新教材2024-2025学年高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系分层作业新人教B版选择性必修第一册

第一章1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系A级必备学问基础练1.[探究点一]已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则向量b等于()A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)2.[探究点一、二]已知a=(1,2,y),b=(x,1,2),且a∥b,则x·y=()A.1 B.-1 C.-2 D.23.[探究点二](多选题)已知向量a=(1,1,0),则与a共线的单位向量e=()A.-2B.(0,1,0)C.22D.(-1,-1,0)4.[探究点一]若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形态是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形5.[探究点二、三](多选题)对于随意非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),以下说法错误的有()A.若a⊥b,则x1x2+y1y2+z1z2=0B.若a∥b,则xC.cos<a,b>=xD.若x1=y1=z1=1,则a为单位向量6.[探究点二、三]已知向量a=(1,0,m),b=(2,0,-23),若a∥b,则|a|=()A.-1 B.0 C.1 D.27.[探究点三]已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t,-25),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.8.[探究点二、三·北师大版教材习题]已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC,(1)设|c|=3,c∥BC,求c的坐标;(2)求a与b的夹角;(3)若ka+b与ka-2b相互垂直,求实数k的值.B级关键实力提升练9.(多选题)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则 ()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=53 D.AP∥BC10.[2024山西浑源高二阶段练习]已知向量{a,b,c}是空间向量的一组单位正交基底,向量{a+b,a-b,a+c}是空间向量的另一组基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在{a+b,a-b,a+c}下的坐标为()A.(-12,52,4) BC.(12,-52,4) D.(52,11.已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AB在AC上的投影的数量为12.已知空间向量a=(1,-2,3),则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是.

13.[2024湖北高二阶段练习]如图,已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的对角线BD'上,∠PDC=60°.设D'P=λD'B,则λ14.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(1)求cos<AC,PB(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,求N点的坐标.15.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且向量a分别与向量AB,AC垂直,求向量C级学科素养创新练16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满意AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=26.(1)若点F为DC的中点,求cos<AP,BF(2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当EM⊥BF时,求|

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系1.B2.D因为a∥b,所以2x=1所以x·y=2.3.AC对A,存在实数λ=-2,使(1,1,0)=-2(-22,-22,0),且(-2对B,不存在实数λ,使(1,1,0)=λ(0,1,0),故B错误;对C,存在实数λ=2,使(1,1,0)=2(22,22对D,|(-1,-1,0)|=1+1=2,不是单位向量,故D错误.4.AAB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).由AB·AC>0,得A为锐角;由CA·CB>0,得C为锐角;由BA·BC>0,得B为锐角5.BD对于A选项,因为a⊥b,则a·b=x1x2+y1y2+z1z2=0,A选项正确;对于B选项,若x2=0,且y2≠0,z2≠0,若a∥b,分式x1对于C选项,由空间向量数量积的坐标运算可知cos<a,b>=x1对于D选项,若x1=y1=z1=1,则|a|=12+12+16.D由a∥b,得a=λb,即(1,0,m)=λ(2,0,-23),所以1=2λ,m=-23λ,所以λ=12,m=-23×1所以a=(1,0,-3),所以|a|=12+0故选D.7.(-∞,-65)∪(-65,5215)由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×(-25)=3t-525,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即3若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),即(5,3,1)=λ(-2,t,-25所以5=-2故t的取值范围是(-∞,-65)∪(-658.解(1)BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2).因为c∥BC,所以c=λBC,所以c=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).又|c|=3,所以|c|=4λ2+λ2+4λ2=3|λ|=3,所以λ=±1,所以c=(-2,(2)a=AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),所以a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1,|a|=12+12+0所以cos<a,b>=-12×因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π-arccos1010(3)由(ka+b)⊥(ka-2b)得(ka+b)·(ka-2b)=0,所以k2a2-2ka·b+ka·b-2b2=0,所以2k2-k·(-1)-2×5=0,所以2k2+k-10=0,所以k=2或k=-529.ACAP·AB=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,即BP=BA+AP=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP·AP=3+6-3=6≠0,∴AP与BP不垂直,故B不正确;BC=AC-AB∴|BC|=62假设AP=kBC(k∈R),则1=6k,-2=k,10.C不妨设向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),则向量a+b=(1,1,0),a-b=(1,-1,0),a+c=(1,0,1).设p=x(a+b)+y(a-b)+z(a+c),即(2,3,4)=x(1,1,0)+y(1,-1,0)+z(1,0,1),∴x+y即p在{a+b,a-b,a+c}下的坐标为(12,-52故选C.11.-4∵AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),∴cos<AB,AC>=0-20+042+(-5)2×42+(-3)2=-2012.(1,-2,0)13.2-1以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD'为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则A(1,0,0),C(0,1,0),D'(0,0,1),B(1,1,0),则P(λ,λ,1-λ)(0<λ<1),∴DP=(λ,λ,1-λ),DC=(0,1,0),∴cos<DC,DP>=DC·DP|由0<λ<1,解得λ=2-1.14.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(0,12,1),从而AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2)则cos<AC,PB>=(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则NE=(-x,12,1-z),由NE⊥平面PACNE化简得z即N点的坐标为(36,0,1)15.解(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),设θ为AB,则cosθ=AB·∴sinθ=32.∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=|AB||AC|sinθ=73(2)设a=(x,y,z),由题意,得-2x∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).16.解(1)因为△PBC为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=22.又PD2=(26)2=24,PC2+CD2=(22)2+42=24,所以DC⊥PC.因为PC∩BC=C,PC,BC⊂以点C为原点,CP,CD所在直线分别为x轴、z轴,过点C作PB的平行线,以此为y轴,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.则P(22,0,0),B(22,22,0),F(0,0,2),