新教材2024-2025学年高中数学第五章数列5.3等比数列分层作业新人教B版选择性必修第三册

第五章5.3等比数列5.3.1等比数列A级必备学问基础练1.[探究点一]对等比数列{an},下列说法肯定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列2.[探究点二]设等比数列{an}满意a1+a3=3,a1-a5=-3,则a7=()A.8 B.-8 C.6 D.-63.[探究点三]在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值为()1211abcA.1 B.2 C.98 D.4.[探究点二·2024黑龙江鹤岗一中高三期末]在各项均为正数的等比数列{an}中,若2a3,12a5,a4成等差数列,则a8+aA.12 B.1 C.2 D.5.[探究点三·2024广东高二期末]已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),焦距为2c,若aA.2 B.2 C.2+1 D.56.[探究点二](多选题)[2024福建宁德高二期末]已知等比数列{an}的公比q=-13,等差数列{bn}的首项b1=9,若a7>b7且a8>b8,则以下结论正确的有(A.a8>0 B.b8<0C.a7>a8 D.b7>b87.[探究点三]在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数是.

8.[探究点三]已知数列{an}的各项都为正数,对随意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7=.

9.[探究点一、二·北师大版教材例题]在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2a5=827(1)求证:数列{an}是等比数列,并求出它的通项公式.(2)试问-1681是数列{an}中的项吗?假如是,指出是{an}中的第几项;假如不是,请说明理由B级关键实力提升练10.(多选题)数列{an}满意an=qn(q>0),则以下结论正确的是()A.数列{a2n}是等比数列B.数列{1aC.当q≠1时,数列{lgan}是等比数列D.数列{lgan11.(多选题)[2024安徽安庆一中高二阶段练习]已知三角形的三边长组成公比为q的等比数列,则q的值可以为()A.52 B.32 C.3412.假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就称为“和差等比数列”.已知{an}是“和差等比数列”,a1=2,a2=3,则满意使不等式an>10的n的最小值是()A.8 B.7 C.6 D.513.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最终一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则f2f1=A.4122 B.1116 C.8214.已知等比数列{an}的公比是q,则“q>1”是“an+1>an”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是()A.q>1 B.a8>1C.T16>1 D.T17>116.已知两个等比数列{an},{bn},满意a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列{an}是唯一的,则a的值为.

17.已知等比数列{an}满意a1-a3=-827,a2-a4=-89,则使得a1a2…an取得最小值的n为18.[2024海南模拟预料]已知数列{an}满意12an+1-an=0(an≠0,且n∈N+),且a2,a3+2,a4成等差数列(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log2an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.19.已知数列{an}是递增的等比数列,a1=1,且2a2,32a3,a4成等差数列(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1log2an+1·log2an+3,C级学科素养创新练20.[2024重庆高二期末]已知数列{an}满意a1=4,nan+1=2(n+1)an,则a4=,若数列an(n+1)(n+2)的前n项和为Sn,则满意不等式

5.3.1等比数列1.D因为在等比数列中,an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.2.A设等比数列{an}的公比为q,a1+a3=3,即a1(1+q2)=3, ①a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3, ②由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.则an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.3.C依据题意填写表格,得12341132113111311131所以a+b+c=124.D设等比数列{an}的公比为q,由题可知q>0.由2a3,12a5,a4成等差数列,可得a5=2a3+a4即a1q4=2a1q2+a1q3,可得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),则a8+a9a故选D.5.C由题可知a2+b2=c2.∵a,22b,c成等比数列,∴ac=12b∴2ac=c2-a2.方程两边同时除以a2,得e2-2e-1=0.又e>1,∴e=2+1.故选C.6.BD因为等比数列{an}的公比q=-13,则a7=136a1,a8=-137a1,而a1的正负不确定,因此不能确定a明显a7和a8异号,又a7>b7且a8>b8,则b7,b8中至少有一个是负数,而b1=9>0,于是等差数列{bn}的公差d<0,即数列{bn}为递减数列,因此b7>b8,且b8<0,BD正确.故选BD.7.6,18设两数依次为a,b(a,b>0),∴a2=2b,2b=a+30,∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.8.21∵对随意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,令m=1,则a1an=a1+n对随意的n∈N+恒成立,∴数列{an}为等比数列,公比为a1.由等比数列的性质有a3a5=a4∵a3a5+a4=72,则a42+a4∵a4>0,∴a4=8,∴log2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1a2…a7)=log2a47=log287=9.(1)证明因为2an=3an+1,且an≠0,所以an故数列{an}是公比为q=23的等比数列又a2a5=827,则a1q·a1q4=8即a12=322又数列各项均为负数,则a1=-32所以{an}的通项公式为an=-32×23n-1=-23n-2.(2)解设an=-1681,由等比数列的通项公式得-1681=-23n-2,即234=23n-2.依据指数函数的性质,得4=n-2,即n=6.因此,-1681是数列{an}的第6项10.ABD因为an=qn(q>0,n∈N+),所以a2na2n1an1lgan=lgqn=nlgq(q≠1),故lgan≠0,lganlglgan2=lgq2n=2nlgq,故lgan2-lgan-12=2nlgq-2(n-故选ABD.11.BC由题意可设三角形的三边长分别为aq,a,aq(a,q>0)因为三角形的两边之和大于第三边,①当q>1时,aq+a>aq,即q2-q-1<0,解得1<q<1+②当q=1时,aq=a=aq③当0<q<1时,a+aq>aq,即q2+q-1>0,解得-1+5综上,q的取值范围是-1+52故选BC.12.D依题意,an+1+a则数列{an}是首项为2,公比为32所以an=2·32n-1,验证知,当n≥5时,2·32n-1>10成立,所以n的最小值是5.故选D.13.D设13个音的频率组成等比数列{an},其公比为q,那么an=a1qn-1,依据最终一个音是最初那个音的频率的2倍,得a13=2a1=a1q12,解得q=2112,所以f2f1=a14.D当a1=-1时,an=-qn-1,an+1=-qn.因为q>1,所以qn>qn-1,所以-qn<-qn-1,故an+1<an,所以q>1不能推出an+1>an.由an+1>an,得-qn>-qn-1,则qn<qn-1,所以0<q<1,所以an+1>an不能推出q>1,所以“q>1”是“an+1>an”的既不充分也不必要条件.故选D.15.BC由题意知(a8-1)(1-a9)=a8+a9-a8a9-1>0,则a8,a9中一个大于1,另一个小于1.∵等比数列{an}的各项均为正数,∴q>0.又a1>1,∴a8>1>a9,且1>q>0.由题意知a8a9>1.∵T16=a1a2…a16=(a∴T16>1.T17=a917<故选BC.16.13设数列{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0. (*)由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由数列{an}唯一知方程(*)必有一根为0,将q=0代入(*)得a=1317.3或4设数列{an}的公比为q,则q=a2-∴a1-a3=-8a1=-827∴a1=127,a2=19,a3=13,a∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.18.解(1)在数列{an}中,由12an+1-an=0,得an+1=2an,而an≠0,则数列{an}是公比为2的等比数列因为a2,a3+2,a4成等差数列,即2(a3+2)=a2+a4,所以8a1+4=2a1+8a1,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n.(2)由(1)得bn=log22n=n,有b1=1,bn+1-bn=(n+1)-n=1,即数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列,所以Tn=1+n2·n=12n2+19.解(1)设数列{an}的公比为q,由题意,知q>1.∵2a2,32a3,a4∴3a3=a4+2a2,∴3q2=q3+2q,即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍去),∴q=2,∴数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-1.(2)∵bn=1log∴Sn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n20.1285在数列