故(∁UA)∩B={x|-1<x≤1}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B,∴a解得-1≤a<1.∴实数a的取值范围是[-1,1).19.解由x2-4x-12≤0得-2≤x≤6,故集合A={x|-2≤x≤6},由x2-2x+1-m2=0得x1=1-m,x2=1+m,因为m>0,故集合B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,则有1-m≤所以,实数m的取值范围是[5,+∞).若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,则有1解得0<m≤3,所以实数m的取值范围是(0,3].若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B,则有1-所以不存在满意条件的实数m.20.解(1)由不等式的解集为(-1,2),可知方程x2-ax-2x+b=0的两根为-1和2,得a解得a=-1,b=-2.(2)若b=2a,原不等式可化为x2-(a+2)x+2a<0;因此(x-a)(x-2)<0.①当a<2时,原不等式等价于a<x<2;②当a=2时,原不等式等价于(x-2)2<0,解集为空集;③当a>2时,原不等式等价于2<x<a.综上所述:当a<2时,原不等式的解集为(a,2);当a=2时,原不等式的解集为空集;当a>2时,原不等式的解集为(2,a).21.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300,即x的取值范围为(0,300].(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,技术改进后A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则1.5