新教材2024-2025学年高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.2等比数列的前n项和分层作业新人教B版选择性必修第三册

第五章5.3.2等比数列的前n项和A级必备学问基础练1.[探究点一]已知等比数列{an}各项均为正数,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,则S6S3=A.2 B.78 C.98 D2.[探究点一]已知等比数列{an}中,a1+a4=2,a2+a5=4,则数列{an}的前6项和S6的值为()A.12 B.14 C.16 D.183.[探究点二]在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1am-1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为()A.4 B.5 C.6 D.74.[探究点一]古希腊哲学家芝诺提出了一个悖论:让阿基里斯和乌龟赛跑,他的速度是乌龟速度的10倍,乌龟在他前面100米爬行,他在后面追,但他不行能追上乌龟.缘由是在竞赛中,追者首先必需到达被追者的动身点,当阿基里斯追了100米时,乌龟已在他前面爬行了10米,而当他追到乌龟爬行的10米处时,乌龟又向前爬行了1米,就这样,乌龟总能领先一段距离,不管这个距离有多小,只要乌龟不停地向前爬行,阿基里斯就恒久追不上乌龟.试问在阿基里斯与乌龟的竞赛中,当阿基里斯与乌龟相距0.01米时,乌龟共爬行了()A.11.1米 B.10.1米 C.11.11米 D.11米5.[探究点一·2024陕西铜川校考一模]设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=13,S6=364,则通项an为()A.32n-1 B.32n C.3n D.3n-16.[探究点一、二](多选题)[2024湖北武汉洪山高级中学高二阶段练习]已知Sn为数列{an}的前n项和,下列说法肯定正确的是()A.若{an}为等差数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等差数列B.若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等比数列C.若{an}为等差数列,则S5D.若{an}为等比数列,则S57.[探究点一]已知等比数列{an}的公比为2,前n项和为Sn,若S5=1,则S10=.

8.[探究点一]在等比数列{an}中,若an=2n-1,则a12+a22+9.[探究点三·2024江苏南京高二期末]求和:Sn=1+(1+12)+(1+12+14)+(1+12+14+18)+…+10.[探究点一]已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设数列{bn}是首项为2的等比数列,其公比q满意q2-(a4+1)q+S4=0,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.11.[探究点三·2024湖南湘潭高三期末]已知等差数列{an}和等比数列{bn}满意a1=2,b1=1,a2+a3=10,b2b3=-a4.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求c1+c3+c5+…+c2n-1.B级关键实力提升练12.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,log2an+1=1+log2an,且a3=4,则S6的值为()A.128 B.65 C.64 D.6313.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则SnanA.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-114.等比数列{an}的项数为奇数,全部奇数项的和S奇=255,全部偶数项的和S偶=-126,末项是192,则首项a1的值为()A.1 B.2 C.3 D.415.[北师大版教材习题改编]设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,那么a3a6…a30=()A.210 B.215 C.220 D.21616.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10S5=1A.13 B.12 C.2317.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S16的值为.

18.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=abn,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N+),则当Tn<2023时,n的最大值为19.设等比数列{an}满意a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.C级学科素养创新练20.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1+2Sn-1=3Sn(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an+1SnSn+1,求数列{b

5.3.2等比数列的前n项和1.C设等比数列{an}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=12,∴q=1∴S6S3=a1(1-2.B设数列{an}的公比为q,则q=a2+∴a1+a4=a1+a1q3=9a1=2,∴a1=29,∴S6=29×故选B.3.B因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以am+1am-1=2am=am2,则am=2.又T2m-1=a1a2…a2m-1=am2m-1,所以22m-1=512=24.C依题意,乌龟爬行的距离组成等比数列{an},其首项a1=10,公比q=0.1,前n项和为Sn,所以当an=0.01时,Sn=a1-anq故选C.5.D设{an}的公比为q,由题可知q>0,且q≠1.由题可得S3=a1(1-q3)1-q=13,故选D.6.ABCA选项,{an}为等差数列,设公差为d,所以S5=5a1+10d,S10=10a1+45d,S15=15a1+105d,故S10-S5=5a1+35d,S15-S10=5a1+60d,因为2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,A正确;B选项,{an}成等比数列,设公比为q,若q=1,则S5=5a1,S10=10a1,S15=15a1,则S10-S5=5a1,S15-S10=5a1,故(S10-S5)2=S5(S15-S10),故S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.若q≠1,则S5=a1(1-q5)1-q,所以S10-S5=a1S15-S10=a1则S10-S5S5=故S10-S5S5=S15-S10S10-综上,若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10肯定为等比数列,B正确;C选项,{an}为等差数列,设公差为d,则S55=5a1+10d5=a1+2d,S1010=10因为S1010-S5故S10则S5D选项,{an}成等比数列,设公比为q.若q=1,则S55=a1,S1010=a1,则S55若q≠1,则S5则S10因为(1-q20)(1-q5)=1-q5-q20+q25≠(1所以S55综上,若{an}为等比数列,则S55故选ABC.7.33∵S5=a1(1-25)1-2=31∴S10=a1(1-28.13(4n-1)∵an=2n-1,∴an2=4n-1∴a12+a22+…+9.2n+12n-1-2设数列{an}的通项公式为an=1+12+14+…+12n-1=1-(所以Sn=21-12+1-122+…+1-12n=2n-(12+122+123+…+12n)=2n-10.解(1)设{an}的公差为d,由题可知an=a1+(n-1)d=2n-1,Sn=n(a1(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4,所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1,Tn=b1(1-q11.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则a2+a3=a1+d+a1+2d=4+3d=10,解得d=2,∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,∴b2b3=b1qb1q2=q3=-a4=-8,解得q=-2,∴bn=b1qn-1=(-2)n-1,即an=2n,bn=(-2)n-1.(2)由(1)知{an}为等差数列,{bn}为公比q=-2的等比数列,∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列,b1,b3,b5,…,b2n-1为公比为q2的等比数列.∵cn=an+bn,∴c1+c3+c5+…+c2n-1=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(b1+b3+b5+…+b2n-1)=n(a1+a2n12.D因为log2an+1=1+log2an,所以log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是公比为2的等比数列.又因为a3=4,所以a1=a32S6=1×(113.B设等比数列{an}的公比为q.∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴a6-a又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,∴a1=1.∴an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-q∴Snan=2n-12n-故选B.14.C设等比数列{an}共有2k+1(k∈N+)项,公比为q,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=1q(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=1qS偶+a2k+1=-126q+192=255,解得q=-2,而S奇=a1-a2k+115.C因为a1a2a3…a30=a130q1+2+…+29=(a110q145)3,a3a6…a30=a110q2+5+…+所以a3a6…a30=(a1a2a3…a30)13q因为a1a2a3…a30=230,q=2,所以a3a6…a30=220.16.D设等比数列{an}的公比为q,q≠0.若q=1,则an=a1,所以Sn=na1,所以S10S所以q≠1,Sn=a1所以S10S5=a1(1-q10)1-故选D.17.45设等比数列{an}的公比为q.因为S4≠0,所以由等比数列前n项和的性质可知,S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列,且公比为S8-所以S12-S8=3×22=12,S16-S12=3×23=24,因此S16=S4+(S8-S4)+(S12-S8)+(S16-S12)=3+6+12+24=45.18.9∵数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1.∵数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n-1.∴Tn=c1+c2+…+cn=ab1+ab2+…+abn=a1+a2+a4+…+a2n-1=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×4-1)+…+(2×2n-1-1)=2(1+2+4+…+2n-1∵Tn<2024,∴2n+1-n-2<2024,∴n≤9.故当Tn<2024时,n的最大值是9.19.解(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+所以{an}的通项公式为an=3n-1.(2